TRIGONOMETRÍA L plbr trigonometrí deriv del griego y signific medid del triángulo. De hecho est rm de l Mtemátic se desrrolló inicilmente, estudindo ls relciones entre los ángulos y ldos de un triángulo, por ejemplo, ls llmds funciones trigonométrics, ls que pueden ser considerds como funciones cuyos dominios son ángulos o cuyo dominio son los números reles, en este último cso se les conoce como funciones circulres.. ÁNGULOS Ángulo (lo breviremos con el signo p ) es el conjunto de puntos generdo por l rotción de un semirrect lrededor de su extremo, desde un posición inicil ( ldo inicil ) hst un finl ( ldo finl ). El extremo de l semirrect se llm vértice del ángulo. ldo finl vértice O ldo inicil Un ángulo es positivo si l rotción es en el sentido contrrio los punteros del reloj; en cso contrrio es negtivo. Ls uniddes de medid más frecuentes de un ángulo son : grdo sexgesiml y rdián. En el sistem sexgesiml el ángulo (completo) obtenido por un rotción complet de l semirrect en el sentido positivo, tiene un medid de 360º. Así, un grdo (º) es /360 por l medid de un ángulo completo. Un grdo se divide en 60 prtes igules, llmds minutos ( ), y cd minuto se divide en 60 prtes igules, llmds segundos ( ). Pr definir los rdines se consider el rco s intersectdo por el p α sobre un circunferenci unitri de centro O (O vértice del p α) y rdio r. Se sbe que constnte que sólo depende de α. s es un r α r s Definición.: Si r, l medid en rdines de α es α rd s. Es decir, l medid en rdines de un p α es l medid del rco que α intercept sobre l circunferenci unitri.
Si αº es l medid en grdos sexgesimles de α, se tiene l siguiente relción: rd α αº 80º Por ejemplo: rdián 57,3º y º 0,075 rdines. Ls equivlencis más usules son: αº 0º 30º 45º 60º 90º 0º 80º 70º 360º α rd 0 /6 /4 /3 / /3 3/ L medid de un ángulo no se limit vlores comprendidos entre 0º y 360º (0 y en rdines), si l semirrect que gener el ángulo rot lrededor de su extremo en más de un vuelt en el sentido positivo, l medid del ángulo será myor que 360º (myor que rdines). Si l rotción es en el sentido de los punteros del reloj, l medid será negtiv. Conclusión: cd número rel es l medid en rdines de un ángulo. Not: Si t es l medid del rco que subtiende un ángulo del centro α en un circunferenci de rdio r, se tiene que l medid en rdines de α es r t. Ejercicios resueltos:.- Convertir rdines: ) 75º, b) 450º, c) 45,º Solución: ) 75º 75 5 80 rdines b) 450º 450 5 rdines 80 c) 45,º 0,5 rdines.- Convertir grdos sexgesimles: ) Solución: ) 7 rdines 7 7 rdines, b),7 rdines. 80-05º b),7 rdines 98,55º 98º 33
3.- Clculr l medid del rco s que subtiende un ángulo del centro α de 35º en un circunferenci de rdio r cm. Solución: α rd 35º 80º 3 4. Luego s r α rd 3 8,3 cm. 4 4.- Si el ángulo del centro α subtiende un rco de 4 cm en un circunferenci de diámetro 4 cm, encontrr l medid proximd de α en rdines y grdos. Solución: α rd s 4 4 rdines αº 80 r 7 7 3,74º 3º 44 5.- Expresr el áre de un sector circulr en términos del rdio y el ángulo comprendido. Solución: Si r es el rdio de l circunferenci y A, α y s denotn el áre, el ángulo y l longitud del rco del sector circulr, de l geometrí sbemos que ls áres de los sectores son entre sí como los rcos comprendidos, es decir, s r α O A : r s : r A sr A r α rd r A r α rd 6.- El minutero de un reloj mide cm. Qué distnci h recorrido su extremo l cbo de 0 minutos? Solución: En minutos, el minutero describe un ángulo α 0º /3 rdines, luego l distnci recorrid por su extremo es s r α rd 5, cm. 3 7.- Un ví férre h de describir un rco de circunferenci. Qué rdio hy que utilizr si l ví tiene que cmbir su dirección en 5º en un recorrido de 0 m? Solución: Hy que determinr el rdio de un circunferenci sbiendo que el rco subtendido el ángulo del centro α 5º, mide 0 m. 5 α 5º rdines, por lo tnto, r 36 s 0 864 75 m. rd α (5 / 36) 8.- Un rued de 4 pies de diámetro gir rzón de 80 r.p.m. Encontrr l distnci que recorre en un segundo un punto del borde de l rued.
Solución: 80 r.p.m. 80 8 rd / seg 60 3 rd/seg. 8 Luego, un punto del borde recorre l distnci s 6,76 pies en un segundo. 3 Ejercicios propuestos:. Un utopist describe un rco de circunferenci de 00 metros de longitud. Cuál es el rdio de l circunferenci en cuestión, si el ángulo del centro mide rd?.. Un rued cuyo rdio es pies se desplz rodndo 3 pies. En cuántos rdines gir?. 3. Clcule l longitud del rco de un sector circulr cuy áre de 6 (cm ) y cuyo ángulo del centro es 7 53. 4. Encontrr el diámetro de un pole que gir rzón de 360 rpm, movid por un corre de 40 m/sg. 5. Un punto del borde de un rued hidráulic de 0 (m) de diámetro se mueve con un velocidd linel de 45 (m/seg). Encontrr l velocidd ngulr de l rued en (rd/seg) y en rpm. 6. Un tren se mueve rzón de mills/hr. Por un ví curvilíne de 3000 pies de rdio ( mill 580 pies). Qué ángulo recorre en un minuto?. 7. Al molr cierts herrmients, l velocidd linel de l muel no debe exceder de 6000 pies/seg. Encontrr el máximo número de rev/seg. de un muel de pulg. de diámetro. 8. Pr ángulos pequeños, el rc y l cuerd interceptdos son, proximdmente, de l mism longitud. Suponiendo que l tierr gir lrededor del Sol sobre un circunferenci de rdio 93.000.000 de mills, determínese el diámetro del Sol, si desde l Tierr se le ve bjo un ángulo de 3. SOLUCIONES:. 00 m..,5 rd 3. 6 cm. 4., m. 5. 9 rd/seg; 85, 94 rpm 6. 0,35 rd. 7. 909, 86 rev/seg. 8. 865,683 mills
. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Consideremos en el plno coordendo xy, l circunferenci unitri S (es, decir de rdio ) con centro en el origen. Un punto P(x, y) pertenece l circunferenci unitri si y sólo si l distnci OP, es decir, x + y. Elevndo l cudrdo, tenemos x + y. Estbleceremos un correspondenci entre los números reles y puntos de l circunferenci unitri S. Ddo culquier número rel θ, se W(θ) el punto de S, que prtiendo del punto A(, 0), se desplz sobre l circunferenci en θ uniddes (si θ > 0, en el sentido contrrio los punteros del reloj y si θ < 0 en el sentido de los punteros del reloj). De est mner se h definido un función W : Ρ S, tl que cd número rel θ se le soci el punto W(θ) sobre l circunferenci unitri S, est función se conoce como l función enrolldo.
En prticulr W(0) (, 0), W(/) (0, ), W() (-, 0), W(-/) (0, -). L función enrolldo W no es inyectiv, y que como el rdio de l circunferenci S es, su longitud es, se tiene: W(θ + n) W(θ) n Ζ () Definición..: Si W(θ) (x, y) se definen ls funciones seno, coseno y tngente como: ) sen θ y ) cos θ x 3) tn θ x y si x 0 De inmedito se puede ver que el dominio de ls funciones seno y coseno es Ρ y su recorrido es [-, ]. L función tngente, sin embrgo, no está definid cundo x 0. Por lo tnto, el dominio de l función tngente es {θ Ρ θ + n, n Ζ} y su recorrido es Ρ. Además tn θ sen θ cos θ si θ + n, n Ζ Teorem..: θ Ρ y n Ζ se tiene que: ) sen (θ + n) sen θ b) cos (θ + n) cos θ Es decir, ls funciones seno y coseno son periódics de período, luego bst conocer los 0,, pr conocer sus vlores en Ρ. vlores de seno y coseno en el intervlo [ [ Evidentemente el teorem nterior es válido pr l función tngente, con ls debids restricciones en θ, pero en este cso se puede enuncir Teorem..: θ Ρ - { + m, m Ζ} y n Ζ, se tiene tn (θ + n) tn θ. Demostrción: W(θ + n) W(θ) si n es pr. Ahor si W(θ) (x, y) y n es impr, se tiene que W(θ + n) (-x, -y). Luego tn (θ + n) y y tn θ. x x Es decir, l función tngente es periódic, de período. Algunos vlores de seno, coseno y tngente:
θ 0 /6 /4 /3 / 3/ W(θ) (, 0) ( 3, ) (, ) (, 3 ) (0, ) (-, 0) (0, -) seno 0 coseno tngente 0 3 3 0-0 - 0 3 3 3 N.D. 0 N.D. (N.D. no definid) Tomndo en cuent los signos que tienen ls coordends de un punto, según el cudrnte en que esté, se puede determinr los signos que tendrán ls funciones trigonométrics seno, coseno y tngente, en los diferentes cudrntes: Cudrnte en el que está I II III IV W(θ) sen θ + + - - cos θ + - - + tn θ + - + - L vrición de ests funciones, cundo θ vrí de 0, es l que se indic en el siguiente cudro: Cudrnte Vrición de seno coseno tngente I (0 < θ < /) de 0 de 0 de 0 II (/ < θ < ) de 0 de 0 - de - 0 III (< θ < 3/) de 0 - de - 0 de 0 IV (3/ < θ < ) de - 0 de 0 de - 0 Ahor, pr culquier θ Ρ, los puntos W(θ) y W(-θ) están en l mism verticl y son simétricos con respecto l eje x, es decir, si W(θ) (x, y), entonces W(-θ) (x, -y). Luego tenemos Teorem.3.: sen (-θ) -sen θ cos (-θ) cos θ tn (-θ) -tn θ θ Ρ θ Ρ θ + n, n Ζ Es decir, ls funciones de seno y tngente son impres, mientrs que l de coseno es un función pr.
Tmbién se definen otrs funciones trigonométrics: cotngente, secnte y cosecnte. Definición..: Si W(θ) (x, y), se definen: x cot θ, y 0 y sec θ x csc θ y, x 0, y 0 Observción: cot θ sec θ csc θ cos θ sen θ cos θ sen θ si sen θ 0 si cos θ 0 si sen θ 0 Por diferentes rzones es conveniente definir ls funciones trigonométrics pr ángulos: Se α un ángulo, cuys medids en grdos y rdines son αº y α rd, respectivmente. Definición.3: Si f es un función trigonométric y α es un ángulo se define: ) f(α) f(α rd ) ) f(αº) f(α) Ejercicios resueltos:.- Demostrr que θ Ρ se tiene que: cos θ + sen θ. Demostrción: Se P W(θ) (x, y) el punto correspondiente en l circunferenci unitri S, entonces l distnci de P l origen es OP x + y. Como por definición x cos θ e y sen θ, elevndo l cudrdo se tiene que x + y (cosθ ) + (sen θ) cos θ + sen θ..- Si W(θ) (/3, - 8 /3), clculr ls seis funciones trigonométrics en θ. Solución: sen θ cot θ 8 cos θ 3 3 tn θ 8 8 sec θ 3 csc θ 8 3 8 8
3.- Si sen θ /3 y tn θ < 0, determinr los vlores de ls funciones trigonométrics restntes. Solución: θ II cudrnte, entonces cos θ < 0 y como cos θ + sen θ, se tiene que cos θ cos θ sen θ. Luego 5, tn θ 3, cot θ 5 5, sec θ 3 3, csc θ 5 4.- Pr un determindo θ Ρ ocurre que el punto P W(θ) se encuentr en el rect que une el origen O con el punto Q(, b). Clculr ls funciones trigonométric en θ. Solución: Por semejnz de los triángulos OQ Q y OPP se tienen ls proporciones siguientes: x : : OQ, y : b : OQ Además del triángulo rectángulo OQQ se tiene que OQ decir r + b. 5.- Clculr seno, coseno y tngente en: 7; -8;. Solución: Denotndo OQ por r, se tiene: sen θ y b/r, cos θ x /r, tn θ y/x b/ (si 0), cot θ /b (si b 0), sec θ r/ (si 0), csc θ r/b (si b 0). OQ' + Q' Q + b, es ) 7 +, sen (7) sen 0, cos (7) cos -, tn (7) tn 0 b) -8 0-4, sen(-8) sen 0 0, cos(-8) cos 0, tn(-8) tn 0 0 c) 5, sen( ) sen( ) -sen( ) -
cos( tn( ) cos( ) cos( ) 0 ) no está definid. Ejercicios propuestos:.- Si cos α -/3, clculr ls otrs funciones trigonométrics y el ángulo α est en el curto cudrnte..- Un punto P del ldo finl de un ángulo en posición estándr se encuentr en el segmento que une (0, 0) y (8, 5). Construy un gráfico y determine l funciones trigonométric de: ) θ + / b) θ + c) θ + 3/ d) θ - e) θ - /, siendo θ l medid del ángulo en cuestión. 3.- Construy un ángulo α en posición estándr, tl que tn α se igul : ) b),5 c) 8,5 De lo nterior, deduzc un método geométrico que le permit probr que pr todo número rel m existe un ángulo α tl que tn α m. 4.- Determinr el dominio y recorrido de ls funciones cotngente, secnte y cosecnte, Grficr dichs funciones. 5.- Demostrr que k Ζ se tiene que: ) cos (k) (-) k b) sen ( k) 0
3. TRIGONOMETRÍA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Muchs plicciones de l trigonometrí están relcionds con ángulos gudos. Como todo ángulo gudo puede considerrse como ángulo interior de un triángulo rectángulo, es conveniente tener definiciones de ls funciones trigonométrics de éstos en términos de los ldos del triángulo, independientes de culquier sistem de coordends. Sen α un ángulo gudo y ABC un triángulo rectángulo en C tl que p BAC α. Supongmos que colocmos este triángulo en un sistem de coordends con α en l posición estándr y c B Sen, b, c ls longitudes de los ldos del triángulo, por lo tnto, en el sistem de coordends, B es el punto (b, ). Luego α O A b C x sen α c b cos α c tn α b cteto opuesto α hipotenus cteto dycente α hipotenus cteto opuesto α cteto dycente α Consideremos un triángulo ABC rectángulo en C. Sen α p BAC y entonces se tiene: c α A b C β B sen α c cos β β p ACB, cos α c b sen β tn α b cot β Como β α, podemos estblecer que pr todo ángulo gudo α, se cumple: α sen( ) cos α cos( α ) sen α tn( α ) cot α
De lo nterior se puede concluir que si se conocen ls funciones trigonométric α con 0 α /4, tmbién se conocen α con 0 α /. Más delnte se demostrrá que α Ρ, ls funciones trigonométrics en α pueden expresrse en términos de ángulos comprendidos entre 0 y /4. Pr resolver lgunos de los ejercicios que se presentn continución se necesit definir lo siguiente: B Sen λ y λ son dos rects prlels. Si A λ, B β λ, α y β son los ángulos indicdos en l figur, entonces α es el ángulo de elevción de B con respecto A β es el ángulo de depresión de A con respecto B α A
4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Ls identiddes trigonométrics son igulddes que se stisfcen pr todos los vlores de l(s) vrible(s), excepto quellos pr los cules crezcn de sentido Teorem 4..: Se tiene ls siguientes identiddes básics: ) cos α + sen α α Ρ ) + tn α sec α α + k, k Ζ 3) + cot α csc α α k, k Ζ sen α 4) tn α cos α α + k, k Ζ cos α 5) cot α sen α α k, k Ζ 6) sec α cos α α + k, k Ζ 7) csc α sen α α k, k Ζ Observción: En generl, se tiene que cos(α - β) cos α - cos β. Por ejemplo, si α β /4, cos(/4 - /4) cos 0 y cos /4 cos /4 0. En relidd se tiene: Teorem 4..: α, β Ρ se cumple que: 8) cos(α - β) cos α cos β + sen α sen β 9) cos(α + β) cos α cos β - sen α sen β Demostrción: 8) Sin pérdid de generlidd podemos suponer que α, β, (α - β) > 0 y que α, β, (α - β) <. Sen P W(α), Q W(β), R W(α - β) los puntos sobre l circunferenci unitri determindos por l función W. Q P y O R A x Por definición de ls funciones seno y coseno se obtiene que ls coordends de los puntos son: P(cos α, sen α), Q(cos β, sen β), R(cos(α - β), sen (α - β)).
Y que los rcos QP y AR son mbos de longitud α - β, ls cuerds QP y AR tmbién son igules. Por l fórmul de l distnci se tiene: AR QP [ cos( α β) ] + [ sen( α β) ] ( cosβ) + ( senα sen β) Elevndo l cudrdo y reordenndo cos (α - β) + sen (α - β) cos(α - β) + cos α + sen α + cos β + sen β - cosβ - senα senβ Y que cos (α - β) + sen (α - β) cos α + sen α cos β + sen β, se tiene - cos(α - β) - cosβ - senα senβ cos(α - β) cos α cos β + sen α sen β 9) cos(α + β) cos[α - (-β)] cos α cos(-β) + sen α sen(-β) Pero cos(-β) cos β y sen(-β) - sen β, cos(α + β) cos α cos β - sen α sen β Corolrio: 0) cos(/ - α) sen α α Ρ ) sen(/ - α) cos α α Ρ ) tn(/ - α) cot α α k/, k Ζ Demostrción: 0) Usndo l identidd 8) se tiene que cos(/ - α) cos / cos α + sen / sen α 0 cos α + sen α sen α ) sen(/ - α) cos[/ - (/ - α)] cos α ) tn α sen( / α) cos( / α) sen α cot α
Teorem 4.3.: 3) sen(α + β) sen α cos β + cos α sen β 4) sen(α - β) sen α cos β - cos α sen β 5) tn α + tnβ tn(α + β) tn α tnβ 6) tn α tnβ tn(α - β) + tn α tnβ Demostrción: 3) sen(α + β) cos[/ - (α + β)] cos[(/ - α) - β)] cos(/ - α) cos β + sen(/ - α) sen β sen α cos β + cos α sen β 4) sen(α - β) sen[α+ (-β)] sen α cos(-β) + cos α sen (-β) sen α cos β - cos α sen β 5) tn(α + β) sen( α + β) cos( α + β) sen α cosβ + senβ cosβ sen α senβ Simplificndo por cos α cos β se tiene tn(α + β) sen α cosβ senβ + cosβ cosβ cosβ sen α senβ cosβ cosβ tn α + tnβ tn α tnβ 6) tn(α - β) tn[α + (-β)] tn α + tn( β) tn α tn( β) tn α tnβ + tn α tnβ Teorem 4.4.: (Fórmuls del ángulo doble) 7) sen (α) sen α cos α 8) cos (α) cos α - sen α 9) tn α tn (α) tn α Demostrción:
7) sen (α) sen(α + α) sen α cos α + cos α sen α sen α cos α 8) cos (α) cos(α + α) cos α cos α - sen α sen α cos α - sen α 9) tn (α) tn(α + α) tn α + tn α tn α tn α tn α tn α Observción: Como cos α + sen α, tmbién se tiene: cos (α) cos α - cos (α) sen α Teorem 4.5.: (Fórmuls del ángulo medio) 0) sen (α/) ) cos + (α/) ) tn (α/) + cos α Demostrción: 0) Por l observción nterior cos α sen (α/). Luego, sen (α/) ) Análogmente, cos α cos (α/). Luego, cos + (α/) ) tn sen ( α / ) (α/) cos ( α / ) + Teorem 4.6.: (Fórmuls de producto sum) 3) sen α cos β [sen (α + β) + sen (α - β)] 4) cos α sen β [sen(α + β) - sen(α - β)] 5) cos α cos β [cos(α + β) + cos(α - β)] 6) sen α sen β [cos(α - β) - cos(α + β)]
Demostrción: Pr demostrr 3) comenzmos con el ldo derecho de l iguldd. [sen (α + β) + sen (α - β)] [(sen α cos β - cos α sen β) + (sen α cos β - cos α sen β)] [ sen α cos β] sen α cos β Análogmente se demuestrn ls identiddes 4), 5) y 6). Teorem 4.7: (Fórmuls de sum producto) α + β α β 7) sen α + sen β sen ( ) cos ( ) α + β α β 8) sen α - sen β cos ( ) sen ( ) α + β α β 9) cos α + cos β cos ( ) cos ( ) α + β α β 30) cos α + cos β - sen ( ) sen ( ) Demostrción: Pr demostrr 7), bst sustituir (α + β)/ por α, y (α - β)/ por β en l identidd 3). Entonces sen ( α + β α β ) cos ( ) α + β sen + (sen α + sen β) α β α + β + sen Análogmente, se demuestrn ls identiddes 8), 9) y 30). Ejercicios resueltos: α β.- Clculr ls funciones seno, coseno y tngente en: ( + α ), ( + α) y ( - α). Solución: Identidd 3) sen( + α ) sen cos α + cos sen α cos α sen( + α) sen cos α + cos sen α -sen α sen( - α) sen cos α - cos sen α sen α
Identidd 9) cos( + α ) cos cos α - sen senα -senα cos( + α) cos cos α - sen sen α - cos( - α) cos cos α + sen sen α - Además, tn( + α ) sen( cos( tn( + α) tn α tn( - α) tn(-α) - tn α + α) -cot α + α) senα Observción: A ls funciones seno y coseno se les llm cofunciones. Tmbién, l tngente y cotngente son cofunciones, sí como tmbién l secnte y cosecnte. El ejercicio nterior estblece que : Ls funciones trigonométric en ( ± α) difieren de sus cofunciones en α lo más en un signo. Ls funciones trigonométrics en ( ± α) difieren de sus funciones en α lo más en un signo..- Demostrr ls identiddes: ) - sen α cot α cos α α k, k Ζ sen α b) tn α sen α sec α - cos α α (k + ) /, k Ζ Solución: Utilizndo ls identiddes del Teorem 4.4.. se trnsformrá uno de los miembros de ls igulddes ) y b) en el otro. ) sen α - sen α sen α sen α cos α sen α sen α cos α cot α cos α b) tn α sen α sen α sen α sen α cos α - cos α sec α - cos α
tn 3.- Pr x. (k + ) /, k Ζ, demostrr que : + tn x x cos (x) Solución: Teorems 4.5.. y 4.5.4 implicn: tn + tn x x sen x cos x sen x + cos x cos cos x sen x x + sen x cos x sen x cos (x) 4.- Demostrr que: + sec x tn x sec 4 x tn 4 x 0 x (k + ) /, k Ζ Solución: El primer miembro se puede fctorizr como sigue: ( + tn x)( tn x) + ( tn x sec x) sec x sec x ( tn x) + ( tn x sec x) sec x sec x ( + tn x sec x) sec x (sec x - sec x) 0 5.- Clculr: ) sen(5/), b) cos(3/4), c) sen 5º, d) cos 5º, e)tn 5º Solución: ) 5 5 +, luego sen ( ) sen + 4 6 4 6 sen cos + cos sen 4 6 4 6 3 + ( 3 + ) 4 3 b) cos 4 cos + 4 sen 4 c) sen 5º sen(45º - 30º) sen 45º cos 30º - cos 5º sen 30º ( 3 - ) 4 d) cos 5º cos(45º - 30º) cos 45º cos 30º + sen45º sen 45º ( 3 + ) 4 e) tn 5º sen5º cos5º 3 3 +
6.- Clculr seno, coseno y tngente de,5º y cos º 30 Solución:,5º 45º/, luego sen,5º cos 45º / cos,5º + cos 45º + / + tn,5º + + - º 30 90º + º 30 90º +,5º, luego cos º 30 -sen,5º 7.- Expresr sen (3α) y cos (3α) en términos de sen α y cos α. Solución: sen (3α) sen(α + α) sen α cos α + cos α sen α sen α cos α + cos α sen α - sen 3 α 3 sen α ( sen α) - sen 3 α 3 sen α - 4 sen 3 α cos (3α) cos(α + α) cos α cos α - sen α sen α cos 3 α - sen α cos α - sen α cos α cos 3 α - 3 sen α cos α 4 cos 3 α - 3 cos α 8.- Clculr sen 8º. Solución: Si α 8º, se tiene que 5α 90º y luego, α 90º - 3α sen (α) cos (3α) sen α cos α 4 cos 3 α - 3 cos α / : cos α sen α 4 cos α - 3 sen α 4 sen α 4 sen α + sen α - 0 sen α ± 4 + 6 ± 8 4 5 Como α I cudrnte, se tiene que sen α > 0, luego sen 8º 5 4
β + cos β + cos β 9.- Demostrr l identidd cot β sen β + sen pr los β donde tiene sentido. Solución: + cosβ + cos senβ + sen β β + cos sen β β cos + cos β + sen β β cos sen (cos + ) cot + ) β β β β β (cos 0.- Clculr los vlores de: ) cos 5º cos 75º b) sen 5º sen 75º c) cos 5º sen 75º Solución: ) cos 5º cos 75º [cos(75º + 5º) + cos(75º - 5º)] [cos 90º + cos 60º] cos 60º 4 b) sen 5º sen 75º [cos(75º - 5º) - cos(75º + 5º)] cos 60º 4 c) cos 5º sen 75º [sen(75º + 5º) + sen(75º - 5º)] 3 + + 4 3.- Demostrr que: cos sen ( 5x) cos x ( 5x) sen x - tn (3x) Solución: cos sen ( 5x) cos x ( 5x) sen x sen cos ( 3x) sen( x) ( 3x) sen( x) - tn (3x) L identidd no es válid si sen (5x) sen x 0 cos (3x) sen (x) 0 cos (3x) 0 sen (x) 0, por lo tnto, con cos (3x) 0 [3x (k + ) x (k + ) 6 ], k Ζ con sen (x) 0 [x k x k ], k Ζ
.- Clculr el vlor de: cos 0º + cos 00º + cos 40º Solución: cos 0º + cos 00º + cos 40º cos 0º + cos 0º cos 0º cos 0º ( + cos 0º) cos 0º ( sen 30º) cos 0º ( ) 0 3.- Probr que: sen(β + γ - α) + sen(γ + α - β) + sen(α + β - γ) - sen(α + β + γ) 4 sen α sen β sen γ Solución: Por teorem 4.4.7., l primer miembro l iguldd se trnsform como sigue: sen γ cos(β - α) + cos(β + α) sen (-γ) sen γ [cos(β - α) - cos(β + α)] sen γ [- sen β sen(-α)] 4 sen α sen β sen γ 4.- Demostrr que si x + y + z, entonces sen (x) + sen (y) + sen (z) 4 sen x sen y sen z Solución: x + y + z x + y - z, luego sen(x + y) sen z. Entonces sen (x) + sen (y) + sen (z) sen z cos(x y) + sen z cos z sen z [cos(x y) + cos z] x y + z x y z sen z cos cos 4 cos( y ) cos( x ) sen z 4 sen x sen y sen z
Ejercicios propuestos:. Demuestre ls siguientes identiddes: ) tg0 + cot0 sec0 + cs0 b) sen0 cos0 sec0 csc0 c) d) + sec 0 cot 0 cos 0 + sen0 sen0 + cot 0 sen0 + cos0 f) + cosc0 e) + cos0 sen0 cot 0 cos 0 + cot 0 g) sen 0 tg0 cot 0 h) cos0 sen0 cot 0 sen0cos0 cos0 + sen0 cot 0 + i) sec 0 sec 0sec0 tg0 j) sec0 + tg 0 csc0 + sen0 cos 0 cos0 - tg0 - sec0 k) ( cos x)( + tn x) tn x l) tn x + cot x sen xsec x + tn x cot x ll) sen x cot x + sen x m) sec x cot gx tgx csc x cosx n) 4 4 sec x tn x + tn x ñ) n + senx ( tn x + sec x) senx o) tn x cot x sec x csc x p) senx cosx - cosx cot x - sen x + sen x cos x q) tn + cotα tn sen + cos β + senβ + cosβ - senα senβ s) 4 cot α + cot α csc α csc α α r) ( ) ( ) 5. FUNCIÓN SINUSOIDAL Definición 5..: Un función rel con dominio Ρ de l form f(x) A sen(bx + C), donde A, B y C son constntes, se llm función sinusoidl. Consideremos primero l función f(x) A sen x. Como sen x, se tiene que - A A sen x A. Definición 5..: Se define l mplitud de un función periódic como l mitd de l diferenci entre sus vlores máximo y mínimo. Por lo tnto, l mplitud de f(x) A sen x es A. El fctor A ctú como un expnsión verticl si A > y como contrcción verticl si A <.
A continución consideremos l función f(x) sen (Bx), con B > 0. Y que y sen x tiene período, l función seno complet un ciclo u ond cundo x vrí de 0. Entonces (Bx) completrá un ciclo cundo (Bx) vrí de (Bx) 0 (Bx), es decir, cundo x vrí de 0 B. Por lo tnto, el período de f(x) sen (Bx), es B Observción: Siempre se puede suponer B > 0, pues si B < 0 se tiene que sen (Bx) - sen((-b)x). El fctor B ctú como expnsión horizontl si 0 < B < y como contrcción horizontl si B >. Finlmente consideremos l función f(x) A sen(bx + C), f(x) complet un ciclo cundo Bx + C vrí de 0, es decir, cundo x vrí de x - B C x B - B C. El número rel - B C se llm ángulo de fse e indic que el gráfico de l función está corrido hci l derech en B C uniddes si - B C > 0 o hci l izquierd si - respecto l gráfico de f(x) A sen (Bx). C < 0, con B Ejemplo: f(x) 3 sen(4x + ) En este cso se tiene que: Amplitud 3 Período 4 Ángulo de fse 4 Consideremos hor l función definid por y sen x + b cos x, donde, b 0. Est función puede ser escrit en l form y A sen(x + C), donde A b tl que tn C. + b, B y C es
En efecto, y Como - tl que cos C + + b b, + b b + b + b sen x + y sen C b b + b + b cos x + b + b + b, se C Ejercicios resueltos:.- Escribir en l form y A sen(x + C) l función: ) y sen x + 3 cos x b) y - sen x + 3 cos x Solución: ) A + 3, cos C y sen C 3, luego C 3 y sen(x + /3) b) A, cos C - y sen C, luego C 3 3 y sen(x + /3).- Clculr ls mplitudes, períodos y ángulos de fse de ls funciones: ) y 3 sen(4x + ) b) y 5 sen(x x/3) Solución: ) Amplitud 3, período /, ángulo de fse _ b) Amplitud 5, período 6, ángulo de fse - 6. Ejercicios propuestos:.- Expresr en l form A sen(x + C), con C ] [,, ls expresiones siguientes:
) 5 sen x + cos x b) 4 sen x 3 cos x c) sen x + cos x.- Dd y cos( - x) - 3 cos(x + /), encontrr su mplitud, período, ángulo de fse y representr un período de l función. 3.- Determinr todos los puntos donde l función f(x) sen (x) + cos (x) lcnz su máximo vlor, su mínimo vlor y cundo se nul. 6. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS El peltivo ecución trigonométric se plic tod ecución en que l(s) vrible(s) figur(n) sólo como rgumento(s) de funciones trigonométrics. Así, sen (4x) + 5 sec x es un de tles ecuciones, mientrs que tn x x no lo es. Un ecución trigonométric puede no tener soluciones, como sucede con sen x + 3 0, (pues de quí se sigue que sen x - 3/, pero - sen x, x Ρ). En cmbio si l ecución tiene un solución, tiene infinits soluciones (debido l periodicidd de ls funciones trigonométrics). Definición 6..: Un solución x 0 de un ecución trigonométric se dice básic si 0,. x 0 [ [ Es clro, entonces que, el conjunto de soluciones de un ecución trigonométric se obtiene sumndo ls soluciones básics múltiplos enteros del período. Ejercicios resueltos:.- Resolver l ecución tn x. Solución: Y que tn(/4) tn(/4 + ), ls soluciones básics son /4 y 5/4. Luego el conjunto de soluciones es {x /4 + k, k Ζ}..- Resolver l ecución sen x + 0 Solución: L ecución se puede escribir sen x - _. Como sen /6 _, sen( + x) - sen x y sen( - x) - sen x, se tiene que + /6 y - /6 son ls soluciones básics. Luego sus soluciones están definids por: x 7/6 + k x /6 + k, k Ζ
3.- Resolver l ecución tn x sen x 0 Solución: Restricciones: cos x 0 x (k + ) /, k Z sen x tn x sen x 0 - sen x 0 sen x cos x cos x Luego, sen x 0 0. cos x sen x 0 x k, k Ζ 0 x /3 + k x 5/3 + k, k Ζ cos x Finlmente ls soluciones de l ecución son: 0. x k x /3 + k x 5/3 + k, k Ζ 4.- Encontrr tods ls soluciones básics de l ecución cos x cos x 0. Solución: Fctorizndo el primer miembro se tiene: ( cos x + )(cos x ) 0 Luego, se tiene: cos x + 0 cos x 0. Es decir, cos x - / cos x. Ls soluciones de cos x - / en el intervlo [, [ únic solución de cos x en el intervlo [, [ básics de l ecución originl son 5.- Resolver 3 sec x + 8 tn x 0. x /3, x 4/3, x 0 0 son x /3 x 4 /3; l 0 es x 0. Por lo tnto ls soluciones Solución: Introduciendo l identidd + tn x sec x, se obtiene: 3 tn x 8 tn x + 5 0. Luego 8 ± 64 60 tn x 6 5/ 3 Ls soluciones expresds en grdos son: x 45º + k 80º x 59º + k 80º, k Ζ
6.- Resolver l ecución sen (x) + 0. Solución: Si y x, se obtiene sen y - /. Ls soluciones de est ecución son 5 7 y + k, + k, k Ζ 4 4 Luego, ls soluciones de l ecución originl son: 5 7 x + k, + k, k Ζ 8 8 7.- Resolver l ecución sen (7x) + sen (5x) 0. Solución: L ecución se escribe sen (6x) cos x 0, esto es, sen (6x) 0 cos x 0. Ls soluciones son: x k/6, (k + )/, k Ζ. 8.- Encontrr ls soluciones de sen x + cos x. Solución: L ecución se puede escribir como sen x cos x y el primer miembro de ést como A sen(x + C), donde, en este cso, A y C - /4. Así l ecución se reduce sen (x - /4), o bien, sen (x - /4) / 3 De quí se tiene x - + k, + k, k Ζ, lo que es equivlente 4 4 4 x + k, (k + ), k Ζ. 9.- Resolver tn(x - /4) cot (3x). Solución: L ecución se puede escribir como tn(x - /4) tn(/ 3x). Como l función tngente es inyectiv en su período y éste es, se tiene que: x - /4 / 3x + k, los que es equivlente x 3 + k, k Ζ. 6 4
0.- Resolver l ecución csc (x) cot (x) sen x cos x. Solución: Restricción sen (x) 0, es decir, x k/, k Ζ. L ecución se escribe ( x) ( x) ( x) cos sen (x) cos x sen x sen sen cos (x) - cos (x) cos (x) (cos (x) ) 0 cos (x) 0 cos (x) cos (x) 0 x (k +)/ x (k +)/4, k Ζ. cos (x) x k x k, k Ζ. Pero x k, k Ζ, no es solución de l ecución (restricción). Por lo tnto, ls soluciones son x (k +)/4, k Ζ. 7. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Definición 7..: Sen f un función y A un conjunto contenido en el dominio de f. Entonces l restricción de f en A es l función g con dominio en A tl que g(x) f(x), x A. L función g se denot por f A. Consideremos l función sen : Ρ [-, ], como es periódic no es biyectiv y, por lo tnto, no tiene invers. Sin embrgo se puede resolver este problem observndo que su restricción [ +, + (k + ) ] k es biyectiv, k Ζ. Ls funciones inverss que se obtienen se llmn rms del rco seno. Si Sen denot l restricción de sen l intervlo [ ], seno y se denot por Arcsen. Es decir: Definición 7..: L rm principl del rco seno es l función Observción: ) sen (Arcsen x) x x [-, ] ) Arcsen (sen x) x x [ ], entonces Sen - s llm l rm principl del rco Arcsen : [-, ] [ ], Arcsen x y x sen y si -/ y /,
3) Arcsen es no periódic, 4) Arcsen es impr y 5) Arcsen es creciente. Tmbién se define Definición 7.3.: L rm principl del Arco coseno es l función Observción: ) Arccos (cos x) x x [-, ] ) cos (Arccos x) x x [0, ] 3) Arccos es no periódic y 4) Arccos es decreciente. Arccos : [-, ] [0, ] Arccos x y x cos y si 0 y
Definición 7.4.: L rm principl del Arco tngente es l función Observción: ) tn (Arctn x) x x IR ) Arctn (tn x) x x ] [ 3) Arctn es no periódic, 4) Arctn es impr y 5) Arctn es creciente. Arctn : IR ] [, Arctn x y x tn y si -/ < y < /, Ejercicios resueltos:.- Cuál es el vlor de Arcsen(- _)? Solución: Arcsen(- _) x sen x - _ con x [- /, /] x - /6 Arcsen(- _) - /6.- Clculr el vlor de Arcsen (sen ). Solución: Arcsen (sen ) Arcsen 0. y Arcsen 0 sen y 0 con y [- /, /] y 0 Arcsen (sen ) 0 Observción: Arcsen (sen ) pues [- /, /]. 3.- Expresr en términos de x el vlor de Arcsen (sen x) si x [/, 3/]. Solución: Se y - x, entonces y [- /, /] y se tiene: Arcsen (sen x) Arcsen (sen( - y)) Arcsen(- sen y) Arcsen (sen(- y)) Como - y [- /, /], Arcsen (sen(- y)) -y - x Arcsen (sen x) - x si x [/, 3/] 4.- Demostrr que Arccos x + Arc sen x / x [-, ].
Solución: Se x [-, ] y ω / Arcsen x, entonces Arcsen x / - ω. Aplicndo l función seno mbos miembros de est últim iguldd, se tiene sen (Arcsen x) sen(/ - ω) x cos ω Ahor, - / Arcsen x / 0 / Arcsen x ω Arccos x, Arccos x + Arc sen x / x [-, ] 5.- Encontrr el vlor excto de Arcsen (tn (/4)). Solución: Arcsen (tn (/4)) Arcsen y sen y con y [- /, /]. Arcsen (tn (/4)) / 6.- Clculr el vlor de A sen (Arcsen (/3) + Arcos (/3)). Solución: A sen (Arcsen /3) cos (Arccos /3) + cos (Arcsen /3) sen (Arccos /3) + cos (Arcsen /3) sen (Arccos /3) 3 3 Si y Arcsen /3, entonces sen y /3 con y [- /, /], entonces como cos y > 0, se tiene que cos y ( ) 35. Análogmente si z Arccos /3, 3 se tiene que cos z /3 con z [0, ], y como sen z > 0 en dicho intervlo, 3 sen z ( ) 3 8 A ( + 0) 9 7.- Encontrr el vlor excto de A sen [ Arccos (-3/5)]. Solución: Si y Arccos (-3/5), entonces cos y -3/5 / < y <, por lo tnto sen y 9 / 5 4/5. 4 3 4 A sen y cos y 5 5 5
8.- Encontrr ls soluciones excts de l ecución: cos x cos x - 0. Solución: Considerndo l ecución como un ecución de º grdo en cos x se tiene: cos x ± + 48 4 3 4 Luego, ls soluciones son: x Arccos + k, Arcos + k, con k Ζ. 3 4 9.- Resolver l ecución: Arccos (x ) + Arccos x. Solución: L ecución es equivlente Arccos (x ) - Arccos x. Entonces cos [Arccos (x )] cos ( - Arccos x) x - cos (Arcos x) x - x x _ Ejercicios propuestos.- Definir y grficr l rm principl de ls funciones trigonométrics inverss de : ) Arccot b) Arcsec c) Arccsc.- Clculr el vlor excto de cos [ Arcsen (-5/3)]. 3.- Clculr el vlor de cos ( 4 + Arctn 5 ). 3 4.- Encontrr el vlor de sec [Arcsen (- 4 )]. 5.- Demostrr que tn (Arctn + Arctn 3) -. 6.- Clculr Arctn (tn 6). 7.- Demostrr que Arccos 3 0 + Arccos. 5 4 x 8.- Resolver l ecución Arctn Arctn x + x
8. TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO Históricmente, el principl objetivo de l trigonometrí fue l resolución de triángulos, entendiéndose por ello el cálculo de sus elementos desconocidos (ldos y/o ángulos), prtir de los dtos. De l geometrí se sbe que pr resolver un triángulo es necesrio y suficiente conocer tres de sus elementos, uno de los cules, l menos, debe ser linel. Los ángulos de un triángulo ABC se denotn por α, β, y γ que son los ángulos que se oponen los ldos, b, y, respectivmente. Teorem 8.: (Teorem del seno) En todo triángulo ABC se tiene que: sen α b sen β c sen γ Demostrción: Sin pérdid de generlidd se pueden considerr los dos csos siguientes: C γ γ C b b h α β α β A D c B A c B D () () Cso : Los ángulos del triángulo ABC son todos gudos. Se construye l perpendiculr CD l ldo AB. Entonces los triángulos ADC y CDB son mbos triángulos rectos y plicndo l trigonometrí de un triángulo rectángulo, se tiene: h sen α b h sen β h o o h b sen α h sen β De donde, b sen α sen β, que se puede escribir: sen α b sen β
Cso : El triángulo ABC tiene un ángulo obtuso β. Se construye l perpendiculr CD l ldo AB. Aplicndo l trigonometrí de un triángulo recto los triángulos ADC y CDB, se tiene: sen α b h o h b sen α sen ( - β) h o h sen ( - β) Pero, sen ( - β) sen β. Luego, tmbién se obtiene: sen α b sen β Pr completr l demostrción del teorem se debe trzr un perpendiculr del vértice A l ldo BC y usndo un rgumento similr se demuestr que b sen β Observción: Aplicndo el Teorem del seno se puede resolver un triángulo cundo se conocen: c sen ) un ldo y dos ángulos (LAA), o b) dos ldos y un ángulo opuesto uno de los ldos (LLA). Supongmos que los ldos y b y el ángulo α de un triángulo ABC son conocidos y que se plic el Teorem del seno pr clculr el ángulo β. Existen ls posibiliddes siguientes: b sen α >, entonces sen β >, lo que es imposible. Luego no existe solución. b sen α, entonces sen β, es decir, β / y l solución es únic. b sen α <, entonces 0 < sen β <, entonces β puede ser gudo u obtuso. Luego existen dos soluciones. γ
Teorem 8..: (Teorem del coseno) En todo triángulo ABC se tiene que: b + c bc cos α b + c c cos β c + b bc cos γ Demostrción: Sin pérdid de generlidd se pueden considerr los dos csos siguientes: C C γ γ b b h h α x c x β α β A D B A c B x D c () () Cso : Los ángulos del triángulo ABC son todos gudos. Se construye l perpendiculr CD l ldo AB. Aplicndo el Teorem de Pitágors l triángulo recto BDC se tiene Pero como el triángulo ADC es recto, se obtiene que h + (c x) h + c cx + x (h + x ) + c cx b + c cx (*) cos α b x x b cos α Luego, remplzndo x en l ecución (*), se demuestr que b + c bc cos α Cso : El triángulo ABC tiene un ángulo obtuso β. Se construye l perpendiculr CD l ldo AB. Aplicndo el Teorem de Pitágors l triángulo recto BDC se tiene: h + x (**)
Usndo l trigonometrí en el triángulo recto ADC se obtiene: sen α b h h b sen α cos α c + x b Sustituyendo en l ecución (**) se tiene: x b cos α - c b sen α + (b cos α - c) b sen α + b cos α - bc cos α + c b (sen α + cos α) - bc cos α + c b + c bc cos α Y que sen α + cos α. Se h demostrdo l primer prte del Teorem pr mbos csos. Un rgumento similr se us pr demostrr ls otrs dos prtes. Observción: Aplicndo el Teorem del seno se puede resolver un triángulo cundo se conocen: ) los tres ldos (LLL), o b) dos ldos y l medid del ángulo comprendido por ellos (LAL).