Problems de fses ncionles e interncionles 1.- (Chin 1993). Ddo el prlelogrmo ABCD, se considern dos puntos E, F sobre l digonl AC e interiores l prlelogrmo. Demostrr que si existe un circunferenci psndo por E y F y tngente ls rects AB y BC, entonces tmbién existe un circunferenci psndo por E y F y tngente ls rects DA y DC..- (Alemni 1990). Ddo un heptágono ABCDEFG de ldo 1, pribr que ls digonles AC y AD verificn: 1 1 + = 1 AC AD 3.- (Turquí 1993).- Se M el circuncentro de un triángulo cutángulo ABC. Supongmos que l circunferenci que ps por B, M, A cort en P l segmento BC y en Q l segmento AC. Demostrr que CM es perpendiculr PQ. 4.- (Turquí 1993).- Sobre un semicirculo de diámetro AB y centro O se considern los puntos E u C de modo que OE es perpendiculr AB y l cuerd AC cort OE en D interior l semicirculo. Hllr todos los vlores del ángulo CAB de modo que en el cudrilátero OBCD pued inscribirse un círculo. 5.- (Irlnd 1993).- Los números reles α y β verificn: Hllr α + β. 3 3 α 3α + 5α 17 = 0, β 3β + 5β + 11 = 0 6.- (Alemni 199).- En l frcción: ABA CDC = 0, DEFGDEFGDEFG... cd letr represent un dígito. Letrs distints corresponden dígitos distintos. El desrrollo deciml es periódico puro con un periodo de longitud cutro. Hllr l frcción. 7.- (Alemni 199).- Se colocn seis cudrdos del modo que muestr l figur: Demostrr que l sum de ls áres del cudrdos interiores denotdos por I,II,III es l tercer prte de l sum de ls áres de los cudrdos exteriores denotdos por IV, V, VI. VI I V 8.- (Alemni 1990).- Demostrr que pr todo entero n > 1 se cumple: II III 1 3 5 7... ( n 1) < n n IV -1-
9.- (IV Olimpid interncionl).- Hllr el menor número nturl n que cumpl: ) Su representción en bse deciml termin en 6. b) Si borrmos el 6 finl y lo colocmos delnte del resto de los dígitos, el número resultnte es cutro veces el nterior. 10.- (IV Olimpid interncionl).- Resolver en R l inecución: 1 3 x x + 1 > 3 11.- (IV Olimpid interncionl).- En un concurso deportivo hy m medlls pr reprtir en n dís consecutivos (n > 1). El primer dí se reprten 1 medll ms 1 7 de ls restntes. El segundo dí se reprten medlls ms 1 7 de ls restntes y sí sucesivmente. El n-ésimo dí se reprtieron ls n medlls que quedbn. Hllr el número de dís y de medlls. 1.- (X Olimpid interncionl).- Probr que existe un único triángulo con los ldos enteros consecutivos y uno de sus ángulos doble que otro. 13.- (I Olimpid interncionl).- Se tom un punto rbitrrio M en el interior de un segmento ddo AB. Se construyen los cudrdos AMCD y MBEF mbos l mismo ldo de AB. Ls circunferencis circunscrits estos cudrdos con centros en P y Q, se cortn en M y en un segundo punto N. Se N l intersección de ls rects AF y BC. Demostrr: ) N y N coinciden. b) Ls rects MN psn por un punto fijo S con independenci de l elección de M. c) Hllr el lugr geométrico del punto medio del segmento PQ cundo M vrí en AB. 14.- (II Olimpid interncionl).- Construir un triángulo ABC conociendo h, h b y m. 15.- (II Olimpid interncionl).- Resolver en R l desiguldd: 4x ( 1 1+ x) < x + 9 16.- (III Olimpid interncionl).- Resolver el sistem de ecuciones: x + y + z = x + y + z = b xy = z siendo y b constntes. Dr ls condiciones que deben stisfcer y b pr que ls soluciones del sistem sen distints. 17.- Demostrr que en un triángulo de ldos, b, c y áre T se verific: + b + c 4 3T. En qué cso se verific l iguldd?. --
18.-(Irlnd 1993).- L rect l es tngente en A l circunferenci S. B y C son dos puntos de l uno cd ldo de A. Ls tngentes S por B y C se cortn en P. Hllr el lugr geométrico de P cundo B y C vrín sobre l de modo que AB AC es constnte. 19.- (Irlnd 1993).- L función f(x) = x n + n-1 x n-1 +...+ 0 con n > 0 y todos los i reles verific f(0) = f(1) y cd ríz α de f es rel y stisfce 0 < α < 1. Probr que el producto de ls ríces no es 1 myor que. n 0.- (Irlnd 1993).- Ddos cinco puntos P 1, P, P 3, P 4, P 5 del plno todos con coordends enters, demostrr que existe l menos un pr (P i, P j ) con i j tl que l rect P i P j contiene un punto Q de coordends enters estndo Q estrictmente entre P i y P j. 1.- (Alemni 199).- Pr cd entero positivo n definimos n? del siguiente modo: Probr que 199 < 199? < 4 3 199 1 pr n = 1 n? = n pr n ( n 1)?.- (Concurso Nórdico 1993).- Se F un función rel decreciente definid pr todo los vlores de x con 0 x 1 y verificndo: ) F x = F( x) 3 b) F(1 - x ) = 1 - F(x). 173 1 Hllr F y F. 1993 13 3.- (Concurso Nórdico 1993).- Un hexágono está inscrito en un circunferenci de rdio r. Dos de sus ldos tienen longitud 1, otros dos tienen longitud y los dos restntes longitud 3. Probr que r verific l ecución: r 3-7r - 3 = 0. 4.- (Concurso Nórdico 1993).- Encontrr tods ls soluciones del sistem: s( x) + s( y) = x x + y + s( z) = z s( x) + s( y) + s( z) = y 4 donde x, y, z son enteros positivos y s(x), s(y), s(z) represent el número de dígitos de x, y, z respectivmente. 5.- (Irán 1993).- Encontrr tods ls soluciones enters de l ecución: 1 + 1 + 1 3 =. m n mn 4-3-
6.- (Irán 1993).- Se X un conjunto con n elementos. Demostrr que el número de pres (A, B) tles que A y B son subconjuntos de X, A es subconjunto de B y A B, es 3 n - n. 7.- (Irán 1993).-, b, c son números rcionles. Un de ls ríces de x 3 +bx + c = 0 es igul l producto de ls otrs dos. Probr que es ríz es rcionl. 8.- (Irán 1993).- Encontrr todos los primos p tles que p 1 1 es cudrdo perfecto. p 9.- (Irán 1993).- Se O l intersección de ls digonles de un cudrilátero convexo ABCD. P y Q son los circuncentros de los triángulos AOB y COD respectivmente. Demostrr que: AB + CD PQ 4 30.- (Irán 1993).- ABC es un triángulo rectángulo en A, Ls bisectrices interiores de B y C cortn los ldos opuestos en D y E respectivmente. I es el incentro. Demostrr que el áre del cudrilátero BCDE es doble del áre del triángulo BIC. 31.- (Irán 1993).- Dd l sucesión: Demostrr que: 5 < 1371 < 65. n 1 0 = 1, 1 =, n+ 1 = n + n > 1. 1 + ( ) 3.- En el triángulo ABC, A 90º y B = C. L bisectriz interior de C cort l medin AM (M punto medio del ldo BC) en D. Demostrr que MDC 45º. Cuál es l condición pr que se cumpl l iguldd?. 33.- (Cndá 1993).- En el triángulo ABC ls medins de AB y AC son perpendiculres. Demostrr que cot B + cot C 3. n 1 34.- (Cndá 1993).- Encontrr los polinomios f(x) = n x n + n-1 x n-1 +...+ 0 que verificn l ecución f(x ) = (f(x)) pr culquier x rel. 35.- (Core 1993).- Se ABC un triángulo con BC =, CA = b, AB = c. Encontrr el punto P pr el que AP + b BP + c CP es mínimo y hllr el vlor del mínimo. 36.- (Core 1993).- Hllr el entero positivo x más pequeño pr el que 7x 5 10 83 es entero. 37.- (Core 1993).- Un entero se llm pitgórico si es el áre de un triángulo rectángulo con ldos enteros. Probr que pr culquier nturl n (n > 1), existe un número pitgórico entre n y n. -4-
38.- (Turquí 1993).- Demostrr que existe un sucesión infinit de enteros positivos tl que el primer término es 16, el número de divisores positivos distintos de cd término es múltiplo de 5 y los términos formn un progresión ritmétic. De tods ls sucesiones encontrds, hllr l de diferenci mínim. 39.- (Chin 1993).- Hllr todos los enteros no negtivos x, y, z tles que: 7 x +1 = 3 y + 5 z. 40.- (Turquí 1993).- Se Q + el conjunto de los rcionles positivos. Encontrr tods ls funciones f : Q + Q + tles que : ( ) + y f y x, y Q, f x + = f( x) + + y. x f( x) 41.- (Ucrni 199).- A, B, C, D son cutro puntos del plno de los que sbemos: AB < CB, AB < DB, CD < AD, CD < BD Probr que los segmentos AB y CD no se cortn. 4.- (Ucrni 199).- Sen, b, c reles tles que b c > 0. Demostrr que: b c c + b + c b 3 4b + c 43.- (Ucrni 199).- A es un punto fijo de un circunferenci dd y D otro punto fijo interior. Se consider un cuerd rbitrri BC que ps por D. Se M el bricentro de ABC. Determinr el conjunto de todos los posibles puntos M. 44.- (Ucrni 199).- Demostrr que no existen soluciones reles del sistem: x + 4yz + z = 0 x + xy + z = 0 xz + y + y + 1= 0 45.- (Ucrni 199).- Demostrr l desiguldd: + b c d c b + c + + d + + 4. siendo, b, c, d números b + d reles del intervlo cerrdo [1, ]. 46.- (Ucrni 199).- Probr que rctg 4 π es irrcionl. 3 Not: Este enuncido puede ser erróneo y el correcto ser Probr que irrcionl 1 4 rctg π 3 es 47.- (Austri-Poloni 1993).- Hllr todos los nturles x, y 1 tles que: x - 3 y = 7. 48.- (Austri-Poloni 1993).- Hllr tods ls soluciones reles del sistem: -5-
x + y = 3x + 4 3 y + z = 6y + 6 3 z + x = 9z + 8 49.- (Checoeslovqui 199).- Resolver l ecución: cos 1x = 5sen 3x +9tg x + ctg x. 50.- (Checoeslovqui 199).- ABC es un triángulo cutángulo. L ltur reltiv B cort l circunferenci de diámetro BC en P y Q y l ltur reltiv C cort l circunferenci de diámetro AB en M y N. Demostrr que P, Q, M, N están en l mism circunferenci. -6-