arte - robabldad rof. María. tarell RTE - ROILIDD - robabldad. - Espacos muestrales y evetos. La Teoría de robabldades estuda los llamados expermetos aleatoros. Eemplos cláscos de expermetos aleatoros so los uegos de azar: a trar u dado y observar el úmero e la cara de arrba. b trar ua moeda c lazar ua moeda cuatro veces y cotar el úmero total de caras obtedas. d lazar ua moeda cuatro veces y observar la sucesó de caras y cecas obtedas. Smbolzamos co ε a u expermeto aleatoro. U expermeto aleatoro tee las sguetes característcas: -Se lo puede repetr bao las msmas codcoes tatas veces como se desee. - No se puede predecr co exacttud el resultado de dcho expermeto, pero se puede decr cuáles so los posbles resultados del msmo. - medda que el expermeto se repte, los resultados dvduales parece ocurrr e forma caprchosa. ero s el expermeto se repte u gra úmero de vece y regstramos la proporcó de veces que ocurre u determado resultado, veremos que esa proporcó tede a establzarse e u valor determado a medda que aumeta el úmero de veces que se repte el expermeto. or eemplo, cosderemos el expermeto de lazar u dado y observar el úmero de la cara superor. Supogamos que tramos el dado N vece y sea el úmero de veces que sale el úmero e los N tros del dado. Etoces N es la proporcó de veces que sale el úmero e los N tros. S el dado es ormal a medda que N aumeta, N tede a establzarse e u úmero que es. Observacó: e los expermetos o aleatoros o determstas se puede predecr co exacttud el resultado del expermeto, es decr, las codcoes e las que se verfca u expermeto determa el resultado del msmo. or eemplo, s colocamos ua batería e u crcuto smple, el modelo matemátco que posblemete descrbría el fluo observable de correte sería I ER, que es la ley de Ohm. El modelo predce el valor de I al dar E y R. O sea, s se repte el expermeto ateror certo úmero de vece empleado cada vez el msmo crcuto, es decr mateedo fas E y R, esperaríamos observar el msmo valor de I. veces sucede que u expermeto o es aleatoro estrctamete, pero resulta mucho más secllo estudarlo como s fuera aleatoro. or eemplo, s tramos ua moeda y observamos qué lado queda haca arrba, el resultado sería predecble coocedo e forma precsa las velocdades cales de traslacó y rotacó, y las elastcdades de los materales del pso y de la moeda. ero la precsó co la que se ecesta coocer estos datos es cas mposble de obteer e la realdad, por lo que es más coveete tratar al expermeto como aleatoro.
arte - robabldad rof. María. tarell El couto de todos los resultados posbles de u expermeto aleatoro es el espaco muestral. l espaco muestral lo aotamos co la letra S. or eemplo, a S ε : trar u dado y observar el úmero e la cara de arrba, etoces podemos tomar como espaco muestral a S {,,,,,} b S ε : trar ua moeda, etoces S { s} c S ε : lazar ua moeda tres veces y cotar el úmero total de caras obtedas etoces podemos cosderar S { 0,,,} d Sε : lazar ua moeda tres veces y observar la sucesó de caras y cecas obteda etoces S { c ; s; c; c; s; c; c; s } e S ε : trar u dado las veces ecesaras hasta que sale u por prmera vez, y cotar el úmero de tros realzado etoces S {,,,,...} N, dode N es el couto de los úmeros aturales. f S ε : medr el tempo de vda de ua lamparta eléctrca, etoces S { t R, t 0} dode R es el couto de los úmeros reales. Observacoes: - la eleccó de S o es úca, depede de lo que se quera observar del expermeto aleatoro. - El espaco muestral puede ser u couto fto, o fto. su vez s es fto puede ser fto umerable o o umerable. E e el couto S es fto umerable, e f el couto S es fto o umerable. Se llama eveto o suceso a todo subcouto del espaco muestral. or eemplo, a E el expermeto dado e el eemplo a, u eveto de S sería {,,} pues S. odemos expresar al eveto co palabras de la sguete maera : sale u úmero par es u eveto al que podemos expresar verbalmete como : sale u úmero meor o gual que b E el expermeto dado e el eemplo d, u eveto de S sería { c ; s; c; c }, el que e palabras se puede expresar como : sale por lo meos dos caras c E el expermeto dado e el eemplo f, u eveto de S sería D: la lamparta dura más de 00 horas, e otacó de coutos D { t R; t > 00} Observacoes: També {,,} - e el eemplo a ateror, s al trar el dado sale el úmero, etoces podemos decr que ocurró pues. ero també ocurró pues. E cambo s al trar el dado sale el úmero, etoces el eveto ocurró pero o ocurró, pues. - el couto es u eveto pues el couto está cludo e todo couto, e partcular S. Es el eveto que uca ocurre. El espaco muestral S es u eveto pues todo couto está cludo e sí msmo, y S sempre ocurre. Las operacoes habtuales etre coutos se puede aplcar a los eveto dado como resultado uevos evetos. Específcamete
arte - robabldad rof. María. tarell - S y so eveto etoces es otro eveto. ocurre - S y so eveto etoces es otro eveto. ocurre - S es u eveto es u eveto. ocurre s y solo s o ocurre ocurre s y solo s ocurre o s ocurre s y solo s ocurre y Nota: recordar que las operacoes de uó, terseccó dfereca y complemeto se defe de la sguete maera: - es el couto formado por los elemetos que está e o e dode el o está e setdo clusvo, e otacó de coutos x; x x { } E la fgura la zoa e grs smbolza - es el couto formado por los elemetos que está e y e, e otacó de coutos { x; x x } E la fgura la zoa e grs smbolza - es el couto formado por los elemetos que está e el couto uversal U y o está e, e otacó de coutos x; x U x { } La zoa e grs smbolza - es el couto formado por los elemetos que está e y o está e, e otacó de x; x x, coutos { } La zoa e grs smbolza Notar que
arte - robabldad rof. María. tarell Es útl recordar las sguetes propedades sobre el álgebra de coutos: - Leyes de dempoteca a b - Leyes asocatvas a b - Leyes comutatvas a b - Leyes dstrbutvas a b - Leyes de detdad a b c U U d U - Leyes de complemeto a U b c 7- Leyes de De Morga d U, U a b La relacó de clusó etre u couto y otro y las operacoes aterores co coutos lleva al sguete Teorema: a es equvalete a b es equvalete a c es equvalete a d es equvalete a, e es equvalete a Sea y dos coutos. El couto producto de y, expresado todos los pares ordeados a, b dode a y b, es decr Se aota al producto U { a, b; a b }, está formado por or eemplo, s {,,} y { 7,8}, etoces {,7;,8;,7;,8;,7;,8} El cocepto de couto producto se extede a u úmero fto de coutos e forma atural. El couto producto de los coutos,,..., se aota.. y es gual a
arte - robabldad rof. María. tarell { a, a,..., a, a,,,...,}.., es decr es el couto de todas las -uplas a, a,..., a dode a para cada. or eemplo, s {,,}, {,}, {,,}, etoces u método coveete para hallar el producto es por medo del deomado dagrama de árbol que se muestra a cotuacó, el cual se costruye de zquerda a derecha. costa de todas las teras o -uplas formadas al segur cada camo del árbol or eemplo el camo co trazo más grueso dcaría la tera,, Las operacoes de uó e terseccó també se puede geeralzar a más de dos coutos S,,..., so couto etoces a la uó de todos ellos se aota.. o també U y es gual a.. { x; exste tal que x }, es decr u elemeto x perteece a.. s x perteece a alguo de los coutos.,, y se la aota De forma aáloga se defe la uó de ua secueca fta de coutos,... co el símbolo U b la terseccó de todos ellos se aota.. o també I I los coutos { x; x para todo }, es decr u elemeto x perteece a I y es gual a s x perteece a todos
arte - robabldad rof. María. tarell De forma aáloga se defe la terseccó de ua secueca fta de coutos,..., y se la aota co el símbolo I, S y so dos evetos tales que, se dce que so dsutos o mutuamete excluyetes. Es decr s y so mutuamete excluyetes o puede ocurrr a la vez. or eemplo, s se tra u dado y se observa el úmero de la cara superor, los evetos {,,} y {,,} so mutuamete excluyetes. l trar u dado sale u úmero par o u úmero mpar, o puede darse ambas cosas a la vez. Los evetos co u solo elemeto so evetos elemetales o smples. or eemplo, volvedo al expermeto ε : trar u dado y observar el úmero e la cara de arrba, y S {,,,,,}, etoces los coutos utaros {},{ },{},{ }, { }, { } so evetos smples. Notar que dos evetos smples cualesquera so mutuamete excluyetes. Dado u eveto asocado a u expermeto aleatoro ε. Supogamos que se repte veces el expermeto ε, y aotamos al úmero de veces que ocurre e la repetcoes de ε. Se defe la frecueca relatva de, y se smbolza f, al cocete proporcó de veces que ocurre e las repetcoes de ε. La frecueca relatva f tee las sguetes propedades: - 0 f - f s y solo s ocurre cada vez e las repetcoes - f 0 s y solo s o ocurre uca e las repetcoes - s y so dos evetos mutuamete excluyetes etoces f f f. Es decr que f es la Dado u eveto, se quere asgar al msmo u úmero que dque qué ta probable es que ocurra. ese úmero lo defríamos como la probabldad de. E ese setdo parecería que la frecueca relatva f sería ua buea eleccó. ero os ecotramos co el sguete problema, cuátas veces deberíamos repetr el expermeto aleatoro para defr f, es decr qué valor de tomaríamos? or eemplo e el expermeto de trar u dado cosderemos el eveto : sale el úmero, s lo lazamos 00 veces podríamos ecotrar que, y s lo lazamos uevamete 00 veces podría ocurrr que sea dferete del ateror por eemplo podría ocurrr 0 veces. Etoce tedríamos dos valores dferetes para f, 0. y 0. Se do ates que e u expermeto aleatoro a medda que aumeta la frecueca relatva de tede a establzarse e u úmero, pero o podemos e la práctca repetr el expermeto ftas veces. Se quere asgar a cada eveto u úmero que o depeda de la expermetacó. or este motvo procedemos como sgue:
arte - robabldad rof. María. tarell Defcó axomátca de probabldad. Sea ε u expermeto aleatoro y S u espaco muestral asocado co ε. o cada eveto asocamos u úmero real llamado probabldad de, que aotamos, el cual satsface las sguetes propedades báscas o axomas - 0 - S - S y so evetos mutuamete excluyetes etoces - S,,...,,,... es ua secueca de evetos tales que U s, etoces La eleccó de estas propedades está motvada por las característcas correspodetes de la frecueca relatva. Observacó: supogamos el expermeto de lazar ua moeda y el espaco muestral S { s} Notar que podemos escrbr S { c} {} s., es decr como uó de evetos smples. or los axomas y de la defcó de probabldad teemos que S { c} {} s Es decr { c} {} s, lo que mplca que { c} {} s de { c} el valor de {} s por eemplo s el dado es ormal. De ser así podemos platear que { c} {} s. No podemos deducr el valor de las propedades aterores. Necestamos formacó adcoal,, etoces { c} {} s { c} {} s { c} {} s 0. odemos deducr de los axomas otras propedades útles para el cálculo de probabldades. ropedades de la probabldad - 0 Dem. Sedo u eveto cualquera podemos escrbr demás y so mutuamete excluyete por lo tato por axoma O sea que 0 - S es el eveto complemetaro de, etoces 7
arte - robabldad rof. María. tarell Dem. S es u eveto cualquera, etoces podemos escrbr S demá por defcó de complemeto de u couto, y so mutuamete excluyetes. or lo tato, por axoma y por axoma S Despeado - S etoces Dem. Sea y dos evetos tales que. De la fgura vemos que Y además y so mutuamete excluyetes. Etoces Y como por axoma teemos que 0, etoces - S, etoces Dem. Sguedo los pasos de la demostracó ateror llegamos a, lo que mplca que Y como, etoces. Observacó: e geeral vale la sguete propedad - S y so dos evetos cualesquera, etoces 8
arte - robabldad rof. María. tarell 9 Dem. Escrbmos a como uó de partes dsutas de la sguete maera, observar la fgura Y por la observacó ateror or lo tato, reemplazado e : o lo que queda demostrada la propedad. Observacoes: - La propedad ateror se puede geeralzar para expresar la probabldad de tres evetos Se llega a la gualdad ateror escrbedo D y aplcado la propedad, es decr: D D D Nuevamete aplcamos : Y ademá aplcado las leyes dstrbutvas Etoces: omo, reemplazado e se llega a : E geeral, se puede probar que s,...,, so evetos cualesquera etoces...... k k < < < U - S,...,, so evetos tales que co etoces U Notar que la gualdad ateror es ua geeralzacó del axoma.
arte - robabldad rof. María. tarell. - El espaco muestral fto Sea ε u expermeto aleatoro y S u espaco muestral asocado a ε. Supogamos que S es u S a a,...,, es decr cosderamos que tee elemetos. couto fto al que aotamos { }, odemos escrbr a S como uó de evetos elemetales de la sguete forma. S { } a a etoces S.... demás sabemos que S, por lo tato teemos el resultado:... Es decr: la suma de las probabldades de los evetos elemetales es gual a S ahora tomamos u eveto cualquera de S, lo aotamos { a a,..., a } podemos escrbr a como uó de evetos smples:, etoces, k. or lo tato k......... k k Es decr para calcular la probabldad de se suma las probabldades de los evetos elemetales que lo compoe. S asummos que... p, es decr todos los evetos elemetales tee la msma probabldad de ocurrr, etoces reemplazado e : p p... p veces p p p # S Dode el símbolo #S se lee: úmero de elemetos de S, e geeral #S dca el cardal de S uado... p, se dce que S es equprobable. S es u eveto cualquera de S, lo aotamos { a a,..., a } escrbmos a como uó de evetos smples:, k o sea que # k, etoces..., y uevamete k omo ya vmos que...... k k para todo,,,, se tee que: k...... k # # Es decr s es u eveto de u espaco muestral equprobable etoces # S k veces # S 0
arte - robabldad rof. María. tarell Eemplos: - Supogamos que se tra ua moeda ormal tres vece y se cueta el úmero de caras obtedo luego de los tres tros. Tomemos como espaco muestral a S { 0,,,} uál es la probabldad de que salga al meos dos caras? E este caso S o es equprobable, pues el eveto { 0 } ocurre de ua sola forma: cuado e los tres tros sale ceca El eveto {} ocurre de ua sola forma: cuado e los tres tros sale cara ero el eveto {} ocurre cuado e los tres tros sale ua sola cara y eso puede darse de tres formas dsttas c, s; c o c álogamete para el eveto { } puede darse de tres formas dsttas: c, s; c o c or lo tato { 0} {} y {} { }. S aotamos { 0} {} p y {} { } q etoces q p demás se cumple { 0} {} { } {} Etoces de y q p p q q q p p p q p 8, q 8 De esta forma coocemos las probabldades de todos los evetos elemetales. S : sale al meos dos caras, etoces {,} ara calcular hacemos 8 8 8 S tomamos como espaco muestral a S { } {} 0. { c ; s; c; c; s; c; c; s } Etoces S es equprobable pues cada resultado cada tera se de ua sola forma. # E este caso podemos platear drectamete 0. # S 8 - E el caso de espacos muestrales equprobables es ecesaro recordar las téccas de coteo para calcular el úmero de elemetos de u couto s eumerar sus elemetos. or eemplo: Se tee ua ura co bolllas dstgubles puede estar umerada de las cuales 0 so blacas y so roas. Se extrae al azar dos bolllas de la ura, a cuál es la probabldad de extraer todas blacas? b cuál es la probabldad de extraer exactamete ua bollla blaca? c cuál es la probabldad de extraer al meos ua bollla blaca? Supogamos que se extrae las dos bolllas s reemplazo y o mporta el orde e que so extraídas.
arte - robabldad rof. María. tarell l decr que se extrae al azar, se etede que el espaco muestral del expermeto es equprobable. l decr que se extrae las bolllas s reemplazo, sgfca que se extrae ua bollla y s regresarla a la ura se extrae la sguete. El espaco muestral de este expermeto se puede tomar como S {,}{ ;,}{,,0},...}, es decr como el couto cuyos elemetos so couto todos los coutos de dos elemetos que se pueda formar a partr de u couto de elemetos. or eemplo, el resultado {,} sgfca que se extraero las bolllas y. uátos elemetos tee S?, recordado las téccas de! coteo el úmero de elemetos de S es gual al úmero combatoro!! ara respoder la preguta a aotemos : las dos bolllas so blacas # Etoces. uátos elemetos tee el couto?, tatos como formas haya de # S 0 0! extraer dos bolllas blacas. Se tee que #.! 0! 0 0! #! 0! or lo tato # S! 7!! Veamos ahora el cso b. otamos : se extrae exactamete ua bollla blaca Etoces 0 # # S Y por últmo el cso c. otamos : se extrae al meos ua bollla blaca odemos resolverlo de dos maeras: La forma más fácl es calcular dode : gua bollla es blaca # 9 # S Otra forma de resolverlo podría ser la sguete, escrbmos dode Notar que :" se extrae bolllas blacas exactamete",. or lo tato Y 0 # ; # S # # S 0 0
arte - robabldad rof. María. tarell or lo tato 0 0 0 0 9 9 - S e el eemplo ateror mporta el orde e que so extraídas las bollla etoces S {, ;,,,0,., ;,...}, es decr que S es el couto de todos los pares a, b dode a b, por eemplo, expresa el resultado: prmero se extrao la bollla y e segudo térmo se extrao la bollla. El úmero de elemetos de S es x 0. E este caso 0 9 ; 7 ara calcular la probabldad de hay que dstgur s la bollla blaca se extrae prmero o se extrae e segudo térmo: 0 0 0 ara calcular la probabldad de uevamete podemos pesarlo de dos forma pero s cosderamos e cada caso hay que teer e cueta el orde e que se extrae las bolllas. Es mas práctco hacer - S ahora mporta el orde e que so extraídas las bolllas y además la extraccó se hace co re emplazo se extrae ua bollla y se la devuelve a la ura ates de extraer la sguete, etoces S es el couto de pares a,b dode ahora puede ocurrr que a b. E este caso #S x, y calculamos 0 0 ; 0 0 0 ;. - Espacos muestrales ftos Sea S u espaco muestral fto umerable es decr S { a; a; a;kk} a asgamos u úmero p { } tal que fto, a cada a p 0 b p a. omo e el caso La probabldad de u eveto es etoces la suma de las probabldades de los evetos elemetales que lo compoe. Los úcos espacos muestrales ftos o umerables que cosderaremos so aquellos de medda geométrca fta m S tales como logtud, área o volume, y e los cuales u puto se seleccoa al azar. La probabldad de u eveto, esto es aquella e la que el puto seleccoado perteece a, es etoces la relacó etre m a m S, es decr logtud de ó logtud de S área de ó área de S volume de volume de S
arte - robabldad rof. María. tarell Eemplo: E el teror de u círculo se seleccoa u puto al azar. Hallar la probabldad de que el puto quede más cercao al cetro que a la crcufereca. Tomamos como espaco muestral a S { x, y, x y r } x, y, x y r, etoces r π área de or lo tato área de S π r r r Observacó: s x, y, x y, área de 0 etoces 0 área de S π r, pero or lo tato s u eveto tee probabldad 0 eso o mplca que sea el eveto vacío. S r - robabldad codcoal.- Defcó Supogamos el expermeto aleatoro de extraer al azar s reemplazo dos bolllas de ua ura que cotee 7 bolllas roas y blacas. summos que las bolllas de u msmo color so dstgubles. osderamos los evetos : la prmer bollla extraída es blaca, y : la seguda bollla extraída es blaca. El espaco muestral S se puede pesar como el couto S a, b; a,,...0; b,,...0; a b y # S 0 9. { } Es claro que 9. ero s queremos calcular o es ta drecto. odemos 0 9 0 calcular la probabldad de sabedo que ocurró: es gual a 9, ya que s ocurró, etoces e la ura quedaro 9 bolllas de las cuales so blacas. La probabldad ateror la aotamos y se lee: probabldad codcoal de dado. Es decr. 9 Notar que podemos terpretar lo ateror de la sguete forma: el espaco muestral orgal S se ha reducdo al eveto, es decr se toma a como uevo espaco muestral para calcular la probabldad de.
arte - robabldad rof. María. tarell També podemos terpretar que la probabldad codcoal de dado debería ser la proporcó de veces que ocurre co respecto al úmero de veces que ocurre. esado e térmos de frecueca relatva:. Esta dea motva la sguete defcó: Sea y dos evetos de u espaco muestral S. La probabldad codcoal de dado se defe como álogamete s 0 s 0 E alguos casos se puede calcular drectamete reducedo el espaco muestral. E otros será ecesaro aplcar la defcó ateror. Observacó: s y so evetos de u espaco muestral S equprobable, etoces Eemplos: # - E el expermeto de extraer dos bolllas 0 9 9 0 - Se tra u dado ormal dos veces. Sea los evetos : la suma de los úmeros obtedos es y : el prmer úmero es gual a Teemos que {, ;, ;, ;, ;, } y {, ;, ;, ;, ;, ;, } Etoces para calcular medate la defcó de probabldad codcoal També podemos calcularlo e forma drecta, reducedo el espaco muestral, de todos los pares del eveto, observamos cuáles cumple co lo requerdo por, es decr de todos los pares de, solo uo tee la propedad de que sus compoetes suma, por lo tato # - Se laza ua moeda ormal tres veces. Hallar la probabldad de que salga todas caras s sale algua cara.
arte - robabldad rof. María. tarell El espaco muestral reducdo es el eveto : sale algua cara c ; s; c; c; s ; c ; s Y { c } or lo tato 7 Teemos que { } - E certa cudad, 0% de la poblacó tee cabellos castaño % tee oos castaños y % tee cabellos y oos castaños. Se escoge ua persoa al azar a s tee cabellos castaño cuál es la probabldad de que també tega oos castaños? b S tee oos castaño cuál es la probabldad de que o tega cabellos castaños? c uál es la probabldad de que o tega cabellos oos castaños? Sea los evetos : la persoa elegda al azar tee oos castaños, : la persoa elegda al azar tee cabellos castaños Etoces 0., 0. 0 y 0. a Se pde calcular : 0. 0.0 0. b 0. c 0. - Sea los evetos y co 0., y. Hallar: a, b, c, d, e a b c d alculamos: ; 7 7 Etoces or la ley de De Morga 8
arte - robabldad rof. María. tarell e Observacoes: a S etoces b S etoces 0 c Es fácl comprobar que para fo, satsface los axomas de la probabldad, esto es: - 0 - S -S y so evetos mutuamete excluyetes etoces -S,,...,,,... es ua secueca de evetos tales que s etoces U Teorema de la multplcacó S y so dos evetos etoces s 0 or lo tato álogamete de s 0, se deduce 7 y 7 se cooce como teorema de la multplcacó. osderemos otra vez el eemplo de extraer dos bolllas al azar s reemplazo de ua ura que cotee bolllas blacas y 7 roas. S : la prmer bollla extraída es blaca, y : la seguda bollla extraída es blaca, etoces S,, so tres evetos etoces 0 9 pues: 7
arte - robabldad rof. María. tarell 8 Teorema de la multplcacó Teorema de la multplcacó El teorema de la multplcacó se puede geeralzar a evetos,...,, :...,...... 8 Eemplos: - Ua clase tee ños y ñas. S se escoge tres estudates de la clase al azar, cuál es la probabldad de que sea todos ños? Solucó: otamos : el -ésmo estudate elegdo es u ño,, Etoces la probabldad pedda es 0 - Los estudates de ua clase se escoge al azar, uo tras otro, para presetar u exame. a S la clase costa de ños y ña cuál es la probabldad de que ños y ñas quede alterados? b S la clase costa de ños y ña cuál es la probabldad de que ños y ñas quede alterados? Solucó: a Nuevamete aotamos : el -ésmo estudate elegdo es u ño Etoces la probabldad pedda e aplcado 8: 7 7 b Hay dos caso mutuamete excluyetes: el prmer estudate es u ño, y el prmero es ua ña. S el prmero es u ño, etoces por 8 la probabldad de que los estudates se altere es 0 S el prmero es ua ña, etoces por 8 la probabldad de que los estudates se altere es 0
arte - robabldad rof. María. tarell Etoces la probabldad pedda es 0 0 E el eemplo cal de extraer dos bolllas de ua ura, todavía queda por resolver cómo calculamos la, sedo : la prmer bollla extraída es blaca, y : la seguda bollla extraída es blaca odemos expresar al espaco muestral S como S demás y so mutuamete excluyetes. or otro lado podemos escrbr S por la ley dstrbutva Etoces teorema de la multplcacó Lo hecho e este eemplo se geeralza e el sguete teorema 0. - Teorema de la probabldad total Sea,...,, evetos de u espaco muestral S que cumple: a... S b s,...,, c > 0,,..., Se dce que forma ua partcó de S Etoces para cualquer eveto de S... Dem. odemos escrbr S...... Ley dstrbutva de la co respecto a la demás s co, etoces s ver fgura or lo tato... Teorema de la multplcacó K Teorema de ayes Sea,...,, evetos de u espaco muestral S que cumple: a... S b s 9
arte - robabldad rof. María. tarell c > 0,,..., Etoces para cualquer eveto de S tal que > 0 Dem. k k k k k, K, k k k k k def. de prob. odcoal teor. de multplcacó teor, de la probabldad total Eemplos: - Tres máquas,, y produce respectvamete 0%, 0% y 0% del úmero total de artículos de ua fábrca. Los porcetaes de desperfectos de produccó de estas máquas so respectvamete %, % y %. Se seleccoa u artículo al azar a uál es la probabldad de que sea defectuoso? b S al seleccoar u artículo al azar resulta defectuoso, cuál es la probabldad de que el artículo hubera sdo producdo por la máqua? Solucó: a Sea los evetos : el artículo seleccoado fue producdo por la máqua : el artículo seleccoado fue producdo por la máqua : el artículo seleccoado fue producdo por la máqua D: el artículo seleccoado es defectuoso Los datos que teemos so los sguetes 0. 0. 0. D 0. 0 D 0. 0 D 0. 0 Se pde hallar la D. Se aplca el teorema de la probabldad total tomado como partcó de S a los evetos, y. Etoces D D D D 0.0 0. 0.0 0. 0.0 0. b Se pde hallar D. plcamos el teorema de ayes D D 0.0 0. D D D 0.0 0. 0.0 0. 0.0 0. - Se os da tres uras como sgue: Ua ura cotee bolas roas y blacas. Ua ura cotee bolas roas y blaca. Ua ura cotee bolas roas y blacas 0
arte - robabldad rof. María. tarell Se seleccoa ua ura al azar y se saca ua bola de la ura. S la bola es roa, cuál es la probabldad de que proceda de la ura? Solucó: Sea los evetos : se elge la ura,, Etoces,, demás podemos tomar a,, como ua partcó del espaco muestral S. Sea el eveto :"extraer bollla roa" Se pde calcular Etoces def. de prob. codcoal Teorema de ayes 8 8 8 7 0 7. - Idepedeca Dados dos evetos y, puede ocurrr que y sea dferete eso sgfca que saber que ocurró modfca la probabldad de ocurreca de E el eemplo ateror 8 7 0 ero puede suceder que y sea guale e ese caso y so evetos depedete saber que ocurró o afecta la probabldad de ocurreca de. Etoce dos evetos y so depedetes s, y so depedetes de otro modo. Notar que por el teorema de la multplcacó s > 0 Etoces y so depedetes Recíprocamete S etoces y so depedetes s > 0
arte - robabldad rof. María. tarell or lo tato: y so depedetes s y solo s 9 Es decr podemos usar 9 como defcó de depedeca de evetos. Eemplos: -Se tra u dado ormal dos vece sea los evetos : la suma de los úmeros obtedos es gual a 7 : el prmer úmero obtedo es So y depedetes? Sabemos que el espaco muestral es el couto de pares ordeados a, b dode tato a como b puede tomar los valores,,,,,. demás {,,,,,,,,,,, } y {, ;, ;, ;, ;, ;, } Etoces omo etoces y so depedetes Observacó: s fuera el eveto : la suma de los úmeros obtedos es gual a, etoces y so depedetes -Se tee ua ura co 0 bolllas blacas y roas. Se extrae al azar dos bolllas co reemplazo de la ura. Etoces los evetos : la prmer bollla es blaca : la seguda bollla es roa So depedetes 0 0 0 ero s la extraccó se hace s reemplazo, etoces y so depedetes pues y 0 0 0 por lo tato Notar que la dfereca está e que Observacó: s e el eemplo ateror la ura tee 000 bolllas blacas y 00 roa y se extrae s reemplazo dos bolllas al azar etoces 00 0.7... y 0... 99
arte - robabldad rof. María. tarell O sea que y so cas guales. or lo tato podemos asumr que y so depedete auque la extraccó se haga s reemplazo. E la práctca, s N es el tamaño de la poblacó y el tamaño de la muestra extraída s reemplazo, s < 0. 0 etoces podemos operar como s la extraccó se hubera hecho co N reemplazo. S dos evetos y so depedetes etoces y so depedetes 0 Dem. se debe probar que ara esto escrbmos omo y excluyetes etoces so mutuamete y depedetes o lo que queda demostrada la propedad. Observacó: s y so evetos depedete etoces y so depedetes. Se llega a este resultado aplcado 0 sobre y, y luego se aplca 0 uevamete a y. Idepedeca de más de dos evetos. La ocó de depedeca de evetos se puede amplar a evetos de la sguete maera: Sea,,, K eveto se dce que so depedetes s Observacoes: K K k,..., k k - s etoces se reduce a la defcó de dos evetos depedetes. - s etoces sgfca que se debe cumplr las sguetes codcoes: a b c d La codcó d sgfca que u eveto es depedete de la terseccó de los otros do por eemplo
arte - robabldad rof. María. tarell Esto es porque e geeral por el teorema de la multplcacó vale que y por d etoces Eemplos: - Las probabldades de que tres hombres pegue e el blaco so, respectvamete, y,,. ada uo dspara ua vez al blaco. a uál es la probabldad de que exactamete uo de ellos pegue e el blaco? b S solamete uo pega e el blaco, cuál es la probabldad de que sea el prmer hombre? Solucó: a cosderemos los evetos : el hombre -ésmo pega e el blaco,, Sea el eveto : exactamete u hombre pega e el blaco Etoces or lo tato Y por depedeca 7 b Se pde calcular 7 - erto tpo de proyectl da e el blaco co probabldad 0., cuátos proyectles deberá ser dsparados para que haya al meos u 80% de probabldad de pegar e el blaco? Solucó: Escrbmos : el proyectl -ésmo da e el blaco,,, Se quere que 0.8 > K sumedo depedeca esto es equvalete a K K K
arte - robabldad rof. María. tarell K 0.7 > 0.8 l0. or lo tato 0.7 < 0. l0.7 < l0. >. l0.7 Es decr se debe hacer por lo meos dsparos