5 Comparación de dos tratamientos

Transcripción

1 5 Comparación de do raamieno El análii eadíico que e aborda en ee capíulo iene como objeivo la comparación de do poblacione, que repreenan lo que genéricamene denominamo raamieno, pudiendo referirno bajo ea denominación a do máquina, do méodo de rabajo, do caalizadore, do proveedore, o do ipo de maeria prima diino. Dicha comparación e realiza a parir de dao muerale. Se raará de deerminar i la diferencia que preenan la media de la do muera e indicaiva de una diferencia en la media poblacionale o i, por el conrario, puede er aribuida al azar. E imporane ener preene que el eudio eadíico no e refiere implemene a la aplicación del e de rigor a uno dao de lo que no e cueiona u calidad (quién, cómo, cuándo, con qué crierio e han omado). Tal como veremo a coninuación, el análii empieza con un claro planeamieno del problema y igue con el adecuado dieño de la recogida de lo dao (in decuidar el rigor neceario en u recogida fíica). coninuación e realiza un análii exploraorio para deecar poible valore anómalo, conaar que no exie evidencia de incumplimieno de la hipóei del méodo, y ambién para obener una primera concluione en orno al objeivo del eudio. Finalmene, e realiza el e eadíico (conrae de hipóei) y e inerprea el reulado obenido Cao 1: Comparación de do produco en un proceo de curido de piel Planeamieno del problema. Recogida de lo dao Una induria dedicada al curido de piele uiliza normalmene una ciera olución, en la que umerge el cuero durane 4 hora en la fae final de u proceo de curido. unque el produco produce uno reulado aifacorio, e preena la oporunidad de uiuirlo por oro produco, coniderablemene má barao. Se opecha, in embargo, que la nueva olución puede afecar a la caraceríica del cuero reduciendo u reiencia a la racción. Lo reponable del proceo deciden cambiar, ólo en el cao de conaar experimenalmene que la nueva olución no reduce la reiencia a la racción. Para ello, realizan uno experimeno con el fin de analizar lo reulado obenido y omar una deciión obre ee ema.

2 MÉTODOS ESTDÍSTICOS. CONTROL Y MEJOR DE L CLIDD π Para la realización del experimeno e oman 0 porcione de cuero, odo ello de calidad y caraceríica lo má parecida poible, y aleaoriamene e aignan 10 para er raado con el produco y oro 10 con el. Para realizar la prueba e dipone de 0 recipiene, odo ello idénico, a 10 de lo cuale e le aigna la olución y a oro 10 la. Lo rozo de cuero e umergen imuláneamene, y odo ello e reiran al cabo de la 4 hora. Poeriormene e dejan repoar durane día (odo ello en iguale condicione) y e procede a medir u reiencia a la racción, aplicando una meodología perfecamene definida. Para eviar la influencia de poible deriva en el aparao de medida, o vicio en el proceo de medición, ée e realiza ambién de manera aleaoria. Lo valore obenido (en unidade de la ecala del aparao de medida) on lo que figuran en la abla adjuna. El valor indicado como upraíndice en lo reulado, e refiere a u orden de obención. CURTIDO CON SOLUCIÓN 4.3 () 5.6 (3) 6.7 (5).7 (9) 4.8 (11) 3.8 (1) 5.9 (14) 6.4 (16) 5.8 (17) 5.4 (18) n 10 y CURTIDO CON SOLUCIÓN 4.4 (1) 1.5 (4) 5.1 (6).8 (7) 5. (8) 3.5 (10). (13) 3.5 (15) 3.3 (19) 4.7 (0) n 10 y nálii exploraorio. Formalización del problema 86 Siempre conviene repreenar lo dao gráficamene. En la figura 5.1 e preenan lo diagrama de puno correpondiene a ambo conjuno de dao. No e obervan valore anómalo, y ya e adivina que la diferencia de media va a reular ignificaiva. Fig. 5.1 Diagrama de puno correpondiene a lo dao obenido en la prueba de curido Para conaar que el orden en que e han realizado la medicione no ha afecado a la repuea, pueden realizare diagrama en lo que e coloque el orden de obención en el eje horizonal y en el verical el valor obenido. La figura 5. preena dicho diagrama para cada una de la olucione, in que e oberve nada anormal. Supongamo, como hipóei de parida, que la reiencia a la racción on iguale, independienemene de la olución uilizada. ea hipóei e la denomina hipóei nula (H 0 ) y upondremo, aimimo, que en cao de no cumplire dicha hipóei, la unidade curida con la olución endrán una reiencia mayor que la que hayan uilizado la olución. Ea hipóei, que e la que conideramo que e cumple en el cao de no cumplire la hipóei nula, e denomina hipóei alernaiva (H 1 ). Podemo noar el planeamieno realizado de la forma: H 0 : µ µ H 1 : µ > µ

3 π COMPRCIÓN DE DOS TRTMIENTOS SOLUCIÓN SOLUCIÓN RESP Fig. 5. Diagrama en ecuencia emporal de lo reulado obenido Reolución E frecuene realizar la hipóei de que la poblacione de la cuale provienen la muera on normale, por ano, podemo ecribir: 87 y - N ( µ, σ ) Y análogamene para lo valore obenido con la olución : y - N ( µ, σ ) Por ano, la media de lo valore obenido e diribuirán de la forma: y - N µ, σ n y de acuerdo con lo vio en el capíulo 4: y - N µ, σ n y y N σ σ - µ µ, + n n Por ano:

4 MÉTODOS ESTDÍSTICOS. CONTROL Y MEJOR DE L CLIDD π ( y y ) ( µ µ ) σ n σ + n ( 01, ) Pero no conocemo σ ni σ, ino que lo eimamo a parir de u repeciva varianza muerale: 1,54, 1,53. Eo valore on an parecido que, evidenemene, podremo uponer que la varianza poblacionale on iguale. En el cao de que la varianza muerale preenaran mayor diferencia, ane de realizar ea upoición e debería realizar el e de igualdad de varianza, uilizando la diribución F de Snedecor. Ejemplo 5.1a Se oman muera aleaoria imple de amaño n 10 de enda poblacione normale, y e obiene 1,54 y,18. Puede coniderare que la varianza poblacionale on iguale? Hacemo: 18, F 14, 154, - N 88 Comparando el valor obenido con una diribución F de Snedecor con 9 y 9 grado de liberad, e obiene que el área de la cola e mayor de 0,5 y, por ano, nada e opone a uponer que σ σ. Ejemplo 5.1b Igual planeamieno que en el ejemplo anerior, pero ahora conideramo que 1,54 y 16,3. En ee cao e obiene F10,58, y el área de la cola reula er menor de 0,001, luego no podrá rabajare con la hipóei de igualdad de varianza poblacionale. En el apéndice 5 e comena qué hacer en el cao de que e dé ea circunancia. En nuero cao, calcularemo un eimador de la varianza poblacional única, que erá la media de la varianza muerale ponderada egún lo grado de liberad de cada muera (i la muera on del mimo amaño como en nuero cao, eo e conviere en una imple media ariméica). Con dicho eimador único podemo ecribir: ( y y ) ( µ µ ) n n - con n + n g. l. Si e cumpliera que µ - µ 0, endríamo que: 1 ( y y ) n n - con n + n g. l. En nuero cao enemo:

5 π COMPRCIÓN DE DOS TRTMIENTOS (,, ) , , Si e cumpliera la hipóei nula (recordemo: H 0 : µ µ ), el valor 1 obenido perenecería a una diribución de Suden con 18 grado de liberad. Puede coniderare que eo e aí? Una forma de deerminar haa qué puno e normal un valor en una diribución, e a ravé del área de la cola que define. Conulando la abla obervamo que Pr( >,74) 0,007, luego ée e un valor muy poco probable en u diribución de referencia. Si la media de y fueran iguale, e darían diferencia como la obervada o mayore, realizando una prueba como la que aquí e ha hecho, el 0,7 % de la vece. Luego, en ee cao, lo má razonable erá coniderar que la media poblacionale on diina y diremo que la diferencia enre la media muerale e eadíicamene ignificaiva. Eamo aboluamene eguro de que la media de reulado con la olución e menor que con la olución? La repuea e no pero la probabilidad de equivocarno al hacer ea afirmación e ólo del 0,7 %. 5. Generalización del cao de la comparación de do produco para el curido: comparación de media en dieño oalmene aleaorizado La recogida de dao debe hacere de forma que el único facor que influya de forma diina en amba muera ea aquel cuyo efeco e deea eudiar. Si oro facore ambién afecaran de forma diina, ería impoible diinguir i la diferencia apreciada (en el cao de que exiieran) deberían er aribuida al facor eudiado o a oro de lo que accidenalmene hubieran podido influir. Deberán eguire, por ano, do regla báica al planificar la recogida de dao: > egurare de que odo lo facore que puedan ener alguna influencia en la repuea, influyan exacamene igual en la do muera (excepo aquel cuyo efeco e deea eudiar). > leaorizar odo lo que e pueda para proegere de poible ego inroducido por facore no idenificado. í, en el ejemplo de la comparación de olucione ha ido neceario aegurare de que odo lo facore que podían influir en la repuea (ipo de piel, iempo que eá umergida en la olución, iempo y condicione de ecado, ec.) afecaen exacamene igual a la unidade raada con amba olucione. Y aunque conideremo que lo 0 reale de piel on muy parecido (no erán idénico), lo aignaremo aleaoriamene a cada raamieno y, por i influyera el orden de medición, ambién mediremo aleaoriamene. Una vez recogido lo dao e neceario conaar que nada e opone al cumplimieno de la hipóei en que e baa el méodo a aplicar. Éa on: > Normalidad de la poblacione. Una forma prácica de comprobarlo ería realizando lo hiograma de amba muera, pero en la prácica difícilmene enconraremo evidencia de no normalidad de la poblacione, porque dipondremo de muera de amaño pequeño. En cualquier cao, éa e una hipóei poco críica, ya que lo que realmene e upone e que la media e diribuyen egún una normal, lo cual en general podrá coniderare ciero por el eorema cenral del límie. Por ora pare, e conoce que la prueba que uilizan como diribución de referencia la -Suden on robua frene a la hipóei de normalidad. 89

6 MÉTODOS ESTDÍSTICOS. CONTROL Y MEJOR DE L CLIDD π 90 > Independencia de la poblacione. E una hipóei que uponemo al decir que: σ σ V ( y y) + n n El origen de lo dao pone de manifieo i la poblacione pueden coniderare independiene o no. > leaoriedad de la muera. Éa e una hipóei aboluamene críica. El objeivo e exraer concluione obre la poblacione a parir del análii de la muera y, por lo ano, éa deberán er repreenaiva. La aleaoriedad garaniza la repreenaividad. La obención de muera verdaderamene aleaoria debe er el objeivo del dieño de la recogida de dao. Una correca aleaorización conribuye a aegurar el cumplimieno de ea hipóei. > Igualdad de varianza poblacionale. Si e rabaja con ea hipóei e neceario comprobar que nada e opone a u cumplimieno. Para ello e puede aplicar el e de igualdad de varianza al como e ha preenado en el capíulo 4. Un adecuado análii exploraorio de lo dao ambién ayuda a conaar el cumplimieno de la hipóei aneriore, ademá de idenificar poible valore anómalo o exraer una primera concluione, al como e ha vio en el ejemplo anerior. coninuación, lo cálculo a dearrollar on lo iguiene: 1. Calcular el eimador de la varianza poblacional única (media de la varianza muerale ponderada egún lo grado de liberad de cada muera). ( 1) + ( 1) n n n + n. Calcular el valor de 0, el cual perenecerá a una diribución de Suden con n +n - grado de liberad, i la media poblacionale on iguale. 0 y y n n 3. Comparar el valor de 0 con u diribución de referencia. Si la hipóei alernaiva e del ipo H 1 : µ > µ, como en el cao que e ha planeado, e deermina la probabilidad de que e preene un valor como el obenido o mayor, y a ea probabilidad e le denomina nivel de ignificación. Fig. 5.3 Comparación del eadíico de prueba en u diribución de referencia En el aparado 5.6 e explica cómo calcular el nivel de ignificación egún ea la hipóei alernaiva planeada. El nivel de ignificación obenido e una información que ayuda a omar la deciión má adecuada. En general, un nivel de ignificación pequeño aconeja rechazar la hipóei de igualdad de media, aunque para omar la deciión habrá que coniderar ambién oro ipo de información: coe, riego que e corren en cao de equivocare, ec.

7 π COMPRCIÓN DE DOS TRTMIENTOS 5.3 Cao : comparación de do raamieno uperficiale para lene Planeamieno. Recogida de lo dao Ciera induria fabricane de lene para gafa deea comparar do ipo de recubrimieno anirreflecane. Lo do ipo ienen idénico apeco y preacione, pero ane de decidire por uno u oro deean comprobar i el ipo de recubrimieno influye en el deerioro que ufre la lene. En un principio, pienan eleccionar al azar 0 perona que uilicen gafa, y aignar aleaoriamene gafa omeida al raamieno a 10 de ella y gafa con el raamieno a la ora 10. l cabo de 6 mee e realizaría un conrol y, ra omar medida con el inrumeno adecuado, e analizaría i exiían o no diferencia eadíicamene ignificaiva. Pero el méodo planeado iene un inconveniene. En el degae que ufre la lene no ólo influye el recubrimieno uperficial, ino ambién el rao que recibe por pare del uuario. Si la recogida de lo dao e lleva a cabo de la forma ane planeada, e corre el riego de que, i alguna perona, por u hábio o profeión, deerioraen la lene má de lo normal (o meno) y no e reparieen equiaivamene enre lo do raamieno, aribuyamo a algún raamieno un efeco que no le correpondiera, ya que en realidad lo provocarían la perona. E poible eliminar el efeco de la perona en el degae de la lene? Sí puede hacere. La mejor forma erá conruyendo la gafa con una lene de cada ipo. Si alguien la degaa mucho lo hará con ambo raamieno, igual que i la degaa poco. Nauralmene, el méodo de análii de lo dao deberá ener en cuena la forma en que e han recogido. Supongamo que la prueba e ha realizado de ea forma (con 10 individuo) y que al cabo de 6 mee e mide el degae, y e obienen lo valore que e indican en la abla 5.1 (en unidade codificada). INDIVIDUO Media DESGSTE LENTE 6.7 (I) 5.0 (I) 3.6 (D) 6. (I) 5.9 (D) 4.0 (D) 5. (D) 4.5 (I) 4.4 (D) 4.1 (I) 4.96 DESGSTE LENTE 6.9 (D) 5.8 (D) 4.1 (I) 7.0 (D) 7.0 (I) 4.6 (I) 5.5 (I) 5.0 (D) 4.3 (I) 4.8 (D) 5.50 DIFERENCI Tabla 5.1 Reulado del eudio realizado para comparar el degae de do ipo de lene. La lera enre parénei indica la poición (izquierda o derecha) a que e ha aignado aleaoriamene cada lene nálii exploraorio Repuea Cuando lo dao e han recogido de ea forma, una repreenación gráfica muy adecuada e la que e indica en la figura 5.4. demá, por upueo, e pueden realizar lo gráfico que en cada cao e conideren oporuno Fig. 5.4 Repreenación gráfica de lo reulado obenido en el eudio de comparación del degae de do ipo de lene Individuo

8 MÉTODOS ESTDÍSTICOS. CONTROL Y MEJOR DE L CLIDD π Reolución El análii de lo dao no e realiza como en el cao anerior (ahora no e cumpliría la hipóei de poblacione independiene), ino que e analizan la diferencia que e obervan denro de cada individuo enre un raamieno y oro. Seguiremo uponiendo que lo reulado de ambo raamieno perenecen a enda poblacione normale, e decir: y - N(µ, σ ) y - N(µ, σ ) y por ano: y - - N(µ -µ, σ d ) donde σ d e la deviación ipo de la diferencia. Si la media poblacionale on iguale, y - e diribuirá egún una normal de media cero y una deviación ipo que puede eimare mediane la deviación ipo de la diferencia. d ( d d) i n 1 9 Obeniéndoe con nuero dao, d 0,344 y la media de la diferencia e diribuirá de la forma: d N 0, σ d - n En nuero cao enemo que d 0,54. Podemo coniderar que perenece a la diribución anerior? Si aí fuera endríamo que: d σ d n - N ( 01, ) O, al rabajar con un valor eimado de σ d : d d n - Suden con n 1 g. l. En nuero cao enemo que: d d n 497, y ée e un valor muy poco probable en u diribución de referencia (nivel de ignificación de 0,0008). Por ano, podemo afirmar con una probabilidad de error de 0,0008 que el recubrimieno e deeriora má fácilmene que el (figura 5.5).

9 π COMPRCIÓN DE DOS TRTMIENTOS Fig. 5.5 Comparación del valor obenido con u diribución de referencia 5.4 Generalización del cao de la comparación de do raamieno uperficiale de lene: comparación de media en dieño en bloque aleaorizado En mucho cao exie algún facor que influye obre la repuea y no puede aegurare que afece exacamene igual a lo do raamieno. En el cao anerior e raaba del efeco del individuo en el degae de u lene, y la diferencia e calculaban para cada individuo, e decir, denro de bloque homogéneo. En mucha ora circunancia conviene dieñar la recogida de dao de ea forma. Tiempo, máquina o maeria prima, pueden afecar a la repuea y requerir que e formen bloque para analizar lo dao denro de lo mimo. Denro de cada bloque, el orden de recogida de lo dao e aleaoriza, por eo e llaman dieño en bloque aleaorizado. Ejemplo 5.1 Se deea comparar el valor obenido con un aparao elecrónico para la medida de la enión arerial con un inrumeno cláico de columna de mercurio. Cómo deberían omare lo dao? Nauralmene, no ería un buen procedimieno elegir do grupo de perona, omar la enión con el aparao elecrónico a un grupo, con el cláico al oro y comparar. En la repuea, ademá del aparao influye la perona y, por ano, lo correco erá omar la enión a cada uno con lo do inrumeno y analizar la diferencia por perona. Ejemplo 5. Se deea comparar la canidad de produco fabricado uilizando do procedimieno de monaje diino. Una unidad de medida que e conidera correca e la producción obenida durane 4 hora. Se abe que no hay variacione de producividad a lo largo del día, pero í puede haberla de un día a oro. Cómo omar lo dao? Podrían omare do dao cada día, uno con cada procedimieno, correpondiene a la producción obenida durane 4 hora eguida (aleaorizando cada día qué procedimieno e hacía primero). De ea forma, la diferencia de producción de un día a oro no afecaría a la concluione obenida. Cuando lo dao e han recogido de ea forma, y coniderando que el efeco bloque afeca por igual a lo do raamieno (efeco adiivo), u méodo de análii requiere el cumplimieno de la iguiene hipóei: > Normalidad de la do poblacione. En realidad lo que e upone e la normalidad de y -y, aunque, como en el cao de lo dieño oalmene aleaorizado, éa e una hipóei poco críica, ya que iempre e podrá uponer que la diferencia media igue una diribución normal. 93

10 MÉTODOS ESTDÍSTICOS. CONTROL Y MEJOR DE L CLIDD π > Independencia de la diferencia. O lo que e lo mimo, la diferencia on una muera aleaoria imple de la población de diferencia. Si e ha aleaorizado correcamene y la recogida de dao e ha llevado a cabo con la meiculoidad requerida, en general e podrá uponer el cumplimieno de ea hipóei. El obligado análii exploraorio de lo dao ervirá ambién para poner de manifieo que no exien prueba de incumplimieno de la hipóei anerior. demá del gráfico del ipo que e vio en la figura 5.4, puede realizare, por ejemplo, un gráfico de la diferencia en función del orden de obención de lo dao. En el cao de la lene, endrá el apeco que e indica en la figura 5.6, que pone de manifieo un parón de comporamieno aleaorio en orno a u valor medio, al como era de eperar. Diferencia Una vez e ienen lo dao, lo cálculo que e deben dearrollar on lo iguiene: 1. Calcular la diferencia denro de cada bloque, y ambién la media ( d ) y la deviación ipo ( d ) de dicha diferencia.. Calcular el valor del eadíico de prueba d d n Individuo Fig. 5.6 Diagrama que repreena la diferencia de degae para cada individuo Comparar el valor del eadíico de prueba con u diribución de referencia, que erá una de Suden con n-1 grado de liberad. Deerminar la probabilidad de que en dicha diribución e preene un valor igual que el obenido o uperior. Ea probabilidad erá el nivel de ignificación de la prueba. Si el nivel de ignificación e bajo e rechazará la hipóei de igualdad de media y diremo que la diferencia obervada enre un raamieno y oro e eadíicamene ignificaiva. 5.5 leaorización y bloqueo: recapiulación En una prueba para la comparación de do raamieno, puede coniderare que en lo dao obenido influyen cuaro ipo de facore: i) El facor cuyo efeco e deea eudiar (el ipo de recubrimieno uperficial en el cao que hemo vio aneriormene). ii) Facore idenificado que pueden influir en la repuea, pero que e poible manener conane para lo do raamieno (como podría er el ipo de monura, que quizá influya en el degae de lene, pero cuyo efeco e podría neuralizar uilizando iempre monura del mimo ipo). iii) Facore idenificado que pueden influir en la repuea y que reula impoible manener conane para lo do raamieno (como el rao que e da a la gafa y el degae que ufren). iv) Oro facore, no idenificado, que ambién pueden ener influencia en lo reulado obenido (quizá el orden en que e efecúan la medicione por la exiencia de pequeña deriva en el aparao de medida, al como e ha comenado aneriormene).

11 π COMPRCIÓN DE DOS TRTMIENTOS Obviamene, el facor eudiado debe afecar de forma diina a cada raamieno (en el cao de afecar igual ería impoible deecar u poible efeco). Qué hacer con lo facore idenificado del ipo ii? No no inereará que afecen de forma diina a cada raamieno, por ano, deberán manenere exacamene igual ano en un raamieno como en el oro. Pero, y i no e poible manenerlo conane? (cao de lo facore ipo iii). En ee cao erá neceario bloquear, e decir, analizar la diferencia denro de bloque homogéneo en lo que eo facore afecen por igual. En general, a medida que rancurre el iempo, y cuano mayor e el período en el que e procede a la recogida de lo dao, mayor e la probabilidad de que aparezcan variabilidade no deeada (lo lune e rabaja de forma diina a lo vierne, la humedad o la emperaura varían con el iempo, ec.). En eo cao, uele er una buena idea uilizar período de iempo como bloque. í, en el cao de que e comparen do méodo de rabajo a parir de un dao por urno, pero e opeche que el urno de la mañana puede dar un nivel de repuea diino del de la arde, la mejor forma de dieñar la recogida de dao ería la que e indica en la figura 5.7. Fig 5.7 Dieño bloqueado por día debido a la diferencia enre urno Denro de cada día (bloque) conviene aleaorizar para proegerno de la influencia de poible facore del ipo iv (facore no idenificado). Si éo exien, al aleaorizar cabe eperar que u efeco e difumine enre lo do raamieno y no alere la concluione del análii. La conigna en el dieño de la recogida de dao podría er loquear lo que e pueda y aleaorizar el reo. loquear neuraliza la influencia de fuene de variación conocida, pero no deeada. leaorizar proege del efeco de poible facore con ciera influencia, pero no idenificado. Volvamo, para erminar ee aparado, al cao del curido de piele. Si e aprecia que la porcione de cuero no on idénica (lo cual e baane poible) un dieño mejor que el propueo coniiría en omar ólo 10 reale, dividirlo por la miad, aplicar a un rozo el raamieno y al oro el. leaoriamene, por upueo Conrae de hipóei. Formalización y limiacione El procedimieno eguido en el análii de lo dao para la comparación de media puede reumire en la iguiene eapa: 1. Formular la hipóei nula (H 0 ) y alernaiva (H 1 ).. parir de lo dao diponible e calcula un valor relevane (eadíico de prueba) mediane una deerminada expreión. Si no exie diferencia de media, el valor obenido perenece a una deerminada diribución de probabilidad denominada diribución de referencia. 3. Se compara el eadíico de prueba con u diribución de referencia, deerminando la probabilidad (nivel de ignificación) de que un valor como el obervado (o mayor) ea debido al azar en el cao de que la hipóei nula ea ciera.

12 MÉTODOS ESTDÍSTICOS. CONTROL Y MEJOR DE L CLIDD π 4. Si el nivel de ignificación e pequeño e rechaza la hipóei de igualdad de media y e dice que la diferencia obenida e eadíicamene ignificaiva. Ee equema de razonamieno, muy uado en eadíica, recibe el nombre de conrae de hipóei, ya que lo que hace e uponer que e cumple una deerminada hipóei (H 0 ) y conraar i lo dao de que e dipone on o no coherene con éa. Normalmene, la hipóei nula e del ipo de la que e han planeado en lo cao aneriore, e decir: H 0 : µ µ La hipóei alernaiva puede er de la forma: H : µ > µ o H : µ < µ o H : µ µ Lo do primero planeamieno on, en eencia, el mimo (i no on iguale, una media e mayor que la ora), pero el ercero refleja una mayor deinformación obre el fenómeno que e eudia, lo cual e raduce en una diina medida del nivel de ignificación. La abla 5. indica el enfoque que e da al análii de lo dao en función del reulado obenido y de cuál ea la hipóei alernaiva planeada. Nóee que i la hipóei alernaiva e del ipo µ µ e eperan diferencia de media ano poiiva como negaiva. De hecho, en ee cao, dada una diferencia, e conidera igualmene probable la diferencia en enido conrario y, por ano, el nivel de ignificación (área de cola) e muliplica por en ee cao. 96 RESULTDO OTENIDO y y y < y > y y H 0: : : H 1: : <: Reulado eperado. Se raará de analizar, mediane el procedimieno adecuado, i la diferencia obenida e eadíicamene ignificaiva o no. No hace fala que realicemo ningún c<lculo. Con el reulado obenido e obvio que no podemo rechazar H 0 para quedarno con H 1. PLNTEMIENTO DEL CONTRSTE H 0: : : H 1: : >: No hace fala que realicemo ningún cálculo. Con el reulado obenido e obvio que no podemo rechazar H 0 para quedarno con H 1. Reulado eperado. Se raará de analizar, mediane el procedimieno adecuado, i la diferencia obenida e eadíicamene ignificaiva o no. H 0: : : H 1: : : E neceario analizar i la diferencia obenida e eadíicamene ignificaiva. En ee cao, que prácicamene no e dará (ería una caualidad), obviamene no podrá rechazare la hipóei nula, ea cual ea la alernaiva. Tabla 5. ccione a emprender en función del planeamieno del conrae y del reulado obenido El ipo de hipóei alernaiva que e planea depende del conocimieno que e iene del fenómeno en eudio. En una prueba para eudiar la eficacia de un ciero abono, puede abere (por razonamieno biológico) que el ferilizane puede aumenar la coecha o no ener ningún efeco, pero no e poible que la reduzca (en ee cao H 1 ería del ipo µ >µ ). También puede planeare en función del enfoque que e dé al problema. Si enemo un proveedor habiual (), del que eamo báicamene aifecho, y e planea la poibilidad de cambiar a oro (), que podría er mejor, la hipóei alernaiva debería er del ipo µ <µ. Puede planear una ciera perplejidad la circunancia de que el nivel de ignificación ea uno o juamene el doble en función de cuál ea la hipóei alernaiva que e planee (deciión no exena,

13 π COMPRCIÓN DE DOS TRTMIENTOS en alguno cao, de ciera arbirariedad). Ea forma de proceder puede juificare con el argumeno de que, i ólo e abe que la media on iguale o on diina, e conoce meno obre el proceo que i e eá eguro de que, i no on iguale, una en concreo e mayor que la ora. La menor información que e iene en el primer cao e raduce en una mayor probabilidad de error al rechazar H 0 para un reulado dado. Fig. 5.8 Nivel de ignificación cuando la hipóei alernaiva e del ipo µ µ 5.7 Un análii alernaivo: inervalo de confianza para la diferencia de media La comparación de media ambién e puede abordar aplicando el concepo de inervalo de confianza. Un inervalo de confianza 1-α para la media de la población e obiene mediane una expreión del ipo: σ y ± zα n Eimando σ a parir de la varianza mueral, obenemo: y ± α ν En general, eo inervalo reponden a la expreión: eadíico ± α/,ν. deviación ipo del eadíico, n 97 Por ano, a parir de lo dao de un dieño oalmene aleaorizado, puede planeare el iguiene inervalo de confianza para la diferencia de media poblacionale µ -µ : 1 1 y y ± α +, ν n n donde e el eimador conjuno de la varianza poblacional. Si el dieño e bloqueado, la expreión obenida e: Ejemplo 5.3 Calcular un inervalo de confianza del 95 % para la diferencia de media poblacionale omando el planeamieno y lo dao del cao 1. Tenemo que: y 5.14 y , n 10 n 10 Luego el inervalo e: 1.5 ± 1.17 d d ± α, ν n

14 MÉTODOS ESTDÍSTICOS. CONTROL Y MEJOR DE L CLIDD π Ejemplo 5.4 Igual al ejemplo 5.3 pero a parir del cao. En ee cao: d d n 10 Y e obiene: 0.55 ± 0.5 Si el cero eá incluido en el inervalo 1-α, cabe coniderar que ée no e un valor exraño para la diferencia de media y, por ano, no e podrá rechazar la hipóei nula de igualdad de la media poblacionale con un nivel de ignificación de α. Ejercicio Si en un conrae de hipóei del ipo: H 0 : µ µ H 1 : µ µ e obiene un nivel de ignificación exacamene igual a 0.05, qué peculiaridad endrá uno de lo exremo del inervalo de confianza del 95% para µ -µ? 98

15 π COMPRCIÓN DE DOS TRTMIENTOS Ejercicio 5.1. Se deea aber i un deerminado plan de eguridad en el rabajo e efecivo en la reducción del número de accidene laborale y, por ano, en la pérdida de hora de rabajo debido a accidene. Lo iguiene dao on la hora de rabajo emanale perdida a caua de accidene en ei fábrica, ane y depué de implanar el nuevo plan de eguridad. PLNT NTES DESPUÉS a) Epecificar la hipóei necearia. b) Se puede decir con eo dao que el plan de eguridad e efecivo? 5.. Una fábrica de auomóvile dipone de do proveedore ( y ) de llana de aluminio. Se iene la opecha de que exien diferencia en ciera caraceríica mecánica (X) de la llana, egún ea el proveedor que la uminira. Para analizar el ema e oman muera aleaoria de cada uno de lo proveedore, obeniéndoe lo valore que e indican en la abla adjuna. a) Puede decire que exien diferencia en la llana egún el proveedor que la uminire? PROVEEDOR PROVEEDOR b) Calcular lo amaño de muera (iguale para ambo n 100 n 94 proveedore) para que un inervalo de confianza del 95% de x 543. x 575. µ - µ pueda expreare de la forma: x -x ± 0, Uno grande almacene deean cubrir un pueo de vendedor, para lo cual conraan emporalmene durane re mee a do candidao. Lo dao obenido depué de eo re mee on: Nº de día rabajado: 66 día 60 día (6 día de baja por enfermedad) S() p S() p Se admie que lo pueo de rabajo a que han ido aignado ienen idénica poibilidade de vena. Depué del período de prueba el candidao ha vendido produco por un valor medio de p/día, y el candidao por valor de p/día. Juifica ea diferencia la afirmación de que vende má que? 5.4. Una emprea uminira ubo de ecape a la induria del auomóvil. En el ubo de ecape e coloca un enor que comunica al ordenador del coche el conenido de CO en lo gae de ecape. La emprea dipone de do ipo de enore, y, baado en principio de medición diferene. Tano uno como oro e colocan en el ilencioo del ubo de ecape. El deparameno I+D de la emprea opecha que pueden haber diferencia enre la medicione efecuada por lo do ipo de enor y decide realizar un experimeno.

16 MÉTODOS ESTDÍSTICOS. CONTROL Y MEJOR DE L CLIDD π La primera idea conie en eleccionar 10 enore del ipo y oro 10 del ipo, y colocarlo en lo ubo de ecape de 0 coche diino. No obane, un ingeniero de la emprea ugiere que el experimeno debería bloqueare para eviar que la variabilidad enre coche diino enmacarae lo reulado del experimeno. Para ello ugiere que e uilicen 10 coche y que en cada uno de ello e mone un enor y oro, ambo colocado en el ilencioo y en do poicione cercana enre í. El conenido en pare por millón de CO obervado en el experimeno fue el que e indica en la iguiene abla. a) Decriba brevemene el mecanimo de aleaorización del NÚM. TIPO TIPO experimeno. b) Cuál ería la diribución de referencia para comparar lo valore medio de lo do ipo de enore, i el experimeno e hubiera llevado a cabo con lo 0 coche? c) Qué deciión e omaría con la diribución de referencia anerior? d) Dado que el experimeno e ha realizado egún el dieño del propueo por el ingeniero, e decir con 10 coche, e preferible uilizar 10 coche del mimo modelo, o 10 coche de modelo y cilindrada diferene? Una fábrica de jabone produce deergene en do plana gemela, una en Geafe y ora en Granoller. En Granoller uilizan maeria prima del proveedor y en Geafe maeria prima del proveedor. Se deea comparar la influencia de lo do proveedore en la producción, para lo cual e recopilan canidade producida en la do plana durane 5 día, con lo iguiene reulado: PROVEEDOR PROVEEDOR DÍS 5 5 PRODUCCIÓN MEDI Tm 17. Tm DESVICIÓN TIPO 4.5 Tm 3.1 Tm a) aándoe en ee eudio, qué proveedor e preferible? b) Comenar el dieño del experimeno y lo reulado obenido Se deea comparar do programa de enrenamieno de rabajadore en una línea de producción. Se ecogen 10 al azar para er enrenado por el méodo y 10 para er enrenado por el méodo. Finalizado lo programa de enrenamieno, e mide el iempo que ardan en realizar una de la operacione en la cadena, y e obenienen lo iguiene reulado: TIEMPO (minuo) MÉTODO MÉTODO a) E mejor uno de lo méodo que el oro? b) Qué upoicione han ido necearia? c) Qué papel deempeña la aleaorización a la hora de ecoger a lo rabajadore? d) Qué oro facore pueden ener imporancia en el iempo empleado por cada rabajador? E poible proegere de lo mimo?

17 π COMPRCIÓN DE DOS TRTMIENTOS 5.7. Una fábrica dedicada a la fabricación de loea para el recubrimieno de nave epaciale recibe el encargo de una emprea muy imporane dedicada a la aeronáuica. Dicha fábrica produce do ipo de loea, y. Para aber qué ipo de loea preferirá la emprea e hace una prueba con 18 loea (9 del ipo y 9 del ipo ), inroduciéndola en horno a ºC y anoando el iempo rancurrido haa u roura. Lo reulado, en hora, on lo indicado en la abla adjuna. a) Qué loea preferirá la emprea? b) Cómo e podría haber mejorado la preciión del experimeno? Por qué?

18 MÉTODOS ESTDÍSTICOS. CONTROL Y MEJOR DE L CLIDD π péndice 5 Te de comparación de media cuando no puede aumire la igualdad de varianza poblacionale Una de la hipóei que hacíamo al aplicar la écnica de comparación de media en dieño oalmene aleaorizado era uponer la igualdad de varianza poblacionale. Si no puede aumire ea hipóei, puede obenere una buena aproximación al nivel de ignificación reulane calculando el eadíico: ( y y) ' + n n 10 Si n n n, el nivel de ignificación e deermina uilizando como diribución de referencia una de Suden con n-1 grado de liberad (figura 5.1). Si n n, con el valor calculado de e hallan lo nivele de ignificación p y p en Fig. 5.1 Nivel de ignificación en el cao de muera diribucione de Suden con n -1 y n -1 grado del mimo amaño de liberad (figura 5.). Siendo en ee cao el nivel de ignificación de la prueba: con: p ω p ω p + ω + ω ω n ω n Fig. 5. Valore previo al cálculo del nivel de ignificación en el cao de amaño de muera diferene Ejercicio: Qué hacer i en un dieño en bloque aleaorizado no puede uponere la hipóei de igualdad de varianza poblacionale? (yuda: Repae cuále on la hipóei que e realizan en ee cao.)

19 π COMPRCIÓN DE DOS TRTMIENTOS péndice 5 Pruébelo Ud. mimo. Comparación de do ipo de helicópero. Vamo a uilizar de nuevo helicópero del ipo que hemo preenado en el aparado 3.1. En primer lugar hay que conruirlo. Para ello deberá omar una hoja DIN -4 y corarla longiudinalmene por la miad. Uno de lo rozo obenido deberá recorarlo y doblarlo al como e indica en la figura 5.1. Fig. 5.1 Equema de conrucción del helicópero (coa en cm) 103 Si lo deja caer dede una ciera alura (3 mero, por ejemplo), obervará que primero hace un recorrido de aproximadamene 0,5 mero de forma deordenada (régimen urbuleno), haa que e le depliegan la ala y empieza a caer de forma lena y uave (régimen laminar). Ejercicio: Coniga un cronómero y deje caer varia vece (10, por ejemplo) el helicópero dede la mima alura y en idénica condicione. noe cada vez el iempo que ha ardado en caer. Repreene gráficamene lo dao obenido (hiograma, erie emporal, ec.). Por qué realizando la prueba iempre en idénica condicione, el reulado obenido no e iempre el mimo? Vamo a inenar mejorar el dieño para aumenar el iempo que arda en caer. Probaremo recorando la puna de la ala al como e indica en la figura 5.. Qué hacer para comprobar i el nuevo dieño e mejor que el anerior? Dede luego no ería una prueba fiable que dejáramo caer un helicópero de cada ipo y comparáramo lo do reulado obenido ( por qué?). Lo correco ería conruir vario helicópero con el primer dieño y oro ano con el egundo, dejarlo caer omado dao y compararlo (e de la de Suden para dao oalmene aleorizado). Ejercicio: Por qué no e uiliza un olo helicópero de cada ipo dejándolo caer ana vece como e deee? Qué ipo de error e puede comeer i la prueba e realiza de ea forma? Fig. 5. Equema de conrucción del helicópero mejorado

20 MÉTODOS ESTDÍSTICOS. CONTROL Y MEJOR DE L CLIDD π La prueba que hemo propueo iene un inconveniene: odo lo helicópero deben er conruido con el mimo ipo de papel y eo implica que, i el nuevo dieño e mejor, lo erá con ee ipo de papel, pero nada puede aegurare para helicópero conruido con papel de caraceríica diina al uado en la prueba. Dado que ee ipo de conrucción puede realizare con una ciera gama de papel de uo habiual (má o meno peado, má o meno rígido, ec.), en rigor no podemo aegurar que un dieño ea mejor que oro in hacer referencia al ipo de papel que e ha uilizado. Ejercicio: Cómo realizar la comparación coniderando que lo helicópero pueden conruire con diino ipo de papel? (yuda: Recuerde que con cada hoja e pueden conruir do helicópero. Quizá convendría omar un conjuno de hoja repreenaiva de la uada habiualmene para eo meneere y...) 104

21 6 Comparación de má de do raamieno: análii de la varianza Como ya e ha vio en el capíulo anerior, para la comparación de do media e uiliza, en la mayoría de lo cao, un eadíico que iene como diribución de referencia la de Suden. Ee eadíico e calcula de una forma u ora egún e rae de muera independiene o de dao apareado. Normalmene, el e que e realiza en ambo cao e denomina e de la de Suden, en relación con la diribución de referencia uilizada. Cuando e raa de comparar má de do media, la écnica que e uiliza recibe el nombre de análii de la varianza. El lecor e pregunará por qué análii de la varianza, cuando el objeivo e comparar media. Un encillo ejemplo no ervirá para aclarar la razón de ea denominación. Supongamo que e deea analizar i la diferencia enre la media de re muera e eadíicamene ignificaiva o no. Conideremo do iuacione diina, repreenada por lo diagrama de puno de la figura 6.1. la via del gráfico reula encillo acar la concluión de que en el cao a) í puede hablare de diferencia ignificaiva, mienra que en el cao b) no. Pero, por qué? La diferencia de media on exacamene iguale ano en un cao como en oro, enonce, por qué en un cao e ha coniderado que la diferencia e ignificaiva y en el oro no? La razón e, implemene, que e ha analizado i la diferencia (variabilidad) enre la media e mayor de la que cabría eperar a parir de la variabilidad denro de cada muera. Y e ha llegado a la concluión, con oda la razón, de que en el cao a) ea diferencia í on mayore de lo que cabría eperar, pero en el cao b) no. En definiiva, lo que e ha hecho e un análii de la variabilidad, o análii de la varianza, para decidir i la diferencia de media on o no eadíicamene ignificaiva. Fig. 6.1 Son ignificaiva la diferencia de la media muerale? 105

22 MÉTODOS ESTDÍSTICOS. CONTROL Y MEJOR DE L CLIDD π 6.1 Méodo gráfico de comparación de media para poblacione independiene Idea báica para la aplicación del méodo 106 Vamo a dearrollar en ee aparado una encilla meodología gráfica, que no permiirá dicernir i un conjuno de media pueden coniderare iguale o diina. Lo haremo de una forma má objeiva que la uada aneriormene, baada en la imple conemplación de lo correpondiene diagrama de puno, aunque no conviene deeimar ee méodo, que en mucha ocaione puede er uficiene y en ora puede uilizare como complemenario. Empezaremo planeando un encillo ejercicio: Puede coniderare que lo valore: 15, 17, 16, 1 y 14, perenecen a una diribución normal con σ 1? Una forma de reolver ee problema e repreenando a ecala una diribución normal con σ 1, juno con lo valore dado, para ver i e puede coniderar que perenecen a ea diribución o no. El cálculo de la ordenada de la diribución normal puede hacere a parir de la fórmula de u función denidad de probabilidad 1, y como no hay ninguna limiación en cuano a la media, conideramo µ 0 y obenemo la abla de la derecha cuya repreenación erá la de la figura 6.. Dado que el parámero µ (media) en una ley normal e un parámero de localización, paar de una ley normal de µ 0 a cualquier oro valor de µ e conigue mediane una imple ralación del eje de imería de la campana al valor de µ. En la figura 6.3 hemo cenrado la campana obre el valor 16, pero lo podríamo haber hecho obre cualquier oro. Lo que e raa de ver e i odo lo valore dado caben debajo de la campana, para alguna poición de la mima. En nuero cao, eá claro que no caben odo lo valore; el 1 e queda fuera, y i cenramo la campana en el 1, e quedan fuera odo lo demá. Luego, en ee cao e puede coniderar que odo lo valore dado perenecen a una normal con σ 1, excepo el 1. Si en vez de comparar nuero dao con una normal de σ 1, lo hiciéramo con una de σ 3, deberíamo conruir una campana diina? 0.30 x Fig. 6. Repreenación a ecala de una diribución normal con µ 0, σ 1 f(x) Con σ 1 y µ 0, e iene: f ( x) 1 π e x Fig. 6.3 Repreenación de valore juno a una N(0,1)

23 π COMPRCIÓN DE MÁS DE DOS TRTMIENTOS: NÁLISIS DE L VRINZ No neceariamene. Para una diribución normal con σ 3 podemo manener la ecala de abcia del gráfico anerior y variar la forma de la campana, o manener la forma de la campana y variar la ecala de abcia. La diribución de probabilidad repreenada en la figura 6.4, con la mima forma que la anerior pero con diina ecala en el eje de abcia, correponde a una normal con σ 3. Y i en ea ecala repreenamo nuero valore, endremo: Fig. 6.4 Repreenación de una diribución normal con σ 3 Fig. 6.5 Repreenación de valore juno a una N(0,3) Luego í puede coniderare que perenecen odo a una normal con σ 3. Obérvee, por ano, que cuando e deea realizar ee ipo de eudio comparando un conjuno de dao con la diribución normal, no e neceario dibujar una campana diina para cada cao, ino que baará con una ola variando la ecala de abcia, muliplicándola por un ciero facor de ecala, que erá igual a la deviación ipo de la diribución que e deee repreenar. Pero cuando e quiere reolver ee ipo de problema y no e conoce la deviación ipo de la población, ino que e iene una eimación de la mima, no puede uilizare la normal como diribución de referencia, ino una de Suden con lo grado de liberad que correpondan egún ea el amaño de la muera uilizada para eimar σ. Con lo dao de nuero ejemplo, i la deviación ipo de la población e ha eimado a parir de una muera de amaño n 5, y e ha obenido 3, la diribución de referencia erá una de Suden con ν 4 grado de liberad y con un facor de ecala igual a 3. Como la forma de la de Suden no e iempre la mima (depende del número de grado de liberad), deberían calculare la ordenada en cada cao, pero eo no e neceario, ya que e hallan abulada en abla como la que e adjuna en el apéndice 1. Para realizar la comparación en ee cao conviene conruir una pequeña abla previa, como la iguiene: ORDEND (v4) *

24 MÉTODOS ESTDÍSTICOS. CONTROL Y MEJOR DE L CLIDD π Y a coninuación e conruye la de Suden iuando lo valore dado en un eje horizonal con la mima ecala que la uilizada para la diribución. (Ver figura 6.6.) También en ee cao podemo coniderar que odo lo valore perenecen a la mima población. Fig. 6.6 Comparación de valore con una de Suden con 4 grado de liberad 6.1. Requiio de aplicación 108 El méodo gráfico que acabamo de ver no va a ervir para realizar comparacione de media, pero para que el procedimieno ea válido, e neceario que e cumplan re requiio: a. La muera cuya media e deee comparar, deben er muera aleaoria imple de u correpondiene poblacione. De lo conrario, la muera no pueden coniderare repreenaiva y el méodo carece de validez. b. La poblacione de la que proceden cada una de la muera deben er normale, aunque ee requiio e poco críico y ligera deviacione repeco a la normalidad no afecan a la validez del méodo. c. Toda la poblacione de la que proceden la muera deben ener la mima varianza. ravé de un análii exploraorio de lo dao podemo cerciorarno de que no hay prueba de que eo requiio no e cumplen. En el cao del ercer requiio, lo gráfico de reiduo (valor obervado meno media de la muera), frene a valore previo (media de la muera) on de gran uilidad. Veámolo en lo iguiene ejemplo. Ejemplo 6.1: Sean lo dao: MUESTR DTOS MEDI Recordando que lo reiduo on la diferencia enre lo valore obervado y lo previo por el modelo (en ee cao la media muerale) endremo:

25 π COMPRCIÓN DE MÁS DE DOS TRTMIENTOS: NÁLISIS DE L VRINZ MUESTR RESIDUOS Y el gráfico de reiduo frene a valore previo iene el apeco: Reiduo 109 Fig. 6.7 Gráfico de reiduo frene a valore previo (no e oberva heerocedaicidad) Luego nada no hace penar que la variabilidad (varianza) ea diina enre poblacione, y podemo aumir el ercer requiio. Ejemplo 6.: Sean lo dao: MUESTR DTOS MEDI En ee cao lo reiduo on:

26 MÉTODOS ESTDÍSTICOS. CONTROL Y MEJOR DE L CLIDD π MUESTR RESIDUOS Se obiene el iguiene gráfico de reiduo frene a valore previo: Reiduo 110 Fig. 6.7 Gráfico de reiduo frene a valore previo. Se oberva heerocedaicidad En ee cao no e puede uponer que la variabilidad ea la mima para oda la poblacione. De hecho, e da un fenómeno que uele ocurrir con ciera frecuencia, y e que la varibilidad aumena al aumenar la media, dando origen a gráfico como el que nooro hemo repreenado, con una ípica forma de embudo. Ee fenómeno e denomina heerocedaicidad, y cuando e da, no e pueden aplicar la écnica cláica de análii de la varianza como la que veremo a coninuación Cao de la comparación de procedimieno de monaje. plicación del méodo Lo dao que e preenan a coninuación correponden a la producividad media por hora en el monaje de un ciero mecanimo, egún que el procedimieno empleado ea el, el o el C. Supondremo que la recogida de lo dao e ha aleaorizado convenienemene y que nada hace uponer que exia algún facor que no ejerza el mimo ipo de influencia para odo lo reulado obenido. Puede decire que lo re procedimieno no dan la mima producividad?, y en ee cao, cuál o cuále on diina? El razonamieno que e hace en la reolución de ee ipo de problema e coniderar que e da la circunancia má conervadora (hipóei nula, H 0 ), que en nuero cao ería coniderar que lo re procedimieno dan la mima produci- PRODUCTIVIDD/h PROCEDIMIENTO C MEDI DES. TIPO

27 π COMPRCIÓN DE MÁS DE DOS TRTMIENTOS: NÁLISIS DE L VRINZ vidad, conraando a coninuación i lo dao de que e dipone on coherene con la hipóei planeada o, por el conrario, no lo on, en cuyo cao e rechazada. Que lo re procedimieno den la mima producividad ignifica que u media poblacionale on iguale, e decir que podemo planear la hipóei nula de la forma: H 0 : µ µ µ C La hipóei alernaiva (H 1 ) e la que e conidera ciera en el cao de que no e cumpliee la hipóei nula, que en ee cao erá implemene coniderar que no oda la media on iguale. La meodología que e debe eguir, i no exie evidencia de incumplimieno de lo requiio neceario, puede reumire en la iguiene eapa: a) Eimar la varianza poblacional única σ (recuerde que ée era uno de lo requiio) mediane una media ponderada de la varianza muerale. Cada una de la varianza muerale e un buen eimador de σ, pero eguramene oda on diina. Enonce, con cuál no quedamo? Si la muera on iguale en amaño uilizaremo la media ariméica de la varianza muerale y, i no lo on, haremo una media de la ponderada egún lo grado de liberad de cada muera (no fiamo má de la muera má grande). La fórmula general para el cálculo de la eimación de σ, que llamaremo R, erá: R k 1 ( n 1) k 1 ( n 1) ( n 1) N k donde: k: Número de procedimieno (o, en general, raamieno) a comparar n : Número de dao de que e dipone correpondiene al raamieno : Varianza de lo dao correpondiene al raamieno N: Número oal de dao en lo k raamieno En nuero cao, al er iguale lo amaño de muera, no e neceario aplicar ponderación alguna, ino que podemo calcular R de la forma: k De donde: R C R con ν 9 grado de liberad (3 de cada muera). b) Calcular el facor de ecala de la -Suden con ν 9. Recuerde que la media de una muera e diribuye con una deviación ipo igual a la deviación ipo de la población, dividida por la raíz cuadrada del amaño de la muera (eorema cenral del límie). Por ano, en nuero cao el facor de ecala erá: R facor de ecala n Si lo amaño de la muera no on iguale (pero no muy diino), enonce en lugar de n e uiliza:

28 MÉTODOS ESTDÍSTICOS. CONTROL Y MEJOR DE L CLIDD π n k 1 k n c) Conruir la diribución de referencia egún el méodo vio aneriormene En ee cao, la abla erá: ORDEND (< 9) * Con lo que e obiene una diribución de la forma indicada en la figura Fig. 6.9 Conrucción de una diribución de referencia d) Siuar la media en un eje horizonal con la mima ecala que la uilizada en la diribución de referencia. Delizar la diribución y acar concluione. Fig Comparación de valore con u diribución de referencia ( mima ecala del eje de abcia!) Fig No e puede afirmar que y ean diino, ni que lo ean y C, pero í que lo on y C

29 π COMPRCIÓN DE MÁS DE DOS TRTMIENTOS: NÁLISIS DE L VRINZ Vemo que no e puede coniderar que la re media muerale perenezcan a la diribución a la que deberían perenecer i la media poblacionale fueran iguale. Luego lo dao no eán en cononancia con la hipóei nula realizada que, por ano, erá rechazada. La concluión e que lo procedimieno y C on eadíicamene indiinguible, mienra que el preena una diferencia ignificaiva repeco a lo oro do. Nóee que el hecho de que ea indiinguible de y indiinguible de C, no implica que ea indiinguible de C, al como pone de manifieo la figura Cao de la comparación de procedimieno de monaje con dao bloqueado. Hipóei obre el modelo de la repuea Supongamo que en el experimeno anerior de análii de la producividad de re écnica de monaje diina e deea omar cuaro dao de cada procedimieno, pero coniderando ahora que ólo e puede omar un dao cada día, y de forma que e iene la opecha de que el día de la emana ambién puede influir en la producividad. En ee cao, e mejor no recoger lo dao de una forma oalmene aleaoria, ya que podría ocurrir que re dao correpondiene al procedimieno fueran omado el lune, y i ee día de la emana el nivel de producividad fuera menor, achacaríamo una diminución del nivel de repuea al procedimieno, cuando en realidad correpondería al día en que e omaran lo dao. En circunancia como éa, e indipenable planificar la recogida de dao de forma que el poible efeco de ee facor, que no e puede manener conane, quede convenienemene neuralizado. Una forma de hacerlo e omando lo dao de la iguiene forma: 113 PROCEDIMIENTO C DÍ Lune PRODUCTIVIDD Mare MiJrcole Jueve El experimeno ha coniido en cuaro bloque (día), y e han omado dao para cada uno de lo procedimieno de forma aleaoria denro de cada bloque (dieño en bloque aleaorizado ). De ea forma, denro de cada bloque pueden comparare la producividade (repuea) de cada procedimieno, por mucha variación que haya en la media de lo bloque. Conideraremo que cada reulado obenido y i e puede exprear mediane el modelo: y i µ + β i + τ + ε i donde: µ: Media general β i : Efeco correpondiene al bloque i τ : Efeco correpondiene al raamieno ε i: Perurbación aleaoria correpondiene a la obervación i. ε i - N(0, σ ).