Funciones eponenciles y ritmics Doc. Luis Hernndo Crmon R
Funciones Eponenciles
Ejemplos: f ( ) Es un función eponencil con bse. Vemos con l rpidez que crece: f () 8 f (0) 0 04 f (0) 0,07,74,84
Funciones Eponenciles L función eponencil con bse se define pr todos los números reles por: f ( ) donde 0 ; 0 Ejemplos de funciones eponenciles: f ( ) h( ) q( ) 0 Bse Bse Bse 0 4
Función Eponencil Nturl L función eponencil nturl es l función eponencil f ( ) e con bse e. Es común referirse ell como l función eponencil. f ( ) e 5
Ejemplo: Modelo eponencil pr l diseminción de un virus Un enfermedd infeccios comienz diseminrse en un ciudd pequeñ con 0,000 hbitntes. Después de t dís, el número de persons que h sucumbido l virus se model medinte l función: 0000 5 45e e v( t) 0. 97t Contest: ) Cuánts persons infectds hy por el virus. (t = 0) b) Clcule el número de persons infectds despues de un dí y depués de cinco dís. c) Grfique l función y describ el comportmiento. 6
Solución: Ejemplo nterior ) Cuánts persons infectds hy por el virus (t = 0). 0000 0000 v( t) 0 5 45e 50 8 8 persons tienen inicilmente l enfermedd. b) Clcule el número de persons infectds después de un dí y cinco dís. (t =, t =, t = 5) Dís Persons infectds 54 5 678 7
Solución: Ejemplo nterior (cont) c) Grfique l función y describ el comportmiento. 000 0 El contgio comienz lento, luego ument con rpidez y luego se estbiliz cundo estn infectdos cerc de 000 persons. 8
Funciones Logrítmics 9
Definición de l función rítmic Se un número positivo con. L función rítmic con bse, denotd por, se define y y Así, es el eponente l que se debe elevr l bse pr que de el número. 0
Comprción Compremos l form Eponencil y l form Logrítmic Logrítmic: Eponencil: Eponente Eponente y y Bse Bse En mbs forms l bse es l mism.
Ejemplo Forms rítmics y eponenciles Form Logrítmic 0 00000 5 Form Eponencil 0 5 00000 8 8 5 s r 5 r s 8
Propiedd de los rítmos Propiedd Rzón 0 Se debe elevr l potenci 0 pr obtener. Se debe elevr l potenci pr obtener. Se debe elevr l potenci pr obtener. es l potenci l cul se debe elevr pr obtener. copywriter
Ejemplo Aplicción de ls propieddes rítmics 5 0 Propiedd 5 5 5 5 5 8 5 8 Propiedd Propiedd Propiedd 4 4
Ejemplo Grficción de funciones rítmics Trz l gráfic de f ( ) Solución: Pr construir un tbl de vlores, se eligen los vlores pr como potencis de de modo que pued hllr con fcilidd sus ritmos. 0 0 - - - f ( ) 5
Fmili de Funciones Logrítmics y y y 5 y 0 6
Logrítmos Comunes Vemos rítmos con bse 0 Definición: Logrítmo común El rítmo con bse 0 se llm rítmo común y se denot omitiendo l bse: 0 7
De l definición de rítmo se puede encontrr fcílmente que: 0 = 00 = Cómo se clcul 50? No tenemos un número tl que demsido grnde. y 0 50, es pequño y es 50 Ls clculdors científics tienen un tecl equipd que d los vlores de mner direct de los ritmos comunes. 8
Propieddes de los rítmos nturles Propiedd Rzón ln 0 Se tiene que elevr e l potenci 0 pr obtener. ln e Se tiene que elevr e l potenci pr obtener e. ln e Se tiene que elevr e l potenci pr obtener. e e ln ln es l potenci l cul e debe ser elevd pr obtener. 9
Funciones Logrítmics 0
Leyes de los rítmos Leyes de los rítmos Se un número positivo, con. Se A, B y C números reles culesquier con A 0yB 0. Ley ) ( AB ) A ) ) A B c A C A A B B Descripción El rítmos de un producto de números es l sum de los rítmos de los números. El rítmo de un cociente de números es l diferenci de los rítmos de los números. El rítmo de un potenci de un número es el eponente multiplicdo por el rítmo de número.
Ejemplo Uso de ls leyes de los rítmos pr evlur epresiones Evlúe cd epresión: ) 4 4 b) 80 5 c) 8
Ejemplo Uso de ls leyes de los rítmos pr evlur epresiones ) 4 4 4 4 (.) 64 Propiedd utilizd: ) ( AB) A B
Ejemplo Uso de ls leyes de los rítmos pr evlur epresiones b) 80 5 80 5 6 4 Propiedd utilizd: A ) A B B 4
Ejemplo Uso de ls leyes de los rítmos pr evlur epresiones c) 8 Propiedd utilizd: 8 8 0.0 c A C A ) 8 () () 5
Ejemplo Epndir epresiones rítmics Use ls leyes de rítmos pr epndir o desrrollr cd epresión. ) (6) 6 Ley b) c)ln 5 b c y 6 5 6 y Ley 5 ln( b) ln ln ln b 5 c y ln ln b ln c 5 ln c Ley Ley Ley Ley 6
Ejemplo Combinr epresiones rítmics Combinr en un solo rítmo, l siguiente epresión: ) ( ) ( ( ( ) ) b)lns lnt 4ln( t ) ln s ln( s t ln ) t ln( t ln( t ) 4 ) 4 ln s t t 4 7
Cmbio de bse Se: y b Entonces se form de mner eponencil: b y Se tom el rítmo bse en cd ldo: y b Ley de rítmo: y Se divide entre mbos rítmos: y b b 8
Fórmul de cmbio de bse y b Por consiguiente, si =, entonces se convierte en: b b y est fórmul 9
Fórmul de cmbio de bse Evlur rítmos con l fórmul de cmbio de bse ) 8 5 Se us l fórmul de cmbio de bse con b = 8 y = 0: 0 5 8 5 8 b) 9 0 0 0.7798 Not: Se tiene l mism respuest si se us ó ln. 0 Se us l fórmul de cmbio de bse con b = 9 y = e: 9 0 ln 0 ln 9.64 0
Ecuciones Eponenciles y Logrítmics
Ecuciones eponenciles y rítmics Un ecución eponencil es quell en l que l vrible ocurre en el eponente. Por ejemplo: 7 L vrible represent un dificultd por que est en el eponente. Pr tomr este cso se tom el rítmo en cd ldo y luego se usn ls regls de los rítmos. Vemos:
Ecuciones eponenciles y rítmics 7 ln ln ln 7 ln 7 ln 7 ln.807 Recuerde l regl
Norms pr resolver ecuciones eponenciles ) Aísle l epresión eponencil en un ldo de l ecución. ) Tome el rítmo de cd ldo, luego utilice ls leyes de los rítmos pr bjr el eponente. ) Despeje l vrible. 4
Ejemplo Resolver un ecución eponencil Encuentre l solución de: 7 Solución: 7 ( ) 7 ( ) 7 7 ( ) 7 Si verifics en tu clculdor: ( 0.8756) 0.8756 7 5
Ejemplo Resolución de un ecución eponencil Resuelv l ecución: 8 e 0 Solución: 8 e 0 0 e 8 ln e ln.5 ln.5 ln.5 0.458 Ojo: El, ln e = Si verifics en tu clculdor: 8e (0.458) 0 6
Ejemplo Resolver un ecución eponencil en form lgebric y hz l gráfic Resuelv l ecución: Solución (): ln e e 4 4 e ln 4 e ln 4 ln Algebricmente ln 4 ln 4 ( ln 4) 0.807 7
Ejemplo Resolver un ecución eponencil en form lgebric y hz l gráfic Resuelv l ecución: e 4 Solución (): Se gráficn ls ecuciones, y e y 4 y 4 y 4 y e 0 4 5 5 6 8
Ejemplo Un ecución eponencil de tipo cudrático Resuelv l ecución: Solución: e e ( e ) e e 6 0 6 0 e 6 0 ( e )( e ) 0 e 0 o e 0 e e 9
Ejemplo Resolver un ecución eponencil Resuelv l ecución: e e 0 Solución: Primero se fctoriz el ldo izquierdo de l ecución. e 0 e ( ) 0 ( ) 0 Se divide entre e Ls soluciones son: 0 0 40
Ecuciones Logrítmics Un ecución rítmic es quell en l ocurre un rítmo de l vrible. ( ) 5 5 Pr despejr, se escribe l ecución en form eponencil. 0 Otr form de considerr el primer pso es elevr l bse,, cd l de ecución. ( ) 5 5 0 Los psos se resumen continución. 4
Norms pr resolver ecuciones rítmics ) Aísle el término rítmico en un ldo de l ecución; podrí ser necesrio combinr primero los términos rítmicos. ) Escrib l ecución en form eponencil (o eleve l bse cd ldo de l ecución). ) Despeje l vrible. 4
Ejemplo Resolver ecuciones rítmics De cd ecución despeje. )ln 8 ln 8 8 e 98 b) (5 ) 5 5 8 5 8 7 4
Ejemplo Resolver un ecucion rítmic Resuelv l ecución: 4 () 6 Solución: : Se ísl primero el término rítmico. Esto permite escribir l ecución en form eponencil. 4 () 6 () 6 4 () ( ) 4 4 0 0000 5000 44
Ejemplo Resolver un ecución rítmic de mner lgebric y gráfic Resuelv l ecución (): ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 0 ( 4)( ) 0 4, 45
Ejemplo Resolver un ecución rítmic de mner lgebric y gráfic Resuelv l gráfic (): ( ) ( ) 0 y ( ) ( ) 4 0 4 5 5 6 46
Ejemplo Resolver un ecución de mner gráfic Resuelv l ecución: ln( ) Solución: Primero se mueven todos los términos un ldo de l ecución. ln( ) 0 y Luego se hce l gráfic: ln( ) 4 4 0 4 5 5 6 47