MATEMÁ TTCAS BÁSICAS SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Ddos números reles l', b l, b, l Y ' l pr de euiones lx + b,y=l Y x + b y = se denomin un sistem linel de dos euiones en ls dos inógnits x, y (o sistem linel dos por dos). Culquier prej de números reles (x, y) que stisfg simultánemente ls dos euiones se dirá un soluión del sistem. Como d un de ests euiones represent un ret; podrá ourrir que ls rets se ortn en un únio punto, en uyo so l soluión del sistem es úni; o bien ls rets oiniden, en uyo so el onjunto soluión estrá onstituido por tods ls prejs que están sobre es ret; o bien ls rets resultn prlels y disjunts, en uyo so no hbrá prej que stisfg el sistem, es deir, el sistem no tiene soluión (el onjunto soluión es vío). Ejemplo!. Resolver los siguientes sistems: i) x + y = 4,y, I x - Y = - 9 ii) x - y = 6,y, - x + Y = -9 iii) x-y=7,y, 6x-y=14 x + y = 4 Soluión: i) El sistem se puede esribir tmbién en l form I. L sum de { x - y =- los "miembros izquierdos" de d euión es igul l sum de los "miembros derehos", sí que ( + I J x = 1, es deir, 10 x = 1, o se x =. Reemplzndo, por ejemplo, en l 10 pri mer euión, se obtiene ( ) + Y = 4, de lo ul se obtiene y = 4 _ 9 = 1. Luego 10 lo 10 I ulll,. so l" uclon di' e sistem es () x, y = (, 1 ). N otese ' que di' e pnmer euclon., es 10 lo 1 y = - x + 4 Y de l segund euión es y = x +, Y entones ls rets son perpendiulres, y que (- ) 1 = -1, 10 que se puede verifir grfindo ls dos rets dds. x - y = 6 ii) El sistem ddo es 9. Multiplindo l segund euión por se { - x + Y =-9 obtiene l euión - x + y = -6, o equivlentemente, x - y = 6, que es l mism primer euión. Luego ls dos euiones representn l mism ret x - y = 6, y el onjunto soluión está formdo por tods ls prejs (x, y) tles que x - y = 6. ejemplo, (1, - ~Jes soluión del sistem, y que undo x = 1, - y = 6, o se - y = 4, r 5
MATEM ÁTICAS BÁSICAS 4 es deir, y = -. Tmbién (0,-) es soluión del sistem. En generl, tods ls prejs de números reles de l form ( 6 + Y, y) on y E R, son ls soluiones del sistem ddo. iii) El sistem ddo es { x - y = 7. Multiplindo l primer euión por se obtiene 6x-y=14 6X- Y = l 6x - y = 1, es deir, el sistem ddo es el mismo sistem {, y es lro que. 6x - y = 14 este sistem no tiene soluión, pues no existe un prej (x, y), de números reles, que stisfg simultánemente ests dos euiones, y que esto llevrí l bsurdo 1 = 14. Así que l soluión es el onjunto vío, es deir, el sistem ddo no tiene soluión. Nótese 14 que de l primer euión se obtiene y = x - 7 Y de l segund y = x -. Luego ls dos rets son prlels, pues tienen igul pendiente, pero psn por puntos diferentes, l primer por (O, - 7) Yl segund por (O, - 1 4 ). Ejemplo. De uerdo on l diet progrmd pr un bovino, ierto veterinrio reomiend el onsumo mensul de 90 librs de ven y 4 librs de míz, demás de heno, psto y gu. Si se dispone de do tipos de limento, en el que d libr del limento tipo r ontiene 5 onzs de ven y onzs de míz, y d libr del limento tipo II ontiene 6 onzs de ven y de míz, uánts librs de d limento debe usr pr obtener l mezl desed? Soluión: En l siguiente tbl se indin los ontenidos de ven y míz de d uno de los limentos de los tipos 1 y II: Alimento ti po 1 Ali mento tipo II Consumo mensul I Aven 5 onzs/l ibr 6 onzs/libr 90 librs I Míz onzs/libr onzs/libr 4 li brs Sen x : # librs del limento 1que debe usr en l mezl y: # librs del limento II que deben usrse en l mezl. Como d libr del limento tipo 1 ontiene 5 onzs de en, x librs de diho limento ontendrán 5x onzs de v n ((5 onzs/libr) (x librs) =5x onzs). De l mism mner, omo d libr del limento tipo Il ontiene 6 onzs de ven, y librs de diho limento ontendrán 6y onzs de ven. Como el onsumo mensul progrmdo de ven es de 90 librs, y d libr ontiene 16 onzs, entones debe stisferse: 5x + 6y = 90(l6), esto es, 5x + 6y = 1440. Análogmente, pr el m íz, debe tisferse: 5
MATEMÁTICAS BÁSICAS x +y = 4(16) = 67 O se que debemos resolver el sistem linel de euiones: 5X + 6y = 1440 { x+y = 67 Multiplindo mbos miembros de l segund euión por -, se obtiene l euión equivlente - 4x - 6y = - 144. Ahor bien, sumndo miembro miembro est últim euión on l primer euión se obtiene x = 96. Reemplzndo este resultdo en l segund euión iniil se obtiene (96)+ y = 67, de donde se obtiene y = 160. Así que el veterinrio debe usr 96 librs del limento tipo 1 y 160 librs del limento tipo II pr obtener l mezl desed. LAS CÓNICAS Un óni es el lugr geométrio de todos puntos (x, y) del plno rtesino tles que su distni un punto fijo, llmdo foo, dividid por su distni un ret fij, llmd diretriz, es un onstnte positiv e, llmd exentriidd de l óni. Si e = 1 l óni se denomin prábol, si e < 1 l óni se denomin elipse y si e > 1 l óni se denomin hipérbol. Euiones nónis de ls ónis Ls euiones nónis de ls ónis uys diretries stisfen x = (o y = ) y uyos foos tienen por oordends (, O) ( o respeti vmente (O, ) ) y l exentriidd es e =, se denominn euiones nónis de ls ónis. Ls euiones nónis de l prábol son de l form y = ( ~Jx, donde l diretriz tiene por euión y = - = -,l exentriidd es e = = 1, es deir, =, y el foo es (O, ) ; o son de l form x = ( 1 ) Y donde l diretriz tiene por euión x =- = _ 4. l exentriidd es e = = I y el foo es (, O). En efeto, por ejemplo, si (x, y) stisfe: distni de (x,y) l punto fijo (O,)=1 distni de (x, y) l ret y =- entones (x - f + (y - ) (x-x) +(y-(- e)f = l. Ver l figur siguiente. 54
MATEMÁTICAS BÁSICAS Práb ol y = (1 /(4» x ~ F = (O,) r-- /' (-x,y) 1'", ---,:.. ~ -~~1Íx, y ) ---~_ ~ I x I ~ y = (x, -) De donde x + (y -? = 0 + (y + r ' o se que x + y - y + = / + y +. Luego x =4y, es deir, y =( 4~ ) X. Reípromente, si (x, y) stisfe y = ( ~ ) X, entones distni de (x, y) l punto fijo (o,) = distni de (x, y) l ret y = - esto es, el punto (x, y) está sobre l prábol. X + (y _ C) (X- X) +(y_(_ )) Ls euiones nónis de l elipse son de l form 4y + (y -f / + y + (y +? y + y + =1 X / + = 1, donde l(ls) b diretriz(diretries) tiene(n) por euión(euiones) x = ±, l exentriidd es e =, = b + y el(los) foo( s) tiene(n) oordend(s): (,O) (y (-,O) ; o ls euiones y X son de l form + = 1, donde l(ls) diretriz(diretries) tiene(n) por b b tiene(n) oordend(s): (O,) (y (O,- ). Aá suponemos que by son positivos. euión(euiones) y = ±, l exentriidd es e =, = + y ej(los) foo(s) En efeto, por ejemplo, si (x, y) stisfe: 55
MA TEMÁTICAS BÁSICAS distni de (x, y) l punto (,O) (x - C)+ (y _ 0) = e (= e), es deir, = distni de (x, y) l ret x = e De donde (x - e? + y = [ e - x : (: _xr+ (y - y)' e [ 4 x ] o se que X - x + e + y == - + x. Luego x + e + Y = + X, es deir, _ ] sí que x + / = b (reordr que [ y (O,b) (-,O) <"/ F 1 = (-e,o) x (O,-b) X (N otese ' que, d e x -- 1- y se tiene que ::; 1. Luego - ::; x ::;. Análogmente, de b / X. = 1 - se tiene que - b ::; y ::; b ). b Reípromente, si (x, y) stisfe X / + = 1, entones b 56