6. NÚMEROS COMPLEJOS.

6. NÚMEROS COMPLEJOS. 6.1. Itroduccó. Recordemos e prmer lugar todos los tpos de úmeros que coocemos y la razó, desde el puto de vsta algebraco, por la cual se ha do amplado: - Números aturales: {0, 1,,,...} Necesdad de amplacó: para resolver operacoes como 7 1. - Números eteros: {..., -, -, -1, 0, 1,,,...} = + egatvos Necesdad de amplacó: para resolver operacoes como. 7 7 1 5 - Números racoales:...,,,,, 1,,, 0,, 1,,,... = + fraccoes 5 9 Necesdad de amplacó: para resolver operacoes como. - Números Reales: 7 1 5..., π,, 10,, Φ, 1,, 0,, 1,,, e,,... = + rracoales 5 Necesdad de amplacó: para resolver operacoes como. 7 1 5 10 Φ 0 1 + 5 - Números Complejos:..., π,,,,,,,,,, e,,...,,,... = + magaros 1

6.. Hstora. La prmera refereca coocda de raíces cuadradas de úmeros egatvos provee del trabajo de matemátcos gregos, como Heró de Alejadría e el s. I ates de Crsto, al tetar hacer ua seccó de ua prámde. S embargo, fuero rechazados (al gual que los úmeros egatvos) por la falta de u equvalete detro de la geometría. Volvero a aparecer a fales del s. XVI, cuado Tartagla y Cardao se dedcaro a buscar fórmulas que permtera calcular las raíces de polomos de grados y. Auque sólo estaba teresados e las raíces reales de este tpo de ecuacoes, se ecotraba co raíces de úmeros egatvos. Alguos matemátcos, como Bombell, hcero uso de los úmeros complejos e su teto de resolver ecuacoes cúbcas, aceptádolos e cluso dado alguos resultados relacoados co ellos. Pero la mayoría de los matemátcos de etoces se egaba a aceptarlos. Los cosderaba como fatasmas de otro mudo, por carecer de represetacó real, y fuero llamados úmeros mposbles o magaros por Descartes e el s. XVII. Como aécdota cotaremos que Lebtz defó la udad magara como ua espece de afbo etre el ser y la ada. E 167 el matemátco glés J.Walls do la prmera represetacó geométrca de los úmeros complejos, pero o cotrbuyó a mejorar su aceptacó. Euler tetó compreder a lo largo del s. XVIII qué era realmete, y e 1770, e su Itroduccó completa al Álgebra dce: «Puesto que todos los úmeros cocebbles so mayores que cero, meores que cero, o guales a cero, está claro que las raíces cuadradas de úmeros egatvos o puede ser cludas etre los úmeros posbles (reales). E cosecueca debemos decr que so úmeros mposbles. Y esta crcustaca os lleva al cocepto de tales úmeros, que por su aturaleza so mposbles, y ordaramete se le llama magaros o deales, porque exste sólo e la magacó». E 1777 troduce por prmera vez el símbolo para otar a la udad magara. E 1799 Gauss do su prmera demostracó del teorema fudametal del Álgebra, y puesto que ésta depedía ecesaramete del recoocmeto de los úmeros complejos, Gauss cosoldó la poscó de estos úmeros. La terpretacó geométrca descrta por Wessel el msmo año, redescuberta alguos años después y popularzada por Gauss, també cotrbuyó al desarrollo de la teoría de los úmeros complejos. Aú así, durate el s. XIX seguía exstedo u grupo de profesores de la Uversdad de Cambrdge que mateía «ua vecble repulsó haca la objetable 1, adoptado artfcos para evtar su uso dode quera que fuera posble». Y també De Morga, e su lbro O the study ad dffcultes of Mathematcs (181) afrma: «Hemos demostrado el símbolo como vacío de sgfcado o más be absurdo y cotradctoro e sí msmo. No obstate, por medo de tales símbolos se ha establecdo ua parte del Álgebra de gra utldad». E la época e que De Morga escrbó lo ateror, los coceptos de úmeros complejos y fucoes complejas estaba camo de clarfcarse. Pero la dfusó de los uevos coocmetos fue leta.

6.. Udad magara. Al resolver la ecuacó x + 1= 0 se obtee x =± 1. Como sabemos, NO es u úmero real, ya que es mposble ecotrar u úmero real que elevado al cuadrado (e geeral, elevado a u expoete par) dé egatvo. Así pues, se defe la udad magara como el úmero cuyo cuadrado es 1 : = 1. De aquí podríamos escrbr que = 1, auque esta omeclatura es muy pelgrosa, ya que tedemos a realzar cuetas co las raíces cuadradas como s fuera úmeros reales, y esto puede = 1 1 = 1 1 = 1 = 1 1. llevar a errores, como por ejemplo: ( ) ( ) Por tato, o suele ser coveete realzar esta detfcacó de la udad magara. Observemos lo que pasa cuado realzamos potecas de expoete atural de la udad magara: 0 = 1 1 5 = = = 1 = 6 = 1 = = 1 = = 1 = = 1 = 7 = = 1 = = ( ) 8 = = 1 1 = 1 = = 1 = = 1 Las dos prmeras potecas, de expoetes 0 y 1, debe dar como resultado el que hemos obtedo s queremos mateer la cohereca co las defcoes y las propedades de las potecas de úmeros reales. Además, observamos que los resultados se repte cada y que, todas las potecas que tee como expoete u múltplo de, da como resultado la udad. Esto os permte calcular ua poteca cualquera de, dvdedo el expoete etre y quedado el resto de la dvsó como uevo expoete: 10 Ejemplos: + ( ) ; + ( ) 10 18 = = = 1 = = = = 1 Además, ya que el resto de la dvsó sólo puede ser 0, 1,, y, los úcos resultados posbles para cualquer poteca de la udad magara sería los que hemos obtedo e la prmera columa de la tabla ateror. U úmero magaro puro es aquel que se obtee al multplcar u úmero real por la udad magara. Ejemplos: ; ; π ; ; 1 = ; 15 5

També podemos deducr del comportameto de las potecas de la udad magara: a) El producto de dos úmeros magaros puros es u úmero real: ( ) ( ) ; ( ) 5 = 15 = 15 1 = 1 = 1 b) El cuadrado de u úmero magaro puro es sempre u úmero real egatvo: 9 9 = = = = 5 5 5 ( ) ; c) Como cosecueca de la propedad ateror, podemos afrmar que la raíz cuadrada de u úmero real egatvo es u úmero magaro puro: ( ) = ya que = ( ) 15 = 15 ya que 15 = 15 6.. Números complejos. U úmero complejo, escrto e forma bómca (dos térmos), es el que se obtee al sumar u úmero real co u magaro puro. Por tato, tee la forma a+b, sedo a y b úmeros reales. a = parte real (s a=0, el úmero b es magaro puro) z = a+b b = parte magara (s b=0, el úmero a es real) Para que dos úmeros complejos sea guales, tee que teer gual parte real e gual parte a= c magara: a+ b= c+ d. b = d El cojugado de u úmero complejo es otro úmero complejo que tee gual parte real y parte magara opuesta: z = a + b z = a b cojugado. Propedades: El cojugado de ua suma es la suma de los cojugados: z+ w= z+ w El cojugado de u producto es el producto de los cojugados: zw = zw El cojugado del cojugado es el msmo úmero: z = z El afjo de u úmero complejo es el par ordeado formado por su parte real y su parte = +, afjo. magara: z a b ( a b)

Teedo e cueta la estructura de -espaco vectoral que posee (el plao), es decr, las propedades que cumple las operacoes co pares ordeados, el afjo os proporcoa otra forma de ver a los úmeros complejos, llamada forma cartesaa, ya que exste ua correspodeca úca etre u úmero complejo y su afjo: * Los afjos de las udades real e magara so: 1= 1+ 0 ( 1, 0) y = 0+ 1 ( 0, 1 ) * ( ab, ) = ( a, 0) + ( 0, b) = a ( 1, 0) + b ( 0, 1) a 1 + b = a+ b Además, el afjo de u úmero complejo, os permte represetarlo gráfcamete e los ejes cartesaos detfcado eje horzotal co EJE REAL y eje vertcal co EJE IMAGINARIO: A través de la represetacó gráfca, podemos descubrr alguas propedades geométrcas del opuesto (smétrco respecto al orge de coordeadas) y del cojugado (smétrco respecto al eje real) de u úmero complejo: A Se defe el módulo de u úmero complejo z = a+ b, r = z, como la dstaca del afjo ab, al orge de coordeadas, o lo que es lo msmo, el módulo del vector OA, o també, la ( ) raíz cuadrada del producto de dcho úmero por su cojugado: r = z = z z = a + b. 5

Propedades: El módulo de ua suma es meor o gual que la suma de los módulos: z + w z + w El módulo de u producto es el producto de los módulos: z w = z w El módulo del cojugado es gual que el del úmero: z = z es A ( ab, ) = +, α = arg ( z) Se defe el argumeto prcpal de u úmero complejo z a b, cuyo afjo, como el águlo que forma el semeje real postvo co el vector OA, esto es: π s a = 0 y b> 0 π s a = 0 y b< 0 α = arg ( z) = 0 s a > 0 y b= 0 π s a< 0 y b= 0 b arctg s a 0 y b 0 a Teedo e cueta estos dos últmos coceptos y la represetacó gráfca, podemos escrbr los úmeros complejos e forma polar, r α, dode r = z = módulo del úmero complejo z, y α =argumeto prcpal del úmero complejo: Resumedo, hay cuatro formas dferetes de escrbr u úmero complejo y su relacó es: Bómca z = a+ b Cartesaa z ( ab, ) Polar z = r α Trgoométrca z = r ( cosα + seα) r = z = a + b b Ejemplo: + = 5 α = arctg a 60, 6 º a = r cosα Ejemplo: 5º = + b = r seα 6

La forma polar de escrbr los úmeros complejos es especalmete vetajosa a la hora de realzar productos, dvsoes, potecas y raíces, ya que el cálculo es mucho más secllo que cuado está escrtos e forma bómca o cartesaa. 6.5. Operacoes co úmeros complejos. (A) La suma, resta y multplcacó de úmeros complejos e forma bómca, se realza sguedo las reglas de las operacoes co úmeros reales y teedo e cueta que = 1. Para dvdr, se multplca el umerador y el deomador por el cojugado del deomador. OPERACIÓN RESULTADO Ejemplo 5+ + 6 9 = 1 6 SUMA (a+b) + (c+d)= (a+c) + (b+d) ( ) ( ) RESTA (a+b) - (c+d)= (a-c) + (b-d) ( ) ( ) 5 + 6 9 = 11 + 1 5+ 6 9 = + 6 PRODUCTO (a+b) (c+d)= (ac-bd) + (ad+bc) ( ) ( ) + b DIVISIÓN = c + d POTENCIA a+ b c d ac + bd bc ad = + c+ d c d c + d c + d a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a+ b = a b + ab El caso geeral se haría medate el bomo de Newto: 0 0 0 ( a+ b) = a ( b) +... + a ( b) 5 + = 19 6 9 9 1 ( ) 5+ = 16 0 RAÍZ a = x y a + b = x + y a + b = ( x + y) b = xy El caso geeral de ua raíz -ésma se complcaría bastate porque hay que aplcar la fórmula del bomo de Newto y resolver u sstema o leal de grado mayor que. = x+ y = x y = xy x = y y + y = 0 y = 1 x= y = 1 x = + = susttucó (B) Las operacoes, realzadas e forma cartesaa, se correspode co las defdas para pares ordeados, pero es más fácl recordarlas o realzarlas e forma bómca, por lo que úcamete escrbmos las fórmulas a título de curosdad: OPERACIÓN RESULTADO OPERACIÓN RESULTADO SUMA (a,b) + (c,d)= (a+c,b+d) PRODUCTO (a,b) (c,d)= (ac-bd,ad+bc) RESTA (a,b) - (c,d)= (a-c,b-d) DIVISIÓN ( ab, ) (, cd ) = ac + bd, bc ad c + d c + d 7

(C) E forma polar: SUMA RESTA PRODUCTO DIVISIÓN OPERACIÓN RESULTADO rα r' β = ( rr ') (producto de módulos ; suma de argumetos) α+ β r r ' POTENCIA ( ) RAÍZ Ejemplos: α β = r ' r α = ( r ) r α β α (cocete de módulos ; resta de argumetos) (módulo elevado a ; veces el argumeto) r α+ π k = 01 1 r α = ( ) co,,..., k Todo º complejo (salvo el 0) tee raíces -ésmas, que ocupa los vértces de u polígoo regular de lados co cetro e el orge de coordeadas. ; : ; ( ) 5 6 = 0 0 = 5 = 8 0 º 15 º 5 º 60 º 5 º 15º 0º 0 º ( cos º se º ) (, ) 180º = 90º = 90 + 90 = = 0 = 180º = 180º + 60º = 70º = 70 + 70 = = 0 ( cos º se º ) (, ) Las operacoes defdas aterormete cumple las propedades tradcoales, esto es: * (,+) es u grupo abelao. -Comutatva: ( + ) + ( ) = ( ) + ( + ) = 1 -Asocatva: ( ) ( ) ( ) ( ) -Elemeto eutro: ( 5 ) + ( 0+ 0) = 5 -Elemeto opuesto: ( 5 ) + ( 5+ ) = 0+ 0 * ( { 0}, ) es u grupo abelao. -Comutatva: ( + ) + ( ) = ( ) + ( + ) = 1 -Asocatva: ( ) ( ) ( ) ( ) -Elemeto eutro: ( 5 ) ( 1+ 0) = 5 * (, +, ) -Elemeto verso: ( ) + + + = + + + = 1+ + = + = 8 16 5 1 5 + = 1+ 0 6 6 es u cuerpo abelao, ya que també se cumple la propedad dstrbutva. 8

Además, podemos afrmar que es u cuerpo algebracamete cerrado, esto es, que cogdos cualesquera dos úmeros complejos, el resultado de cualquer operacó que podamos hacer co ellos també es u úmero complejo. 6.6. Fórmula de De Movre. S calculamos ua poteca de u úmero complejo de módulo 1 e forma polar, obteemos la fórmula de De Movre, que tee múltples aplcacoes, especalmete e Trgoometría: ( 1 ) ( ) ( 1 ) 1 ( ) α = cosα + seα = = cos α+ se α = cos α + se α α ( cos α + seα ) = cos α + se α Para que se vea la utldad de esta fórmula e trgoometría, vamos a utlzarla para calcular las razoes trgoométrcas del águlo doble ( = ): ( cosα + seα) = cos α + se α cos α se α + cos α seα = cos α + se α ( ) cos α se α = cos α cos α seα = seα 6.7. Ejerccos. 1. Determa k para que: a. 1 + k + sea 8 1 ) gual a + 1 1 ) magaro puro ) real b. 6 + k sea 9 0 ) gual a + 1 1 ) magaro puro ) real. Calcula las sguetes potecas de la udad magara: a. 78 b. 697 c. 106 d. 689. Calcula el módulo y el argumeto prcpal de los sguetes úmeros complejos: a. + b. 6 c. 9 d. 1 1 9

. Escrbr cada uo de los sguetes úmeros complejos de las otras tres formas posbles: a. 6 6 b. 10 º c. d. 70 º 15 1 e. (, ) 8 8 h. (, ) g.. 10 + 10 f. cos ( 10º + se 10º ) 5. Calcula y smplfca: a. ( ) + ( 5 ) ( + 1) ( ) + b. ( ) ( ) ( ) ( ) c. e. 5 7 6 ( ) 11 11 g. 60º 5º. d. 5+ + 6 + + 9 8 ( + + + ) 1+ f. 1 + + + +... + + 0 1 6 6 1015 6 (e forma bómca) h. ( ) º + 5 k. ( ) j. + 1+ 5 (e forma polar) l. ( + ) (e forma bómca y e forma polar) 1 (e forma polar) m. ( ) + ( ) + ( ). cos ( 10 + se10 ) 5 ( ) 1 o. 0º 60º p. + q. ( + ) (e forma polar) r. ( ) 6 (e forma polar) + 7 (resultado e forma bómca) s. 1 0 t. 0 (e forma polar) u. (resultados e forma bómca) v. (resultados e forma cartesaa) w. (resultados e forma cartesaa) x. (resultados e forma bómca) y. ( + ) (resultado e forma trgoométrca) z. 9 º aa. cos ( º + se º ) 7 99 99 bb. ( + ) cc. ( 1 + ) 0 dd. ( 5 5 ) 8 (resultados e forma trgoométrca) (resultados e forma trgoométrca) 6 10

6. Calcula, smplfca y expresa el resultado e forma bómca: 1 b. 175º : 75º a. 5º 10º 7 d. 615º : 90 º c. 5º 10 º 7. Calcula las sguetes raíces y efectúa, e cada caso, el producto de todas las solucoes. a. 6 º b. 810º 6 c. 6 d. + 6 1 e. 5 10 + 10 f. 196180º 8. Calcula las sguetes raíces y efectúa, e cada caso, la suma de todas las solucoes. a. 5 1 b. 8 1 c. 8 d. 65 e. 1 + 5 f. g. 6 (resultados e forma bómca) h. 196180º 9. Cosderemos el úmero complejo z = +. Calcula: a. Su opuesto b. Su cojugado c. El cojugado de su opuesto d. El opuesto de su cojugado e. Qué relacó exste etre estos dos últmos? 10. Cómo debe ser el úmero complejo z = a+ b para que su cuadrado sea: a. Imagaro puro b. U úmero real postvo c. U úmero real egatvo. 11. Utlza la fórmula de De Movre para hallar las fórmulas del águlo trple. 1. La suma de dos úmeros complejos cojugados es 6 y la de sus módulos es 10. Calcúlalos. 11

1. Resuelve la ecuacó x 1 x+ = 0 y realza el cocete de las dos solucoes, efectuádolo e forma bómca y polar. 1. Halla u úmero complejo que sumado co y argumeto 5 º. 1 + dé otro úmero complejo de módulo 15. Ua de las raíces cúbcas de u certo úmero complejo es 60 º. Calcula las otras dos y el úmero complejo de que se trata. 16. Calcula u úmero complejo tal que 0º sea ua de sus raíces qutas. Escrbe todas las raíces qutas de dcho úmero e forma trgoométrca y represétalas gráfcamete. Calcula el perímetro y el área del petágoo que determa. 17. Supogamos dbujadas e el plao las bsectrces de los cuatro cuadrates. S se traza ua crcufereca de cetro el orge y rado, y se desga por A, B, C y D los putos de corte de la msma co las bsectrces, cuáles so los úmeros complejos de afjos A, B, C y D? 18. Represeta gráfcamete la suma y la dfereca de los úmeros 1 y +. 19. Escrbr ua ecuacó de segudo grado, ua de cuyas raíces sea el úmero: a. 1 b. 1 c. + d. + 0. El úmero complejo es ua raíz de ua ecuacó de segudo grado. Cuál es la otra raíz? De qué ecuacó se trata? 1. Calcula el módulo, argumeto y cocete de las raíces de la ecuacó x 1 x+ = 0. 1

6.8. BIBLIOGRAFÍA. Para la elaboracó de estos aputes, se ha utlzado como materal: 1º Mayortaramete, las explcacoes y ejerccos propuestos e clase por los profesores del Departameto de Matemátcas del Colego Vrge de Graca (Graada). º Para desarrollar y completar alguos temas, aputes y ejerccos obtedos de: -Iteret: (A) http://www.jutadeadaluca.es/averroes/esarroyo/matematcas/materales/ (B) http://es.wkpeda.org/wk/n%c%bameros_complejos -Lbros de texto: (A) Azola, M. y otros: Fucoes 1, Edcoes SM, 198. (B) Lazcao, I. y otros: Matemátcas 1º BUP, Edtoral Edelvves, 198. (C) Álvarez, F. y otros: Factor 1, Edtoral Vces-Vves, 1991. 1