El modelo clásico de regresión

Transcripción

1 CAPíTULO 3 El modelo clásco de regresón En el capítulo anteror hemos aplcado el algebra matrcal y la estadístca descrptva al modelo lneal general y = Xβ + u para encontrar el estmador de mínmos cuadrados ordnaros ˆβ = (X X) 1 X y. La teoría de matrces ha jugado un papel relevante en el desarrollo del tema: nos ha permtdo ordenar el conjunto de datos en la matrz de dseño X y en el vector de observacones y, resolver el sstema de ecuacones normales X Xˆβ = X y y establecer las propedades numércas de este método de estmacón, X (y Xˆβ) = X û = 0 k. Tambén hay que aprecar el papel jugado por la estadístca descrptva: nos revela que el estmador de mínmos cuadrados usa la nformacón de los datos resumda en los momentos muestrales de prmer y segundo orden n h=1 X h, n h=1 X hx jh y n h=1 X hy h, y nos sugere medr la bondad del ajuste medente el cudadrado de la correlacón smple entre Y e Ŷ. En este capítulo vamos a hacer uso de la teoría de probabldad para estudar las propedades estadístcas del estmador de mínmos cuadrados. Vamos a especfcar un conjunto de supuestos báscos bajo los cuales el estmador de mínmos cuadrados ordnaros es el mejor estmador que puede utlzarse porque cumple unas propedades estadístcas deseables Supuestos báscos Sea y = (Y 1 Y 2... Y n ) un vector de n-varables aleatoras y sea X una matrz n k de varables explcatvas. Suponemos que la esperanza matemátca de y condconada a X, E(y X), es una funcón lneal de un vector de parámetros β = (β 1 β 2... β k ), esto es, E(y X) = Xβ y que el vector de varables aleatoras y puede representarse como (3.1) y = Xβ + u en donde u = (u 1 u 2... u n ) es un vector de n perturbacones estocástcas. Es convenente nterpretar la ecuacón (3.1) como un expermento estadístco que puede repetrse en déntcas condcones. Cada vez que se repte el expermento se obtene un resultado aleatoro. El resultado del expermento representado por la ecuacón (3.1) es un vector de observacones. De aquí, los datos {y 1, y 2,..., y n } que se emplean en la estmacón de un modelo de regresón se nterpretan como una realzacón partcular de las nfntas posbles realzacones de una varable aleatora n- dmensonal {Y 1, Y 2,..., Y n }. Tambén se dce que los datos los datos {y 1, y 2,..., y n } son una muestra de la poblacón {Y 1, Y 2,..., Y n }. Para resaltar esta dstncón entre muestra y poblacón cualquer modelo estadístco y, en partcular, el modelo de regresón se denomna tambén proceso generador de datos. 37

2 Supuestos báscos Observacón 13. En Econometría, es habtual utlzar la msma notacón para las varables aleatoras {Y 1, Y 2,..., Y n } y para los valores observados {Y 1, Y 2,..., Y n }. La notacón, por tanto, es ambgua, pero la ambguedad se resolverá en el contexto en que se utlza. El modelo lneal general (3.1) cumple los supuestos báscos s: 1. X es una matrz no estocástca de rango k < n, tal que X X lím n n = Q sendo Q una matrz fnta no sngular (defnda postva) de orden k k, 2. u tene una dstrbucón normal multvarante con vector de medas nulo y matrz de varanzas y covaranzas escalar, u N(0,I n ) El sgnfcado de los supuestos referdos a la matrz de varables explcatvas X es el sguente: 1. Regresores no estocástcos. La matrz X es no estocástca cuando permanece fja en las dferentes repetcones del expermento. 2. Ausenca de multcolnealdad. El rango de X, ρ(x) = k, es el número de columnas (o flas) lnealmente ndependentes. Este supuesto mplca que ρ(x X) = k y que el sstema de ecuacones normales tene solucón únca. S el supuesto se ncumple, ρ(x) < k, entonces las columnas de la matrz X son lnealmente dependentes, ρ(x X) < k y el sstema de ecuacones normales tene solucones múltples. El térmno multcolnealdad hace referenca a la exstenca de una o más relacones lneales exactas o perfectas entre las varables explcatvas. 3. El supuesto k < n ndca que el número de observacones es mayor que el número de parámetros a estmar. S k > n, entonces ρ(x) n, ρ(x X) n, y el sstema de ecuacones normales tendrá solucones múltples. 4. Momentos muestrales fntos. El elemento genérco de X X dvddo por n es n X h X jh n h=1 que converge a una constante fnta cuando n. En cuanto a los supuestos referdos al vector de perturbacones u, 1. Las perturbacones estocástcas u ( = 1,...,n) tenen meda cero, E(u ) = Homocedastcdad. Las perturbacones estocástcas u ( = 1,...,n) tenen la msma varanza, V (u ) = E[u E(u )] 2 = E(u 2 ) = σ2 u. La notacón V (u ) = σu 2 ndca que la varanza no camba con el índce. El ncumplmento de este supuesto se denomna heterocedastcdad, V (u ) = σ Ausenca de autocorrelacón o de correlacón seral. Las perturbacones estocástcas son mútuamente ortogonales: u y u j tenen covaranza nula, Cov(u,u j ) = E{[u E(u )][u j E(u j )]} = E(u u j ) = 0 = j. El ncumplmento de este supuesto se denomna autocorrelacón, la covaranza E(u u j ) = 0 para algún = j (Nota: la correlacón smple entre u y u j es E(u,u j )/ E(u 2 )E(u2 j )). 4. Normaldad. Las perturbacones estocástcas u ( = 1,...,n) tenen una dstrbucón normal, u N(0, ).

3 3. El modelo clásco de regresón 39 Otra forma de resumr estas cuatro hpótess es la sguente: los errores se dstrbuyen déntca e ndependentemente como una normal con meda cero y varanza constante, u dn(0, ) f(u ) = 1 2π e u2 / f(u) u Fgura 1: Funcón de densdad de probabldad de la dstrbucón normal estándar El supuesto de que cada error u tene meda cero, E(u ), puede expresarse en forma matrcal como E(u 1 ) 0 E(u E(u) = 2 ). = 0. E(u n ) 0 Los supuestos de homocedastcdad y ausenca de autocorrelacón mplcan que la matrz de varanzas y covaranzas del vector de perturbacones u es escalar V (u) =E[(u E(u))(u E(u ))] = E u 1 u 2... u n. E(u 2 1 ) E(u 1u 2 )... E(u 1 u n ) σu E(u = 2 u 1 ) E(u 2 2 )... E(u 2u n ) = = σ2 u I n E(u n u 1 ) E(u n u 2 )... E(u 2 n ) σu 2 Proposcón 21. Bajo los supuestos báscos, el vector de n-varables aleatoras y = (Y 1 Y 2... Y n ) en el modelo (3.1) tene una dstrbucón normal multvarante con vector de medas Xβ y matrz de varanzas-covaranzas I n, u 1 u 2 u n y N(Xβ,I n ) Demostracón. En general, una combnacón lneal de varables aleatoras ndependentes con dstrbucón normal tene tambén una dstrbucón normal. Como y es una transformacón lneal del vector u, y = Xβ + u, que tene una dstrbucón normal multvarante, y tene tambén una dstrbucón normal multvarante. El vector de medas de y es E(y) = E(Xβ + u) = E(Xβ) + E(u) = Xβ

4 Propedades estadístcas de ˆβ y su matrz de varanzas y covaranzas V (y) = E (y E(y))(y E(y)) = E (y Xβ)(y Xβ) = E[uu ] = I n Observacón 14. La dstrbucón de probabldad de la varable aleatora y depende de los parámetros desconocdos β y σu 2. El método de estmacón de mínmos cuadrados proporcona un estmador de β; queda pendente la estmacón del parámetro σu 2. Defncón 20. La ecuacón (3.1) se denomna funcón de regresón poblaconal; y la ecuacón estmada, funcón de regresón muestral. Defncón 21. El modelo lneal general (3.1), junto con los supuestos sobre X y u, excepto el de normaldad, se denomna modelo clásco de regresón Estmador de Las perturacones estocástcas {u 1, u 2,..., u n } tenen varanza común. S selecconaramos una muestra {u 1, u 2,..., u n }, entonces podríamos estmar el parámetro poblaconal a partr de la varanza muestral n s 2 u = (u ū) 2 = 1 u u nū 2 n n donde ū = n u /n es la meda muestral. Ahora ben, como las perturbacones u no son observables, el estmador s 2 u no es calculable. Para evtar este problema, podemos contemplar los resduos û como estmacones de los errores u y estmar el parámetro σu 2 como la varanza muestral de los resduos. Suponendo que el modelo de regresón tene térmno constante, n û2 n σ u 2 = (û û) 2 = = û û n n n que se denomna estmador de máxma verosmltud de la varanza de las perturbacones. Alternatvamente, y reconocendo que los grados de lbertad de la suma de cuadrados de lbertad son n k, podemos proponer el estmador ˆσ u 2 = û û n n k = û2 n k que se denomna estmador de mínmos cuadrados de la varanza de las perturbacones. Defncón 22. La raíz cuadrada de ˆ, ˆσ u, se conoce como error estándar de la regresón. Ejemplo 1. En el modelo de las calfcacones, n = 10, k = 4 y la suma de cuadrados de los resduos u u = 6,7027. De aquí, = 6,7027/10 = 0,67027 y ˆ = 6,7027/6 = 1, Propedades estadístcas de ˆβ El estmador ˆβ = (X X) 1 X y del vector de parámetros β es un estadístco, es decr, una funcón de la varable aleatora n-dmensonal {Y 1, Y 2,..., Y n }, ˆβ : n k. Para hacer explícta esta dependenca escrbmos ˆβ = ˆβ(Y 1, Y 2,..., Y n ). Una estmacón es un valor específco del estmador calculado para una de las nfntas posbles

5 3. El modelo clásco de regresón 41 realzacones de la varable aleatora {Y 1, Y 2,..., Y n }. S {y 1, y 2,..., y n } es una realzacón partcular de la varable aleatora {Y 1, Y 2,..., Y n }, entonces la estmacón ˆβ = ˆβ(y 1, y 2,..., y n ) es uno de los muchos posbles valores que puede tomar la varable aleatora ˆβ = ˆβ(Y 1, Y 2,..., Y n ). La dstrbucón de probabldad conjunta del estmador ˆβ(Y 1, Y 2,..., Y n ) descrbe el comportamento de las estmacones que se obtendrían en el conjunto de posbles muestras de la poblacón {Y 1, Y 2,..., Y n }. Esta dstrbucón se denomna dstrbucón muestral y puede dervarse de la dstrbucón de probabldad de {Y 1, Y 2,..., Y n }, y N(Xβ,σuI), 2 que a su vez se ha dervado de la dstrbucón de probabldad de {u 1, u 2,..., u n }, u N(0,σuI). 2 Teorema 2. Bajo los supuestos báscos, el estmador de mínmos cuadrados ˆβ del vector de parámetros β en el modelo (3.1) tene una dstrbucón normal multvarante con vector de medas β y matrz de varanzas y covaranzas (X X) 1, que se escrbe sucntamente como ˆβ N β,(x X) 1 Demostracón. 1. Normaldad. Cada elemento ˆβ j (j = 1,...,k) del vector ˆβ = (X X) 1 X y es una combnacón lneal de varables aleatoras ndependentes Y 1,...,Y n con dstrbucón normal, n ˆβ j = c Y en donde las ponderacones c 1,...,c n son los elementos de la fla j de la matrz (X X) 1 X. 2. Vector de medas X E(ˆβ) = E X 1 X y = X X 1 X E [y] = X X 1 X [Xβ] = β 3. Matrz de varanzas y covaranzas V (ˆβ) = E ˆβ E(ˆβ) ˆβ E(ˆβ) Como ˆβ E(ˆβ) = (X X) 1 X [y E(y)], tenemos X V (ˆβ) =E X 1 X [y E(y)] [y E(y)] X X X 1 = X X 1 X E [y E(y)] [y E(y)] X X X 1 = X X 1 X σu 2 I X X X 1 = σ 2 u X X 1 Defncón 23. Un estmador ˆβ del parámetro β es nsesgado s su esperanza matemátca concde con el verdadero parámetro β, E(ˆβ ) = β. En el caso multdmensonal, un vector de estmadores ˆβ es nsesgado s E(ˆβ) = β. El Teorema 2 afrma que el estmador de mínmos cuadrados es nsesgado: s tomamos dferentes muestras de tamaño n y para cada una calculamos el estmador ˆβ, entonces la meda muestral de estas estmacones es gual a β.

6 Propedades estadístcas de ˆβ Defncón 24. Un estmador nsesgado ˆβ es más efcente que otro estmador β tambén nsesgado, s la varanza muestral de ˆβ es menor que la de β, V (ˆβ ) < V ( β ). En el caso multdmensonal, un vector de estmadores nsesgados ˆβ es más efcente que otro β, s la dferenca entre las matrces de varanzas y covaranzas V (ˆβ) V ( β) es una matrz defnda negatva. Observacón 15. Sea γ = w β cualquer combnacón lneal de los parámetros de β. Entoces ˆγ = w ˆβ es más efcente que γ = w β s V (ˆγ) < V ( γ), esto es, s w V (ˆβ)w w V ( β)w = w V (ˆβ) V ( β) w es una forma cuadrátca defnda negatva. La nversa de la varanza de un estmador es una medda de su precsón o acuracdad. Cuanto menor sea la varanza del estmador, tanto más precso o acurado será el estmador, lo que sgnfca que las estmacones obtendas en las dstntas realzacones del expermento aleatoro estarán próxmas al parámetro que se desea estmar. Teorema 3 (Teorema de Gauss-Markov). Bajo los supuestos báscos del modelo clásco, el estmador de mínmos cuadrados ˆβ es el más efcente en la clase de estmadores lneales e nsesgados de β. Demostracón. La clase general de estmadores lneales está defnda por β = Cy en donde C es una matrz de orden k n de números fjos. Se observa que el estmador ˆβ es un membro partcular de esta clase cuando C = (X X) 1 X. Dentro de la clase general de estmadores lneales, los estmadores nsesgados E( β) = E(Cy) = CXβ = β son aquelos que cumplen CX = I k. La matrz de varanzas y covaranzas de β es V ( β) = E β E( β) β E( β) = CE (y E(y)) (y E(y)) C = σu 2 CC Ahora escrbmos C = D + X X 1 X en donde se cumple que DX = 0 porque CX = I k. De modo que CC = D + X X 1 X D + X X X 1 = DD + X X 1 Susttuyendo CC en V ( β), tenemos V ( β) = σu 2 DD + σu 2 X X 1 Esta ecuacón puede escrbrse como V ( β) V (ˆβ) = DD donde vemos que la dferenca de las dos matrces de varanzas y covaranzas es una matrz semdefnda postva.

7 3. El modelo clásco de regresón 43 Observacón 16. El Teorema de Gauss-Markow no hace uso del supuesto de normaldad de las perturbacones. Defncón 25. Un estmador ˆβ es consstente o converge en probabldad al parámetro verdadero β s, para todo > 0, en donde ˆβ (n) (n) lím P( ˆβ n β ) = 0 es el estmador calculado con n observacones. En el caso multdmensonal, el vector de estmadores ˆβ del vector de parámetros β es consstente s, para todo > 0, lím n P(ˆβ (n) β ) = 0 en donde ˆβ (n) es el vector de estmadores basado en una muestra de n observacones y ˆβ (n) β es la norma euclídea del correspondente vector. En la defncón anteror, β es el límte en probabldad de la secuenca de varables aleatoras {ˆβ (n) } n=k y se escrbe como plmˆβ = β o ˆβ p β Defncón 26. Un estmador ˆβ converge en meda cuadrátca al parámetro verdadero β s (n) lím E(ˆβ n β ) 2 = 0 o, equvalentemente, s lím sesgo(ˆβ ) lím n n E(ˆβ (n) ) β = 0 y lím n (n) (n) var(ˆβ ) lím E(ˆβ n β ) 2 = 0 En el caso multdmensonal, un vector de estmadores ˆβ converge en meda cuadrátca al vector de parámetros verdaderos β s lím E (ˆβ (n) β) (ˆβ (n) β) = lím n n k E(ˆβ (n) β ) 2 = 0 Proposcón 22. Convergenca en meda cuadrátca mplca convergenca en probabldad. Proposcón 23. Bajo los supuestos báscos del modelo lneal general clásco, el estmador de mínmos cuadrados ˆβ del vector de paramámetros β en el modelo (3.1) es consstente. Demostracón. ˆβ converge en meda cuadrátca a β (y, por la proposcón 22, es consstente) porque es nsesgado y su matrz de varanzas y covaranzas tende a una matrz nula cuando n, lím V (ˆβ) σ 2 u X X 1 σ 2 u X = lím = lím n n n n n n lím X 1 = 0Q 1 = O n n La propedad de consstenca sgnfca que los estmadores de mínmos cuadrados tenden o convergen a los parámetros verdaderos al r aumentando ndefndamente el tamaño de la muestra.

8 Propedades estadístcas de ˆ y Observacón 17. El estmador de mínmos cuadrados se denomna ELIO para ndcar que es un estmador lneal, nsesgado y óptmo. El adjetvo óptmo ndca que el estmador es el más efcente o el de mínma varanza en la clase de estmadores lneales e nsesgados. En resumen, el estmador de mínmos cuadrados ˆβ cumple las propedades estadístcas de lnealdad, nsesgadez, efcenca y consstenca. Estas propedades se consderan deseables y justfcan el empleo del método de mínmos cuadrados como método de estmacón en el marco del modelo lneal general clásco y nuestra preferenca por este método frente a otros métodos de estmacón alternatvos Propedades estadístcas de ˆ y σ2 u Proposcón 24. La suma de cuadrados de los resduos û û es funcón cuadrátca de las perturbacones aleatoras, û û = u Mu. Demostracón. Sabemos que û = My y MX = 0. Por tanto, û = My = M[Xβ + u] = Mu De aquí, û û = (Mu) Mu = u M Mu = u Mu Vemos que la suma de cuadrados de los resduos es un estadístco, es decr, una funcón de las varables aleatoras {u 1, u 2,..., u n }. Su dstrbucón de probabldad puede, por tanto, dervarse de la dstrbucón de probabldad conjunta de las perturbacones estocástcas {u 1, u 2,..., u n }. Teorema 4. La rato û û/ tene una dstrbucón Ch-cuadrado con n k grados de lbertad, que se expresa sucntamente como û û χ 2 n k Demostracón. Usaremos los sguentes resultados sobre dstrbucones de formas cuadrátcas. 1. Sea z = (z 1 z 2... z n ) un vector n 1 de varables aleatoras déntca e ndependentemente dstrbudas (d) con dstrbucón normal estándar, z N(0,I n ). Entonces, n z z = z 2 χ2 n Demostracón. S z N(0,1), entonces z 2 N(0,1) 2 χ 2 1. Además, s z 1,...,z n son varables aleatoras d y s cada z tene una dstrbucón normal estándar, entonces la suma de los cuadradados z z2 n tene una dstrbucón χ 2 con n grados de lbertad. 2. Sea u = (u 1 u 2... u n ) un vector n 1 de varables aleatoras déntca e ndependentemente dstrbudas como una normal con meda 0 y varanza σu 2,

9 3. El modelo clásco de regresón 45 u N(0, I n). Entonces, 1 u u = n u σ u 2 χ 2 n Demostracón. Sea z u/σ u. Entonces, E(z) = E(u/σ u ) = 0, E(zz ) = E(uu /σu 2) = I n, y z N(0,I n ). Por el resultado 1, z z u u/σu 2 χ2 n. 3. Sea u N(0,σu 2I n) y sea M una matrz smétrca e dempotente de rango n k. Entonces 1 u Mu χ 2 n k Demostracón. Sean P y Λ las matrces de autovectores y autovalores de M, MP = PΛ. Por ser M smétrca, P 1 = P y M = PΛP. Por ser M dempotente, M = PΛ 2 P, los autovalores tenen que ser guales a 1 ó 0. Como trm = trλ = n k se deduce que de los n autovalores, n k son guales a uno y k son guales a cero. Defne u = 1 σ u Pu. Entonces, u N(0,I n ) porque P P = I n. Luego û û = 1 σu 2 u Mu = 1 n k σu 2 u P ΛPu = u Λu = u 2 χ2 n k Proposcón 25. ˆ = û û/(n k) es un estmador nsesgado de con varanza 2σ 4 u/(n k). Demostracón. La esperanza matemátca de una varable aleatora z con dstrbucón Ch-cuadrado con m grados de lbertad es gual a los grados de lbertad m, E(z) = m. Por tanto, ûû E = (n k) De aquí, E(û û) = (n k) y E(ˆ) = E ûû = σu 2 n k La varanza de z χ 2 m es gual a dos veces los grados de lbertad, var(z) = 2m. Por tanto, ûû var = 2(n k) De aquí, var(û û) = 2(n k)σ 4 u y var(ˆ) = var(û û) (n k) 2 = 2σ4 u n k

10 Resumen Observacón 18. La esperanza matemátca de la suma de cuadrados de los resduos puede obtenerse sn conocer su dstrbucón de probabldad E(û û) =E(u Mu) Proposcón 24 =E(tru Mu) Propedad: tr(escalar) = escalar =E(trMuu ) Propedad: tr(abc) = tr(cba) =tre(muu ) n n Propedad: E( z ) = E(z ) =tr ME(uu ) =tr M( I n) = tr M Supuesto: X es una matrz fja Supuesto: E(uu ) = I n =σu 2 trm Propedad: factor común =(n k) Propedad: trm = (n k) Corolaro 8. = û û/n es un estmador sesgado de, sendo el sesgo B( σ2 u ) = ( k/n). Demostracón. De la relacón entre ˆ y σ2 u se tene que E( ) = σ2 u (k/n)σ2 u. σ u 2 = n k n ˆσ2 u Proposcón 26. = û û/n es un estmador consstente de. Demostracón. El estmador converge en meda cuadratca al verdadero parámetro 1. lím n B( ) = lím n ( k/n) = 0 2. lím n var( ) = lím n 2(n k) n 2 σ 4 u = 0 Observacón 19. Mentras que el estmador ˆβ resulta de un proceso de mnmzacón, el estmador ˆσ u 2 se construye para que sea nsesgado Resumen 1. Un estmador es nsesgado s su valor esperado concde con el parámetro que se desea estmar. 2. Un estmador es consstente s la estmacón del parámetro en muestras grandes es el parámetro que se desea estmar. 3. Un estmador es efcente dentro de una clase de estmadores s su varanza es menor que la de los otros estmadores. 4. Bajo los supuestos báscos, el estmador de mínmos cuadrados es ELIO (en nglés, BLUE: Best Lnear Unbased Estmator). 5. Bajo el supuesto de normaldad de las perturbacones, el estmador de mínmos cuadrados tene una dstrbucón normal multvarante. 6. El error estándar de la regresón es la raíz cuadrada de la varanza muestral de los resduos.

11 3. El modelo clásco de regresón La precsón de los estmadores es nversamente proporconal al error estándar de la regresón. Modelo clásco de regresón Dstrbucón normal multvarante Vector de medas Matrz de varanzas y covaranzas 1. Use el proceso generador de datos Palabras clave 3.6. Ejerccos Regresores no estocástcos Multcolnealdad Homocedastcdad Correlacón seral Y t = 1,0 + 0,5t + u t u t N(0,1) para generar 10 muestras de 25 observacones (Y 1,...,Y 25 ). Utlce cada muestra para estmar la regresón lneal smple de Y t sobre la tendenca lneal t. Compare las estmacones de β 1 y β 2 obtendas en cada muestra con los valores verdaderos. Calcule la meda y desvacón típca de las 10 estmacones de β 1 y β 2, qué puede decr sobre la propedad de nsesgadez?. Genere después una muestra de 200 observacones, y estme la regresón smple: que puede decr sobre la propedad de consstenca?. 2. Dscuta las sguentes proposcones: a) El supuesto ρ(x) = k mplca que las varables explcatvas son ortogonales. b) S para estmar la ecuacón de regresón smple, y = β 1 + β 2 X + u, sólo se dsponde de un dato, = 1, entonces el estmador de mínmos cuadros de los parámetros está ndetermnado. c) Los momentos respecto al orgen de la perturbacón aleatora u concden con sus momentos centrados. d) El estmador de la varanza resdual es un estmador lneal. 3. Demuestre que ˆβ = β + (X X) 1 X u. Derve la dstrbucón de probabldad del estmador ˆβ a partr de la dstrbucón de probabldad de u. 4. Demuestre que la submatrz de covaranzas de (ˆβ, ˆβ j ) es semdefnda postva. Utlce este resultado para demostrar que cov(ˆβ, ˆβ j ) 2 var(ˆβ )var(ˆβ j ) Qué puede decr sobre la correlacón entre ˆβ y ˆβ j? 5. Demuestre que V ar(ŷ ) puede escrbrse como V ar(ŷ ) = 6. Demuestre que E (ˆβ β) (ˆβ β) k x 2 jv ar(ˆβ j ) + 2 j=1 k j 1 x j x k cov(ˆβ j, ˆβ h ) j=2 h=1 = (E ˆβ β) (E ˆβ β) + E (ˆβ E ˆβ) (ˆβ E ˆβ) = k sesgo 2 (ˆβ ) + k var(ˆβ )

12 Ejerccos 7. Derve las propedades estadístcas de los resduos mínmo-cuadrátcos, E(û) y V (û). 8. Demuestre que V (û t ) = (1 h t ), en donde h t = x t (X X) 1 x t.