TEMA 38. Trigonometría Plana. Resolución de triángulos. Aplicaciones

Transcripción

1 TEMA 8. Trigonometrí Pn. Resouión de triánguos. Apiiones. Introduión. E origen de pr trigonometrí es de origen griego ( trigo-triánguo, metron-medid). Así medinte e estudio de trigonometrí podemos estudir s reiones entre os 6 eementos que o formn ( ánguos y dos). Como veremos on sóo eementos de os 6 (siempre que uno menos se un do) podemos determinr e vor de os otros. E triánguo y sus propieddes son sin ningun dud e poígono más estudido, su importni reside en que todo poígono se puede desomponer en triánguos. Destr e impuso geometrí, y en prtiur geometrí de triánguo en Grei ási de mnos de mtemátios importntes omo Pitágors, Tes o Ptoomeo. Ls rzones trigonométris de os triánguos retánguos ern y onoids en Grei ási, Ptoomeo tení ts de vores de s misms respeto os ánguos undo estos umentn de medio en medio grdo. En Ed Modern trigonometrí tuvo grn importni de mnos de stronomí, surge sí e onepto de funión trigonométri. Copérnio en su iro fundment dedi e primer pítuo trigonometrí. En tuidd s funiones trigonométris son utiizds en muos mpos de físi y ingenierí: meáni, inéti, y en gener en tods s mgnitudes vetories trigonometrí es ási pr desomposiión vetori de vetor.. E ánguos. Definiión y distints uniddes de medid... Definiión de ánguos Dds dos semirrets on origen en omún e ánguo que formn es e espio omprendido entre ms, definiendo sí dos ánguos: - Interior: ánguo menor (menos prte de pnno) - Exterior: ánguo myor (myor prte de pno) Los ánguos tiene sentido, sí e sentido positivo es e ntiorrio, siendo negtivo e orrio... Uniddes de medi de os ánguos. Pr medir os ánguos se usn tres ess de medid, tods sds en irunfereni:. Grdos sexgesimes: e vor de un ánguo en grdos sexgesimes se sn en e signr e ánguo de un irunfereni e vor de 60 o. Pr ur e ánguo formdo por dos semirrets se e por proporionidd entre superfiie de setor irur y e iruo de mismo rdio: α60 o resetor reiruo. Grdos entesimes: en est es irunfereni form un ánguo de 400 o g. A igu que os grdos sexgesimes se ur por proporionidd on e áre de setor que oup y e de íruo de mismo rdio: α400 o resetor g reiruo Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri

2 . Rdines: un rdin es e ánguo que e que e ro que oup e ánguo se igu rdio de irunfereni. En un irunfereni y π rd, uego podemos ur de form equivente os sos nteriores os grdos en rdines omo resetor απ reiruo Pr onvertir uns uniddes en otrs st on usr equiveni 60 o 400 o gπ rd... Rngo de os ánguos. Desde un punto de vist geométrio os ánguos definidos entre e ánguo nuo, definid omo e interior de dos semirrets oinidentes(0 o 0 o g0rd) y e ánguo rdo por tod irunfereni, exterior de s nteriores dos semirrets (60 o 400 o gπrd). Si e estudio se e desde un punto de vist nítio (funiones irures) e ánguo puede tomr uquier vor re, α R. Si queremos definir un ánguo fuer de rngo [0,60 o ) de mner geométri no tenemos más que tomr móduo 60, es deir quedrnos on e resto de dividir e vor de α entre 60 o. Ejempo: 760 O 40 O.. Propieddes fundmentes de os triánguos. En este prtdo veremos dos propieddes fundmentes (teorems) pr resouión de os triánguos: Teorem de Pitágors y Teorem de os ánguos de un triánguo. Teorem de Pitágors: En todo triánguo retánguo (un ánguo reto o de 90 o ) e udrdo de ipotenus (e opuesto ánguo reto) es igu sum de os udrdos de os tetos (os otros dos dos). + Demostrión: es uno de os teorems más demostrdos y de más diferentes forms. En est demostrión usremos un de s más ásis sd en e áuo de áre de un udrdo dividió en 4 triánguos y un udrdo más pequeño de do igu ipotenus. áre tot t udrdo grnde (+) + + re totre udrdo pequeño +4 tringuo +4 / + Igundo: + + +, despejndo + Teorem de os ánguos: sum de os ánguos de todo triánguo es 80 o : o A ˆ + Bˆ + Cˆ 80 Demostrión: trzmos por un vértie de triánguo un ret pre do opuesto, formándose trs ánguos que por preismo son igues os de triánguo, y por tnto sum un ánguo no, es deir 80 o : Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri

3 4. Rzones trigonométris. Definiión y propieddes. 4. Definiión de rzones prtir de triánguos (ánguos gudos) Los triánguos retánguos semejnz se umpe si tienen entre sí un ánguo omún (demás de ánguo reto). Como semos os dos de os triánguos semejntes son proporiones, por tnto siendo e ánguo de este triánguo retánguo quedrn determinds os vores de s reiones de os dos de uquier triánguo retánguo on este ánguo fijdo. Ests rzones entre os dos se mn rzones trigonométris: α sen( os( tg( teto opuesto ipotenus teto ontiguo ipotenus teto opuesto teto ontiguo Es importnte drse uent que e vor de s rzones trigonométris depende de ánguo y no de triánguo. E ánguo en est definiión umpe α (0 o,90 o ) Como semos prtir de teorem de Pitágors e vor de ipotenus () de un triánguo es myor que e de os dos tetos ( y ), por tnto se umpe que:0<sen(<, 0<os(< undo α (0,90º). A prtir de ests rzones trigonométris fundmentes podemos definir s siguientes: se( os( ose( sen( ipotenus teto opuesto ipotenus teto ontiguo tetoontiguo otg( tg( tetoopuesto Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri

4 4.. Rzones trigonométris de uquier ánguo. Pr poder definir s rzones de ánguos de más de 90 o tenemos que definir primermen- te irunfereni goniométri: siendo irunfereni entrd en e origen de rdio unidd (x +y ), de form que d punto de mism define un ánguo midiéndose on reión eje positivo de siss. De est form I udrnte α [0,90 o ], II udrnte α [90 o,80 0 ], III udrnte α [80 0, 70 o ], IV udrnte α[70 o,60 o ]. Sore est irunfereni podemos definir e seno, oseno y tngente de uquier ánguo de siguiente form: sen(coordend y de puntop y os(coordend x de puntop x tg(p y /P x A prtir de est definiión podemos representr tngente y s demás rzones trigo- nométris prtir de definiión y usndo triánguos semejntes donde e denomindor de s rzones trigonométris se g igu. Vemos en os 4 udrntes. Signo de s rzones trigonométris: sen( os( tg( I Cudrnte + + II Cudrnte + - III Cudrnte - - IV Cudrnte Not: si α>60 o se divide entre 60 o y se tom e resto (o que ddo después de n vuets) Jose Luis Lorente (preprdorr oposiiones seundri 4

5 4.. Propieddes eementes. A prtir de definiión de s rzones trigonométri, es deir que P(os(,sen() es un punto de irunfereni se umpen s siguientes propieddes que reionn s rzones trigonométris. Propiedd : se umpe que seno y oseno ven entre y -: - sen(, - os( -. Propiedd : reión fundment, sen (+os (. Not: sen ((sen() Propiedd : Reión on tngente. Propiedd 4: +, + Demostriones: Propiedd : omo sen( y os( son oordends de os puntos de irunfereni de rdio unidd se umpe que siempre serán menores o igues (extremos) unidd Propiedd : ser P(os(, sen() perteneiente irunfereni unidd se umpe euión irunfereni x +y sen (+os ( Propiedd : Por definiión de tngente tg(p y /P x Propiedd 4: +tg (+ 5. Rzones trigonométris en ánguos notes. α0,90 o, 80 o, 70 o : α0 o 0 rd: P(,0) α90 o π/rd:p(0,) α80 o π rd: P(-,0) α70 o π/rd: P(0,-) sen( os( 0-0 tg( 0 0 α0 o, 45 o, 60 o : α0 o π/6 rd α45 o π/4rd α60 o π/ rd sen( os( tg( Demostrión 0 o y 60 o prtir de triánguo equiátero: 0 o 60 o + ( ) sen(0)os(60) / sen(60)os(0) Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri 5

6 Demostrión de 45 o prtir de triánguo isósees retánguo: 45 o sen(45 o )os(45 o ) 45 o 6. Pso primer udrnte. En este prtdo vmos reionr s riones trigonométris situds en os udrntes II, III y IV on s rzones situds en e I udrnte. ) Ánguos ompementrios (α +α 90 o π/ rd) Se umpe s siguientes reiones: os 90 sen 90 otg 90 ) Ánguos supementrios (α +α 80 o π rd). De II I udrnte sen 80 os 80 tg 80 Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri 6

7 ) Ánguos que difieren 80 o (α α + 80 o ). De III I udrnte sen 80+ os 80+ tg 80+ 4) Ánguos que sumn 60 o (α +α 60 o ). De IV I udrnte sen 60 os 60 tg Rzones trigonométris ánguos sum, difereni doe y mitd. 7.. Rzones trigonométris ánguo sum. En este prtdo vmos ver s rzones trigonométris de os ánguos sum: () sen(α+β)sen( os(β)+os( sen(β) () os(α+β)os( os(β)-sen( sen(β) () tg(α+β) β β Demostrión: Pr demostrr () y () nos poyremos en siguiente figur, donde tenemos tres triánguos retánguos. β β sen(α+β) + os +sen( os( sen(β)+sen( os(β) os(α+β) os β os β Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri 7

8 Pr ur tngente o remos en funión de sen(α+β) y os(α+β): β β β β β β β β +β β β β β β β 7.. Rzones trigonométris ánguo difereni. En este prtdo vmos ver s rzones trigonométris de os ánguos difereni: () sen(α-β)sen( os(β)-os( sen(β) () os(α-β)os( os(β)+sen( sen(β) () tg(α-β) β β Demostrión: sen(α-β)sen(α+(-β)) y os(α+(-β)) y utiizndo que sen(-β)-sen(β), os(-β)os(β), tg(-β)-tg(β) 7.. Rzones trigonométris ánguo doe Ls rzones de os ánguos does es: () sen( sen( os( () os(os (-sen ( () tg( Demostrión: sin más que pir s rzones trigométris de ánguo sum sen(sen(α+, os(os(α+ y tg(tg(α Rzones trigonométris ánguo mitd. Rzones trigonométris de ánguo mitd: () sen( () os( () tg( os( + os( os( + os( Demostrión: en e prtdo nterior en e os( renomrmos α omo α, y entones α será α/: os(os (α/)-sen (α/)- sen (α/). Despejndo sen(α/) tenemos igudd primer. Pr otener segund no tenemos más que poner e sen (-os ( y despejr e oseno. L tngente se otiene dividiendo () entre (). Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri 8

9 8. Trnsformiones rzones trigonométris sums en produto. Mus vees resut interesnte expresr un sum de rzones trigonométris, de igu o diferente rgumento, omo un produto de otrs rzones trigonométris. E ejempo más rifidor de su utiidd es resouión de un euión trigonométri donde trnsformr sum en produto otendremos un euión ftorizd. Ls trnsformiones son: A+ B A B () sen( A) + sen( B) sen os A+ B A B () sen( A) sen( B) os sen A+ B A B () os( A) + os( B) os os A+ B A B (4) os( A) os( B) sen sen () sen( x) os( () os( x) sen( () os( x) os( (4) sen( x) sen( ( sen( x+ + sen( x ) ( sen( x+ sen( x ) ( os( x+ + os( x ) ( os( x+ os( x ) Demostrión: demostrremos s iguddes de udro de dere pues os de izquierd se deduen de nterior, mndo Ax+y, Bx-y. L demostrión se e prtir de ánguo sum y rest de seno y de oseno: () sen(x+sen(x)os(+os(x)sen( () os(x+os(x)os(-sen(x)sen( () sen(x-sen(x)os(-os(x)sen( (d) os(x+os(x)os(+sen(x)sen( ()+() ()sen(x++sen(x- sen(x)os(; ()-()(); ()+(d)() y ()-(d)(4) 9. Resouión de triánguos retánguos E triánguo retánguo es que que tiene un ánguo reto, de 90 o. En este triánguo e do opuesto ánguo reto se m ipotenus,, y os otros dos dos tetos, y. Podemos pir en estos triánguos: () Sum de ánguos ( + 90) () Teorem de Pitágors: + () Rzones trigonométris. Pr resover un triánguo retánguo neesitmos tener dos dtos (uno un do).. Conoido os dos tetos ( y ): +, Bˆ rtg, Cˆ 90 o Bˆ. Conoido un teto y ipotenus ( y ):, Bˆ rsen, Cˆ 90 o Bˆ. Conoido ánguo e ipotenus (Bˆ y ): sen(bˆ ), os(bˆ ), Cˆ 90 o Bˆ 4. Conoido ánguo y teto ontiguo (Bˆ y ): tg(bˆ ), /os(bˆ ), Cˆ 90 o Bˆ 5. Conoido ánguo y teto opuesto (Bˆ y ): /tg(bˆ ), /sen(bˆ ), Cˆ 90 o Bˆ Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri 9

10 0. Resouión de triánguos no retánguos. 0.. Teorems de seno y oseno. Pr resover triánguos no retánguos no podemos pir Pitágors ni rzones trigoteorems nuevos: nométris, sóo e teorem de sum de os tres ánguos. Se neesitn dos Teorem de oseno o de Pitágors generizdo: () + - os(a) () + - os(b) () + - os(c) Demostrión: A Si A90 o () T. de Pitágors, ()os(b)/,() os(c)/ x sen(c) y os(c) x x +(- sen (C)+ + os (C)- os(c) + - os(c) C y B Teorem de seno: sen( A) sen( B) Demostrión: sen ( ) R on Rrdio irunfereni irunsrit. Ddo e triánguo ABC, denotmos por O su irunentro y diuj- Proongndo e segmen- mos su irunfereni irunsrit. to BO st ortr irunfereni, se otiene un diámetro BP. Aor, e triánguo PBC es reto, puesto que BP es un diámetro, y demás os ánguos A y P son igues, porque mos son ánguos insritos que ren e segmento BC (Vése definiión de ro - seno, se pz). Por definiión de funión trigonométri tiene: sen(a)sen(p) BC BP R 0.. Resouión triánguos no retánguos. Tenemos vrios sos:. Conoemos os tres + - os(a) + - os(b) C80-B-A Podemos er o mismo sore os dos y : sen(b)/r y sen(c)/r. Despejndo R otenemos e teorem dos:,,. Aros(( + - )/( )) Bros(( + - )/( )) Se umpe que siempre existirá souión, C>0, si e do myor menor que sum de os otros dos y e menor myor que rest de os otros dos. Jose Luis Lorente (preprdorr oposiiones seundri 0

11 . Conoemos un do y dos ánguos: A80-B-C sen(b)/sen(a) sen(c)/sen(a) Siempre un souión.. Conoemos dos dos y ánguo omprendido (por ejempo,, C) ( + - os(c)) / Brsen( sen(c)/) A80-B-C Siempre un souión. 4. Conoemos dos dos y e ánguo opuesto uno de eos (por ejempo,,a) Este so es e más ompejo, pudiendo e proem no tener souión, un o inuso dos: Brsen( sen(a)/) < sen(a) : entonesnosouión o ) Si < opiones: sen(a) :B90 y e proemunsouión B > AyC 80 B > sen(a) :sen(b)<dossouiones: B 80 B, C 80 B ) Si entones BA y C80 o -A (no souión si A 90 ο ) ) > souión úni: Brsen( sen(a)/) on souión que g B<A y C80-B-A.. Apiiones geométris. Ls piiones geométris de s rzones trigonométris y de os teorems de seno y oseno son muy mpis, pues todo proem métrio que pued identifirse on un triánguo se puede resover on ests expresiones omo emos visto en os prtdos nteriores. Ejempo : Cáuo de tur de un edifiio onoido un ánguo y distni orizont: d tg( d α Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri

12 90 o -α' Si se no esie (dtos α, β y d) d α' α Sistem: (d+x) tg( x tg(β) Operndo β β α x d Ejempo : áuo áre de poígono regur de n dos de ongitud α60/n80/n tg( / p α re. Conusiones L trigonometrí es fundment pr resouión de proems métrios, sí omo pr desomposiión de vetores. Su piión ene e mundo de s ienis e ingenierí es muy mpio. En e urríuo de 4º ESO (s dos opiones) se ord trigonometrí, sí omo resouión de triánguos retánguos. En º de Bierto de Cienis trigonometrí es tmién otr unidd didáti, en este so demás de repsr o visto en e urso nterior tmién se trj os teorems de seno y oseno y resouión de triánguos uesquier, no sóo retánguos. Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri