(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) TEMA 1: Función Compleja de Variable Compleja. Revisión de números complejos y sus operaciones.

Transcripción

1 TEMA : Fució Compleja de Variable Compleja Revisió de úmeros complejos y sus operacioes. Defiició: Se deomia úmero complejo a todo par de úmeros reales: =, y ; C ; R ; y R Ejemplo: (,3) : Compoete real de, = Re y : Compoete imagiaria de, y = Im() = Re = Im( ) = 3 Igualdad: Dados dos úmeros complejos: = (, y ), (, y ) Def.: = = y = y = : sus compoetes respectivas so iguales. Coveció: ) (,) Ejemplo: = (, ) = : real = : (,) = ) = (,) uidad imagiaria = i R C {(, y ) y } {(, y ) y } R = = C = R R Suma: Dado dos úmeros complejos = (, y ) y = (, y ) (, ) = = y = y = y y Ejemplo: ( 3,) (,4) = ( 5,6) Propiedades: Comutativa: = = Asociativa: 3 3 Eistecia de eutro: eiste eutro e la suma igual a, porque =, y, =, y Eistecia de elemeto opuesto:, elemeto opuesto w w = (,) w = Si = (, w = (, -/34-

2 Propiedad uiforme. = 3 = = Producto de u úmero complejo por u úmero real. =, y C ; h R ; h = h (, = ( h, h Ejemplo: 3, = 6, (,) (, ) (, ) (,) h = h = hi h = h = h El producto es comutativo, asociativo y distributivo. Forma biómica de u úmero complejo. =, y ; C ; y R (, ) (,) (, ) i (, ) = y = y = y = y = yi Suma: = yi = y = y y i i Producto de dos úmeros complejos., y Dados dos úmeros complejos = ( ) ; = (, y ) = ( y y, y y ) ( 3,4) (,3) = ( 3 ( ) 4 3, ( ) ) = ( 5,5) (,) (,) = (, ) = (, ) = i i = = 4 = 4( ) = 4 = ± i Producto. = y i = y i = y i y i = y i y i y iy i = y y y y i Ejemplo: 3 i i = 3 3i i i = y y y y i = 5 i Iversas: Del producto el cociete De la suma la resta -/34-

3 Resta de dos úmeros complejos. = y i = y i = = yi y i = y i y y y = = i = i y y = y y = y y = yi = y y i puesto de u úmero complejo. Dado = yi, se defie w = yi como el opuesto del úmero. = (, y su opuesto w = (, Cojugado de u úmero complejo. Dado = yi, se defie w = yi como el cojugado del úmero. = (, y su cojugado w = (, Divisió de dos úmeros complejos. = y i = y i = = Regla práctica: Multiplicar y dividir por el cojugado del deomiador = Ejemplo: ( i ) ( 3 i) siedo: = y i = y i 3 i 3i 5i 5 = = = = i 3 i 3 i 3 i Verificació: 5 ( 3 ) = 3 3 i i i Potecia eésima de u úmero complejo. C ; N i =... = = factores m m = m = ( ) m m = m -3/34-

4 Potecia de la uidad imagiaria. i = i = i i = i 3 = i 3 i = i i = i = i 4 i = i 5 = i 6 i = i 7 = i 8 i = Siedo 4 i =; R. 4 : múltiplo de 4 r 4 d 4 d i = i = i i Divisió r 4 r d d d i = i = i Aplico coveció para (,,,3),,,3 Ejemplo: Para i 5 : i = i = i Para i : i = i = i 5 = yi = yi yi y yi k ( yi) = ( yi ) k = k Raí eésima de u úmero complejo. = yi N > w w = C = k! = k k! ( k )! Represetació de u úmero complejo. -4/34-

5 ) Plao complejo o de Argad. : eje imagiario i: (,) N imagiario puro P(, (,) real P Afijo de : eje real P(, =(,=yi Eiste ua correspodecia etre u úmero complejo y u puto del plao. ) P(, P : (, y Eiste ua correspodecia etre u úmero complejo y u vector posició. Iterpretació geométrica de la suma de dos úmeros complejos. P M = e MP ˆ < > Iterpretació geométrica de la resta. = e MP ˆ < > - -5/34-

6 Forma polar de u úmero complejo. =, y = yi ; C ; R y R P(, y : eje real eje polar (, ) P( ρ, θ ) P y ρ = P = módulo del radio vector de = θ = argumeto de arg = R = ρ Cos θ = yi = ρ Cos θ Se θ y = ρ Se θ ( i ) forma polar o trig. de Cada complejo tiee ifiitos valores de águlos cogruetes, pero tiee el mismo módulo. Etoces θ = θ kπ ; k :, ±, ±,... (, ) o tiee argumeto, solamete lo defie el radio vector ρ = pasar = yi = ρ Cos θ i Se θ = ρθ = ρ = y θ = arg : y ArcTg Ejemplo: = i = y = ρ = = θ = ArcTg θ = = i = Cos45 i Se45 = = π Igualdad de dos úmeros complejos e forma polar. = ρ ; = ρ θ θ ρ = ρ = θ = θ kπ; k :, ±, ±,... peracioes co úmeros polares. Producto: = ρ ; = ρ θ θ (se seleccioa el de los dos posibles teiedo e cueta el cuadrate al que perteece el afijo de ) ρ θ ρ θ ρ ( θ i θ ) ρ ( θ i θ ) ( ρρ ) ( Cos θ Cos θ Se θ Se θ ) i ( Cos θ Se θ Se θ Cos θ ) ( ρ ρ ) ( θ θ ) i ( θ θ ) = = Cos Se Cos Se = = Cos Se = R ϕ 4-6/34-

7 ρ θ ρ θ = R ϕ R= ρρ = θ ϕ θ Ejemplo: π = 3 π 3 6 5π 4 Potecia de u úmero complejo. = ρ ; = ρ ; = ρ. θ θ θ ( ρ ρ ) θ θ = ρ N θ... =... = factores ( ρ ρ ) ( ρ ρ ρ ) =... =... θ θ θ θ θ3 = ( ρρ... ρ ) ( θ θ... θ ) factores sumados ρ θ Si = =... = = = factores... = ρ ρ ρ... ρ = = ρθ = ρ θ ; N Ejemplo: = π 6 factores θ θ θ... sumados 4 4 Cos Se 4π π 6 3 θ 3 i 3 = = = ( i ) = = i 3 3 Cociete de dos úmeros complejos e forma polar. = ρ ; = ρ θ θ = = R ϕ = R ϕ ρ θ = ρ θ = ρ ϕ θ ϕ θ = θ ϕ = θ θ ( Rρ ) ρ θ ρ θ ρ = ρ ρ θ ( θ θ ) ρ Rρ = ρ R = Ejemplo: 35 = 6 3-7/34-

8 Caso particular. = = = = ρ ( Cos θ Se θ ) ρ ρ ρ i θ θ θ = ρ Forma de Moivre para = θ = = = = ρ ρ = θ ρ ( θ ) θ ( θ ) = ρ Forma de Moivre (forma geeraliada para epoete θ ) Ejemplo: = = 4( 3 ) = 4 Cos ( 3 ) Se( 3 ) 5 i 5 ( ) 3 4 i = 3 i 5 5 = = = = 8 5 ( i) ( ) ( ) ( 4 ) 45 5π 4 5π 4 Radicació e forma polar. = ρ ; N > θ = ρ θ = W = R ϕ w = R = ρ R = ρ R ρ R ρ θ kπ ϕ = θ kπ ϕ = ; k :, ±, ± 5π 4 ( ϕ ) = θ ϕ = θ R = ρ w = ρθ = Rϕ θ kπ θ kπ ϕ = = So solamete raíces: θ kπ ϕ = w= f θ π k :... ϕ = θ 4π k :... ϕ = θ π θ k :... ϕ = = π k :... se repite co k: se repite co k: :, ±, ± -8/34-

9 Esto os demuestra que hay solamete argumetos de ϕ e: 7 π /4 ; k :,,,3... Las raíces eésimas so complejos co k valores diferetes. k k θ π θ π ρθ = ρ Cos Se i ; k :,,,... ( ) Ejemplo: Halle 3 ; = - i = 7 π /4 /3 7 π /4.. π 3 = = 6 7 π / k = = = 6 5 π / k = /3 7 π /4.. π 3 = = 6 3 π / k = /3 3 7 π /4.3. π 3 Cojutos de putos e el plao complejo P(, yi ) : geométricamete represeta la distacia etre el orige y el afijo del complejo. Ejemplo: 3 4i = ) : distacia etre y. si = 5 i = i = 3 4i = I) = k ; = yi ; R ; k R ; y R -9/34-

10 Represeta geométricamete el cojuto de putos siguiete: Circuferecia co cetro e el orige y radio k. Porque la distacia del orige a cada uo de ellos se matiee costate. Gráficamete: Circ : { C = k; k R } k II) = k ; k R Defie ua circuferecia de cetro y radio k. - { C = R } Circ : k; k Si =, tedríamos el caso aterior. III) k ; k R Represeta geométricamete a u círculo de cetro y radio k, cuyo borde es la circuferecia aterior. IV) k Represeta todo el plao eterior a la circuferecia, icluyedo los del borde. k -/34-

11 V) { C < k; k R } Represeta los putos iteriores de la circuferecia, pero si icluir el borde. Se llama etoro de cetro y radio k. k ( k ) E ; VI) { C < < k; k R } Represeta ua circuferecia dode se ecluye el puto y tambié el borde. Lo llamamos etoro reducido de cetro y radio k. k E ' ; k = E ; k VII) { C Re > } Represeta al semiplao cuya frotera es el eje y. VIII) { C Im } Represeta al semiplao cuya frotera es el eje. Clasificació de los cojutos de putos del plao complejo. I. Cojuto abierto: u cojuto de putos del plao complejo se dice que es abierto si eiste para cada puto u etoro que cotiee úicamete putos de ese cojuto. Ejemplo : { k ; k C < R } Se puede decir que u etoro es u cojuto abierto porque para cada puto eiste u etoro que cotiee solamete putos del cojuto. -/34-

12 Ejemplo : Pto. iterior { C Re > Im < } Es u cojuto abierto porque todo puto perteeciete al cuarto cuadrate por más que os aproimemos al semieje, siempre teemos u etoro que cotega putos del cojuto. Ejemplo 3: Pto. eterior { C Re > Im } No es u cojuto abierto perteece al eje, tiee putos que perteece al cojuto dado y putos que o le perteece. Todo puto de u cojuto abierto se deomia puto iterior del mismo. Se llama abiertos a los cojutos que rodea a todos sus putos. II. Cojuto acotado: u cojuto de putos del plao complejo se dice acotado si para cada uo de sus putos se cumple que sus módulos so meores que ua costate real positiva. A es acotado < k, A; k R Geométricamete: se cumple la relació aterior subrayada. k A E el ejemplo : o es acotado porque o eiste igua circuferecia detro de la cual se lo puede icluir. E II, es u cojuto acotado, u etoro reducido, porque se lo puede icluir e ua circuferecia. Ejemplo 4: b : C r < < r, r R, r R { } -/34-

13 r r Coroa circular abierta o aillo circular. Es u cojuto acotado, porque por grade que sea r ; se puede icluir e ua circuferecia III. Cojuto coeo: u cojuto de putos del plao complejo se dice coeo cuado dos putos cualesquiera del mismo puede uirse mediate ua poligoal co u úmero fiito de lados coteida e ese cojuto. El ejemplo 4 es coeo, porque u par de putos puede uirse mediate ua poligoal si salir de la coroa. El etoro es u cojuto coeo. Ejemplo 5: B A: C / Re > Im > C / Re < Im < C Es o coeo porque o icluye al orige, siedo ambos cojutos coeos. B C C B cojuto coeo cojuto coeo A = C B cojuto o coeo Coeo simple: cuado cualquier curva cerrada perteeciete al mismo puede estrecharse cotiuamete hasta reducirse a u puto si salir del cojuto. C A -3/34-

14 Los cojutos múltiplemete coeo: so los que o cumple co la defiició aterior. Puede ser: Doblemete -- coeo Triplemete -- coeo C Tiee dos froteras. Al reducirse a u puto se sale del cojuto. Se dice que tiee u agujero o ua lagua. Tiee tres froteras o dos agujeros o laguas. coeo: Tiee froteras, ua eterior y ( ) iteriores. Tiee ( ) agujeros o laguas. - Puto frotera: Dado u cojuto A de putos e el plao complejo, puto frotera del mismo es todo puto que puede o o perteecer a A, pero e todo etoro de él eiste putos que perteece al cojuto A y putos que o le perteece. P P es u puto frotera, auque o le perteece, porque todos sus etoros tiee putos del cojuto y putos que o le perteece al etoro. Q Re > Im < Es puto frotera del cojuto. El cojuto de putos frotera de u cojuto dado se deomia la frotera del mismo. E el ejemplo 3: la frotera: { C Re > Im = } { C Re = Im < } líea horiotal La frotera del ejemplo 4: { = r } { = r } líea vertical -4/34-

15 IV. Cojuto cerrado: u cojuto se dice cerrado si a él le perteece todos sus putos frotera. El ejemplo o es cerrado. El ejemplo o es cerrado. El ejemplo 3 o es cerrado (auque parte le perteece y parte o le perteece). Es u cojuto cerrado y tambié acotado. Lo acotado o se cotrapoe co lo cerrado y lo o acotado o se cotrapoe co lo o cerrado. { y = } { = y } Es o abierto, o acotado, es coeo simple y es cerrado. Domiio: se llama así a todo cojuto abierto y coeo. Ejemplo : el etoro y tambié el reducido. Ejemplo : es domiio. Ejemplo 3: o es domiio. Regió: se deomia así del plao complejo tato a u domiio como a u domiio más ua parte o toda su frotera. E toda regió su iterior es siempre u domiio. Fució compleja: de ua variable compleja Defiició: dado u cojuto A icluido e el cojuto de los complejos, se deomia fució compleja de ua variable compleja co domiio e A y co valores e C, a toda ley que haga correspoder a cada uo de los elemetos de A u úico elemeto e C. f : A C A w C f = w Se coviee llamar a variable idepediete, y a w variable depediete. El recorrido de la fució es el cojuto de imágees de los elemetos del cojuto A, segú la ley f. Tambié se lo deomia image del cojuto A dado por f. { C } R : f ( A) = w w = f, A E cojuto: f w -5/34-

16 Ejemplo de fucioes e el campo complejo: w = f = A: { C } w = f = A : C = = = = ± i { C i i} = { } Fució racioal etera de grado : si es u úmero atural defiimos la fució racioal etera de la siguiete maera:... f = a a a... a. a Dode a... a, so e geeral úmeros complejos. Ejemplo: 3 f = i 4 3 bservar que: Los valores de que hace ulo al poliomio se deomia ceros del mismo. U poliomio e el campo complejo tiee a lo sumo tatos ceros como uidades tiee su grado. Fució racioal fraccioaria: se deomia así al cociete etre dos poliomios, dode el poliomio del deomiador tega grado distito de uo. P N f = Q m N, m m Los ceros de estas fucioes so los ceros del umerador que o aule tambié al deomiador. El domiio es el cojuto de valores que o aule al deomiador Qm ( ), o tambié es el cojuto de valores de que o hace cero al deomiador. Forma biómica de ua fució compleja de ua variable compleja. Sea: : yi R, y R Vemos e esta fució que es fució de y. Por lo tato, e la fució w = f, w será fució de y. Pero como tambié w es fució de u úmero complejo tambié, podemos escribirla e forma biómico y tambié e fució de y. w = f = f ( yi) = u(, i v(, u, v : fució de dos variables reales Re( w) = u(, Im( w) = v(, Ejemplo: w : f = : yi w : ( y ) = y y ( ) = ( y ) y i i i Re( ) = y Im( ) = y -6/34-

17 = v(, = se Si: u(, = 3 y f (3 y ) i. se Ejemplo: f = w = w = yi = y = y Dode: Re( w) = y Im( w) = Iterpretació geométrica de ua fució compleja de ua variable compleja. Sea: w : f = u(, i v(, : yi w C Coveimos e represetar a w e el plao complejo Z. c Z H A f V W w c* f(h) f(a) U El cojuto image es u cojuto del plao complejo Z. Si e el domiio tiee ua curva c, e la image tego ua curva c *. Si e el domiio tego u subcojuto H, e la image tego u subcojuto f ( H ). A : Domiio ( f ( )) Como w se represeta e el plao, el domiio se represeta tambié e el plao complejo. Se defie como ua aplicació o trasformació de putos del plao complejo Z, e putos del plao W, etediedo por trasformació a toda ley o regla que asocie a cada puto del plao complejo Z, e el domiio, u úico puto del plao W, e el cojuto image del domiio. A veces para aaliar características de ua cierta fució dada es coveiete aaliar las imágees de subcojutos icluidos e el domiio de esa fució. Trasformacioes. w = F = efectúa u desplaamieto de los putos del plao a) La fució lieal complejo Z de ua uidad hacia la derecha. -7/34-

18 Z V W y w = F() v=y w ( w) ( w) u= Re = desplaamieto ua uidad w = F = i y Im = y b) La fució w = F = i efectúa ua traslació de los putos del plao Z de ua uidad hacia arriba. U y Z w = F() v=y V w W u= U ( w) ( w) Re = w = F = i = ( i i = ( y ) i Im = y desplaamieto ua uidad c) E geeral, la Fució w = F =, dode es cualquier úmero complejo, aplica o trasforma a ua regió del plao complejo e otra, de la misma forma y orietació que la aterior, auque cada puto ha sufrido ua traslació dirigida segú el vector posició de. Z v w u d) La fució lieal w =., dode es cualquier úmero complejo, es ua trasformació que cosiste e u giro del mismo valor que el argumeto de y multiplicació por ua costate que es el módulo de. Si = ρθ ; w = f =. ; R = ρ. ρ w R ϕ =. = ϕ = θ θ = ρ θ -8/34-

19 v a b Z a. b. arg w u Represetacioes coformes. Se dice que ua aplicació o trasformació del plao complejo es coforme cuado coserva los águlos. E geeral, las figuras geométricas del plao Z sufre ua rotació, u aumeto / dismiució de tamaño e el plao w siempre que se les aplique ua trasformació defiida por ua fució aalítica. Toda trasformació coforme trasforma curvas ortogoales e curvas ortogoales. Sea por ejemplo w = f = Hallar las imágees de los subcojutos siguietes, que está icluidos e su domiio. Dom C más estrictamete Dom = C Curva C w= Curva C* f ( ) a) c :{ C = k, k R } Z k θ f()= V k θ w W U Coclusió: c* = w w = k, k Domiio Z Image W = yi = ρ θ w = = ρ = ρ = R = k, k R θ π R ρ k = =, k R θ 4π { } C R La fució radio k e otra de radio k. θ θ ϕ w = f = trasforma ua circuferecia de -9/34-

20 b) c :{ C arg = k, k R } Domiio Z = ρ θ : arg = k θ ρ R R = w R Image W ( ρ ) w = f = = = ρ = R θ θ ϕ ϕ = arg w = θ = k, k R R = w R Z f()= V w W k k U { C = R } La fució w f c*: w arg w k, k argumeto k e otra r* de argumeto k. = = trasforma la semirrecta r de c) Casos particulares del aterior. c : C y =, > e polares c : C = ρ, ρ >, θ = arg = { } { } θ Z f()= V W w U Domiio Z : yi ImageW w = = Rϕ w = ρ ( θ ) { C } c* = w arg w = ρ = y R = ρ = y si > ρ > arg = y / θ = ϕ La fució w = f = trasforma putos del semieje positivo de la variable e putos del semieje positivo de la variable u. -/34-

21 { C = > } c : y Z (ρ,π/) f()= V W i w - U Domiio Z Image W : yi = ρθ w : = ρ ρ > ; θ = π / R = ρ > ϕ = θ =. π / = π { } c* = w arg w = π ; ρ > C La fució θ w = f = trasforma putos del semieje positivo de la variable y e putos del semieje egativo de la variable u. d) Hallar las imágees segú la misma fució de las curvas de ivel de las compoetes imagiarias de w :. ( ) = C { C curvas de ivel de (, )} { C curvas de ivel de (, )} Dom c = u y c = v y d) Curvas de ivel de u(, Z k< W w V u:k k> k> -k w k U u:k k< -/34-

22 Domiio Z : y Image W i ( i) w : = y = y y (, ) u y = y v, y = y c y = k, k y = ± k R h c y = h, h R y = w u : k (, ) w v y = h d) Curvas de ivel de v(, Z W V h< h> v=h, h> U h> h< v=h, h< para cada h ua hipérbola distita. Ejemplo N : Hallar la image del cojuto de putos complejos segú la fució f = w = c = { C > y < } V Z W w U e ) = yi >, y < e w ) -/34-

23 ( i) w = = y = yi w = u, y v, y = yi u u = = > u > ; u > c * v v v = y = y < < ; v < { C } c* = w u >, v < Ejemplo N 3: : f = 3 Image de c = C y > y > > > = yi 3 i 3 ( 3) (, ) 3 (, ) y w = f = = y = yi u y v y = u v = y 3 y = u v 3 = Las codicioes e : Las codicioes e w : y > > u v 3 > u 3 > u > 3 { C > > } c* w u v 3 u 3 Z V W w -3 U y=- -3 v=-u-3-3/34-

24 Límite de ua fució compleja de ua variable compleja: Sea ua fució f ( ) defiida e u domiio D, icluido e el cojuto de los complejos y u puto que perteece a D, y podría ocurrir e particular que f ( ) podría o estar defiida e. Defiició: se dice que el úmero L complejo es el límite de así: lim f = L Si y sólo si para todo etoro co cetro L y radio ε ( ε ) u etoro reducido al cetro y radio δ ( δ ) f para, y se simbolia R eiste e correspodecia co él R / que para todo perteeciete a este etoro reducido su image perteeca al etoro de cetro L y radio ε. Simbólicamete: Ε L, ε, Ε', δ f Ε', δ Ε L, ε ( ) ( ( )) Iterpretació geométrica. Z V f() W ε f(ε 'δ ) δ U D w L La eistecia del lim las fucioes reales u(, y v(,. f = L = u i.v implica la eistecia simultáea de los dos límites de Fució ifiitésima e u puto. Ua fució compleja se dice ifiitésima e lim f = lim lim f = L f = u (, y ) (, y ) lim (, (, y ) f = v si e ese puto el límite de f es cero. Límite ifiito e : lim f Se dice que el = si se verifica que fijado u úmero real k ( ) e correspodecia co él para todo etoro reducido de cetro y radio δ resulta que las imágees de los putos de ese etoro reducido perteece al eterior del etoro de f ( ) y radio k. -4/34-

25 δ ( δ ) lim f = k >, > Ε ', : f > k Gráficamete: Z f() V W δ k U D ) La defiició de límite ifiito dada ates o epresa codicioes a la forma de teder a, por lo tato si el límite eiste por cumplir dicha defiició, ese límite es úico y es el mismo, cualquiera sea la forma de teder a. ) Las operacioes co límite de fucioes de variables complejas cumple co las mismas propiedades que ya coocemos para los límites de varias variables. eso se debe a que las defiicioes de límite so formalmete aálogas. Relació etre límite de ua fució de variable compleja y los límites de sus compoetes reales e imagiarias. w = f = u (, i v(, = i y = i y lim f = L = L L i lim u (, y y y y lim v, y = L = L Cotiuidad de ua fució compleja e u puto. lim f f ( ) cot. e = f lim f = f f cot. e ε >, δ > Ε, δ : f f < ε = f cot. e lim f f = = Las propiedades de las fucioes complejas so aálogas a las de fucioes de varias variables. Cotiuidad e u domiio. f es cotiua e u domiio si es cotiua e cada uo de los putos de ese domiio. Ua -5/34-

26 es cot. e f D f es cot. D Relació etre ua fució cotiua y la cotiuidad de sus compoetes real e imagiaria. Si f ( ) es cotiua e siedo f = u (, i v(,. cot. e (, ) y (, ) cot. e (, ) f u y v y y = iy Ejemplo: w = Se( i es cotiua para cualquier valor de porque sus fucioes so cotiuas para todo los valores de e y. Derivada de ua fució compleja de variable compleja e u puto. Para defiir este cocepto cosideremos ua f ( ) defiida e u cojuto D, y sea u puto de ese domiio D y formemos la siguiete epresió:v f f Si eiste el límite de esta epresió y es fiito para, etoces dicho límite recibe el ombre de derivada de la fució f ( ) e el puto. f f lim = f ' ( ) = = f ' D f D f w = f = = ' = = f ' w D w D w = D Se puede observar que la defiició que acabamos de dar sigifica u límite, si la derivada e eiste éste es úico y es el mismo cualquiera que sea la forma de teder a. tra forma de escribir la derivada. = = Reemplaado: f ( ) f ( ) f '( ) = lim Fució derivada. w : f está defiida e u domiio D y tiee derivada e cada puto del domiio, etoces queda defiida ua fució que se deomia f ' f ', D, D f ' e D, que simboliamos: Ejemplo de ua fució que o tiee derivada e igú puto: w = f = defiida para toda C. = iy -6/34-

27 = f f = = ( ) f f = = = = = yi = i y = i y f f i y lim = lim = lim i y y () y Para resolver elegimos dos camios. Z II y I i y i y (I) lim = lim lim = lim = i y y y i y i y i y i y (II) lim = lim lim = lim = i y y y y y y i i Como (I) (II) sigifica que o eiste el límite plateado, esto implica que o eiste su derivada e igú puto del plao complejo. Reglas de derivació: Hemos visto que la defiició de límite e el campo complejo es aáloga al campo real, por las mismas raoes las reglas de derivació so aálogas al del campo real. D f g = f ' g ' = ' ' D f g f g f g ' ( g ) f f ' g f g D = g g Fució derivable: Ua fució f ( ) se dice derivable e u puto y e u domiio es derivable si eiste derivada e cada puto del domiio. f derivable e f ' ( ) derivable e ', f D f D si eiste la derivada de f e ese puto, -7/34-

28 Propiedad: Si ua fució f es derivable e u puto, etoces es cotiua e dicho puto. La cotiuidad de ua fució e u puto es codició ecesaria para la derivabilidad e dicho puto. H) f ' ( ) T) f cot. e Para demostrarlo tegamos e cueta la H) que dice que eiste la derivada. Por lo tato por defiició de derivada podemos efectuar el siguiete procedimieto: -Escribimos la diferecia f f ( ) y dividamos y multipliquemos por ( ) f f ( ) ( ) = ( ) ( ) f f ( ) f f ( ) = ( ) f f lim lim lim f ' ( ) lim f f = f es cotiua e, que es la tesis. El cotra recíproco de este teorema: f ' Decimos etoces que f o es cot. e ( ). Codició ecesaria para la eistecia de la derivada. Si f = u (, i v(, tiee derivada e = i y, etoces eiste las derivadas parciales primeras de las compoetes reales e imagiarias e el puto (, ) satisface e ese puto las siguietes ecuacioes: (, y ) v(, y Forma polar: ) = Si f = u ( r, θ ) iv( r, θ ) v v u (, y ) v(, y ) = = = r r θ r r θ Ecuacioes de Cauchy-Riema y y además ellas Demostració: partimos de la hipótesis que os idica la eistecia de la derivada de f ( ) e. Para ello escribamos el cociete icremetal: f ( ) f ( ) = f = u vi = i y f ( ) = u (, y ) i v(, y ) f ( ) = u (, y v(, y = iy = i y i -8/34-

29 Volviedo al cociete icremetal: f ( ) f ( ) u (, y v(, y i u (, y ) iv(, y ) = i y Agrupado parte real e imagiaria: u (, y u (, y ) i v(, y v(, y ) i y Luego tomado límite para : u (, y u (, y ) v(, y v(, y ) f '( ) = lim i () i y i y y Podemos elegir camios diferetes para calcular este límite, pero ambos tiee que teer el mismo resultado. II Z y I (, ) (, ) (, ) (, ) u y y u y v y y v y (I) f '( ) lim lim i y i y = i = y (, ) (, ) (, ) (, ) u y u y v y v y lim i = f ( ) (, ) (, ) y v y ' = i () Resolvemos el mismo límite por (II) : (, ) (, ) (, ) (, ) u y y u y v y y v y (II) f '( ) lim lim i y i y = i = y (, ) (, ) (, ) (, ) u y y u y v y y v y lim i = i y f ( ) (, ) (, ) y v y i ' = (3) Igualado () y (3) : i y (, ) (, ) (, ) (, ) y v y y v y i = i A la epresió (3) la multiplicamos y dividimos por i -9/34-

30 Dos úmeros complejos so iguales si sus compoetes so iguales. (, y ) v (, y ) v (, y ) (, y ) = = Estas ecuacioes defie la tesis. {Ecuacioes de Cauchy-Riema Cosecuecia de las epresioes () y (3) del teorema aterior. bteemos la epresió aterior para calcular la derivada e co la codició de que esa derivada eiste. Notemos que el teorema aterior costituye sólo ua codició ecesaria para la derivada. Es decir, que eista las derivadas parciales de u y v, y ellas satisfaga la ecuació de Cauchyf '. Riema o os permite asegurar que eista Podemos utiliar este teorema para aaliar posibles putos de eistecia de derivadas auque o lo podamos asegurar. Se o se verifica las ecuacioes de Cauchy-Riema pueedo asegurar que f ' o eiste. Ejemplo: aaliar e que puto puede teer derivadas la fució: ) f = e y ie y cos se = e cos y = e se y v v = e se y = e cos y Usemos las ecuacioes de Cauchy-Riema y las que satisfaga sus posibles putos e los cuales eiste la derivada. e cos y = e cos y se verifica para todo (, e se y = e se y Los posibles putos dode eiste derivadas so todos los putos del plao complejo Z. ) f = y v = = = E. C. R. (,) posible puto e que podría teer derivada v y = = y = Codicioes suficietes para la eistecia de derivada de ua fució e u puto. f = u (, i v(, = yi -3/34-

31 Si e el puto (, ) y las fucioes u y v so cotiuas y tiee sus derivadas parciales primeras cotiuas y si e ese puto satisface las ecuacioes Cauchy-Riema, etoces, y y por lo tato podrá ser calculado co las epresioes () y (3) del teorema eiste aterior. E el ejemplo ) observamos que las fucioes u y v so cotiuas para todo (, ) primeras derivadas so tambié cotiuas para todo (, y ). Eiste las derivadas f todo. Veamos cual es: v f ' = i = e cos y i e se y Notemos que esta derivada es igual a la fució dada. f = e cos y i e se y = f ' y. Las para E el ejemplo ) observamos que las fucioes u y v so cotiuas para todo (, y ), y las primeras derivadas tambié lo so. Aseguro que las fucioes tiee derivadas e el puto (, ). Su valor lo calculo co (). Fucioes aalíticas: defiicioes. Dada ua f ( ) se dice que es aalítica e u puto si eiste u etoro de e que dicha fució admite derivada. Co referecia a los ejemplos ) y ) ateriores: La f ( ) del ejemplo ) es aalítica e todo puto del plao complejo porque teía derivada e todos esos putos. Luego podemos decir que eiste u etoro para cada puto de f ( ) derivado. La f ( ) del ejemplo ) o es aalítica, porque sólo tiee derivada e el puto, y o e u etoro del mismo. Fució aalítica de u domiio. Si ua fució es aalítica e todos los putos del domiio se dice que es aalítica e el domiio. Tambié es aalítica e el domiio si tiee derivada e todos los putos del mismo, porque e cada puto podemos defiir u etoro. Fució etera. Se llama así a toda fució que sea aalítica e todo puto del plao complejo Z. La epoecial es etera. Codicioes ecesarias para que sea ua fució aalítica e u domiio. So las mismas que las codicioes ecesarias para las derivadas pero o e u puto, sio e u etoro del plao complejo Z.. Si ua fució es aalítica e u etoro (domiio) de u puto, etoces es cotiua e él.. Si ua fució es aalítica e u domiio etoces sus partes reales e imagiarias tiee derivadas parciales primeras que satisface las ecuacioes de Cauchy-Riema que las satisface e todo puto del domiio. Codicioes suficietes para que ua fució sea aalítica e u domiio. -3/34-

32 Se correspode co las codicioes de eistecia de derivada, sólo que o e u puto sio e u domiio. f = u vi verifica que u y v so cotiuas y tambié lo so sus derivadas. Si parciales primeras e todo puto de u domiio, y además e esos putos satisface las f es aalítica e ese domiio. ecuacioes de Cauchy-Riema, etoces tras codicioes puede epresarse co referecia a las reglas de derivació, aplicádolas e u domiio. a. Si dos fucioes so aalíticas e u domiio, etoces su suma y producto so aalíticos e el mismo domiio. b. Si dos fucioes so aalíticas e u domiio su cociete es aalítico e todo puto del mismo domiio, dode o se aule el deomiador Propiedad fudametal de las fucioes aalíticas. Si ua fució es aalítica e cierto domiio D, etoces posee e el mismo derivadas de todo orde, y ellas so tambié fucioes aalíticas e el mismo domiio, además, sus partes reales e imagiarias admite derivadas parciales de cualquier orde e el domiio y todas so fucioes cotiuas e el mismo. Fucioes armóicas. u, y se dice armóica e u domiio D, si y sólo si admite derivadas Ua fució real parciales segudas cotiuas e D, y demás ellas satisface la ecuació siguiete: u u = Ecuació de Laplace Ejemplo: u = y u = ; = Cot., u = 4 y ; = 4 u u = 4 = Ejemplo: u = e cos y ( = e cos y ; = e se y Cot., u u = e cos y ; = e cos y u u = e cos y e cos y = (, No satisface la ecuació de Laplace, o es armóica para igú puto del domiio. ( La fució es armóica para todo (, y ). -3/34-

33 Propiedad: Si ua fució compleja f imagiaria so ambas armóicas e D. H) f = u vi aalítica e D. v( armóicas (, T) u, y, es aalítica e u domiio D, etoces sus compoetes real e D Demostració: f aalítica e D por H) sus compoetes reales e imagiarias so tales que posee derivadas parciales primeras y segudas e D y además las derivadas so cotiuas e D, por las propiedades características de las fucioes aalíticas, además de satisfacer las codicioes de Cauchy-Riema. v v = () y = () Lo aterior os idica que tato u como v satisface e D la defiició de armóica e lo relativo a la cotiuidad, os falta mostrar que tambié satisface ambas las ecuacioes de Laplace. La () la derivamos co respecto a y a () co respecto a y. u v = u u v v sumado = = = u v = Esta suma os da cero por el teorema de Schwart Etoces decimos que la fució u es armóica e D. Si () derivo co respecto de y, y () co respecto a : u v = u u v v sumado = = = u v = Coclusió: v es armóica e D. Así el teorema queda demostrado. Fucioes armóicas cojugadas, v, y ambas armóicas e u cierto domiio D, ellas se dice Dadas dos fucioes u ( y ) y armóicas cojugadas si la fució f = u vi es aalítica para todo puto del domiio D, tambié se dice que ua de ellas es cojugada de la otra. La defiició aterior tambié implica que las compoetes reales e imagiarias de la fució aalítica de domiio D so armóicas cojugadas e el mismo. -33/34-

34 Ejemplo: f = y i e cos y u = y v e cos y = v es armóica (, v = e.cos y So cotiuas (, y su suma es igual a (,. v Etoces v(,= e.cos y es armóica (,. = e.cos y u = So cotiuas (, y su suma es igual a (,. u Etoces u(,= y es armóica (,. = y Co la defiició aterior podemos decir que u y v so armóicas cojugadas para todo (, y ) que perteece a D. Para que u y v sea armóicas f ( ) debe ser aalítica (, perteeciete a D. Problema:, Dada u ( y ) armóica (, (,. u v f = u vi sea aalíticas e D. D (simplemete coeo), hallar sus armóicas cojugadas E tal caso para que f ( ) sea aalítica, u y v tiee que satisfacer las codicioes de Cauchy- Riema. v = y u v = y () Además por ser u y v fucioes de dos variables, deberá ser su diferecial total: v v v = d dy () Remplaado () e (). v dv = d dy (3) y Cuado de ua fució cooco su diferecial total, e codicioes especiales puedo hallar su primitiva por su itegral, pero el diferecial total tiee que ser eacto. El segudo miembro de (3) es u diferecial total eacto, recordemos que: M N Md Ndy es E.D.T.E. M, N,, so cotiuas e D (simplemete coeo), además y M N =, co lo cual eiste ua fució tal que su diferecial total es df M d N = dy. -34/34-

35 E efecto: M = ; N = cot. e D M u N u = ; = u u = porque u u = pues u es armóico e D. E cosecuecia, al ser la epresió (3) diferecial total eacta, a itegral curvilíea de ella etre putos cualesquiera del domiio D es idepediete de la trayectoria que los ue y por lo tato dicha itegral defie, dejado uo de los putos fijo y el otro variable, ua fució del etremo variable que se deomia fució potecial. Es decir que itegrado e (3) : (, v(, = d dy (4) (, y ) a D (, y ) Se puede demostrar que (4) co la u dada, satisface las codicioes de Cauchy-Riema, co lo cual podemos asegurar que f = u vi es aalítica e D y por lo tato v es armóica cojugada de u co lo que el problema queda resuelto. La epresió (4) tiee la forma: (, v(, = d dy C (5) C R (, y ) (A) Co lo cual las fucioes armóicas cojugadas so ifiitas. Ua fórmula práctica para resolver la itegral de (4) y (5) es la siguiete: c (, c (,y ) (, c : d = y ( ( ) (, y ) (, y ) ( (, (, (, ),, v, y = (A) (A), y, y c y = y dy = = d dy ( ) y ( y ) y (, ) y (, y v y = d dy C y Ejemplo: Dada la fució u (, = y armóica (, = y = y y y [ ] [ ] ],, y, hallar sus armóicas cojugadas. v, y = y d dy C = dy C = y C = y C Eiste ifiitas fucioes armóicas cojugadas. -35/34-

36 Hallar la armóica cojugada de u tal que f = u vi verifique que C = cte R ) u = y v = y C i i f = u v = y y C aalítica = i = ; y = f ( i) = i ( C) Como i = i ( C) o hay igua armóica de la fució ( y C) de C tal que satisfaga la armóica ( y C). Cuál es la fució aalítica f = u vi tal que ( i) f ( i) = i = i ( C) como i = i ( C) i = i ( C) Etoces: = ( ) i ( ) f y y C = f = i f i = (Hallar, o o hay valor El problema iverso es: dada la compoete imagiaria v(, y ), armóica e D, hallar la parte real de la fució aalítica f ( ). u v f = u vi aalítica e D. v = () v = du = d dy () v v u du = d dy E.D.T.E. fució potecial v v u = d dy C (3) (, (,y ) (, (, y ) Co esta epresió se puede hallar las armóicas cojugadas de v. c c (, y v (, ), y v, y u y = dy d C y -36/34-