E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Curso 00-0 Grados E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Asgnatura: Cálculo I Ejerccos resueltos Calcular el valor de a y b para que b a 4 sea real y de módulo undad Operando ( b a )(4 ) b 8 a 9 b 6 a b 6 a 9 b 8 z a (4 )(4 ) 6 9 5 5 S se quere que sea real 9 b 8 a 8 0 9b8a0 b a 5 9 S además es de módulo uno b 6a 96a b6a5 6a5 a 5 9 Luego, los valores peddos son 4 a b Dos números complejos no nulos son tales que z z z z. Probar que z es magnaro. z Método.- Por hpótess, luego z z z z z z z z z z z z z z z z zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz 0 Re 0 zz zz zz z z z Re Im Im z zz z z Pág.
E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Curso 00-0 Grados E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Asgnatura: Cálculo I donde se ha aplcado que Método.- Sea c da b Re zz 0 y, por tanto, z es magnaro. z z a b z c d z ca db ( da cb) ca db da cb z ab ab a b a b a b Por otro lado, por hpótess luego, z z z z a c b d a c b d a c ( b d) ( a c) ( b d) a c ac b d bd a c ac b d bd 4ac 4bd ac bd Fnalmente, susttuyendo en () z da cb z a b que demuestra que es un número magnaro puro. () Indcar s es correcto o falso el enuncado sguente, razonando la respuesta: Sean z, z de módulo, entonces z z z z Como, exponencal serán z z z de módulo, llamando y e y z En consecuenca, e. Luego, arg z z z z z z z z z z z zz zz zz zz zz zz arg z en forma zz zz z z zz zz 4 Re zz e Re cos k y, por tanto, como z e y z e la últma afrmacón es lo msmo que decr, z z. Pág.
E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Curso 00-0 Grados E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Asgnatura: Cálculo I La mplcacón en el sentdo es trval ya que z s z entonces z z z, y, por tanto z z z Otra forma.- Tambén puede realzarse la demostracón smplemente operando en forma bnómca. Tenendo en cuenta que z y z son de módulo undad su representacón es se cumplrá operando, Luego, y, por tanto z z. z cos sen z cos sen z z cos cos sen sen cos cos cos cos sen sen sensen sensen cos cos cos z z 4 z z cos k k z z por hpótess z z 4 Descrbr los conjuntos de puntos del plano determnados por las sguentes expresones complejas (a) z (b) z z (c) z z 0 (d) zz 4 (e) z 4 (f) z, Im z 0 Para dentfcar el lugar geométrco donde se encuentra el afjo de un número complejo z, es útl defnrlo como z = x +.y, es decr, dentfcar: Re (z) = x, Im (z) = y. Así, será más fácl representar en el plano complejo, que haremos concdr con el plano cartesano, cualquer regón o curva que venga dada por una relacón entre las varables x e y. (a) z Sea z a b entonces z a( b ), se cumplrá Pág.
E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Curso 00-0 Grados E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Asgnatura: Cálculo I z a b a b ( ) ( ) El conjunto buscado es el nteror del círculo de centro (0,) y rado. (b) z z Sea z x y entonces z ( x) y y z ( x) y, sus módulos z ( x) y z ( x) y y por tanto, z z x y x y ( ) ( ) La solucón es el conjunto x 44x y x 96x y x5 x 5 R xy/ x5/, x, y (c) z z 0 Forma : Por defncón de elpse se trata de una elpse de focos los puntos y - y semeje mayor 5 Forma : Sea z x y, entonces z ( x) y, z ( x) y, luego z z 0 x y x y 0 Pasando una de las raíces al segundo membro y elevando al cuadrado x y x y 0 x x y 00 ( x) y 0 x y Elevando nuevamente al cuadrado, 8x 08 0 x y x 75 x y 7 5 x x y 4x 7 08x5( x) y 5( x 9 6 x y ) Completando cuadrados x 4x5y 504 ( x x) 5y 504 Pág.4
E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Curso 00-0 Grados E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Asgnatura: Cálculo I Se trata de la elpse (d) zz 4 ( x) 5y 504 ( x) 5y 55 ( x) y ( x) y 55 55 5 5 Sea z x y, z x y entonces 4 4 zz xy xy x y z z Luego zz 4 es la regón del plano exteror de la crcunferenca de centro (0,0) y rado. (e) z 4 Sea z x y, z x( y ) entonces z x y 4 ( ) 6 Se trata del exteror de la crcunferenca de centro (0,) = y rado 4. (f) z, Im z 0 Se trata del conjunto x y x y y /, 0 es decr, del nteror del semcírculo superor de rado. 5 z z S z y z son complejos, qué representa el número. Cuál es el lugar geométrco de los puntos z z s y son reales y verfcan? Gráfcamente el afjo del número complejo z z x x y y representa el punto medo del vector que une el orgen con el afjo del número complejo z z Pág.5
E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Curso 00-0 Grados E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Asgnatura: Cálculo I Los puntos de la forma z z son los puntos de la recta z z z z z z z es decr, la recta que pasa por z y cuyo vector drector es z z. 6 Un trangulo equlátero tene su centro en el orgen y un vértce en el punto (,0). Determnar los otros dos vértces. Los ángulos que forman dos lados de un trángulo equlátero son de radanes, luego hay que avanzar. Por lo tanto, como uno de los vértces es, se tene que z e z e e e cos sen 4 4 4 z e e e e cos sen son los otros dos. En forma bnómca (, 0),,,, Otra forma: Podía haberse resuelto el problema observando s los afjos de z, z, z forman un trángulo equlátero entonces z z z y el ángulo entre 0z y 0z es el msmo que entre 0z y 0z y el msmo que entre 0z y 0z. Por esta razón los tres vértces son las tres raíces cúbcas de la undad. En efecto, k 4 0 e k 0,, z e, z e, z e 7 Calcular (a) z 6 Pág.6
E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Curso 00-0 Grados E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Asgnatura: Cálculo I (b) las raíces cúbcas del número -7 en forma bnómca (a) Calculando su módulo y argumento r z se tene que sus raíces sextas son: argzarctg zk 6 k 0,,,,4,5 k 6 (b) k ( k ) z 7 7e e 6 k 0 z0 e k z e 7 6 k z e 8 (a) Demuestre que la suma de las raíces enésmas de la undad es cero. (b) Demuestre que el producto de las raíces enésmas de la undad es ó. (a) Las raíces enésmas de la undad son de la forma: Por tanto, 0 n k n z e k 0,,..., n k n n k k0 k0 4 n n n n n z z z... z z e e e e Esto es la suma de los n prmeros térmnos de una progresón geométrca de razón e n y prmer termno, es decr, n k 0 (b) Consderando ahora el producto, z k e e n 0 Pág.7
E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Curso 00-0 Grados E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Asgnatura: Cálculo I como, k 0 n 4 4 n n n 0... k n n n n n n n k0 o... n k * * *...* k 0 zz z z e e e e e n nn ( ) k se tene n k 0 z k e ( n) s npar s nmpar 9 Consderemos el número complejo: z x y cost sent Probar que cuando t varía en los numeros reales, z se mueve sobre la crcunferenca cuyo dámetro es el segmento que uno los puntos (/,0),(,0). Calculamos en prmer lugar la expresón de x y de y en funcón de t. Multplcando por el conjugado del denomnador ( cos tsent) ( cos t sent)( cos t sent) cost sent cost sent t (cos t) sen t 4 cos t 4cost sen 5 4cost 5 4cost Luego cost sent x y 54cost 54cost Para comprobar que x, y está en la crcunferenca de centro ab, y rado r basta verfcar que x a yb r. En nuestro caso ab comprobar que cualquer punto de la forma cost sent, 54cost 54cost cumple la ecuacón de la crcunferenca. En efecto, t sent cos x y 5 4cost 5 4cost t t sen t 6cos 08cos 954cost (5 4cos t),,0 y r. Se puede Pág.8
E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Curso 00-0 Grados E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Asgnatura: Cálculo I 45cost 9sen t 6 5cos t40cost9sen t 954cost 9(5 4cos t) 5 6cos t40cost 9(5 4cos t) 9 0 Demostrar que el polnomo de segundo grado, Px ( ), cuyas raíces son y verfca una de las sguentes propedades: A) Px ( ) 0 para todo x real. B) Px ( ) 0 para todo x real. Todos los polnomos que tenen por raíces y son los de la forma: Px ( ) ax x a x x Dependendo del valor de a se tendrá a ( x) a ( x) postvo para todo x real S a>0 entonces Px ( ) 0 para todo x real. S a<0 entonces Px ( ) 0 para todo x real En consecuenca, cualquer polnomo que tenga esas dos raíces es dstnto de cero para todo x real. Cuántas raíces tenen los polnomos sguentes? Puedes decr algo sobre el número de raíces reales? Por qué? p( x) x x (a) 5 5 raíces en. No se puede decr nada sobre las reales porque p( x) no es un polnomo con coefcentes en. (b) px x x 7 6 ( ) Pág.9
E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Curso 00-0 Grados E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Asgnatura: Cálculo I 7 raíces en. Tene al menos una real por ser el grado mpar. (c) px x x 5 ( ) 5 raíces en. Tene al menos una real por ser grado mpar. 7 6 (d) px ( ) x ( x ) 7 raíces en. No se puede decr nada sobre las reales porque p( x) no es un polnomo con coefcentes en. Hallar los números complejos z tales que z z z z 9 0 Sea z a b debemos encontrar a y b de forma que: a b a b a b a b 90 a b ab a b 4ab b 90 (a b 9) ( ab b) 0 ab b 0 Se dstnguen dos casos: a b 9 0 Caso : b 0, entonces por la prmera ecuacón a, esto es absurdo pues a y b son números reales. Caso : b 0, entonces a, y susttuyendo en la prmera ecuacón b b Luego los números complejos son: z z Pág.0