ASIGNATURA: CÁLCULO MULTIVARIABLE

APUNTES DOCENTES ASIGNATURA: CÁLCULO MULTIVARIABLE PROFESOR: LUZ LILIANA ARDILA

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO Pr definir l euión de un ret en el espio st onoer un punto de l ret un vetor prlelo l ret, este vetor tom el nomre de Vetor Diretor. Se P o ( 0, 0, 0 ) el punto onoido, se P(,, ) un punto ulquier de l ret v = (A, B, C) el vetor diretor, luego l euión de l ret vendrá dd por: FIGURA 1. P 0 P = P P 0 P 0 P = (,, ) ( 0, 0, 0 ) P 0 P = ( 0, 0, 0 ) Como P 0 P es prlelo v, uno será múltiplo eslr del otro. P 0 P v P 0 P = λv on λ: Prámetro ( 0, 0, 0 ) = λ(a, B, C) ( 0, 0, 0 ) = (λa, λb, λc) De donde se otiene ls euiones prmétris = 0 + λa = 0 + λb = 0 + λc

Si se quiere otener un punto ulquier de l ret reemplmos λ por un vlor rel. En otr presentión tenemos ls euiones simétris: Ejemplos: 0 A λ = 0 A λ = 0 B λ = 0 C λ = λ = λ = 0 B = 0 C 1. Ddos los puntos ( 1,, 1) (,3,) otener. L euión de l ret que ps por los puntos ddos.. L interseión de es ret on d uno de los plnos oordendos.. El menor ángulo que form l ret on los plnos oordendos. Soluión. v = ( + 1, 3, + 1) v = ( 1,, 1) P 0 = ( 1,, 1) Euión prmétri: Euión simétri: + 1 3 = 1 + 3λ = + λ = 1 + 3λ = = + 1 3. Pr otener los ortes on los plnos oordendos se identifi un rterísti de todos los puntos en d plno. Corte on : ( = 0)

Se otiene el vlor del prámetro hiendo = 0 1 + 3λ = λ = 1 3 Reemplndo λ en ls demás vriles se otiene: = 1 + 3λ = 1 + 3 ( 1 3 ) = 0 = + λ = + 1 3 = 7 3 Corte on el plno (0, 7 3, 0) = 0 Corte on : ( = 0) Se otiene el vlor del prámetro hiendo = 0 = + λ λ = Reemplndo λ en ls demás vriles se otiene: Corte on el plno ( 7, 0, 7) = 1 + 3λ = 1 + 3( ) = 7 = 1 + 3λ = 1 + 3( ) = 7 = 0

Corte on : ( = 0) Se otiene el vlor del prámetro hiendo = 0 = 1 + 3λ λ = 1 3 Reemplndo λ en ls demás vriles se otiene: = + 3λ = 1 + 3 ( 1 3 ) = 0 = + λ = + 1 3 = 7 3 Corte on el plno (0, 7 3, 7) = 0. os θ = A.B A. B Angulo on el plno : Un vetor que identifi l plno es un vetor norml k (0,0,1) (3,1,3). (0,0,1) os θ = 19. 1 os θ = 3 19 θ = os 1 3 19 θ = 46 30. 30,56

. Dds ls rets L 1 : 1 3 = + = 3 L : = 1 = + 1 1 Hllr:. L interseión de ls dos rets. El ángulo entre ls dos rets. L euión de otr ret que se perpendiulr ls dos primers pse por el origen Soluión. Pr otener l interseión de ls dos rets epresmos ls euiones en form prmétri e igulmos omponente omponente ls dos rets L 1 : 1 3 = t + = t = 3t = 1 + 3t = + t = 3t L : = u 1 = u + = u = u = 1 + u = + u Cómo se trt de un sistem de 3 euiones dos inógnits se resuelve dos de ls euiones se reserv un euión pr sr onlusiones Tommos 1 1 + 3t = u (1) + t = 1 + u () 3t = + u (3) t = u 1 3 + ( u 1 3 ) = 1 + u u = 11 7 Estos dos resultdos se reempln en l euión que no se utilió (3) = 5 7

3 ( 5 11 ) = 7 7 15 7 5 7 Luego ls rets no se ortn, omo no se ortn lulemos l distni mínim entre ls dos rets, pr est utilimos proeiones, reordemos que no son prlels en el plno. Figur Pr otener un vetor perpendiulr ms rets utilimos el produto ru entre dos vetores: v 1 = (3,,1) v = (,1,1) N = v 1 v = ( 1, 9,7) d = A. N N 3,4948. El ángulo entre ls rets orresponde l ángulo entre los vetores diretores θ 94. L ret perpendiulr tiene por vetor diretor el produto de los vetores diretores N = ( 1, 9,7) = t = 9t

= 7t Not: Pr definir si dos rets se run, nliremos el resultdo de reemplr los prámetros en l terer euión, si el resultdo es un surdo ls rets si se intersetn si el resultdo es ierto eiste un punto de interseión que se otiene reemplndo los prámetros en ls euiones de ls rets. PLANOS EN EL ESPACIO Pr definir l euión de un plno en el espio st on onoer un punto en el plno un vetor norml o perpendiulr l plno. Figur 3 P o ( 0, 0, 0 ) P(,, ) N = (A, B, C) Se P o ( 0, 0, 0 ) el punto onoido del plno, P(,, ) un punto generl del plno N = (A, B, C) el vetor norml l plno; entones l euión del plno viene dd por el vetor P 0 P el uál es perpendiulr l plno N, es deir P 0 P. N = 0 P 0 P = ( 0, 0, 0 ) P 0 P. N = ( 0, 0, 0 ). (A, B, C) = 0 ( 0 )A + ( 0 )B + ( 0 )C = 0 A 0 A + B 0 B + C 0 C = 0 A + B + C = 0 A + 0 B + 0 C

Si D = N. P o, entones tenemos l euión del plno A + B + C = D Ejemplos: 1. Enuentre l euión del plno que ontiene los puntos (,-1,-1),(1,3,1) (-1,- 1,4).. SUPERFICIES CUADRICAS Así omo el plno se puede epresr medinte un euión de l form A + B + C = D, podemos generlir un euión pr ulquier tipo de superfiie en funión de,,. Uno de estos sos son ls superfiies uádris u euión es dd por: A B C D E F G H I J 0 Pr desriir l gráfi de un superfiie uádri se diujn intersepiones on plnos prlelos los plnos oordendos, ests interseiones son urvs en el espio que reien el nomre de Trs se otienen nlítimente signándole un vrile deud un vlor onstnte. 1. Elipsoide. Tiene por euión 1 Ls trs del elipsoide son elipses, es deir, l interseión on plnos prlelos los plnos oordendos es un elipse Si 0 1 elipse Si 0 1 elipse

Si 0 1 elipse. Hiperoloide de un hoj. Tiene por euión 1

Ls trs del hiperoloide son hiperols en plnos prlelos l plno XZ l YZ, mientrs que en plnos prlelos l XY ls trs son elipses. Si 0 1 Hiperol Si 0 1 Hiperol Si 0 1 Elipse El eje por donde se re el hiperoloide es por el eje u vrile pree en l euión negtiv ( en este so eje ). L difereni fundmentl entre el hiiperoloide de un hoj el elipsoide es que tiene un vrile on signo negtivo. 3. Hiperoloide de dos hojs. Tiene por euión 1 Ls trs de est superfiies son : Pr plnos prlelos XZ son hiperols l igul que pr plnos prlelos l YZ. si 0 1 hiperol si 0 1 hiperol Se difereni de ls otrs superfiies que tiene dos vriles negtivs. 4. Proloides si 0 1 imposile!!! no h gráfi DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Versión 1 011

Tiene por euión Ls trs del proloide son: Pr plnos prlelos l XY son elipses, pr plnos prlelos l XZ o l YZ son práols. Si 0 Si 0 k Si K Elipse, Su difereni on ls otrs uádris es que tienen un vrile que no está elevd l udrdo, ls otrs vriles tienen el mismo signo. práol práol si Círulo 5. Proloide hiperólio. Tiene por euión Su difereni fundmentl on ls otrs superfiies es que ell tiene en su euión un vrile que no está elevd l udrdo, ls otrs vriles tienen el signos ontrrios. Trs: si si 0 0 práols 0 si 0 Dos rets!! práols 6. Conos L superfiie uádri que tiene por euión DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Versión 1 011

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Versión 1 011 Se denomin Cono. Ls trs del ono son: 7. Cilindro irulr reto: Cundo un de ls vriles, o no pree en l euión de l superfiie, Entones l superfiie es un Cilindro. Por ejemplo: Es un ilindro en el espio que flt l vrile. Por lo tnto, l gráfi del ilindro se etenderá prlelo l eje En el plno: En el Espio: X Y Z Y Dos rets 0 Si Dos rets 0 Si? Elipse, Y si k K si

8. Cilindro irulr reto on eje en el eje : Considere l euión: En el plno: En el Espio 8. Cilindro prólio: Considere l euión se otiene l superfiie 0, que orresponde un práol en el plno, l vrir En el plno En el espio DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Versión 1 011

9. Cilindro elíptio on eje en el eje : Considere l euión de l elipse l superfiie 4 4 en el plno, l reorrer el eje se otiene En el espio En el plno 10. Cilindro hiperólio on eje en el eje : Considere l euión 1 que orresponde un hipérol entrd en el (0,0) en el plno, l reorrer se otiene l superfiie En el espio En el plno DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Versión 1 011

Este tipo de funiones se definen de l form: FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES : f(, ) En donde el dominio orresponde un onjunto de puntos sore el plno, que he que los vlores de l funión sen reles. Gráfimente se representn por un superfiie en donde d punto del dominio le orresponde uno sólo un elemento del reorrido. Gráfimente el dominio de l funión orresponde l proeión de l superfiie sore el plno, el reorrido orresponde l proeión de l superfiie sore el eje. 1 1 0-1 - -1 0 1 - -1 0 1 0-1 - -1 0 1 - -1 0 1 Pr definir el dominio de l funión se dee tener en uent que los denomindores deen ser diferentes de ero ls ntiddes surdiles de índie pr deen ser positivs. Ejemplos: 1. f(, ) = 9 ( + ) Reordemos que el rgumento dee ser positivo 9 ( + ) 0 ( + ) 9 Lo uál orresponde un irunfereni de rdio 3 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Versión 1 011

De donde: D: *(, )εr/ + 9 + LIMITES EN VARIAS VARIABLES Definiión pr un vrile: lim f ( ) l 0 0 / A, 0 f ( ) l Definiión pr vris vriles: lim f (, ) 0, 0 ( ) ( ) f (, ) l (, ) (, ) LIMITES DE FUNCIONES UNA VARIABLE: -Lterl: lim f ( ) l lim 3 0 3 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Versión 1 011

-Infinito: 1 lim f ( ) lim 1 1 - En el infinito: lim f ( ) lim 4 1 1 1 - Infinitésimos: Es un funión uo vlor soluto puede herse tn pequeño omo se quier prtir de un ierto vlor de l vrile en delnte. lim f ( ) 0 ( ) lim A B L * K 0 de igul orden * A B *0 A B * no son omprles Los infinitésimos de igul orden se denominn equivlentes. Este tipo, nos será mu útil pr resolverlos. DOS VARIABLES: - Dole: lim f ( ) l (, ) (, ) - Direionl (rdil): lim f (, ) { ( )} l d DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Versión 1 011

- Reiterdo: lim(lim f ( )) l lim(lim f ( )) l 1 LIMITE DOBLE lim f (, ) l 0, 0 ( ) ( ) f (, ) l (, ) (, ) Infinitésimos Polres Direionl (rdil) L`Hopitl DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Versión 1 011

lim l lim[lim ] 0 0 1 0 0 0 (, ) (, ) l lim[lim ] 0 0 0 m lim { m} lim 1 m (, ) (, ) l l 1 porque depende de m lim (, ) ( 0, 0) { os } sen lim porque depende de { sen} Derivds priles de orden superior L segund derivd pril ( en generl tods ls de orden superior) tmién se pueden lulr. Si f(,,) =, se repite el proedimiento pr est epresión, ) ( f(, ) = () = se denot por f (el indi que se trt de l segund derivd pril) Ahor ien, si se empie on f (mnteniendo onstntes), luego se puede seguir lulndo l derivd pril de f on relión. Esto se esrie f Ejemplo. Cálulo de derivds priles Dd f(, ) = e sen(); lulr DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Versión 1 011

,,,, Soluión:,, = = e sen ( onstnte = e ). = = e os ( onstnte = os ). = = = e sen. = = = -e sen. = = = e os. = = = e os. = = = e os. Ls diferentes propieddes que hemos estudido en ls funiones de un vrile se pueden generlir dptr funiones de vris vriles. Cundo se hl de euiones difereniles priles se refiere euiones difereniles en ls que preen derivds priles de un funión de vris vriles. Ests son prolemente ls euiones de mor interés pr l físi-mtemáti sus pliiones. Un de ls más onoids útiles es l fmos euión de Lple: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Versión 1 011

+ + = 0 que preió por primer ve en l teorí newtonin de l trión grvitionl. Tmién pree en ls teorís de elstiidd, sonido, lu, lor, eletromgnetismo del movimiento de fluidos. DEFINICION DE INTEGRAL DOBLE: AREAS Y VOLUMENES Se utili el método de dole integrión pr lulr el áre o el entro de grvedd de un región A, limitd superiormente por l urv =f(), inferiormente de =f1(), l iquierd por l ret = l dereh por =. pero es de onsiderr pliiones onrets, vmos proesr el onepto de integrl dole de un funión F(, ) de dos vriles e. Ls pliiones físis resultn inmeditmente eligiendo epresiones prtiulres pr F(, ); esto es, F(, )= 1, o F(, )=, Cundo se trte de lulr el áre, o el momento del áre respeto l eje. L notión "A" F(, )da Ahor pr designr l integrl dole, etendid l región A, de l funión F(, ). Imginémonos l región A uiert por un red de rets prlels los ejes e. Ests rets dividen l plno en pequeñs áres retngulres, A== lguns de ls ules en por ompleto en l región A, otr son eteriores otrs, finlmente, quedn trvesds por su ontorno. No tendremos pendientes ls que están de A podemos tomr o no en onsiderión quell que se h prilmente dentro. Conretmente, fijemos l tenión en A interiores l ontorno que numermos en ierto orden A1, A.An se (k, k) un punto ulquier de Ak formemos l sum Si l funión F(, ) es ontinu en todo punto de A si ls urvs tomn su ontorno son ontinus tiene longitud totl finit, undo se he más tupid, de form que tienden ero (podemos poner = 0), el límite DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Versión 1 011

Eiste, se epres por l notión utilid en l euión "A" F(, ) da L integrl dole "A" F(, ) da se puede interpretr omo un volumen, l menos en el so de que F(, ) se positiv. Supongmos, por ejemplo, que l región de l se de un sólido F u ltur es el punto (, ) est ddo en = F(, ) El término F(k, k) Ak Represent un proimión ronle del volumen de quell porión que tiene por se Ak. L sum Sn de l euión A== nos d sí un proimión del volumen totl del sólido, del límite A1, A.An proporion un volumen eto. L utilidd de este onepto de integrl dole seri solo prente si tuviésemos que hllr el límite de ests sums, A1, A.An pr dr respuest numéri los diversos prolems prtiulres que se plnteen. Pero fortundmente, eisten métodos pr lulr l integrl dole medinte integrles suesivs. Esto es, en l práti, integrl dole se redue l álulo u otr de ls siguientes integrles iterds: "A" F(,) d d o "A" F(,) d d Que vmos eplir ontinuión. Antes de ello oservemos que eisten un método (que no demostrremos), el ul segur que ls integrles iterds no son igules entre sí l integrl dole "A" F(, )da, on tl que l funión se ontinu en A sore su ontorno, si este no es demsido omplet, ls ondiiones neesris pr ell se umplen pr los ejemplos. Vmos eplir hor el signifido de l notión "A" F(,) d d El resultdo de l integrl " F(,) d respeto, (Mnteniendo fijo ) lulrl en funión resultnte entre los límites =f1() e =f(); pr integrr el resultdo de ) respeto entre los límites = =. Prtimos de l integrl interior relimos integriones suesivs omo sigue: Considerndo omo onstnte se he l integrión respeto. Podemos dquirir ides del signifido geométrio de l euión región A del plno siendo de mner siguiente. Imginemos un sólido u se se l DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Versión 1 011

= F(, ) su ltur en el punto (, ) de A. [Supondremos simplifir, que F(, ) es positiv.] Imginemos hor rends de sólido determinds por plnos perpendiulres l eje en +d. Aproimdmente el volumen de d rend medinte l diferenil del volumen. dv = A()d, Siendo A() el áre de l seión del sólido por el plno trdo por. Est viene dd por l f por l integrl donde se onsider onstnte, dependiendo de los límites de integrión del áre pln onsiderd. Esto es, los límites son quells funiones de que representn ls urvs de ontornos de A. Finlmente, se ve que l integrl iterd de l euión oinide on ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN L pliión más simple de ls integrles doles es pr hllr el áre de un región del plno. Est áre est dd por un ulquier de ls integrles Los límites de integrión propidos. Y hemos visto omo se he esto en l figur 1, undo se efetún ls integriones primero respeto, después respeto ; es deir Es onstnte, si el áre est limitd l iquierd por l urv =g1(), l dereh por l urv =g(), inferiormente por l ret = superiormente por =d, (figur 3), Es preferile integrr primero respeto [que puede ir desde g1() g()] después respeto ; es deir omo Pr interpretr l primer integrión respeto, omo sum de todos los elementos da= dd situdos en un fj horiontl que se etiende desde l urv =g1() iquierd hst l urv =g() l dereh. El álulo de est integrl es Est últim integrl podí herse esrito de primer intenión, puesto que epres el áre omo límite de l sum de fjs horiontles. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Versión 1 011

INTEGRALES DOBLES COMO VOLUMENES. Cundo f(,) es positiv podemos interpretr l integrl dole de f sore un región retngulr R omo el volumen del prism sólido limitdo jo por R rri por l superfiie = F(, ). Cd termino f (k, k) "Ak en l sum Sn = "Ak es el volumen de un prism retngulr vertil que proim el volumen de l porión del sólido que está diretmente rri de l se "Ak. L sum Sn proim entones lo que llmmos volumen totl del sólido. Definido este volumen omo DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Versión 1 011