Para avanzar satisfactoriamente en este tema responde: qué son ángulos complementarios? Qué son ángulos suplementarios?

Transcripción

1 Sen 9 9 Epeeos! En el seestre nterior estudiste ls rzones trigonoétris pr resolver triángulos on un ángulo de 90º. Sin ergo, no tods ls situiones de nuestro entorno pueden representrse trvés de triángulos retángulos, nturlente esto llev preguntrnos óo resolver triángulos que no tienen un ángulo de 90º, triángulos oliuángulos. En est sesión, pr resolver tles triángulos plireos l y l de los osenos (ést últi l ordreos en l sen siguiente). níte seguir profundizndo en el estudio de los triángulos! Qué ses de...? Pr vnzr stisftoriente en este te responde: qué son ángulos opleentrios? Qué son ángulos supleentrios? Trz tods ls lturs del siguiente triángulo. El reto es... L estión gurdosts Ris está situd 240k l sur de l estión Mirnd. Un ro enví un lld SOS de uxilio que es reiid por s estiones. L lld l estión Ris indi que el ro se loliz 35º l noreste; l lld l estión Mirnd indi que el ro está 30º l sureste. 210

2 Sen 9 Vos l grno Los triángulos oliuángulos son quellos que no tienen un ángulo reto. Todo tringulo oliuángulo es, o ien utángulo (todos sus ángulos están oprendidos entre 0º y 90º) u otusángulo (un ángulo 90 <θ<180 ). Resolver un triángulo signifi llr l longitud de sus ldos y l edid de sus ángulos. Neesits onoer l longitud de un ldo on otros dos eleentos, sí es posile onoer el resto de ls ntiddes del triángulo. Hy 4 posiiliddes por onsiderr: so 1. Se onoe un ldo y dos ángulos (L o L). so 3. Se onoen dos ldos y el ángulo oprendido entre ellos (LL). so 2. Se onoen dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos (LL) so 4. Se onoen los tres ldos (LLL). Vos deostrr l edinte ls propieddes de los triángulos retángulos estudidos en el seestre nterior. Trzos l ltur desde uno de los vérties del triángulo. Usndo ls rzones trigonoétris del seno en ulquier de los triángulos oteneos: α γ β α γ 180 -γ β ) Triángulo utángulo ) Triángulo otusángulo Figur 14 senα= y senβ= Despejndo de s igulddes se otiene: = senα y = senβ, entones senα= senβ y senα = senβ (1) Se utiliz el eo de que sen(180 -x)=sen x De ner siilr se proede en el segundo tringulo: senα= y senγ=(180 -γ)= 211

3 Sen 9 Por onsiguiente, = senα y = senγ senα senγ l igulr s expresiones: senα= senγ y = (2) l oinr ls euiones 1 y 2 oteneos l. Pr un triángulo on ldos, y y ángulos opuestos α, β y γ, respetivente se tiene: senα = senβ = senγ L expres que l rzón entre el seno del ángulo opuesto d ldo y l longitud de éste es onstnte. L se pli los sos 1 y 2 eniondos nteriorente. Veos trvés de ejeplos d uno de los sos. so 1. onoiendo dos ángulos y un ldo (L) El triángulo que se for en el prole propuesto en l seión El reto es nos d inforión de dos ángulos y un ldo. Teneos que usr l Ley de los senos pr resolver el triángulo. Pr dr respuest l situión plnted tendrís que ver uál es l enor distni, si l longitud : distni estión Mirnd-ro o longitud : distni estión Ris-ro. En el triángulo que se otiene del prole puedes notr que los ángulos ddos son exteriores l tringulo. Neesitos onoer l edid de los ángulos interiores óo llrlos? Exto! En l figur 15 preis que os ángulos son opleentrios, es deir, sun 90º. β =60 =240 k γ =65 α = Figur 15

4 Sen 9 El ángulo γ es uy fáil de enontrr, porque los ángulos internos de un triángulo sun 180º. Luego γ= =65 Usos l pr llr ls distnis y : sen55 sen55 150sen = = = = sen60 150sen = = = = L estión Mirnd está ás próxi l lugr donde se enuentr el ro, por tnto el elióptero deerá slir de es estión. or ien, eplendo tus onoiientos er del oviiento retilíneo unifore puedes llr el tiepo requerido pr que el elióptero llegue l ro. so 2. onoiendo dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos Un vión vuel desde l iudd st l iudd, que está 200k de distni, luego i su ruo 40º y se dirige l iudd, oo se oserv en l figur 16. níte relizr el ejeriio. ) Si l distni entre y es de 450k, qué distni y entre ls iuddes y? ) Qué ángulo dee girr el piloto en pr volver l iudd? =450 k γ β =140 α =200 k Figur 16 El ángulo interior y externo en su 180º por ser ángulos dyentes, sí que el ángulo interior en es 140º, este ángulo se opone l ldo de 450k. plios l pr deterinr el ángulo γ. sen140 senγ 200sen140 4sen140 = senγ = = = γ= sen =16.9 onoiendo los ángulos β y γ, puedes deterinr l edid del ángulo α El terer ldo (l distni de ), puede deterinrse epledo nuevente l : 213

5 Sen 9 sen140 sen sen23.1 = = =274.7k 450 sen140 De uerdo l ilustrión, el piloto tendrí que girr desde on un ángulo de 180º-16.9º=163.1º (ver figur 17). γ=16.9 β =140 α = 23.1 Figur 17 Pr ser ás onsult l siguiente direión we: ttp://goo.gl/6f4t pr profundizr sore l. pli tus seres Reforeos on otr situión 214 Dos oservdores iden siultáneente el ángulo de elevión de un elióptero. Un ángulo result ser de 25º y el otro de 45º, respetivente. Si los oservdores están 160k el uno del otro y el elióptero se enuentr sore l líne que los une, qué tn lto vuel el elióptero? En est situión serí onveniente trjr on los dos tringulos que se otienen l trzr l ltur, plir l y posteriorente igulr l longitud de l dos euiones que resultn. γ=115 α =25 β =40 =300 Tien puedes relizrlo plindo l rzón trigonoetri tn θ. Hzlo y opr los resultdos on tus opñeros del. 300-x x

6 Sen 9 oproeos y deostreos que Ls estrtegis de evluión est sen onsistirán en l resoluión de proles, l prtiipión en el y l utoevluión. En el, en pequeños grupos, relizrán los ejeriios y proles propuestos; luego, entréguenlos l filitdor. 1. En los siguientes ejeriios resuelve d triángulo: ) α=40, β=20, =2 ) α=110, γ=30, =3 ) β=70, γ=10, =5 d) =2, =1, γ=25 e) =4, =6, β=20 f) =3, =7, α=70 2. Resuelve los siguientes proles: ) Un vionet l relizr su reorrido se enuentr on un fuerte torent, por lo que dee ir su urso. Gir 25º i el norte y vuel 89k. Luego e otro giro de 115º y se dirige i el urso originl. Hll l distni que reorrió de ás l vionet pr evitr l torent, enuentr deás el ángulo que dee girr pr regresr l urso originl (ver figur 18). 89 k Figur 18 ) Pr enontrr l distni de l s l s, un topógrfo deterin que el ángulo es de 40º; luego in un distni de 100 pies y deterin que el ángulo es de 50. uál es l distni de? (ver figur 19). Figur

7 Sen 9 ) El telefério trnsport psjeros desde el punto que está un distni de 650 del punto, que se ll en l se de un erro, st un punto P situdo en l i del erro. Los ángulos de elevión de P desde y son 21º y 65º respetivente. Hll l distni entre y P y lul l ltur del erro. utoevluión Figur 20 Qué duds fueron lrds trvés del video, propuesto en l seión Pr ser ás? Qué iones e relizdo pr oprender l teáti? uáles son ls difiultdes que se n presentdo pr l soluión de los proles? En qué deo seguir ejorndo en l resoluión de proles donde se plique l? En oentos de risis, solo l iginión es ás iportnte que el onoiiento. lert Einstein 216