UNI Geometrí. Triánguos 10. Triánguos OJETIVOS ur e áre e perímetro de triánguos. Otener os dos ánguos de triánguos utiizndo s reiones entre otros ánguos en figurs geométris. ur os dos de un triánguo usndo e teorem de Pitágors s propieddes de os triánguos semejntes. efiniión En Geometrí, un triánguo es un poígono formdo por tres rets que se ortn dos dos en tres puntos, que no están inedos. Los puntos de interseión de s rets se es m vérties os segmentos de ret que formn e triánguo se mn dos. d pr de dos en un triánguo formn un ánguo interno, por o tnto un triánguo tiene 3 dos 3 ánguos internos, omo se muestr en figur siguiente sifiión de triánguos Los triánguos se pueden sifir en se medid de sus dos o ien en se medid de sus ánguos. Por sus dos: Por s ongitudes de sus dos, os triánguos se sifin omo: Triánguo equiátero: Es e triánguo que tiene 3 dos igues tres ánguos igues, d ánguo tiene un medid de 60º. Triánguo isósees: Es e que tiene dos dos igues. Los ánguos opuestos esos dos son igues. Triánguo eseno: Es e que tiene sus tres dos on diferente ongitud. En e triánguo eseno os tres ánguos tienen diferente medid. 60º 60º 60º Triánguo equiátero Triánguo isósees Triánguo eseno
UNI Geometrí. Triánguos 11 Por sus ánguos: Por medid de sus ánguos, os triánguos se sifin omo: Triánguo utánguo: Es e triánguo en e que todos sus ánguos internos son gudos. Triánguo retánguo: Es e que tiene un ánguo reto, es deir su medid es 90º. Triánguo otusánguo: Es e que tiene un ánguo otuso, es deir un ánguo que mide más de 90º menos de 180º. 90º Triánguo utánguo Triánguo retánguo Triánguo otusánguo Propieddes generes de triánguo L figur muestr un triánguo en donde os ánguos internos son,. Tmién se muestr e ánguo eterno, e u se form proongr uno de os dos de triánguo. utro de s propieddes generes son: 1. L sum de os ánguos internos de un triánguo es igu 180º, es deir que. L medid de un ánguo eterno es igu sum de s medids de os ánguos internos opuestos, es deir 3. En un triánguo retánguo os ánguos gudos son ompementrios, es deir que sus medids sumn 90º. 4. L sum de s medids de dos dos de un triánguo, siempre es mor que medid de otro do, es deir 180º,, tur de un triánguo: Es e segmento que v desde uno de sus vérties ret que ontiene do opuesto que es perpendiur di ret. Puesto que un triánguo tiene 3 vérties, un tur orrespondiente d uno, es deir que un triánguo tiene 3 turs. En os triánguos otusos pr trzr dos de sus turs es neesrio proongr os dos opuestos, omo se muestr en figur siguiente
UNI Geometrí. Triánguos 1 1 3 Ejempo 1: undo ánguos en triánguos En figur se muestr un áro que se enuentr en prte superior de un oin que form un ánguo de 0º on orizont. Un oservdor situdo en un punto sore oin mide e ánguo formdo entre oin punt de áro en 4º. ue medid de ánguo. 4º Souión 0º Identifindo on etrs músus os puntos importntes de figur se tiene 4º E 0º L medid de ánguo es 90º 0º 70º pues en un triánguo retánguo, os ánguos gudos son ompementrios. omo os ánguos E son supementrios se otiene E 180º 180º 70º 110º Finmente, se puede otener e ánguo que sum de os ánguos internos de un triánguo es 180º, entones 180º 4º E 180º 4º 110º 46º
UNI Geometrí. Triánguos 13 Triánguos semejntes os triánguos son semejntes si sus ánguos orrespondientes son igues sus dos orrespondientes son proporiones, en figur se muestrn os triánguos semejntes. En form simói pr indir que dos triánguos son semejntes se esrie E ánguo es orrespondiente on e ánguo por o tnto son igues, es deir. E ánguo es orrespondiente on e ánguo, entones. Finmente e ánguo es orrespondiente on e ánguo, entones. Los dos orrespondientes son os que están opuestos os ánguos orrespondientes, sí tenemos que e do es orrespondiente on e do, e do es orrespondiente on e do e do es orrespondiente on e do. Puesto que os dos orrespondientes son proporiones, undo dos triánguos son semejntes se pueden esteer s reiones siguientes Pr esteer que dos triánguos son semejntes poder sí utiizr s euiones que se derivn de proporionidd de sus dos, se puede utiizr e postudo de os triánguos semejntes P o s t u d o s o r e s e m e j n z d e t r i á n g u o s Si dos ánguos de un triánguo son igues dos ánguos de otro triánguo, os triánguos son semejntes. diionmente en e udro siguiente se presentn gunos teorems sore semejnz, que pueden resutr de mu utiidd en souión de proems. Estos teorems se pueden demostrr utiizndo e postudo de semejnz de triánguos s reiones entre ánguos estudids en seión nterior T e o r e m s s o r e s e m e j n z d e t r i á n g u o s 1. Si dos triánguos son semejntes, rzón de sus perímetros es igu rzón de uquier pr de dos orrespondientes.. Si un ret es pre uno de os dos de un triánguo, ret divide os otros dos dos en segmentos que son proporiones. 3. Si dos triánguos son semejntes, sus turs orrespondientes están en mism rzón que uquier pr de dos orrespondientes. 4. En un triánguo retánguo, tur perpendiur ipotenus form dos triánguos que son semejntes entre sí semejntes triánguo ddo.
UNI Geometrí. Triánguos 14 Ejempo : Semejnz de triánguos do e triánguo, donde E, 40, E 8 E 6. Enuentre ongitud de segmento E. 6 Souión 8 E 40 Un ret pre uno de os dos de un triánguo form dos triánguos semejntes, que estos tienen un ánguo omún demás os ánguos orrespondientes entre pres son igues, entones os triánguos E son semejntes. Utiizndo proporionidd entre sus dos se otiene E E Sustituendo informión dd despejndo 6 8 6 40 (6)(40) 8(6 ) (6)(40) 8 6 (6)(40) 6 60 6 8 7 78 11.14 7 Respuest: ongitud de segmento E es proimdmente 11.14 uniddes. Ejempo 3: tur de un poste de uz Pr determinr tur de un poste de uz, un person de 6 pies de tur se oo un distni de 8 pies de se de poste. Se mide que ongitud de somr que person proet sore e sueo tiene 1 pies de rgo. etermine tur de poste. Souión L figur iustr e proem. Puede oservrse que se formn dos triánguos semejntes que tienen un ánguo omún demás mos tienen un ánguo de 90º pues son triánguos retánguos. 6 8 1
UNI Geometrí. Triánguos 15 Si es tur de poste, se estee proporionidd entre tur de triánguo grnde on tur de triánguo pequeño se de triánguo grnde (8+1), on se de triánguo pequeño, oteniéndose euión despejr se otiene tur de poste 8 1 6 1 10 Respuest: tur de poste es de 10 pies (0)(6) 1 Teorem de Pitágors Junto on proporionidd de os dos orrespondientes en os triánguos semejntes, e Teorem de Pitágors es un de s epresiones más utiizds en souión de proems geométrios, éste teorem estee que T e o r e m d e P i t á g o r s En todo triánguo retánguo, e udrdo de ipotenus es igu sum de os udrdos de os tetos. Si es ipotenus, son os tetos de triánguo, entones emostrión H mus mners de demostrr e teorem de Pitágors, un de es onsiste en utiizr semejnz de triánguos, que es que se present quí. trzr tur orrespondiente ipotenus, se formn dos nuevos triánguos, que son semejntes entre sí que son semejntes triánguo ddo (vése teorems de semejnz). Se tur de triánguo ddo, os tetos de os triánguos formdos, omo se muestr en figur
UNI Geometrí. Triánguos 16 E triánguo es semejnte triánguo. Esteiendo igudd entre os oientes de s ipotenuss on e oiente entre os tetos mores se otiene e donde se otiene que En form simir, e triánguo es semejnte triánguo. Esteiendo igudd entre os oientes de s ipotenuss on e oiente entre os tetos mores se otiene e donde se otiene que Sumndo s epresiones otenids pr se tiene ( ) omo, se puede sustituir, por pr ompetr demostrión de teorem Quedndo sí demostrdo e teorem. ( ) ( ) Ejempo 4: Utiizndo e teorem de Pitágors L figur muestr un triánguo retánguo on ipotenus de ongitud 1 m uno de sus tetos on ongitud 6 m. Enuentre. 6 1 4 3 Souión L ongitud de teto puede epresrse omo 4 3. pindo e teorem de Pitágors se tiene Resoviendo euión pr enontrr 6 4 3 1
UNI Geometrí. Triánguos 17 4 3 144 36 4 3 108 6 3 4 3 esrtndo souión negtiv pues e vor de dee ser positivo. 6 3 4 3 3 Pr enontrr se pi nuevmente e teorem de Pitágors, or en e triánguo retánguo pequeño 6 Sustituendo 3 despejndo se tiene 36 ( 3) 36 4(3) 48 esrtndo nuevmente souión negtiv se tiene que Respuest: 4 3 3 48 48 4 3 Triánguos espeies os de os triánguos más utiizdos en geometrí son e triánguo retánguo que tiene ánguos gudos on medids de 30º 60º e triánguo retánguo isósees que tiene dos ánguos gudos igues de 45º. Triánguo 30º- 60º- 90º undo se trz un de s turs en un triánguo equiátero, se formn dos triánguos igues que tienen ánguos de 30º, 60º 90º, omo se muestr en figur. 30º 60º / Si ipotenus tiene ongitud, se tiene ongitud / que es mitd de uno de os dos de triánguo equiátero. Pr epresr tur en términos de ongitud de ipotenus se utiiz e teorem de Pitágors. espejndo en términos de se tiene.
UNI Geometrí. Triánguos 18 Triánguo 45º- 45º- 90º 4 4 3 4 4 3 3 4 Este triánguo es e únio que tiene rterísti de ser simutánemente retánguo e isósees. L figur muestr un triánguo 45º - 45º - 90º u ipotenus tiene un ongitud os tetos igues tienen ongitud. 45º 45º Pr epresr ongitud de os tetos en términos de se utiiz e teorem de Pitágors Áre perímetro de triánguo En un triánguo de dos,, tur, donde orresponde do de ongitud, omo se indi en figur. E áre e perímetro se un on s fórmus siguientes re 1 Perímetro Ejempo 5: undo áres de triánguos En figur RS PQ. Enuentre e áre somred. R 5 S 6 P 10 Q
UNI Geometrí. Triánguos 19 Souión Si s rets son pres, os triánguos son semejntes que tienen dos de sus ánguos igues pues son ánguos ternos internos entre pres. Si es tur de triánguo de se 10, tur de triánguo de se 5 es 6 Por semejnz de triánguos se tiene 10 5 6 (6 ) 1 4 10 5 6 Entones e triánguo de se 10 tiene tur 4 e triánguo pequeño tiene tur. áre tot es sum de s áres de os dos triánguos 1 1 (10)(4) 1 (5)() 0 5 5 Respuest: E áre somred es 5 uniddes udrds. Ejeriios de seión. 1. Enuentre medid de os ánguos 1. 1 78º 40º 39º. Enuentre medid de os ánguos 1. 4. Enuentre medid de os ánguos. 84º 5. Si m, enuentre medid de ánguo. 65º 6º 3. Si m, enuentre medid de os ánguos. 4º 35º 1 m 40º 6. Si m, enuentre medid de ánguo. 75º m m
UNI Geometrí. Triánguos 0 7. Si es equiátero, enuentre medid de os ánguos. 1. Enuentre. E 1 4 40º 8. Si es equiátero, enuentre medid de os ánguos. 13. Enuentre. 6 5 3 E 3 14. Eprese en términos de. 9. Enuentre 40 10. E segmento es preo segmento E. u. 5 30 5 15. Enuentre 4 1 E 6 3 6 16. Enuentre. 11. Enuentre 37 13 6 17. Eprese en términos de r. 3 r 4
UNI Geometrí. Triánguos 1 18. Eprese en términos de. 7. Se insrie un triánguo retánguo isósees dentro de un triánguo retánguo de se 5 m tur 10 m. Enuentre e áre somred. 6 5 10 19. Eprese en términos de. 30 0 0. En figur de proem nterior. Eprese z en términos de. 1. Un person min 7 km i e norte, uego 6 km i e este finmente 4 km i e norte. qué distni está de punto de prtid?. Los dos igues de un triánguo isósees miden 6 m. Si se de triánguo mide 10 m. Enontrr tur trzd se. 3. Enontrr tur de un triánguo equiátero uo do mide 6 m. 4. L ipotenus de un triánguo retánguo isósees mide 8 m. Enontrr medid de os tetos. 5. E do de un triánguo equiátero es igu tur de otro triánguo equiátero. En qué rzón están e perímetro de triánguo mor e perímetro de triánguo menor? 6. Si, eprese ongitud de do en términos de. z 30º 8. Un triánguo isósees tiene dos igues de 8 m se de 6 m. Se trz un pre se un distni de 5 m de e. 5 () ue e áre de os triánguos formdos. () ue rzón de perímetro de triánguo menor on de triánguo mor. () ue rzón en que se enuentr e áre de triánguo mor on de menor. 9. Los dos de un triánguo miden 10, 17 1 m. Enontrr tur trzd do de 1 m. (Sugereni: use dos vries) 30. Enontrr e perímetro de un triánguo equiátero de áre 18 3. 31. Enuentre ongitud 60º 4 5 30º 3. Enuentre e áre somred 60º 30º 30º 4
UNI Geometrí. Triánguos 33. Si medid de ánguo es 30º, ue e áre somred 35. Si e do de triánguo equiátero más grnde mide 4 m todos os triánguos insritos son equiáteros, ue e áre somred 3 3 34. do un triánguo equiátero de do 6 m, se trz un segmento preo se un tur de 4 m. Enuentre en que rzón se enuentrn e áre de triánguo pequeño que se formdo on respeto áre de triánguo ddo. 36. L figur muestr dos postes de turs 15 10 metros seprdos entre sí por un distni de 0 metros. E e que sostiene os postes está ndo sueo en e punto P. Si, enuentre ongitud tot de e. 15 10 P