UIVERSIDAD ACIOAL DE IGEIERÍA FACULTAD DE IGEIERÍA MECÁICA Deprtmeto Acdémco de Cec Bác, Humdde Curo Complemetro CALCULO UMERICO MB DIFERECIACIO E ITEGRACIO UMERICA 9-
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Itroduccó Dereccó umérc El cálculo de l dervd de u ucó puede er u proceo "dícl" e por lo complcdo de l decó lítc de l ucó o por que et e cooce úcmete e u úmero dcreto de puto. Ete e el co l ucó repreet el reultdo de lgú epermeto. El prolem de dereccó umérc pretemete e emejte l de l tegrcó umérc, o e, u vez que e otee el polomo terpolte de l ucó, l promcó de l dervd e puede oteer dervdo el polomo, pero e dee teer cuddo. L dereccó tede mgcr l pequeñ dcrepc o errore e u ucó promd como e muetr e l gur. Fgur Apromcó l dervd udo l dervd de u polomo Por l Fgur, u polomo p prece er u ecelete ucó pr promr el tegrdo de l tegrl p d por dp d. Metr que, que repreet l d clcó de l rect tgete de p, puede er gctvmete derete e mgtud d, u e lo puto dode p tee el mmo vlor. Dervd de orde d uperor tede mgcr l dcrepc. Ammo, l dereccó umérc e u proceo meo preco de l tegrcó umérc dee evtre uer pole. E verdd, lo Igeero Cetíco u l dereccó umérc co dto de lortoro co cert precó. E et eprt etudremo técc pr promr l dervd de u ucó veremo el ál de error de dc ormul. Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Fórmul pr l prmer dervd: L decó de l dervd de u ucó e el puto "" et dd e térmo del límte: De et decó podemo decr que "" e pequeño etoce: ote el ímolo de promcó. Eto o d medtmete l prmer órmul umérc pr promr l dervd: Ate de ver lguo ejemplo dode umo et órmul, trtemo de cotetr l pregut de Cuá ue e et promcó de l dervd?. Por el Teorem de Tlor emo que: dode et etre. S depejmo or e et ormul por decó de D teemo que: umo l Et órmul o dce que D prom ' co u error proporcol "",.e., O. Ejemplo : Tommo 9 queremo promr cuo vlor ecto e ueve. E l guete gur lutrmo lo errore logrítmc. como ucó de "" e ecl Solucó: le.^9 ; ;.; vl[]; dd[]; or :7 /;vl[vl ];dd-/; ed ect9;loglogvl,dd-ect,'*'; [e-8 e-8 e] lel'vlor de ';lel'error e promcó'; ttle'apromcó de '' pr ^9' Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Podemo ver que lo errore dmue t u certo vlor crítco " m " luego del cul lo errore umet per de que "" dmue. Cotrdce eto el reultdo teror co repecto l O del error? O! El reultdo teror e ore l covergec l rtmétc e ect e dce que e u reultdo tótco. L gur lutr lo eecto de redodeo dedo l rtmétc t lo cule e ce gctvo pr "" pequeño puede ectr culquer órmul umérc pr promr l dervd. S emrgo, u órmul co u grdo de promcó dgmo O e preerle que O que lo errore teórco tede cero má rápdo í "" o tee que er t pequeñ reducedo í lo eecto de lo errore por l rtmétc t. El método teror udo l epó de Tlor e puede utlzr pr oteer órmul pr promr l dervd co u grdo de promcó má lto que uo. Ilutrmo eto pr l otecó de u ormul O. S e lugr de llegr t térmo de orde do, epdmo t térmo de orde tre e l epó de Tlor, oteemo l ormul: S retmo et do ecucoe, depejmo pr ', umo el teorem del vlor medo plcdo ''' oteemo l órmul: Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 dode γ et etre [-, ]. Teemo pue que l órmul O. D m tee u error proporcol Ejemplo : Comprmo l do ormul oted t or pr promr ' co el 9 ejemplo de pr. Lo reultdo lo preetmo e orm tuld pr dtto vlore de : Ete ejemplo lutr lo uperor de l ormul etre do, el error e l ormul l ormul. ote que cd vez que e dvde e dvde por do promdmete metr que e e dvde promdmete por cutro por qué?. E orm mlr e puede oteer ormul de orde mor utlzdo epoe de Tlor que evuelv ±, ±, etc. Por ejemplo l epó: D u órmul de orde cutro pr '. E mportte oervr que metr má lto el grdo de promcó de l órmul, má uve tee que er l ucó pr que dc promcó e vld. Por ejemplo et órmul de orde cutro requere que l ucó teg cco dervd cotu e el tervlo e cuetó metr que l órmul de orde do requere úcmete tre dervd cotu. Fórmul pr l egud dervd: El proceo de rr e puede ur pr oteer órmul pr l dervd de orde mor de uo de u ucó. Umo ete proceo pr oteer u ormul pr l egud dervd. Udo el Teorem de Tlor, podemo ecrr l epoe: Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Sumdo et do epoe depejdo pr '' oteemo: Dode: γ et etre [-, ]. Teemo quí u órmul de orde do pr ". E orm mlr e puede oteer ormul de orde mor utlzdo epoe de Tlor que evuelv ±, ±, etc. Por ejemplo l epó: D u órmul de orde cutro pr ". Dereccó udo polomo de terpolcó: Supog que { o,,.., } o puto dtto e p el polomo que terpol e eto puto. Etoce prommo ' por: Supog que j, j. Se puede demotrr que Auque o dcutremo e má detlle ete método pr promr dervd, mecomo que l do órmul que dcutmo pr promr ' e puede oteer udo polomo de terpolcó de grdo uo do repectvmete. Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Ejercco:. Utlce l ormul pr promr l prmer egud dervd dcutd e et leccó pr promr l correpodete dervd de l ucó co e pr.,... Udo el Teorem de Tlor verque l órmul:. Pr l órmul rept u proceo mlr l del Ejemplo dode "" e dmue t que el error e l órmul empez umetr. Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó 6
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Itroduccó Itegrcó umérc E dver plccoe e ecero clculr l tegrl ded de u ucó pr l cul o e cooce u epreó eplíct de u prmtv, tl prmtv e oted ú cudo o e cooce u epreó de l ucó propmete dc. E et tucoe puede er utlzd l tegrcó umérc que cote e promr I d Utlzdo pe vlore de l ucó e u cojuto to de odo del tervlo [; ]. De u orm geerl, puede decre que lo método de tegrcó umérc cote e promr u ucó por otr ucó g cu prmtv e má mple de clculr. De et orm, l tegrl de puede er promdo por I I g g d El error cometdo e ete proceo, e repreetdo por E, etá ddo por E I I g I g ddo que l tegrcó e u operdor ler. Ammo l promcó erá tto mejor cudo l ucó g e prome mejor e el tervlo [; ]. Regl de Itegrcó Bác Ddo que l ucoe polomle o mple de tegrr, l utlzcó de polomo terpolte e l promcó de ucoe cottue u errmet terete e olucó de prolem de tegrcó umérc. L regl de tegrcó ác cote e promr l tegrl de e [; ] por l tegrl de u polomo terpolte de e u cojuto de odo e [; ]. Degremo por p u polomo de grdo meor o gul que terpol e lo odo < <... <, perteecete [ ; ]. Repreetdo ete polomo e l orm de ewto Gregor, oteemo: Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó 7
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 p L L!! I d p d Fgur Polomo terpoldor de u ucó Pr clculr el error de tegrcó E t tegrr el error de terpolcó E T E T -P etoce P E T de et orm: d p d Luego, el error cometdo e l tegrcó vle: E T E d E d T Dode: E ξ T L pr lgú ξ [,]! Regl de Itegrcó Bác-Ejemplo Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó 8
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Decó.- U regl de tegrcó e dce de grdo de ecttud, o de precó tegr ectmete todo lo polomo de grdo meor o gul ete por lo meo u polomo de grdo que o e tegrdo ectmete. Regl Compuet de Itegrcó Cote e dvdr el tervlo [; ] e u-tervlo, terpolr e cd uo de lo utervlo promr l tegrl de e [; ] por l um de l tegrle de lo polomo terpolte, e u u-tervlo repectvo. Se: < <... < E cd u-tervlo [ - ; ], l ucó erá terpold por u polomo p, de grdo meor o gul k. Etoce, l promcó de l tegrl de e [; ] erá dd por: I d p d Repreetmo el co del u-tervlo [ - ; ], o e, -. Muc vece codermo lo u-tervlo de gul co, eto e,, Regl del Trpeco E cd u-tervlo e utlzdo u polomo de grdo meor o gul que terpol e u etremo. Sedo el úmero de u-tervlo, el co de cd u-tervlo etá dd por Lo etremo de lo u-tervlo erá lo puto, pr,,.., Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó 9
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó Degdo por o vlor de e, el polomo que terpol e lo puto - etá ddo por: Regl mple del Trpeco d d p d I - /, dd Pr -, Itegrdo el polomo p e [ ; ] e otedrá el áre del trpeco! Regl Compuet del Trpeco Sumdo pr todo lo u-tervlo e otedrá: d p d I L epreó pr l regl de tegrcó del trpeco erá etoce: o I L Error de trucmeto E el tervlo [ - ; ], el error de promcó de por p etá ddo por: 6!!!!!! ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ d d d d d E E T Etoce, el error de promcó de l regl del Trpeco pr u tervlo erá: ξ E El error de trucmeto de l regl del trpeco compuet e l um de lo errore E e cd do u-tervlo [ - ; ], eto e: dz d d d I
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 E trp E E E Dode E ξ ξ [, ], co,,-,. U límte del error, etoce, erá determdo: E trp E E E Sedo E M M m [, ] Se M m. Etoce E M M Ammo, E M trp. Como /, e tee que Error de redodeo E ξ Coderdo que cd tee u error oluto mámo ε, el error de redodeo e l regl del trpeco tcerá l codcó: ε o... ε o ε ε... ε ε ε ε U mejormeto pr el error oluto totl, e l plccó de l regl del Trpeco, erá ddo por: E ε Ejemplo: Sedo e, clculr u vlor promdo de d utlzdo l regl del trpeco co u-tervlo oteer u mejormeto pr el error cometdo codere que lo vlore de o ecto!. Cuál e el error mámo oluto dmle pr lo vlore de e preteder que el error de redodeo o e uperor l error de trucmeto? Solucó: Sedo /, l ucó erá evlud e lo puto:, pr.,, U vlor promdo de l tegrl erá etoce: Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 9 e d e e e. 767 Ddo que, e el mámo vlor que tom e vlor oluto e el tervlo [ ; ] e, coclumo que el mámo error de trucmeto etá ddo por: S e pretede que E M / *. * ε e deerá mpoer que: ε. * por lo que ε. erá el mámo error oluto permtdo e el cálculo de cd vlor de. Regl de Smpo Coderemo or polomo de grdo meor o gul, cd uo terpoldo e tre puto gulmete epcdo. El úmero de u-tervlo deerá er pr, pue cd práol terpolte e ded e do u-tervlo coecutvo. Demo uevmete, lo etremo de lo u-tervlo erá lo puto pr,,,. Sedo el vlor de e, el polomo p que terpol e lo puto -, Regl Smple de Smpo L de e uttur u ucó e tegrr por el polomo de ewto Gregor de grdo, eto e, p! I d p d d! Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó Teedo e cuet l relcó etre l vrle, que, etoce l epreó teror dmte l guete mplccó: Como etoce d/d, eto e dd Pr Pr! 8!!! d d p d I Por lo tto e uttue por p oteemo pr l tegrl l guete epreó: d p d I Regl Compuet de Smpo Pr oteer l órmul compuet de Smpo, e dee dvdr el tervlo Itegrdo p e [, ] e u-tervlo de gul epcmeto plcr cd pr de utervlo [ - ; ],[ ; ],,..,-,. De et orm, e otee: d I L Por tto: Sumdo pr todo lo u-tervlo [ - ; ], co ; ;... ; -, e otee: d I L Dode e u úmero pr. Error de trucmeto E el tervlo [ - ; ], el error de promcó de por p e: Etoce, el error de promcó de erá:
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Coderdo de cle C, e demuetr etoce que: pr lgú ξ [ ], E 9 El error de trucmeto de l Regl de Smpo Compuet e otee or por: El error de l órmul compuet e l um de lo errore cometdo e cd do / pre de u-tervlo, u pr cotee tre puto, eto e: ξ E E E L E / Sedo E ξ ξ, 9 Determdo u lmtte pr el error, M m. Etoce: pr [ ] E 9 M E E E M 9 Co, etoce E M 8 El error de l órmul compuet de Smpo e, por lo tto: Dode M m m E 8 M Error de redodeo Coderdo que cd tee u error oluto mámo ε, el error de redodeo e l regl de Smpo tcerá l codcó: ε o... ε o ε ε ε ε... ε ε ε ε ε ε ε ε U mejormeto pr el error oluto totl, e l plccó de l regl de Smpo, erá ddo por: Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Ejemplo: E ε Sedo e clculr u vlor promdo de d, utlzdo l regl de Smpo co u-tervlo oteer el error oluto totl cometdo codere que lo vlore de o ecto!. Solucó: Sedo, l ucó erá evlud e lo puto:, pr,,, U vlor promdo de l tegrl, por l regl de Smpo, erá etoce: / j j e d e e e e j j.768 clculdo: e otee: 6 8 el mámo vlor que tom e vlor oluto e el tervlo [ ; ] e, coclumo que el mámo error de trucmeto etá ddo por: / 6. 8 m 8 Regl de Smpo de 8 e L regl de Smpo de 8 cote e promr l ucó medte u cúc. El reultdo e co : S 8,6,9,... reto 8 Et regl e má complcd. L prmer umtor olo clue quell ' que e múltplo de. L egud el reto, e decr, l ' que o e múltplo de. Etre l cure dede t -. Pr u cúc e requere puto, por lo cul e utlz tervlo. Por et rzó dee de er u múltplo de. Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Error de trucmeto: ET 8 η Regl del Rectágulo Por ultmo coderemo que l ucó e prom por u polomo de grdo, e decr, e upoe que e cd tervlo l ucó e cotte. Geométrcmete e prom l tegrl medte rectágulo. L ormul e R Error de trucmeto: E T η Reume de órmul de ewto-cote Cerrd Rece ete omre cudo el prmer el últmo dto e coder detro del domo de tegrcó. Ddo lo puto:... X - X... - L órmul cerrd tee l orm: w w... w E d α Regl del Trpeco d " ε dode < ε < Regl de Smpo / d ε dode < ε < 9 Regl de Smpo /8 d ε dode < ε < 8 8 Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó 6
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó 7 < < 6 7 9 8 7 7 dode d ε ε Fórmul de ewto-cote Aert Rece ete omre dedo que o e tom e cuet lo vlore etremo detro del domo de tegrcó. L órmul cerrd tee l orm: Regl de Puto medo E w w w d... α < < " dode d ε ε < < " dode d ε ε < < dode d ε ε < < 9 dode d ε ε
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Cudrtur Gu L órmul de tegrcó vt te requere que e coozc lo vlore de l ucó cu tegrl e v promr e puto uormemete epcdo. S emrgo l ucó etá dd eplíctmete, lo puto pr evlur l ucó puede ecogere de otr mer que o lleve u mor precó de l promcó. L cudrtur Gu e preocup e ecoger lo puto de evlucó de u mer óptm. Et preet u procedmeto pr ecoger lo vlore,,..., e el tervlo [,] l cotte c, c,...,c que e eper mmce el error otedo l relzr l promcó: Pr determr lo puto dode dee evlure l ucó e u lo llmdo polomo ortogole, edo l ríce de ete polomo lo que e tom como puto de evlucó de l ucó. Polomo ortogole d c Se dce que el cojuto de ucoe {ψ,ψ,...,ψ } e ortogol e <,> co repecto l ucó w, empre cudo e cumpl: o ψ ψ ψ k k ψ j j w d w d > pr pr j k j k S {ψ,ψ,...,ψ } e u cojuto de polomo ortogole dedo e el tervlo erto <,> repecto u ucó peo cotu W ψ k e u polomo de grdo k, pr todo k,,,... : etoce e dce que ψk tee k ríce dtt et ríce e ecuetr e el tervlo <,>. Co mportte de Polomo Ortogole Polomo de Legedre Polomo de Lguerre Polomo de Hermte Polomo de Ceev Aquí o ocupremo del Polomo de Legedre, el etudte puede vetgr cerc de lo otro Polomo ortogole. Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó 8
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Polomo de Legedre Se coder l ucó de peo: w el tervlo de tegrcó [,][-,] e puede oteer í: Tl de Polomo de Legedre: P -/ -/ - /8 6-7 /8 U propedd de eto polomo ortogole e que tod u ríce o rele mple, demá e ecuetr e el tervlo [,]. Cudrtur de Gu-Legedre: Coderemo l cudrtur Gu pr evlur: Dode [,] [-,], lo límte de tegrcó dee er [-,] por lo cul recurrmo u cmo de vrle: t dt d Reemplzdo tedremo: d P pr,,,...! d o P P P I t dt t dt d c E Sedo l ríce o cero del polomo de Legedre de grdo Ademá: Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó 9
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 c P' E! θ! θ, A cotucó e muetr u tl coteedo lo ctore de peo c lo cero del polomo de Legedre pr pr dvero vlore de. Tl de Gu Legedre c.. -.77698966.77698966.. -.77966698..77966698.6.888888888888889.6 -.8669 -.998886.998886.8669.7887.6866.6866.7887 -.967989866 -.86968..86968.967989866 6 -.969 -.66986666 -.86986897.86986897.66986666.969.69688689.7868679966.68888888888889.7868679966.69688689.79797.676789.6799769.6799769.676789.79797 Dode e el úmero de puto Prolem Reuelto. Ddo Lo guete puto de u ucó Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Determe u vlor promdo de l tegrl d. Por l regl del trpeco. Por l regl de Smpo. c Por el polomo que terpol quello puto. Solucó: Regl del Trpeco: I K E ete co, como puto, teemo d o. Regl de Smpo: d o... Aplcdo l regl de Smpo ete prolem, teemo: d o. c Polomo Iterpolte de ewto Cálculo de l tl de derec, El polomo terpolte de ewto P e otee drectmete prtr d tl de derec,.78.6..68 P!!!!.!.78.87.9.86.97 Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Por lo tto l tegrl de P e:.78.87 d.8.9.86.97 π. Clcule por l regl de Smpo u vlor promdo de l tegrl d co dígto gctvo correcto. Verque que el vlor otedo etá dedmete prómo l vlor verddero tegrl. Solucó: π El cálculo de l tegrl: d Co dígto gctvo correcto, equvle coderr u error mámo oluto de -. E egud, vmo clculr el úmero de tervlo pr que e ecero coderr e l plccó de l regl de Smpo: ε t m ξ 8 ξ E que: π m ξ m ξ, ξ ξ Teemo etoce: π π π 8 Aplcdo l regl de Smpo: π 8. Clculr l tegrl de: co u error meor que - Clcule l tegrl por l regl de Smpo. Cuto tervlo erá preco pr l regl del trpeco? c Duplcdo el úmero de tervlo, de que mer erí ectdo el error de cd u de l regl. Solucó: Cálculo de l Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 e ; ; e 6 6 e ; e ; e ; Tod l dervd ucev de tee l orm: e... ; Alzdo et epreó áclmete e coclue que el vlor mámo, e el tervlo etre [ ; ], ocurre pr. Error de Smpo: Cálculo del úmero de tervlo pr de modo de grtzr u error eror -. E ete co, pr er totlmete rgoroo deerímo coderr 6 tervlo 6, o otte optmo por utlzr pe tervlo porque l epreó que o d el error de l regl de Smpo e mu pemt co repecto l vlor otedo pr. lgermete uperor. Aplcdo l regl de Smpo, coderdo, oteemo etoce:. L regl del trpeco Cálculo del úmero de tervlo de modo grtzr u error eror - c. Duplcdo el úmero de tervlo: Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 Regl del trpeco: el error e dvddo por Regl del Smpo: el error e dvddo por 6. Utlzdo l cudrtur de Gu-Legedre, etme l guete tegrl: Solucó:,, cedo d dt I. e t dt.... t. c F.7769.77686 -.7769.766 I.96 t dt F e e e F d c F c d F Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6.- Clcule Prolem Propueto co u error oluto mámo de -: por l regl del trpeco.. Determr: co u error oluto mámo de -:. Por l Regl del trpeco. Por l Regl de Smpo. Utlzdo l regl de Smpo, determr u vlor promdo de π, co error mámo de -. Recuerde que :. Clculr: co u error oluto mámo de - : Por l regl del trpeco. Por l regl de Smpo. Blogrí. Aále umérc /- Apotmeto d dcpl de Aále umérc Aíl Ctlo Comr de Mto-Setemre de ttp://pg.e.up.pt//.pd. Prolem reuelto de tegrcó ttp://pg.e.up.pt//prolem/p_tegrco.pd ttp://pg.e.up.pt//prolem.tml. Gerld/Wetle, Método umérco Aplcdo, 7m Edcó, Addo-Wele, ttp://rel.uwterloo.c/~rkett/de%ut%.pd. Seprt de Cálculo umérco 999- Ro Grrdo Roert Ctro.. Seprt de Cálculo umérco - Ro Grrdo Roert Ctro- Herme Ptoj Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó
UI-Fcultd de Igeerí Mecác P.A 9- Método umérco MB6 IDICE Pg.. Dereccó umérc Formul pr l prmer dervd co puto Formul Cetrle pr l prmer dervd co puto Formul pr l egud dervd Dereccó udo polomo de terpolcó Ejercco. Itegrcó umérc 6 Regl de tegrcó ác 7 Regl Compuet de Itegrcó 8 Regl mple del Trpeco 8 Regl Compuet del Trpeco 9 Error de trucmeto del Trpeco 9 Error de redodeo del Trpeco Regl mple de Smpo Regl Compuet de Smpo Error de trucmeto de Smpo Error de redodeo de Smpo Regl de Smpo de 8 Error de trucmeto Regl del Rectágulo Error de trucmeto Reume de órmul de ewto-cote Cerrd Fórmul de ewto-cote Aert 7 Cudrtur Gu 8 Polomo ortogole 8 Polomo de Legedre 9 Cudrtur Gu-Legedre 9 Tl de Gu- Legedre Prolem Reuelto Prolem Propueto Proeore del curo: Grrdo_- Ctro_- Oregó 6