Reparto de los ahorros de la gestión conjunta de stocks

Transcripción

1 Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks ntono Magaña Neto Manel Rajadell arreras rofesores de la Unverstat oltécnca de atalunya En este trabajo se prueba que la gestón conjunta de stocks se traduce en un benefco para las compañías que decden cooperar, ncluso cuando sus demandas son dferentes. Sn embargo, en este caso, surge un problema: cómo compartr los costes asocados (o los ahorros, dependendo del punto de vsta usado) que la gestón conjunta de stocks genera? Se dscute la tradconal fórmula del reparto proporconal y se muestran sus desventajas; utlzando los juegos cooperatvos y el valor de Shapley se presenta una solucón satsfactora a este problema. alabras lave: gestón de stocks, juegos cooperatvos, análss de la decsón, valor de Shapley. Área de especalzacón: nálss de la ecsón 1. Introduccón La gestón de stocks es una de las actvdades esencales de muchas empresas. Los stocks resultan mprescndbles para proporconar un buen servco al clente y, por tanto, es necesaro y útl realzar alguna nversón Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 1 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras

2 en stocks. Sn embargo, tambén es certo que unos stocks excesvos son perjudcales para la empresa, que podría dedcar el dnero nvertdo en ellos a modernzar sus nstalacones, a desarrollar nuevos productos, a pagar dvdendos a sus acconstas o a cualquer otra necesdad de captal que deba afrontar. demás del captal nmovlzado en las materas almacenadas, cada decsón referente a la cantdad de stocks que se debe mantener produce una sere de costos asocados; por ejemplo, los costes relaconados con la adquscón y almacenamento de materales. Una óptma gestón de los stocks comprende el conjunto de decsones y operacones encamnadas a mnmzar los costes asocados (sn rebajar el nvel de servco ofrecdo a los clentes). Uno de los modelos báscos y más sencllos de gestón de stocks da lugar a la fórmula del lote económco de Harrs Wlson, que puede encontrase en cualquer manual de reccón de Operacones. En dcho modelo se formulan las sguentes hpótess: a) La demanda es constante, perfectamente conocda y homogénea en el tempo estudado. b) El plazo de entrega o lead tme es constante y conocdo c) En cada cclo se consume totalmente el stock, sn producrse ruptura del msmo. d) Las entradas de materales se efectúan en bloque, dando lugar a un modelo en forma de dente de serra en un gráfco tempo/stock. e) Todos los costes que ntervenen son constantes y conocdos. El punto e) merece una atencón especal porque exge la determnacón de los costes asocados a la gestón de exstencas. En el modelo ntervenen úncamente dos tpos de costes: los de mantenmento del stock y los de lanzamento de la orden de compra o produccón. El coste de mantenmento, tambén llamado de posesón, es una funcón del volumen Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 2 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras

3 medo almacenado y depende del coste de oportundad del captal nvertdo en las exstencas, de la posble deprecacón u obsolescenca de los materales y de los gastos dervados del almacenamento (alquleres, seguros, sumnstros energétcos, etc.). Su expresón matemátca es: m = q t 2 donde es el coste por undad de mercancía y por undad de tempo t y el cocente q/2 es el stock medo almacenado. ara el cálculo de se consderará el coste de oportundad del captal nmovlzado y los gastos de mantenmento del stock. or su parte, el coste de peddo,, decrece con el volumen medo almacenado, es decr al hacer peddos mayores y menos frecuentes. Su cálculo no es fácl porque exge la contablzacón de costes de transporte, logístcos y admnstratvos dversos (facturas, albaranes, llamadas telefóncas, personal del departamento de compras, etc.). El coste total vendrá dado por la suma de los dos costes anterores: T = m +. Su representacón gráfca se presenta en la Fgura 1. ostes relevantes período T Lanzamento + posesón oste de osesón T oste de Lanzamento Q Tamaño del lote: Q [FIGUR 1] Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 3 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras

4 Evdentemente, nteresa determnar el tamaño del lote económco que mnmza los costes totales. En otras palabras, el objetvo es dsponer de unas exstencas de undades en un período de tempo T, realzando N aprovsonamentos de q undades cada uno, sempre con el mínmo coste. En estas condcones se trata de hallar la q óptma económcamente, que desgnaremos por Q, mnmzando la expresón del coste total. ara un cclo de tempo t se tene: ( T ) = m + = t + = + t q 2 q T q 2 y para N cclos: q T q T q T = + = + 2 q 2 q partr de esta expresón se determna el número mínmo de la curva de coste, obtenéndose el tamaño óptmo del lote económco de peddo o compra: Q = 2 T En los lbros de texto se pueden ver generalzacones del modelo de Harrs Wlson que permten aplcarlo en otras stuacones. or ejemplo, cuando los costes varables de adquscón dependen del volumen de ventas, es decr consderando rebajas graduales o rappels en funcón de unos determnados rangos de volúmenes de compra; o cuando es posble consderar una demanda nsatsfecha dferda que oblga a ntroducr una modfcacón en el coste anual de mantenmento (la varacón del nvel de stock medo es dferente y, además, a la funcón de coste global se debe añadr el térmno correspondente al coste de dferr la demanda). Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 4 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras

5 2. lanzas estratégcas en la gestón de stocks Una alanza entre dos o más empresas es una colaboracón para llevar a cabo un plan de accón común que va más allá de una relacón de mercado entre ellas, pero sn perder su propa personaldad jurídca. demás, el establecmento de un acuerdo de colaboracón no mplca aportacones de captal. or todo esto, la cooperacón, en sentdo amplo, puede adoptar formas muy dversas, tanto desde el punto de vsta jurídco como económco. esde la perspectva legal puede consstr en acuerdos nformales, contratos a largo plazo, consorcos o empresas conjuntas (jont ventures). ada la dversdad de opcones posbles, un acuerdo de cooperacón presenta, como mínmo, las sguentes característcas: a) Las empresas que se unen para alcanzar una sere de objetvos acordados sguen sendo ndependentes tras la formacón de la alanza, de manera que no se modfcan los poderes centrales autónomos de cada empresa. b) Las empresas partcpantes comparten los benefcos de la alanza y controlan los resultados de las tareas asgnadas. Tal vez esta es la característca que más dstngue a las alanzas y la que hace que resulten más dfícles de gestonar. c) ada soco debe percbr que se posblta la realzacón de economías de suma postva con el acuerdo de cooperacón. Muchos autores, cuando analzan el modelo de Harrs Wlson, aconsejan compartr stocks como base para la reduccón de los costes asocados a su gestón y esto, requere un acuerdo de cooperacón. ero, realmente se consgue un ahorro creando una alanza estratégca para compartr las exstencas? Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 5 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras

6 Generalmente, se estuda el caso de dos comercantes, y B, que tenen la msma demanda,, e déntcos costes de mantenmento y peddo, m y. S los dos optmzan los costes de gestón de nventaro, entonces cada uno de ellos tendrá un coste gual a. onsderando, por ejemplo, un período T de un año, el coste total, expresado en undades monetaras, para cada uno de los comercantes será: = Q 2 Q m + = + l susttur Q de la expresón anteror tenemos: = 2 S cada comercante actúa separadamente, entonces los costes globales serán: + B = + B = 2 2 Sn embargo, s decden establecer una alanza estratégca para aprovsonarse con un stock mínmo, la demanda conjunta para el período consderado es 2 y, por tanto, el coste total es: B = = ( 2 ) 2 ( ) 2 La alanza supone un ahorro global, meddo en undades monetaras por período, que vene dado por la expresón sguente: horro = + ( 2 2) B B = 2 En la Fgura 2 se resume el conjunto de parámetros y valores óptmos para cada una de las dos stuacones planteadas anterormente: la Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 6 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras

7 comparacón entre demandas, el tamaño de los lotes económcos y la meda de stocks. Los costes globales ponen de manfesto las ventajas que la gestón conjunta ofrece comparada con la gestón ndvdual. Gestón separada Gestón conjunta REBJS REBJS emanda B - 2 +B Lote económco: Q = QB = Q = Q B = = 2 ( Q ) Stock medo: Q Q + = Q Q 2 oste global + B = 2 2 B = 2 2 [Fgura 2] En general, s a una demanda corresponde un coste, una demanda n estará asocada a un coste n sempre que el resto de parámetros se mantengan constantes. Es lógco preguntarse s tambén se obtendrán benefcos de la gestón conjunta de stocks cuando las empresas tenen necesdades dferentes y, en caso de que la respuesta sea afrmatva, cuantfcar el ahorro que se consgue. ara responder a estas cuestones, magnemos que hay n empresas con demandas respectvas 1, 2,..., no necesaramente guales. Supongamos que y son las msmas para todas las empresas. Entonces, la suma de los costes ndvduales será: n Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 7 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras

8 T = n = 1 = 2 n = 1. Gestonando conjuntamente los stocks, el coste global es: = 2 n = 1 ara ver que > T basta con elevar ambos térmnos al cuadrado: n 2 ( ) = + T 2 2 j = 1 < j 2 y ( ) = 2 n = 1 El ahorro consegudo es: T n n = 2 = 1 = 1 esde el punto de vsta económco y fnancero, el ahorro consegudo a partr de la gestón conjunta de stocks ncde en una mejora de la uenta de Resultados de las empresas partcpantes (tengan o no demandas guales), como consecuenca drecta de la dsmnucón de los gastos. Surge entonces un nuevo problema: cómo repartr, entre las empresas que ntegran una alanza, los pagos correspondentes a los gastos dervados de una gestón conjunta de stocks? S la cuestón se plantea en térmnos de ahorro, la pregunta clave es cómo repartr estos hpotétcos ahorros obtendos medante la gestón conjunta de stocks? Se podría pensar en un ngreso en una cuenta corrente, por el valor de lo que tocaría pagar s no se llevase a cabo el acuerdo de cooperacón. Los pagos correspondentes a los aprovsonamentos propos de la gestón de stocks, se efectúan medante cargos a dcha cuenta. l fnalzar el ejercco consderado, queda un remanente susceptble de ser repartdo entre las Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 8 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras

9 empresas partcpantes en la alanza. Este problema es nuevo, porque en el modelo clásco todas las empresas tenen gual demanda, y obvamente, el reparto sólo admte la fórmula equtatva. ado que los socos de una alanza dsponen de la lbertad necesara para defnr su ámbto y contendo, se trata de un fenómeno esencalmente contractual. recsamente, por tratarse de un contrato, convendrá determnar la manera de realzar, de una manera justa, el reparto de los costes de la gestón conjunta de los stocks, o del ahorro generado, entre los socos membros de la alanza. ara clarfcar la exposcón, se presenta un supuesto práctco con cuatro empresas. Las demandas para un determnado período son, respectvamente, de 900, 800, 750 y 600 undades y se pueden consderar homogéneas en el tempo. Los costes de lanzamento de una orden de compra son u.m./peddo. Los costes de posesón son de u.m. por undad y período ya que se cuantfca la obsolescenca del materal. Empresa emanda (Ud.) ostes de gestón separada (u.m.) Stock medo Q / , , , ,16 87 TOTL , Tabla 1. atos de la gestón de stocks ndependente. S las cuatro empresas decden consttur un centro logístco común, la demanda conjunta por período es de undades y el coste total será de ,97 u.m. Este almacén central, consecuenca de un acuerdo de colaboracón entre las empresas, supone un ahorro global por período de ,60 u.m. Otra partculardad es la reduccón de número medo de undades en stock. uando actúan de manera ndependente, el stock medo es de 390 undades, mentras que con una polítca de gestón conjunta es de 195 undades. El nvel medo del stock se reduce a la mtad. Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 9 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras

10 3. erspectva tradconal: reparto proporconal Es usual pensar que la mejor respuesta a la cuestón planteada en el apartado anteror consste en establecer un reparto proporconal, respecto al volumen de los peddos ndvduales. S ben esta solucón se utlza de forma habtual, presenta seros nconvenentes (véase ref. [M--MR]). ongamos de manfesto al menos dos de ellos. or un lado, el reparto proporconal no es adtvo. Veamos qué sgnfca esto utlzando el ejemplo anteror. En la Tabla 2 se descrbe el reparto proporconal de los costes de gestón conjuntos respecto a las demandas ndvduales y el ahorro que esto supone para las empresas comparándolo con las cantdades que deberían desembolsar s los gestonan ndvdualmente. Empresa emanda (Ud.) ostes de gestón separada Reparto proporconal de los costes ferenca ( horro ) , , , , , , , , , , , ,91 TOTL , , ,60 Tabla 2. Reparto proporconal de los costes. nalcemos ahora la forma alternatva de efectuar los pagos que proponíamos más arrba: cada empresa ngresa en una certa cuenta la cantdad que le correspondería pagar ndvdualmente, realzan el pago conjunto y se reparten después el remanente (las ,60 u. m.) de manera proporconal. Es razonable pensar que las empresas deberían mostrarse ndferentes, al menos teórcamente, entre estas dos formas de proceder. Sn embargo, como se muestra en la Tabla 3, las cantdades resultantes del reparto proporconal del remanente no concden con las cantdades que se ahorran las empresas s proceden de la prmera manera. Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 10 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras

11 Empresa emanda (Ud.) Reparto proporconal del remanente , , , ,15 TOTL ,60 Tabla 3. Reparto proporconal del remanente. Hacendo estos cálculos sencllos es evdente que la prmera y la segunda empresa preferen repartr el remanente que repartr los costes y, sn embargo, la tercera y la cuarta escogen la opcón contrara. fíclmente llegarán a un acuerdo en la manera de proceder. El segundo nconvenente del reparto proporconal es que en él, sólo ntervenen las cantdades que pagarían las empresas s actúan ndvdualmente y la cantdad que pagarán s actúan de forma conjunta. No tene en cuenta las contrbucones margnales de cada empresa a las posbles coalcones que se pueden formar. Exsten otras maneras de realzar el reparto evtando los defectos de la proporconaldad. Veamos una de ellas mportada de la Teoría de Juegos. 4. Juegos cooperatvos y valor de Shapley Los juegos cooperatvos srven como modelos matemátcos para certas stuacones de cooperacón y competenca en las cuales los agentes que ntervenen tenen la posbldad de comuncarse entre ellos con el fn de negocar y llegar a acuerdos que permtan la formacón de coalcones. La gestón conjunta de stocks es una de esas stuacones. En un juego cooperatvo es necesaro conocer el pago que debe realzar cada una de todas las posbles coalcones que pueden formar los agentes. Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 11 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras

12 En el caso que nos ocupa, descrbremos el juego cooperatvo medante una funcón que asgnará a cada coalcón de las cuatro empresas el coste de la gestón conjunta de los stocks de esa coalcón de empresas. oncretamente: (1) = ,07 (13) = ,26 (123) = ,00 (2) = ,00 (14) = ,56 (124) = ,00 (3) = ,33 (23) = ,44 (134) = ,39 (4) = ,16 (24) = ,26 (234) = ,85 (5) = ,19 (34) = ,24 (1234) = ,97 Tabla 4. Funcón característca para los costes. Los costes (1), (2), (3) y (4) corresponden a los costes ndvduales de las empresas y (1234) al coste conjunto (s llegan a formalzar la alanza). ara calcular las otras cantdades hemos usado las fórmulas que vmos en la segunda seccón, aplcándolas a dos empresas o a tres. Tambén podemos usar un juego cooperatvo para descrbr la stuacón de ahorro: B(1) = 0 B(13) = ,14 B(123) = ,40 B(2) = 0 B(14) = ,67 B(124) = ,23 B(3) = 0 B(23) = ,90 B(134) = ,17 B(4) = 0 B(24) = ,90 B(234) = ,64 B(5) = ,88 B(34) = ,25 B(1234) = ,60 Tabla 5. Funcón característca para los ahorros B. La funcón B asgna a cada coalcón de empresas el ahorro que le supone la gestón conjunta de los stocks como la dferenca entre la suma de las cantdades que deberían desembolsar ndvdualmente y la cantdad que pagarán s los gestonan conjuntamente: B = S ( S ) ( ) ( S ) Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 12 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras

13 Un concepto de solucón para un juego cooperatvo es una regla para repartr la cantdad que pagará (o que se ahorrará) la coalcón total s llega a formarse. Exsten multtud de solucones para los juegos cooperatvos (la proporconaldad es una de ellas, el reparto equtatvo es otra, el reparto en el que todo lo paga la prmera empresa es otra...). Es obvo, que estos dos últmos ejemplos de reglas de reparto no son justas, en el sentdo de que alguna o algunas de las empresas tendrían razones objetvas para no estar de acuerdo con este proceder. Tambén hemos vsto que la proporconaldad presenta nconvenentes. La teoría de juegos nos da una solucón justa sn los defectos de la proporconaldad: el valor de Shapley. Se puede demostrar (aunque la demostracón alargaría y complcaría en exceso este trabajo) que el valor de Shapley es la únca regla de reparto para los juegos cooperatvos que satsface las tres propedades sguentes: 1. S en un msmo peddo dos empresas hacen déntcas demandas, entonces les corresponde pagar la msma cantdad (u obtenen el msmo ahorro). 2. S una empresa no ntervene en un peddo, no debe desembolsar nada en ese peddo (tampoco obtene nngún ahorro). 3. La cantdad que corresponde a cada empresa del reparto de los costes conjuntos más la que le corresponde del reparto de los ahorros concde con la cantdad ndvdual que tenía que pagar ndvdualmente. La tercera propedad nos dce que el valor de Shapley es adtvo y, por tanto, no tene el nconvenente que hemos vsto para la proporconaldad. e hecho, esta tercera propedad admte un enuncado dferente: s se acumulan las cantdades a pagar en dos peddos en una sola factura y se reparte después entre los socos, la cantdad resultante para cada empresa concde con la suma de los pagos correspondentes a cada peddo. (Evdentemente, esta propedad tampoco la cumple la regla de reparto proporconal.) Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 13 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras

14 ara una empresa fjada, su valor de Shapley en el juego cooperatvo con funcón característca se calcula de la manera sguente: para cada coalcón S que contene a dcha empresa se consdera la dferenca ( S) ( S / { }) que representa la contrbucón margnal de la empresa a la coalcón S, y después se hace la suma de todas las contrbucones margnales de ponderadas según unos certos coefcentes: Φ [ ] ( n s)! ( s ) 1! [ ( S) ( S {} )] = / S n! donde Φ [ ] representa el pago (o ahorro, dependendo de la funcón característca) que el valor de Shapley asgna a la empresa -ésma, n es el número total de empresas que ntervenen en la gestón de los stocks, s es el cardnal (número de empresas) de la coalcón S, y la suma es respecto a todas las coalcones que contenen a. En la Tabla 6 se presentan el reparto de los costes y el de los ahorros aplcando el valor de Shapley, y se observa que la suma de ambos concuerda con los costes ndvduales para las empresas. Empresa emanda Φ [ ] Φ [ B] Φ [ ] Φ [B + ] , , , , , , , , , , , , , ,60 Tabla 6. Reparto según el valor de Shapley. Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 14 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras

15 or supuesto, deben ser las propedades de las dferentes maneras de repartr las que nos hagan decantar por una manera u otra y no las cantdades concretas que se obtengan cuando se aplcan a casos concretos. Es decr, comparando los resultados de las Tablas, la prmera empresa prefere aplcar el valor de Shapley y el reparto proporconal la cuarta. Sn embargo, pensamos que la eleccón de una regla justa de reparto no debe estar sujeta a casos partculares, sno a las propedades que cumpla la regla. Hemos vsto que el reparto proporconal adolece de una sere de nconvenentes que no presenta el valor de Shapley. 5. onclusones La teoría de juegos tambén nos permte estudar stuacones en las cuales grupos de empresas con demandas no necesaramente guales establecen un acuerdo de cooperacón o alanza estratégca para gestonar conjuntamente sus stocks. Entonces, surge el problema de cómo repartr los costes o ahorros entre socos. El valor de Shapley y su modfcacón coalconal dan respuesta a esta cuestón. 6. Bblografía / Referencas uatrecasas, L. (1998), Gestón compettva de stocks y procesos de produccón. Edcones Gestón 2000, S.. Magaña,., Rajadell, M. (1997), ontrbucones y partcpacones de socos en cooperacones nterempresarales. Boletín de estudos económcos. Unversdad omercal de eusto. Núm. 162, vol. LII, pág Blbao. lossl, G. W., Wght, O. W. (1979), El control de la produccón y los stocks. Edcones Unversdad de Navarra, amplona. Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 15 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras

16 Shapley, L. S. (1953), value for n person games. En: ontrbutons to the theory of games II, edtado por uhn, H. W. y Tucker,. W. rnceton Unversty ress, pág rnceton. Intangble aptal Todos los derechos Reservados. No está permtda la copa, n la modfcacón de este artículo sn la autorzacón expresa del autor y de Intangbleaptal. uedes vncular o ctar este artículo sempre que no lo utlces con fnes comercales; ncluyendo el nombre del autor, número de revsta y Intangble aptal ( En caso de ctar o vncular este artículo rogamos nos lo comunque a referencas@ntangblecaptal.org Reparto de los ahorros de la gestón conjunta de stocks 16 / 16 ntono Magaña Neto y Manel Rajadell arreras