3º de ESO Capítulo 3: Sucesiones LibrosMareaVerde.tk

3º de ESO Cpítulo 3: Sucesioes Auto: Fed Rmos Rodíguez y Milgos Lts Asso Reviso: Jvie Rodigo y Nieves Zusti

64 Ídice. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES.. DEFINICIONES.. FORMAS DE DEFINIR UNA SUCESIÓN. PROGRESIONES ARITMÉTICAS.. TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA.. SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA 3. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 3.. TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 3.. PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 3.3. SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 3.4. APLICACIONES DE LAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Resume Qué tiee e comú coceptos t dispes como el úmeo de coejos hijos egeddos po u pej de coejos, l estuctu de u copo de ieve o el iteés que obteemos l deposit detemid ctidd de dieo e u etidd ficie? Detás de estos csos os ecotmos co el cocepto de sucesió. Ls sucesioes uméics tiee g impotci y utilidd e muchísimos spectos de l vid el, lguo de los cules iás descubiedo lo lgo de este tem.

65. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES.. Defiicioes U sucesió de úmeos eles es u secueci oded de úmeos. Ejemplo: Ls siguietes secuecis so sucesioes: ),, 3, 4, 5, 6, b), 4, 6, 8, 0,, c),,,,,,... 3 4 5 6 Se llm témio de u sucesió cd uo de los elemetos que costituye l sucesió. P epeset los difeetes témios de u sucesió se us u mism let co distitos subídices. Estos subídices idic el lug que ocup ese témio e l sucesió. Ejemplo: E l sucesió ) tedímos que: 5 = 5, y que es el témio de l sucesió que ocup el quito lug. E l sucesió b), el tece témio, se deotí b 3 y coespodeí l 6 E l sucesió c), po ejemplo c = Lo elmete impotte l ho de omb los témios de u sucesió es el subídice poque deot el lug que ocup e l sucesió. Ls lets co ls que se desig l sucesió so distits p sucesioes distits y suele se lets miúsculs. Se llm témio geel de u sucesió l témio que ocup el lug -ésimo y se escibe co l let que deote l sucesió (po ejemplo ) co subídice : ( ) Ejemplo: E los csos que estmos cosidedo, los témios geeles de ls sucesioes seí:, b y c. Si os fijmos, los vloes que tom los subídices so úmeos tules, peo los témios de l sucesió o tiee po qué selo, es deci, los vloes que tom l sucesió so úmeos eles. Po eso, podemos defii sucesió de úmeos eles de fom más iguos como: Defiició: Se llm sucesió de úmeos eles u plicció que hce coespode cd úmeo tul u úmeo el. Actividdes esuelts E ls sucesioes teioes, obsevmos que: 003 = 003, b = 4 y c 37 = 37

66 Actividdes popuests. Escibe los diez pimeos témios de ls siguietes sucesioes: ),, 3, 4, b), 4, 9, 6, c), 3, 5, 7,. Escibe el témio que ocup el lug 00 de cd u de ls sucesioes teioes. 3. Sbemos que u cuepo co desidd suficiete que ce libemete sobe l Tie tiee u velocidd que umet 9,8 m/s. Si e el pime segudo su velocidd es de 5 m/s, escibe e tu cudeo l velocidd e los segudos idicdos e l tbl. Obsevs lgu egl que te pemit cooce l velocidd l cbo de 0 segudos? Repeset gáficmete est fució. Tiempo e segudos 3 Velocidd e m/s 5.. Foms de defii u sucesió Existe vis foms de defii u sucesió:. Ddo u popiedd que cumpl los témios de es sucesió Ejemplo: Sucesió de los úmeos pes:, 4, 6, 8, 0, Sucesió de los úmeos pimos:, 3, 5, 7,,.. Sucesió de los úmeos tules cbdos e 9: 9, 9, 9, 39,... Sucesió de los cuddos de los úmeos tules:, 4, 9, 6,. Ddo su témio geel o témio -ésimo: Es u expesió lgebic e fució de. Ejemplo: = + 3 Sbiedo esto, podemos costui los témios de l sucesió si más que sustitui po los úmeos tules. Así, tedímos: = + 3 = 4 = + 3 = 7 3 = 3 + 3 = 4 = 4 + 3 = 9..

67 d = ( ) 3. Po u ley de ecueci: d = ( ) = d = ( ) = d 3 = ( ) 3 = 3 3 d 4 = ( ) 4 = 4 4 Es u expesió que pemite obtee u témio pti de los teioes Ejemplo: L sucesió:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, coocid como sucesió de Fibocci se obtiee co l siguiete ley de ecueci: = =, = + Es deci, cd témio, slvo los dos pimeos, se obtiee como sum de los dos teioes. Actividdes esuelts Se l sucesió de témio geel: = + 3. Sus cico pimeos témios so: = 5, = 7, 3 = 9, 4 =, 5 = 3 Dd l sucesió e fom ecuete: =, = + 3 Sus cuto pimeos témios so: Actividdes popuests = (y viee ddo), = + 3 = 4, 3 = 4 + 3 = 7, 4 = 7 + 3 = 0 4. Escibe los cuto pimeos témios de ls siguietes sucesioes: ) = +

68 4 b) b = 3 c) c =, c = 3c + 5 d) d =, d =5, d = d + d 5. Escibe l expesió del témio geel de ls siguietes sucesioes: ) {,,,,,,,, } b) {0, 3, 8, 5, 4, 35, } c) {, 4, 6, 8, 0, } 3 5 7 9 d),,,,,... 4 5 6 7 8 6. E u sucesió el pime témio es y los demás se obtiee sumdo 4 l témio teio. Hll los 6 pimeos témios de l sucesió. 7. U stélite tificil se puso e óbit ls 7 hos y 30 miutos. Td e d u vuelt complet su óbit 87 miutos. A) Complet e tu cudeo l tbl djut. B) Escibe u expesió geel que te pemit cooce l ho e que h completdo l vuelt -ésim. C) Busc u expesió que te pemit cooce l ho e fució de l ho de l óbit teio. D) Busc u expesió que te pemit cooce l ho e fució de l pime. E) Cuáts vuelts complets hbá ddo 0 dís más tde ls 4 hos? Nº de óbits 3 4 5 6 Ho e l que l h completdo

69. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Ejemplo: Alici tiee e siete dís u exme de Mtemátics. Decide peplo hciedo cd dí tes ejecicios más que el dí teio. Empiez hoy hciedo dos ejecicios. Si escibimos los ejecicios que v hciedo Alici medid que ps los dís, so:, 5, 8,, 4, Obsevmos que los témios de l sucesió v umetdo e u ctidd costte: 3. Este tipo de sucesioes se llm pogesioes itmétics. U pogesió itmétic es u sucesió de úmeos eles e l que l difeeci ete dos témios cosecutivos de l sucesió es costte. A est costte se le llm difeeci de l pogesió y se suele deot co l let d. De ot fom, e u pogesió itmétic se veific: siedo i culquie úmeo tul i+ i = d Es deci, cd témio se obtiee sumdo l teio l difeeci, d: Ejemplo: i+ = i + d L sucesió fomd po los úmeos tules: {,, 3, 4, 5, } es u pogesió itmétic, y que cd témio se obtiee sumdo l témio teio. Actividdes esuelts Si = 3 y d =, vmos ve cómo se escibe los cico pimeos témios de l pogesió itmétic: = 3, = + d = 3 + = 5 3 = + d = 5 + = 7 4 = 3 + d = 7 + = 9 5 = 4 + d = 9 + = Actividdes popuests 8. Señl zodmete si l siguiete sucesió es u pogesió itmétic: {, 0, 00, 000, 00000,.}. 9. Clcul los tes pimeos témios de u pogesió itmétic sbiedo que el pimeo es y l difeeci es.

70.. Témio geel de u pogesió itmétic U pogesió itmétic, l igul que ocue co tods ls sucesioes, qued pefectmete defiid si coocemos su témio geel. Vmos clcullo utilizdo l defiició que hemos visto de pogesió itmétic y supoiedo coocidos el pime témio y l difeeci de l sucesió, d. ddo = + d 3 = + d = + d + d = + d 4 = 3 + d = + d + d = + 3d 5 = 4 + d = + 3d + d = + 4d. De fom geel: = + d = + ( ) d + d = + ( ) d Po tto, el témio geel de u pogesió itmétic es: = + ( Geelizdo este esultdo, podemos clcul el témio geel de u pogesió itmétic coociedo d y oto témio de l pogesió, o ecesimete el pimeo: ) d Más geel, el témio geel de u pogesió itmétic es: = k + ( k) d Siedo k el témio de l pogesió que ocup el lug k. NOTAS. Depediedo del vlo de d, os podemos ecot co distitos tipos de pogesioes itmétics: ) Si d > 0, l pogesió es ceciete, es deci, cd témio es myo que los teioes. Po ejemplo: {, 4, 6, 8, } b) Si d < 0, l pogesió es dececiete, es deci, cd témio es meo que los teioes. Po ejemplo: {, 9, 6, 3, } c) Si d = 0, l pogesió es costte, es deci, todos sus témios so igules. Po ejemplo: {4, 4, 4, 4, }. Depediedo de los dtos que tegmos, clculemos el témio geel de u pogesió itmétic de u fom u ot: ) Si coocemos y d, hemos visto que: = + ( ) d

7 b) Si coocemos u témio culquie i y d, sbemos que: = k + ( k) d c) Si coocemos dos témios culesquie y s, os fltí l difeeci d p pode plic l fómul teio. Peo, como sbemos que: = + ( ) d y que = s + ( s) d podemos despej d e fució de, s, y s y os qued: d = s s Actividdes esuelts Hll el témio geel de u pogesió itmétic cuyo pime témio es 7 y su difeeci tmbié es 7. Bst co sustitui e l fómul dd: = + ( ) d = 7 + ( )7 = 7 + 7 7 = 7. Clcul el témio que ocup el lug 5 e u pogesió itmétic cuyo pime témio es y l difeeci es 3. E este cso, 5 = + (5 ) d = + 4 3 = + 4 = 44. Clcul el pime témio de u pogesió itmétic co 5 = 6 y d =. 5 = + (5 ) d. Despejmos = 5 4d = 6 4 ( ) = 4. Actividdes popuests 0. Dd u pogesió itmétic dos de cuyos témios so: 3 = 4 y 0 = 8: ) Clcul su difeeci. b) Clcul su témio geel.. Clcul el pime témio de u pogesió itmétic co difeeci y 30 = 60.. Cuál es el témio geel de u pogesió itmétic co = 45 y d = 3? 3. Los ldos de u petágoo está e pogesió itmétic de difeeci 5. Sbiedo demás que su peímeto es 65, clcul el vlo de los ldos. 4. Clcul los 5 pimeos témios de u pogesió itmétic de pime témio y de difeeci 3. Repesétlos gáficmete. Obsev que su epesetció gáfic es u cojuto de putos isldos que está sobe u ect. 5. Clcul l expesió geel de ls pogesioes itmétics: ) De difeeci d =,5 y de pime témio. b) De difeeci d = y de pime témio 0. c) De difeeci d = /3 y de segudo témio 5. d) De difeeci d = 4 y de quito témio. 6. Cuátos múltiplos de 7 está compedidos ete el 4 y el 893?

7.. Sum de los témios de u pogesió itmétic E u pogesió itmétic, l sum de dos témios equidisttes es costte. Es deci, si los subídices tules p, q, y s veific que p + q = + s, etoces: p + q = + s L demostció de est popiedd es muy secill: p + q = + d (p ) + + d (q ) = + d (p + q ) + s = + d ( ) + + d (s ) = + d ( + s ) Y como: p + q = + s, etoces: p + q = + s Queemos clcul l sum de los témios de u pogesió itmétic, S. Es deci: S = + + 3 +.. + + + Aplicdo l popiedd comuttiv de l sum, teemos que: S = + + +.. + 3 + + Sumdo ests dos igulddes témio témio obteemos: S = ( + ) + ( + ) + ( 3 + ) +.. + ( + 3 ) + ( + ) + ( + ) Como se obsev, los subídices coespodietes cd p de témios ete pétesis sum +, po lo que l sum de sus témios seá siempe l mism, etoces: S = ( + ) + ( + ) + ( 3 + ) +.. + ( + 3 ) + ( + ) + ( + ) = ( + ) Despejdo S : ( ) S L sum de los pimeos témios de u pogesió itmétic viee dd po: Actividdes esuelts ( ) S. Sum los 30 pimeos témios de l pogesió itmétic: = {7, 3, 9, 5,, }. Obsevmos que d = 4. P plic l fómul de l sum teemos que clcul pimeo el témio que ocup el lug 30, 30 : 30 = + ( )d = 7 +(30 ) ( 4) = 7 + 9 ( 4) = 99 7 ( 99) Etoces: S 30 = 30 30 Hll l sum de los úmeos impes meoes que 000. Teemos que tee e cuet que los úmeos impes fom u pogesió itmétic de difeeci y demás: =, = 500, 500 = 999 Etoces: S 500 = 500 999 = 50000.

73 Actividdes popuests 7. Sum los 0 pimeos témios de l pogesió itmétic: { 5, 4, 3,, 3, 40, } 8. Hll l sum de los 50 pimeos múltiplos de 3. 9. E u sucesió itmétic de u úmeo imp de témios el cetl vle, cuáto vldá l sum del pimeo más el último? 0. El dueño de u pozo cott u zhoí p cooce l pofudidd l que se ecuet el gu y éste dictmi que 5 m hy gu e budci. Pide u pesupuesto u cottist, que le dice que el pime meto le costá 50 euos y po cd medio meto más 6 euos más que po el medio teio. Cuáto le costá el pozo si se cumple ls pediccioes?. Atoio se h compdo u móvil, peo o puede pglo l cotdo. Pg 60 euos cd sem, peo el vededo le sube 5 euos cd sem e cocepto de pgo plzdo. Log pglo e 0 sems. Cuáto le costó? Cuáto pgó de más? Qué pocetje supoe este ecgo sobe el pecio de vet?. U ddo se ete e u pisci de 50 m y quiee cotol ls pédids de velocidd po cscio. Coomet e cico dís cosecutivos los tiempos que td e hce, 5, 8,, 4 lgos. A) Hll el témio geel de l sucesió que d los metos ecoidos e el dí. B) Cuátos metos hbá ddo e dichos coometjes?

74 3. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Ejemplo: U pde ple mete e u huch el dí que su hijo ecié cido cumpl u ño y duplic l ctidd e cd uo de sus cumpleños. Es deci, l sucesió cuyos témios so el dieo que mete e l huch cd ño es: {,, 4, 8, 6, }. Obsevmos que los témios de l sucesió v umetdo de fom que cd témio es el teio multiplicdo po. Este tipo de sucesioes se llm pogesioes geométics. U pogesió geométic es u sucesió de úmeos eles e l que el cociete ete cd témio y el teio es costte. A est costte se deomi zó de l pogesió y se suele deot co i l let. Es deci, siedo i u úmeo tul y siempe que i se distito de ceo. i O lo que es lo mismo, cd témio se obtiee multiplicdo el teio po l zó : Ejemplo: i+ = i L sucesió: {, 3, 9, 7, 8, } es u pogesió geométic, y que tomdo dos témios culesquie cosecutivos, siempe se obtiee el mismo cociete, que es 3, zó de l pogesió. 3 : = 9 : 3 = 7 : 9 = 8 : 7 = 3 3.. Témio geel de u pogesió geométic U pogesió geométic, po se u sucesió, qued totlmete defiid si coocemos su témio geel. Vmos obteelo si más que plic l defiició de pogesió geométic: = 3 = = = 4 = 3 = = 3 5 = 4 = 3 = 4 = = = Po tto, el témio geel de u pogesió geométic es: = Geelizdo este esultdo, podemos clcul el témio geel de u pogesió geométic coociedo y oto témio de l pogesió, o ecesimete el pimeo: Más geel, el témio geel de u pogesió geométic es:

75 = k k siedo k el témio de l pogesió que ocup el lug k. Ejemplo: NOTAS L sucesió = 3 5 es u pogesió geométic.. Depediedo del vlo de, os podemos ecot co distitos tipos de pogesioes geométics: ) Si >, l pogesió es ceciete, es deci, cd témio es myo que los teioes. Po ejemplo: {, 4, 8, 6, } b) Si 0 < <, l pogesió es dececiete, es deci, cd témio es meo que los teioes. Po ejemplo: {90, 30, 0, 0/3, 0/9, } c) Si < 0, l pogesió es lted, es deci, sus témios v cmbido de sigo segú el vlo de. Po ejemplo: {, 4, 8, 6, } d) Si = 0, l pogesió es l pogesió fomd po ceos pti del segudo témio. Po ejemplo: {7, 0, 0, 0, } e) Si =, l pogesió es l pogesió costte fomd po el pime témio: {,,,, }. Depediedo de los dtos que tegmos, clculemos el témio geel de u pogesió geométic de u fom u ot: ) Si coocemos y, hemos visto que: =. b) Si coocemos u témio culquie k y, sbemos que: = k k c) Si coocemos dos témios culesquie p y q, co p o ulo, os flt cooce l zó p pode plic l fómul teio. Peo, como sbemos que: = p p y que = q q podemos despej e fució de p, q, p y q y os qued: = q p q P Actividdes esuelts Hll el témio geel de u pogesió geométic cuyo pime témio es 7 y su zó tmbié es 7. Bst co sustitui e l fómul dd: = = 7 7 = 7. Clcul el témio que ocup el lug 5 e u pogesió geométic cuyo pime témio es y zó 3. E este cso, 5 = = 3 5 = 3 4 = 6. Clcul el pime témio de u pogesió geométic co 3 = 6 y =.

76 Despejmos de = y teemos: =. P = 3, teemos: = 3 ( 6 ) 6 4 3. Actividdes popuests 3. Aveigu l zó de u pogesió geométic cuyo pime témio es 7 y el cuto es 8. 4. El cuto témio de u pogesió geométic es /9 y l zó /3. Hll el pime témio. 5. Hll el sexto témio de l siguiete pogesió geométic: {,,, 4, } 6. Dd u pogesió geométic dos de cuyos témios so: 3 = 8 y 6 = 048 ) Clcul su zó. b) Clcul su témio geel. 7. Ciet clse de lg, llmd cloell, se epoduce dobldo su ctidd cd dos hos y medi. Al cbo de ots dos hos y medi vuelve dobl su ctidd, y sí sucesivmete. Si se tiee e el mometo iicil u kilo, l cbo de dos hos y medi hy dos kilos. A) Hz u tbl de vloes e l que idiques p cd peiodo de epoducció el úmeo de kilos de cloell. B) Idic el témio geel. C) Al cbo de 4 dís, h tscuido 40 peiodos, cosides posible este cecimieto? 3.. Poducto de los témios de u pogesió geométic E u pogesió geométic, el poducto de dos témios equidisttes es costte. Es deci, si los subídices tules p, q, t y s veific que p + q = t + s, etoces: p q = t s L demostció de est popiedd es muy secill: p q = p q = p q = p+q t s = t s = t s = t+s Y como: p + q = t + s, etoces: p q = t s Queemos clcul el poducto de los témios de u pogesió geométic, P. Es deci: P = 3.. Aplicdo l popiedd comuttiv del poducto, teemos que: P =.. 3 Multiplicdo ests dos igulddes:

77 P = ( 3.. ) (.. 3 ) P = ( ) ( ) ( 3 ).. ( 3 ) ( ) ( ) Como se obsev, los subídices coespodietes cd p de témios ete pétesis sum +, po lo que el poducto seá siempe el mismo e cd fcto, etoces: P = ( ) Despejdo P : P = = El sigo seá positivo o egtivo depediedo de l pogesió. El poducto de los pimeos témios de u pogesió geométic viee ddo po: Actividdes esuelts P = = Hll el poducto de los siete pimeos témios de u pogesió geométic cuyo pime témio es = /8 y zó = Obsevmos que todos los témios de l sucesió so todos egtivos, po lo que el poducto de u úmeo p de témios es positivo y que el poducto de u úmeo imp es egtivo. Clculmos 7 p pode utiliz l fómul deducid teiomete: 7 = = 7 = ( /8) 6 = 8 Etoces: P 7 = /8 8 = 7 Actividdes popuests 8. El pime témio de u pogesió geométic es 3 y el octvo 384. Hll l zó y el poducto de los 8 pimeos témios. 9. Clcul el poducto de los 5 pimeos témios de l pogesió: 3, 6,, 4, 3.3. Sum de los témios de u pogesió geométic A) Sum de u úmeo limitdo de témios cosecutivos de u pogesió geométic Ejemplo: Ju h compdo 0 libos, po el º h pgdo, po el º,, po el 3º, 4, po el 4º, 8 y sí sucesivmete. Cómo podemos sbe lo que h pgdo e totl si ecesidd de hce l sum?

78 Se tt de u pogesió geométic co = y =. Se ttí de clcul: + + 3 + + 0. Vmos velo e geel, p u pogesió geométic culquie: Queemos clcul: S = + + 3 + + + P ello, multiplicmos est iguldd po : S = + + 3 + + + Peo como: = 3 = 4 = 3. = L iguldd teio qued: S = + 3 + 4 + + + Restdo: S = + 3 + 4 + + + S = + + 3 + + + ------------------------------------------ S S = + ( ) S = S = Etoces: S = ( ) siempe que. siempe que, y como = L sum de los pimeos témios de u pogesió geométic viee dd po: S = = ( ) siempe que. Se coside y que si = l pogesió es l pogesió costte fomd po el pime témio: {,,,, } y S = Alicemos l sum segú los distitos vloes de : ) Si >, los témios e vlo bsoluto cece idefiidmete y el vlo de S viee ddo po l fómul teio. b) Si <, l sum de sus témios cudo es gde se poxim S, y que si e S = ( ), elevmos l zó < u poteci, cuto myo se el expoete,

79 meo seá el vlo de y si es suficietemete gde, se poxim 0. Po eso, S ( ) c) Si =, los témios cosecutivos so opuestos:{,,,, } y S es igul ceo si es p, e igul si es imp. L sum de l seie oscil ete esos dos vloes. Actividdes esuelts Hll l sum de los pimeos témios de u pogesió geométic sbiedo que el pime témio es y l zó 3. S = 3 = 88574. 3 Hll l sum de los 7 pimeos témios de u pogesió geométic sbiedo que el séptimo témio es 0480, el pimeo es 5 y l zó es 4. Aho utilizmos l fómul: S = Sustituyedo: 7 0480 4 5 S = 7305. 7 4 Actividdes popuests 30. U giculto e su gj tiee 59049 litos de gu p d de bebe los imles. U dí utilizó l mitd del coteido, l siguiete l mitd de lo que le quedb y sí sucesivmete cd dí. Cuátos litos de gu utilizó hst el sexto dí? 3. Sum los quice pimeos témios de u pogesió geométic e l que = 5 y = ½ B) Sum de u úmeo ilimitdo de témios cosecutivos de u pogesió geométic Qué ocuiá si epetimos el poceso teio idefiidmete? Es deci, qué ocuiá si summos u úmeo ilimitdo de témios? Depediedo del vlo de seá posible o o obtee l sum de u úmeo ilimitdo de témios: ) Si =, l pogesió es l pogesió costte fomd po el pime témio: {,,,, } y si es positivo l sum de los témios seá cd vez myo (si fue egtivo seí l sum cd vez myo e vlo bsoluto, peo egtiv). Po tto, si el úmeo de témios es ilimitdo, est sum seá ifiit. b) Si >, los témios cece idefiidmete y el vlo de S p u úmeo ilimitdo de témios, tmbié seá ifiito. c) Si <, l sum de sus témios se poxim cudo es gde S. Obsevmos que l sum o depede del úmeo de témios, y que l hcese cd vez más pequeños, lleg u mometo e que o se coside. d) Si =, los témios cosecutivos so opuestos: {,,,, } y S es igul ceo si es

80 p, e igul si es imp. L sum de l seie oscil ete esos dos vloes p u úmeo fiito de témios. P u úmeo de témios ilimitdo o sbemos si es p o imp, co lo que l sum o se puede eliz o se que 0, cso e que S 0. E el esto de los csos decimos que l sum de ifiitos témios o existe pues su vlo es oscilte. e) Si <, los témios oscil ete vloes positivos y egtivos, ceciedo e vlo bsoluto. L sum de sus ifiitos témios o existe pues su vlo tmbié es oscilte. E esume, L sum de u úmeo ilimitdo de témios de u pogesió geométic sólo tom u vlo fiito si <, y etoces viee dd po: S E el esto de los csos, o vle ifiito, o o existe pues oscil. Actividdes esuelts Clcul l sum de todos los témios de l pogesió geométic cuyo pime témio es 4 y l zó /. S 4 = = 8 E u pogesió geométic l zó es /4 y l sum de todos sus témios es 8. Cuáto vle el pime témio? Despejmos de: Actividdes popuests S y: = S ( ) = 8 ( /4) = 6 3. Clcul l sum de los ifiitos témios de l sucesió: 6, 3, 3/, 3/4, 33. Teemos e l mo u cuddo de áe. Cotmos ls cuto esquis po los putos medios de los ldos. El uevo cuddo, qué áe tiee? Dejmos los ecotes ecim de l mes. Qué áe de ecotes hy sobe l mes? Co el uevo cuddo que teemos e l mo efectumos l mism opeció de cot ls cuto esquis y dejls sobe l mes, y sí sucesivmete. Qué áe tiee los sucesivos cuddos que tego e l mo? Y los ecotes que qued sobe l mes? Hll l sum de ls ifiits áes de ecotes sí obteids. 34. De uevo teemos u cuddo de áe e l mo, y lo cotmos po ls líes de putos como idic l figu. El tozo myo lo dejmos sobe l mes y os quedmos e l mo co el cuddo, l que volvemos cot de l mism fom. Y sí sucesivmete. Qué áe tiee los sucesivos cuddos que tego e l mo? Cece o dismiuye? Escibe el témio geel de l sucesió de áes que teemos e l mo. Y los ecotes que qued sobe l mes? Cece el áe o dismiuye? Vmos sumdo áes, clcul l sum de ests áes si hubiémos hecho ifiitos cotes.

8 3.4. Apliccioes de ls pogesioes geométics Fcció geetiz El cuso psdo estudiste cómo ps de u deciml peiódico puo o peiódico mixto u fcció. Aho vmos utiliz ls pogesioes geométics p que compeds mejo el poceso. Ejemplo: Si teemos u úmeo deciml peiódico puo, lo podemos escibi como:,37 = + 0,37 + 0,0037 + 0,000037 O lo que es lo mismo: 37 37 37 + + + + 00 00 00 00 00 00 dode los sumdos pti del segudo fom u pogesió geométic de zó = <, cuy 00 sum ifiit vle: S. Po tto: 37 37 + 00 = + 00 37 98 37 35 = + = + = 99 99 99 99 99 00 00 Si teemos u úmeo deciml peiódico mixto, se utiliz u poceso simil:,38 =,3 + 0,008 + 0,0008 + O lo que es lo mismo: 8,3 + 000 8 8 + + + 000 0 000 0 0 E este cso, los sumdos pti del segudo fom u pogesió geométic de zó = 0 <. Po tto: 8,3 + 000 8 3 8 96 = + 0,3 + = + + = + 900 00 900 900 0 Not Co este poceso estmos ilustdo el cocepto de fcció geetiz como plicció de ls pogesioes geométics, peo efectos pácticos, es más cómodo efectulo segú el poceso visto. Cpitlizció compuest El iteés compuesto lo estudiás deteidmete e el cpítulo 6, peo ho es iteeste que seps que etoces vs us ls pogesioes geométics p clcullo, y que tiees u hoj de cálculo p hce ls opecioes. Si depositmos e u etidd ficie u ctidd de dieo C 0 dute u tiempo t y u édito ddo e tto po uo, obtedemos u beeficio: I = C 0 t llmdo iteés. L picipl ccteístic de l cpitlizció compuest es que los iteeses que se gee e u ño, ps fom pte del cpitl iicil y poduce iteeses e los peiodos siguietes. Etoces:

8 Al fil del pime ño, el cpitl seá el cpitl iicil C 0 juto co los iteeses poducidos dute ese ño. Es deci: C = C 0 + I = C 0 + C 0 = C 0 ( + ) Al fil del segudo ño, el cpitl que tedemos seá el cpitl que teímos l filiz el pime ño más los iteeses poducidos ese segudo ño. Es deci: C = C + C = C ( + ) = C 0 ( + ) ( + ) = C 0 ( + ) Obsevdo los cpitles obteidos: C, C,, C cocluimos que se tt de u pogesió geométic de zó ( + ). Po tto: El ño -ésimo, tedemos: El cpitl fil obteido después de ños ddo u cpitl iicil C 0 y u édito ddo e tto po uo, es: C = C 0 ( + ) Actividdes esuelts Vemos l fcció geetiz de 3, 45 como plicció de ls pogesioes geométics. 3, 45 = 3 + 0,45 + 0,0045 + 0,000045 + O lo que es lo mismo: 45 45 45 3 + + + + 00 00 00 00 00 00 dode los sumdos pti del segudo fom u pogesió geométic de zó = <, cuy 00 sum ifiit vle: S. Po tto: 45 45 3 + 00 = 3 + 00 45 77 45 3 58 = 3 + = + = =. 99 99 99 99 99 00 00 Depositmos e u bco 500 l 3,5 % de cpitlizció compuest dute tes ños. Cuáto dieo tedímos l filiz el tece ño? Utilizmos l expesió: C t = C 0 ( + ) t dode C 0 = 500, = 0,035 pues es el tto po uo y t = 3 ños. Po tto: C t = C 0 ( + ) t = 500( + 0,035) 3 = 663,08 Actividdes popuests 35. Clcul l fcció geetiz del úmeo 4,56. 36. U empesio cude u etidd ficie p ifomse sobe cómo iveti los 6000 de beeficios que h teido e u mes. Le plte dos opcioes. ) Mtee ese cpitl dute 5 ños l 3,5 % ul o b) Recibi el 5 % del cpitl dute los dos pimeos ños y el 3 % los tes ños esttes. Qué opció le itees más?

83 CURIOSIDADES. REVISTA A) El iveto del jedez Y vimos e el cpítulo sobe potecis l leyed sobe el jedez. Aho puedes utiliz tus coocimietos sobe pogesioes p hce los cálculos: Cuet l leyed como el iveto del jedez pesetó su iveto u pícipe de l Idi. El pícipe quedó t impesiodo que quiso pemile geeosmete, p lo cul le dijo: "Pídeme lo que quies, que te lo dé". El iveto del jedez fomuló su petició del modo siguiete: "Deseo que me etegues u go de tigo po l pime csill del tbleo, dos po l segud, cuto po l tece, ocho po l cut, dieciséis po l quit, y sí sucesivmete hst l csill 64". L sopes fue cudo el secetio del pícipe clculó l ctidd de tigo que epesetb l petició del iveto, poque tod l Tie sembd de tigo e isuficiete p obtee el tigo que pedí el iveto. Qué tipo de pogesió se utiliz? Aitmétic o geométic? Cuál es l zó? Cuátos tilloes de gos de tigo pedí poximdmete? Podís hll el totl de gos de tigo utilizdo fómuls y usdo l clculdo? + + + 3 +... + 6 + 63 Potecis de e el teis Ls potecis de tmbié pece e los toeos de teis. E muchos toeos se efet los jugdoes de l siguiete fom: E l fil jueg dos jugdoes; e l semifil hy cuto; e los cutos de fil hy ocho jugdoes. Así, e cd od diciol l ctidd de jugdoes se duplic, tl como ocuí co los gos de tigo e el tbleo de jedez. Si el toeo tuvie 5 ods, te imgis cuátos hbí? Pues, podí pticip csi todos los hbittes de Espñ!! y co 33 ods podí pticip todos los hbittes del plet!!

84 Sucesió de Fibocci P los que pesáis que es imposible ve Mtemátics fue del ul y mucho meos e l tulez, os pesetmos uo de los más bellos coceptos mtemáticos estechmete elciodo co l tulez y el te. Se tt de u sucesió muy simple, e l que cd témio es l sum de los dos teioes. L sucesió comiez po el úmeo, Y sigue co,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, 377, 60, 987, 597, 584, y que = 0 + ; = + ; 3 = + ; 5 = + 3; 8 = 3 + 5; 3 = 5 + 8; = 8 + 3 etc. U de ls popieddes más cuioss, es que el cociete de dos úmeos cosecutivos de l seie se poxim l llmd secció áue o divi popoció. 5 Este úmeo, descubieto po los ecetists, es =,6803, y se lo omb co l let gieg ϕ. L sucesió fomd po los cocietes de úmeos cosecutivos de l sucesió de Fibocci se cec ápidmete, hci el úmeo áueo. Los giegos y ecetists estb fscidos co este úmeo y lo cosideb el idel de l bellez. De hecho, Leodo d Vici e su ob El hombe de Vitubio utiliz este úmeo p cosegui ls pefects popocioes de su ob. Cómo puede se que el cociete de dos úmeos de u secueci ivetd po el hombe se elcioe co l bellez? Pues poque l sucesió de Fibocci está estechmete elciod co l tulez. Se cee que Leodo ecotó estos úmeos cudo estudib el cecimieto de ls poblcioes de coejos. Supogmos que u pej de coejos td u mes e lcz l edd fétil, y pti de ese mometo cd vez eged ot pej de coejos, que su vez egedá cd mes u pej de coejos. Cuátos coejos hbá l cbo de u detemido úmeo de meses? Pues sí, cd mes hbá u úmeo de coejos que coicide co cd uo de los témios de l sucesió de Fibocci. Pece mgi, vedd? Pues muchs plts, como ls piñs o ls mgits sigue u disposició elciod tmbié co l sucesió de Fibocci, lo que ilust l fmos fse de Glileo L tulez está escit e leguje mtemático.

85 RESUMEN Cocepto Defiició Ejemplos Pogesió itmétic Es u sucesió de úmeos eles e l que l difeeci ete dos témios cosecutivos de l sucesió es costte. A est costte se le llm difeeci de l pogesió y se suele deot co l let d., 5, 8,, 4, 7, Témio geel = k + ( lug k k) siedo k el témio que ocup el = + 3 Sum de los pimeos témios S ( ) S 8 = (8/) ( + ( + 3 8)) = 4 (4 + 4) = 4 8 = Pogesió geométic Es u sucesió de úmeos eles e l que el cociete ete cd témio y el teio es costte. A est costte se deomi zó de l pogesió y se suele deot co l let. Es deci, úmeo tul. i i siedo i u Témio geel = k -k siedo k el témio de l sucesió que ocup el lug k 3, 6,, 4,, /, /4, /8 = 3 - = (/) Sum - P, y u úmeo fiito de témios: S = = ( ) - P, y u ctidd ilimitd de témios: S S 8 = 3( 8 )/( ) = 3(56 ) = 3(55) = 765. S = /( /) = Poducto de los pimeos témios P = = P 9 = + ( 3 3 8 ) 9 =(3 4 ) 9

86 EJERCICIOS Y PROBLEMAS.. Clcul el témio que ocup el lug 00 de u pogesió itmétic cuyo pime témio es igul 4 y l difeeci es 5.. El décimo témio de u pogesió itmétic es 45 y l difeeci es 4. Hll el pime témio. 3. Sbiedo que el pime témio de u pogesió itmétic es 4, l difeeci 7 y el témio - ésimo 88, hll. 4. Hll el pime témio de u pogesió itmétic y l difeeci, sbiedo que 3 = 4 y 0 = 66. 5. El témio sexto de u pogesió itmétic es 4 y l difeeci /. Hll el témio 0. 6. Clcul los ldos de u tiágulo ectágulo sbiedo que sus medids, expesds e metos, está e pogesió itmétic de difeeci 3. 7. Hll tes úmeos que esté e pogesió itmétic y tles que, umetdos e 5, 4 y 7 uiddes espectivmete, se popocioles 5, 6 y 9. 8. Clcul l sum de los múltiplos de 59 compedidos ete 000 y 000. 9. El poducto de tes témios cosecutivos de u pogesió itmétic es 80 y l difeeci es 3. Hll dichos témios. 0. Cuátos témios hy que sum de l pogesió itmétic, 8, 4,... p obtee como esultdo 064?. L sum de úmeos tules cosecutivos tomdos pti de es 75. Cuátos témios hemos sumdo?. Sbiedo que el quito témio de u pogesió itmétic es 8 y l difeeci es, hll l sum de los ueve pimeos témios de l sucesió. 3. L sum de tes úmeos e pogesió itmétic es 33 y su poducto 87. Hll estos úmeos. 4. Tes úmeos e pogesió itmétic tiee po poducto 6640; el más pequeño vle 0. Hll los otos dos. 5. El poducto de cico úmeos e pogesió itmétic es 30 y su sum 40. Hll estos úmeos sbiedo que so eteos. 6. Clcul tes úmeos sbiedo que está e pogesió itmétic, que su sum es 8 y que l sum del pimeo y del segudo es igul l teceo dismiuido e dos uiddes. 7. L sum de los oce pimeos témios de u pogesió itmétic es 76 y l difeeci de los extemos es 30. Hll los témios de l pogesió. 8. Hll cuto úmeos e pogesió itmétic, coociedo su sum, que es, y l sum de sus cuddos, 66. 9. L difeeci de u pogesió itmétic es 4. El poducto de los cuto pimeos témios es 585. Hll los témios. 0. Hll los seis pimeos témios de u pogesió itmétic sbiedo que los tes pimeos sum 3 y los tes últimos 4.. E u pogesió itmétic el ocevo témio excede e uiddes l octvo, y el pimeo y el oveo sum 6. Clcul l difeeci y los témios meciodos.. E u pogesió itmétic, los témios segudo y teceo sum 9, y los témios quito y séptimo sum 40. Hálllos. 3. Sbiedo que ls medids de los tes águlos de u tiágulo está e pogesió itmétic y que uo de ellos mide 00º, clcul los otos dos. 4. Hll ls dimesioes de u otoedo sbiedo que está e pogesió itmétic, que sum 78 m y que el volume del otoedo es de 5470 m. 5. Los seis águlos de u hexágoo está e pogesió itmétic. L difeeci ete el myo y el meo es 60º. Clcul el vlo de cd águlo.

87 6. Ls logitudes de los tes ldos de u tiágulo ectágulo está e pogesió itmétic y sum 36 metos. Cuáto mide cd ldo? 7. U cooel md 5050 solddos y quiee fom co ellos u tiágulo p u exhibició, de modo que l pime fil teg u solddo, l segud dos, l tece tes, etc. Cuáts fils tiee que hbe? 8. Po el lquile de u cs se cued pg 800 euos l mes dute el pime ño, y cd ño se umetá el lquile e 50 euos mesules. Cuáto se pgá mesulmete l cbo de ños? 9. Ls eddes de cuto hemos fom u pogesió itmétic, y su sum es 3 ños. El myo tiee 6 ños más que el meo. Hll ls eddes de los cuto hemos. 30. U esquido comiez l petempod de esquí hciedo pess e u gimsio dute u ho. Decide icemet el etemieto 0 miutos cd dí. Cuáto tiempo debeá ete l cbo de 5 dís? Cuáto tiempo e totl hbá dedicdo l etemieto lo lgo de todo u mes de 30 dís? 3. E u sl de cie, l pime fil de butcs dist de l ptll 86 dm, y l sext, 34 dm. E qué fil está u peso si su distci l ptll es de 30 dm? 3. Clcul el témio ocevo de u pogesió geométic cuyo pime témio es igul y l zó es. 33. El quito témio de u pogesió geométic es 8 y el pimeo es. Hll los cico pimeos témios de dich pogesió. 34. E u pogesió geométic de pime témio 7 y zó, u cieto témio es 867. Qué lug ocup dicho témio? 35. Sbiedo que el séptimo témio de u pogesió geométic es y l zó /, hll el pime témio. 36. E u pogesió geométic se sbe que el témio decimoquito es igul 5 y que el témio décimo es igul 6. Hll el pime témio y l zó. 37. Descompó el úmeo 4 e tes sumdos que fome pogesió geométic, siedo 96 l difeeci ete el myo y el meo. 38. El volume de u otoedo es de 3375 cm 3. Hll l logitud de sus ists, sbiedo que está e pogesió geométic y que l ist itemedi mide 0 cm más que l meo. 39. Hll el poducto de los ocho pimeos témios de l pogesió 3, 6,, 4,... 40. Hll l sum de los diez pimeos témios de l pogesió geométic 3, 6,, 4,... 4. L sum de los ocho pimeos témios de u pogesió geométic es 7 veces l sum de los cuto pimeos. Hll el vlo de l zó. 4. Hll l sum de los témios de l pogesió ilimitd: 8, 4,,,... 43. Hll tes úmeos e pogesió geométic sbiedo que su sum es 6 y su poducto 6. 44. Clcul el poducto de los oce pimeos témios de u pogesió geométic sbiedo que el témio cetl vle. 45. Tes úmeos e pogesió geométic sum 55 y su poducto vle u milló. Clcul dichos úmeos. 46. Detemi cuto úmeos e pogesió geométic de me que los dos pimeos sume 0,5 y los dos últimos 0,5. 47. Cuátos témios se h tomdo e u pogesió geométic, sbiedo que el pime témio es 7, el último 448 y su sum 889?

88 48. L sum de los siete pimeos témios de u pogesió geométic de zó 3 es 765. Hll los témios pimeo y séptimo. 49. Hll tes úmeos e pogesió geométic cuyo poducto es 38509, sbiedo que el myo excede e 5 l sum de los otos dos. 50. Tes úmeos está e pogesió geométic; el segudo es 3 uiddes myo que el pimeo, y el teceo, 96 uiddes myo que el segudo. Hll los úmeos. 5. Hll los cuto pimeos témios de u pogesió geométic, sbiedo que el segudo es 0 y l sum de los cuto pimeos es 45. 5. Hll los águlos de u cudiláteo, si se sbe que está e pogesió geométic y que el myo es 7 veces el meo. 53. Ls dimesioes de u otoedo está e pogesió geométic. Clcul ests dimesioes sbiedo que su peímeto es 40 m y su volume 8000 m 3. 54. Divide el úmeo e tes ptes etes que fom u pogesió geométic tl que el tece témio sobeps l pimeo e 36. 55. L sum de tes úmeos e pogesió geométic es 48 y l difeeci ete los extemos 9. Hll dichos úmeos. 56. Hll cuto úmeos e pogesió geométic sbiedo que l sum de los dos pimeos es 8 y l sum de los dos últimos 75. 57. E u pogesió geométic, los témios pimeo y decimoquito so 6 y 54, espectivmete. Hll el témio sexto. 58. U pogesió geométic tiee cico témios, l zó es igul l cut pte del pime témio y l sum de los dos pimeos témios es 4. Hll los cico témios. 59. Hll x p que x, x +, (x + ) esté e pogesió geométic. 60. A u cued de 700 m de logitud se le d dos cotes, de modo que uo de los tozos extemos tiee u logitud de 00 m. Sbiedo que ls logitudes de los tozos está e pogesió geométic, detemi l logitud de cd tozo. 6. Hll l fcció geetiz del úmeo deciml 0,737373..., como sum de los témios de u pogesió geométic ilimitd. 6. Se tiee u cub de vio que cotiee 04 litos. El de octube se vció l mitd del coteido; l dí siguiete se volvió vci l mitd de lo que quedb, y sí sucesivmete todos los dís. Qué ctidd de vio se scó el dí 0 de octube? 63. Ddo u cuddo de m de ldo, uimos dos dos los putos medios de sus ldos; obteemos u uevo cuddo, e el que volvemos efectu l mism opeció, y sí sucesivmete. Hll l sum de ls ifiits áes sí obteids. 64. Tes úmeos cuy sum es 36 está e pogesió itmétic. Hll dichos úmeos sbiedo que si se les sum, 4 y 43, espectivmete, los esultdos fom u pogesió geométic. 65. Tiágulo de Siespiky: Vmos costui u fctl. Se pte de u tiágulo equiláteo. Se ue los putos medios de los ldos y se fom cuto tiágulos. Se elimi el tiágulo cetl. E cd uo de los otos tes tiágulos se epite el poceso. Y sí sucesivmete. A l figu fomd po iteció ifiit se l deomi Tiágulo de Siespiky, y es u fctl. Imgi que el pime tiágulo tiee u áe A. Cudo plicmos l pime iteció, el áe es (3/4)A. Y e l segud? Escibe l sucesió de ls áes. Es ceciete o dececiete? Imgi ho que l logitud de cd ldo del tiágulo iicil es L. Escibe l sucesió de ls logitudes. Es ceciete o dececiete?

89 AUTOEVALUACIÓN. Cuál es l zó de l siguiete pogesió geométic: 5 3? ) 5 b) 3 c) d) No es u pogesió geométic. E l sucesió de múltiplos de 3, el 69 ocup el lug: ) b) c) 3 d) 69 3. L sum de los diez pimeos témios de l pogesió itmétic: 7, 3, 9, 3, es: 4. L sucesió 5, 5, 45, 35, 405, 5...: ) 70 b) 34 c) 9 d) 340 ) Es u pogesió geométic de zó 5 b) Es u pogesió itmétic de difeeci 5 c) Es u pogesió geométic de zó 3 d) Es u pogesió itmétic de difeeci 3. 5. Se l sucesió:, 0, 50, 50, 50... su témio geel es: ) = 5 - b) = - c) = 5 5 - d) = 5-6. Cuáto sum ls potecis de compedids ete y 0? ) 0 b) 046 c) 04 d) 048 7. L pogesió itmétic cuyo pime témio es y su difeeci, tiee como témio geel: ) = b) = + c) = d) = 8. Cuál es el vlo de l sum: + 3 + 5 + 7 +... + 999? ) 500.000 b) 50.000 c) 50000 d) 5000 9. Mí está pepdo el exme de selectividd. P o dej tod l mtei p el fil h decidido estudi cd dí el doble de págis que el dí teio. Si el pime dí estudió tes págis, cuáts hbá estudido l cbo de 7 dís? ) 38 b) 9 c) 765 d) 378 0. A Robeto le h tocdo 6000 e l loteí y decide depositlos e el bco u tipo de iteés compuesto del 4 %. Cuáto dieo tedá l cbo de 5 ños? ) 640 b) 604 c) 783,04 d) 799,9