Números complejos. 1.1 Introducción

Transcripción

1 Itroducció Itroducció Forma biómica de u úmero complejo Represetació gráfica. Cojugado y módulo de u úmero complejo 1. Forma polar y argumeto de u úmero complejo Fucioes elemetales Itroducció Los úmeros que hoy llamamos complejos fuero durate muchos años motivo de polémicas y cotroversias etre la comuidad cietífica. Poco a poco, por la creciete evidecia de su utilidad, acabaro por ser aceptados, auque o fuero bie compredidos hasta épocas recietes. Nada hay de extraño e ello si pesamos que los úmeros egativos o fuero pleamete aceptados hasta fiales del siglo XVII. Los úmeros complejos hace sus primeras tímidas aparicioes e los trabajos de Cardao ) y Bombelli ) relacioados co el cálculo de las raíces de la cúbica o ecuació de tercer grado. Fue Reé Descartes ) quie afirmó que ciertas ecuacioes algebraicas sólo tiee solució e uestra imagiació y acuñó el calificativo imagiarias para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta fiales del siglo XVIII los úmeros complejos o imagiarios so usados co recelo, co descofiaza. Co frecuecia, cuado la solució de u problema resulta ser u úmero complejo esto se iterpreta como que el problema o tiee solució. Las razoes de todo esto so claras. Así como los úmeros reales respode al problema cotidiao de la medida de magitudes, o ocurre ada similar co los úmeros complejos. Mietras los matemáticos ecesitaro iterpretar e térmios físicos sus objetos de estudio, o se avazó mucho e la compresió de los úmeros complejos. El éxito de Euler y Gauss al trabajar co úmeros complejos se debió a que ellos o se preocuparo de la aturaleza de los mismos; o se pregutaro qué es u úmero complejo?, sio que se dijero para qué sirve?, qué puede hacerse co ellos? Es Gauss quie defiitivamete cocede a los úmeros complejos u lugar privilegiado detro de las matemáticas al probar e 1799 el coocido como Teorema Fudametal del álgebra que afirma que toda ecuació poliómica de grado co coeficietes complejos tiee, si cada raíz se cueta tatas veces como su orde, raíces que tambié so úmeros complejos. Alguas de sus implicacioes las podemos cometar directamete. Fíjate e cada ua de las ecuacioes: x + 3 = 0, 2x + 3 = 0, x 2 2 = 0, x 2 + 2x + 2 = 0, cuyas solucioes x = 3, x = 3/2, x = ± 2 y x = 1±i tiee setido cuado x es, respectivamete, u úmero etero, racioal, real o complejo. Podría ocurrir que este proceso de ampliació del campo umérico cotiuara. Qué ocurrirá si ahora cosideramos ecuacioes poliómicas co coeficietes complejos? Por ejemplo: x i)x + 1/5 i 2)x 2 8x + 3 i/ 3 = 0. Cómo será sus solucioes? Aparecerá tambié uevos tipos de úmeros? El teorema fudametal del álgebra os dice que esa ecuació tiee solucioes que tambié so úmeros complejos y, por tato, que o aparecerá ya por este procedimieto uevos tipos de úmeros. 1

2 Itroducció El térmio, hoy usado de úmeros complejos se debe a Gauss, quie tambié hizo popular la letra i que Euler ) había usado esporádicamete. E 1806 Argad iterpreta los úmeros complejos como vectores e el plao. La fecha de 1825 es cosiderada como el acimieto de la teoría de fucioes de variable compleja, pues se publica e dicho año la Memoria sobre la Itegració Compleja que Cauchy había escrito ya e 181. E estas otas vamos a dar solamete uos breves coceptos de distitas formas de expresar los úmeros complejos y cómo se trabaja co ellos. Pero ates de empezar ua advertecia: auque históricamete y vulgarmete) se llama i a la raíz cuadrada de 1 esta expresió o es totalmete cierta. Si así fuera obtedríamos la siguiete cadea de igualdades que o es posible,... verdad? 1 = 1 = 1) 1) = 1 1 = ii = i 2 = 1. Suma de úmeros complejos Recordemos que para dotar a u cojuto, e este caso R R, de estructura de cuerpo se ecesita ua suma y u producto que verifique ciertas propiedades. La suma o es ada uevo, es la suma de R 2 como espacio vectorial, es decir, si a, b), c, d) so dos elemetos de R 2, defiimos su suma como a, b) + c, d) = a + c, b + d). u u + w Es evidete por otra parte osotros ya lo sabíamos del estudio de espacios vectoriales) que esta suma cumple las propiedades que tiee que cumplir: 1) Asociativa. 2) Comutativa. 3) Existecia de eutro 0, 0)). ) Existecia de iverso a, b) = a, b)). La represetació gráfica de la suma es coocida. Dos úmeros complejos z = a + ib y w = c + id determia u paralelogramo cuya diagoal ver figura 1.1) es z + w. v Figura 1.1 La suma de úmeros complejos es la suma usual de vectores e el plao Producto de úmeros complejos El producto sí es uevo. Dados a, b), c, d) R 2, defiimos su producto como a, b)c, d) = ac bd, ad + bc). Tampoco es difícil comprobar que este producto es adecuado, e el setido de que verifica las propiedades 5) Asociativa, 6) Comutativa, 7) Existecia de elemeto eutro el eutro para el producto es 1, 0), comprúebalo). 8) Si a, b) 0, 0) etoces su iverso es a, b) 1 = Comprueba tambié que a, b)a, b) 1 = 1, 0). a a 2 + b 2, ) b a 2 + b 2. 9) Distributiva: a, b)c, d) + e, f )) = a, b)c, d) + a, b)e, f ). 2

3 Forma biómica de u úmero complejo ) ) Así, por ejemplo, 2,3) 3,) = 2, 3) 3 25, 25 = 18 25, Pues bie, los úmeros complejos so justamete el cuerpo R 2, +, ). Es decir cada úmero complejo es ua pareja a, b) dode a y b so úmeros reales, y la suma y el producto de complejos so los que hemos descrito ates. A esta forma de represetar los úmeros complejos se la suele llamar forma cartesiaa. Esta forma es muy cómoda para trabajar co sumas de úmeros complejos pero o lo es tato para trabajar co el producto: prueba a calcular 1, 1). E la siguiete defiició recogemos toda la iformació aterior. Forma cartesiaa Defiició 1.1. Cosideremos e el cojuto R 2 las operacioes de adició y producto defiidas por a, b) + c, d) = a + c, b + d) a, b)c, d) = ac bd, ad + bc) El elemeto eutro de la suma es 0, 0) y 1, 0) es la uidad del producto. Además, a, b) es el opuesto de a, b), y todo a, b) 0, 0) tiee iverso ) a a, b) a 2 + b 2, b a 2 + b 2 = 1, 0). Todas estas propiedades se resume diciedo que R 2, +, ) léase el cojuto R 2 co las operacioes suma y producto ) es u cuerpo. Dicho cuerpo se represeta simbólicamete por C y sus elemetos se llama úmeros complejos. No hay u orde e C compatible co la estructura algebraica Al ampliar R a C gaamos mucho pero tambié perdemos algo. Te recuerdo que R tiee dos estructuras: la algebraica y la de orde. Ambas estructuras está armoiosamete relacioadas. Pues bie, e C o hay ada parecido. Podemos defiir relacioes de orde e C, pero o hay igua de ellas que sea compatible co la estructura algebraica. E efecto, si supoemos que es ua relació de orde e C compatible co su estructura algebraica, como i 0 habría de ser 0 < i 2 = 1 esto todavía o es cotradictorio porque pudiera ocurrir que la relació o respetara el orde de R). Pero tambié 0 < 1 2 = 1, luego 0 < 1 + 1) = 0 y eso sí que es cotradictorio. Por tato, es imposible defiir u cocepto de úmero complejo positivo de forma que la suma y el producto de complejos positivos sea positivo. Por ello o se defie e C igú orde. Así que ya sabes: mucho cuidado co escribir desigualdades etre úmeros complejos! Naturalmete, puedes escribir desigualdades etre las partes reales o imagiarias de úmeros complejos, porque tato la parte real como la parte imagiaria de u úmero complejo so úmeros reales. 1.2 Forma biómica de u úmero complejo Detro de R 2 podemos distiguir el subcojuto formado por los elemetos que tiee la seguda compoete 0, {a, 0), a R}. Restrigidos la suma y el producto a este subcojuto teemos ua propiedad curiosa y es que os seguimos quedado e el subcojuto. Es imediato observar que a 1, 0) + a 2, 0) =a 1 + a 2, 0), a 1, a 2 R, a 1, 0)a 2, 0) =a 1 a 2, 0), a 1, a 2 R. Esto hace que el cojuto {a, 0); a R}, co la suma y el producto defiidos ates sea tambié u cuerpo, pero este cuerpo se puede idetificar co los úmeros reales mediate la aplicació 3

4 Represetació gráfica. Cojugado y módulo de u úmero complejo R {a, 0); a R} a a, 0) De ahora e adelate siempre usaremos esta idetificació; es decir, para osotros va a ser idistiguibles el complejo a, 0) y el úmero real a. Como cosecuecia, cualquier úmero complejo a, b) se puede escribir de la forma a, b) = a, 0) + 0, b) = a, 0) + b, 0)0, 1) = a + b0, 1). Forma biómica Parte real e imagiaria Si ahora llamamos 0, 1) = i, obteemos que el úmero complejo z = a, b) se le suele llamar a los úmeros complejos co letras como z, u, v,...) se puede poer como z = a + ib. Esto es lo que se llama la forma biómica de u úmero complejo. Al úmero real a se le llama la parte real del complejo y al úmero b se le llama la parte imagiaria. A i tambié se le llama la uidad imagiaria. Es claro que i o es igú úmero real o es u par co la seguda compoete 0) y cumple ua propiedad que os será útil y que, seguramete, ya coocías i 2 = ii = 0, 1)0, 1) = 1, 0) = 1, es decir, el cuadrado de i es 1. Esto os permite que las fórmulas para la suma y el producto de úmeros complejos, cuado está puestos e forma biómica, sea fáciles de recordar, ya que, formalmete, los vamos a sumar y multiplicar como si fuera úmeros reales y simplemete tedremos e cueta que i 2 = 1. Nos referimos a lo siguiete: ates hemos defiido la suma de dos úmeros complejos puestos como pares) de la forma a, b) + c, d) = a + c, b + d). Esta misma operació, puesta e forma biómica, quedaría a + ib + c + id = a + c + ib + d), que es la suma formal de las parejas a + ib y c + id, sacado al fial factor comú el i. Para el producto sucede igual. Si multiplicamos dos complejos e b z = a + bi forma de pares a, b)c, d) = ac bd, ad + bc). Esto puesto e z forma biómica sería a + ib)c + id) = ac bd + iad + bc). Pero este resultado es lo que se obtiee multiplicado formalmete a + ib por c + id y teemos e cueta que i 2 = 1. a a + ib)c + id) = ac + ibc + iad + i 2 bd = ac bd + iad + bc). b z = a bi Figura 1.2 Represetació de u úmero complejo 1.3 Represetació gráfica. Cojugado y módulo de u úmero complejo Plao complejo Cojugado Módulo Segú hemos defiido, el úmero complejo a + ib o es más que el elemeto a, b) del plao R 2 y, e ese setido, se habla del plao complejo. El eje horizotal recibe el ombre de eje real, y el eje vertical recibe el ombre de eje imagiario. Defiició 1.2. Si z = a+ib es u úmero complejo co a y b reales), etoces el cojugado de z se defie como z = a ib y el módulo o valor absoluto de z, se defie como: z = a 2 + b 2.

5 Forma polar y argumeto de u úmero complejo Observa que a 2 + b 2 está defiido si ambigüedad; es la raíz cuadrada del úmero real o egativo a 2 + b 2. Geométricamete, z es la reflexió de z respecto al eje real, mietras que z es la distacia del puto a, b) a 0, 0) o, tambié, la logitud o orma euclídea del vector a, b) ver figura 1.2). La distacia etre dos úmeros complejos z y w se defie como z w. La represetació gráfica de la suma es coocida. Dos úmeros complejos z = a+ib y w = c+id determia u paralelogramo cuya diagoal ver Figura 1.1) es z + w. Proposició 1.3. a) z = z, b) z + w = z + w, c) zw = z w. d) z 2 = zz, Sea z, w C. Etoces e) max { Rez), Imz) } z Rez) + Imz), f) zw = z w, Demostració. La comprobació de estas afirmacioes es imediata. Por ejemplo, para comprobar que la propiedad f) se verifica, basta observar que zw y z w so úmeros positivos cuyos cuadrados coicide, pues zw 2 = zwzw = zwzw = zzww = z 2 w 2 = z w ) 2. Para demostrar la última afirmació es suficiete probar que z + w 2 z + w ) 2. E efecto: z + w 2 = z + w)z + w) = z + w)z + w) = zz + ww + zw + zw = z 2 + w Re zw) z 2 + w Re zw) z 2 + w zw = z 2 + w z w = z 2 + w z w = z + w ) 2. Observació 1.. De la demostració de la última afirmació se deduce que z + w = z + w si, y sólo si, Rezw) = zw, esto es, si zw R + 0, o lo que es lo mismo zw = ρ dode ρ R+ 0. Esta igualdad, puede escribirse de forma equivalete multiplicado por w como z w 2 = ρw, esto es, z = λw para algú λ R + 0 lo que quiere decir que z y w está e ua misma semirrecta a partir del orige. Ejemplo 1.5. La divisió de úmeros complejos es fácil teiedo e cueta que el producto de u complejo y su cojugado da como resultado el módulo al cuadrado de dicho úmero complejo. 1 + i 2 i = 1 + i 2 + i 2 i 2 + i = 1 + 3i. 5 La divisió o el producto de dos úmeros complejos o es difícil, pero sí que puede ser aburrido calcular 1 + i) 10. Existe algo como el biomio de Newto para úmeros reales? Compruébalo tú mismo. Lo que sí es muy fácil es su módulo: 1 + i) 10 = 1 + i = 2 = 2 5. g) z + w z + w. Desigualdad triagular 1. Forma polar y argumeto de u úmero complejo Hay otras formas de represetar los úmeros complejos. Ua de ellas es la forma polar. Supogamos que teemos u úmero complejo z = a + ib 0. Este complejo se correspode co la pareja de úmeros reales a, b) que podemos represetar e el plao. 5

6 Forma polar y argumeto de u úmero complejo A los dos ejes del plao e este caso se suele llamar el plao complejo) se les deota por el eje real dode se represeta la primera compoete) y el eje imagiario dode se represeta la seguda). { se θ) { cosθ) Figura z águlo de θ radiaes Argumeto A la vista del dibujo está claro que el úmero z o el par a, b), al fi y al cabo para osotros so la misma cosa) queda totalmete determiado por dos magitudes: la logitud del vector y su direcció. Cómo medimos la direcció? Si ormalizamos el úmero complejo z a z = z z + i b ). z ) Como a z + i b z es u vector de módulo uo perteece a la circuferecia cetrada e el orige y de radio uo), se tiee que poder escribir de la forma ) a z, b = cosθ), seθ)) z para coveiete θ R. E otras palabras, z = z cosθ) + i seθ) ). Argumeto Defiició 1.6. Dado z C, z 0, hay ifiitos úmeros t R que verifica la igualdad z = z cost)+i set)) cualquiera de ellos recibe el ombre de argumeto de z. El cojuto de todos los argumetos de u úmero complejo o ulo se represeta por Argz). Argz) = {θ R: z = z cosθ) + i seθ))} Argumeto pricipal Forma polar De etre todos los argumetos de u úmero complejo z 0 hay u úico argumeto que se ecuetra e el itervalo ] π, π]. A dicho argumeto se le llama argumeto pricipal de z y se represeta por argz). Al úmero complejo de módulo ρ y argumeto θ se le suele represetar ρ θ y las fórmulas que hemos visto so la forma de pasar de la forma biómica a la forma polar de u complejo. Observació 1.7. a) Observa que el argumeto pricipal o es más que el águlo que forma el vector co la parte positiva del eje real. b) Si θ 1 y θ 2 so dos argumetos del mismo úmero complejo, etoces cosθ 1 ) = cosθ 2 ) θ 1, θ 2 Argz) seθ 1 ) = seθ 2 ) θ 1 = θ 2 + 2kπ para algú k Z. Dicho de otra maera, si θ es u argumeto de z, podemos obteer el cojuto de todos argumetos añadiedo múltiplos eteros de 2π, esto es, Argz) = {θ + 2kπ; k Z}. E particular, Argz) = { argz) + 2kπ; k Z }. Cálculo del argumeto pricipal Para calcular el argumeto pricipal de u úmero complejo hay varias fórmulas, pero la más ituitiva es la siguiete: si z = a + ib 0 su argumeto pricipal θ es 6

7 Forma polar y argumeto de u úmero complejo ) arcta b a, si a > 0, π 2, si a = 0 y b > 0, θ = π 2, ) si a = 0 y b < 0 arcta b a + π si a < 0 y b > 0, ) arcta b a π si a < 0 y b < 0. Tambié se puede calcular el argumeto de u úmero complejo mediate la fórmula { ) 2 arcta Imz) argz) = Rez)+ z, si z / R, π, si z R. Ejemplo 1.8. Si teemos el complejo z = i, etoces su módulo será z = + 12 = 16 =, mietras que el argumeto se calcula de la siguiete forma. Como la parte real es egativa y la parte imagiaria es positiva, el argumeto es ) 2 3 θ = arcta + π = arcta ) 3 + π = π π = 2π 3. Así i = 2π. 3 Para pasar de la forma polar de u complejo a la forma biómica es aú más fácil. Utilizado las fórmulas de la trigoometría se tiee que si z = ρ θ su forma biómica será z = ρ cosθ) + iρ seθ). Realmete la fórmula ρcosθ)+i seθ)) se llama la forma o expresió trigoométrica del complejo z. Forma trigoométrica Ejemplo 1.9. El complejo 5 3π 5 3π 3π = 5 cos escrito e forma biómica es ) + i5 se 3π ) 2 2 = 5 2 i Formula de De Moivre. Iterpretació geométrica del producto Si teemos dos úmeros complejos o ulos z = z cosθ 1 ) + i seθ 1 )), w = w cosθ 2 ) + i seθ 2 )). y los multiplicamos, obteemos que zw = z w cosθ 1 ) + i seθ 1 )) cosθ 2 ) + i seθ 2 )) = zw cosθ 1 ) cosθ 2 ) seθ 1 ) seθ 2 ) + iseθ 1 ) cosθ 2 ) + cosθ 1 ) seθ 2 ))) = zw cos θ 1 + θ 2 ) + i se θ 1 + θ 2 )). Es decir: para multiplicar dos úmeros complejos se multiplica sus módulos y se suma sus argumetos. Por ejemplo, para calcular 1 + i) como 1 + i = 2 y arg1 + i) = π/, se sigue que 1 + i) =. Obsérvese que auque los dos argumetos sea argumetos pricipales la suma o tiee por qué ser argumeto pricipal. Así pues, el producto de dos úmeros complejos es geométricamete u giro pues se suma los argumetos de los úmeros que estamos multiplicado) seguido de ua homotecia el producto de los módulos de ambos úmeros). Como cosecuecia, es fácil demostrar mediate iducció la siguiete fórmula que será de gra utilidad. 7

8 Fucioes elemetales u w w θ 1 + θ 2 θ 2 u θ 1 Figura 1. Iterpretació geométrica del producto Fórmula de Proposició Si z es u complejo o ulo, θ es u argumeto de z y es u úmero etero, De Moivre se verifica que z = z cosθ) + i seθ)), y, e particular, θ Argz ). Ejemplo Auque ya es coocido, veamos cómo podemos aplicar la fórmula de De Moivre para calcular cos2x), co x real. Utilizado que cosx) + i sex) es u úmero complejo de módulo uo, la fórmula de De Moivre os dice que cos2x) + i se2x) = cosx) + i sex)) 2 = cos 2 x) + i sex)) 2 + 2i cosx) sex) ) = cos 2 x) se 2 x) + 2i cosx) sex). Igualado parte real co parte real y parte imagiaria co parte imagiaria obteemos que cos2x) = cos 2 x) se 2 x) y que se2x) = 2 cosx) sex). 1.5 Fucioes elemetales Raíces de u úmero complejo Aplicado la fórmula de De Moivre vamos a obteer las raíces -ésimas de u úmero complejo. Para empezar por el caso más fácil vamos a supoer como complejo el úmero real 1. Vamos a llamar raíces -ésimas de la uidad a aquellos úmeros complejos z que verifique que z = 1. Trabajado co la forma trigoométrica de z = z cosθ) + i seθ) y teiedo e cueta que el módulo de 1 es 1 y su argumeto pricipal es 0, obteemos que z = z cosθ) + i seθ)) = 1 = 1cos0) + i se0)), de dode z = 1 y por tato z = 1. Por otra parte igualado los argumetos teemos que θ = 0. Se podría pesar que de aquí se puede obteer úicamete que θ = 0 pero eso sería si cosideraramos solamete argumetos pricipales. Realmete cualquier múltiplo etero de 2π es u argumeto de 1 y etoces lo que obteemos es que θ = 2kπ para k Z y etoces θ = 2kπ, para k Z. Dádole valores a k y umerado las correspodietes solucioes, obteemos para los eteros compredidos etre k = 0 y k = 1 θ 0 = 0, θ 1 = 2π, θ 2 = π,... θ 1 = 2 1)π. 8

9 Fucioes elemetales Obviamete hay más úmeros eteros pero o es difícil ver que cualquier otro etero os da u águlo que difiere e u múltiplo etero de 2π de los que hemos obteido y produce, por tato, el mismo argumeto. Cocluyedo, las raíces -ésimas de 1 so úmeros complejos distitos, z 0, z 1,..., z 1 todos co módulo 1 y el argumeto o ecesariamete el pricipal) de z k es 2kπ para k {0, 1,..., 1}. Ejemplo complejos z 0 = 1 0, z 1 = 1 2π i 3 2, y z 2 = 1 2 i 3 2 Las raíces cúbicas de la uidad so los úmeros y z 2 = 1 π. Es decir z 0 = 1, z 1 = 3. Si las represetamos e el plao complejo queda las tres e la circuferecia uidad pero es que además forma u triágulo equilátero uo de cuyos vértices está e el 1. De igual forma las raíces cuartas de la uidad será z 0 = 1 0, z 1 = 1 2π, z 2 = 1 π y z 3 = 1 6π, es decir z 0 = 1, z 1 = i, z 2 = 1 y z 3 = i. E este caso, al igual que ates, todas las raíces se distribuye e la circuferecia uidad todas tiee módulo 1) pero ahora será los vértices de u cuadrado, siedo uo de ellos el que correspode a z 0 ) el úmero 1. i 2 i 1 i i 0 Esta propiedad puede geeralizarse a cualquier atural: dado N las raíces -ésimas de la uidad so los vértices de u polígoo regular de lados iscrito e la circuferecia uidad, estado uo de dichos vértices e el puto 1. i 3 Figura 1.5 Raíces quitas de i Fialmete si lo que queremos es hacer las raíces -ésimas de u úmero complejo, haciedo pequeñas modificacioes e el proceso aterior, obtedremos las raíces que se recoge e el siguiete resultado. Proposició Sea u úmero atural. Las raíces -ésimas del úmero complejo z viee Raíz -ésima dadas por z k = z [cos 1/ θ + 2kπ dode θ es u argumeto de z. ) + i se )] θ + 2kπ, k = 0, 1, 2,..., 1, Esto tambié tiee ua iterpretació geométrica clara. Las raíces -ésimas de u úmero complejo z = z θ se distribuye todas e la circuferecia cetrada e el orige y radio z formado los) vértices de)) u polígoo regular de lados, uo de los cuales está e el complejo z cos θ + i se θ La fució expoecial Defiimos la expoecial compleja como e z = expz) = e Rez) cosimz)) + i seimz))). Observa que e z = e Rez), Imz) Arge z ). E particular, obteemos la llamada fórmula de Fórmula de Euler Euler e it = cost) + i set) t R) que establece ua relació etre la expoecial compleja y las fucioes trigoométricas. Haciedo t = π teemos la sigular igualdad e iπ + 1 = 0 e la que iterviee los úmeros más importates de las matemáticas. De la fórmula de Euler se deduce fácilmete las llamadas ecuacioes de Euler: Ecuacioes de Euler 9

10 Fucioes elemetales cost) = eit + e it, set) = eit e it 2 2i t R). Se prueba fácilmete que e z+w = e z e w para todos z, w C. Se deduce que para todo z C y todo k Z es e z = e z+2kπi. Lo que os dice que la expoecial compleja es ua fució periódica co período 2πi. Naturalmete, esto supoe ua gra diferecia co la expoecial real que es ua fució iyectiva. Observa que la expoecial o se aula uca pues e z = e Rez) > 0. Justificació Por qué hemos defiido la fució expoecial de esta forma? E u pricipio sólo teemos la restricció de que su valor coicida co el de la fució expoecial que ya coocemos e los úmeros reales. Si queremos que se siga cumpliedo que e x e y = e x+y, podemos avazar algo. Si z C, debería cumplirse que e z = e Rez)+i Imz) = e Rez) e i Imz). Por tato, sólo os hace falta defiir e it co t real. Por que hemos elegido cómo defiició e it = cost)+i set)? Ua posible justificació es que la defiició está hecha así para que las derivadas vaya bie: si etoces coicide co e it) = ie it = i cost) + i set)) = set) + i cost), cost) + i set)) = set) + i cost). El segudo motivo ecesita coocer el desarrollo de Taylor de la las fucioes expoecial, seo y coseo. E la Secció?? tiees los detalles Logaritmos complejos El comportamieto periódico de la expoecial compleja se va a traducir, como vamos a ver eseguida, e que la ecuació e w = z, dode z es u úmero complejo o cero, va a teer ifiitas solucioes w C. Como e w = e Rew) cosimw)) + i seimw))). Logaritmo Logaritmo pricipal Para que e w = z es ecesario y suficiete que: a) e w = z, esto es, e Rew) = z, es decir, Rew) = log z logaritmo atural del úmero real positivo z ). b) Arg e w ) = Arg z), esto es, Imw) Argz) y esto se cumple si, y sólo si Imw) = argw) + 2kπ, co k Z. Hemos probado que {w C: e w = z} = {log z + iargz) + 2kπ), k Z}. Por tato, existe ifiitos úmeros complejos w que satisface la ecuació e w = z. Cualquiera de ellos se llama u logaritmo de z. El cojuto de todos ellos lo represetaremos por Logz). De etre todos ellos elegimos uo, llamado logaritmo pricipal, defiido por logz) = log z + i argz), para todo z C. Observa que cualquier otro logaritmo de z es de la forma logz) + i2kπ para algú etero k. 10

11 Fucioes elemetales Observació 1.1. Es importate que os demos cueta de que la igualdad logzw) = logz) + logw), que es válida para úmeros reales positivos, o es siempre cierta cierta para úmeros complejos. Por ejemplo: log 1 + i 3) = log 1 + i 3 + i arg 1 + i 3) = log2) + i log 3 + i) = log 3 + i arcta 3) + π + i arg 3 + i) ) = log2) + i 2π 3 = log2) + i arcta 1/ ) 3) + π = log2) + i 5π 6 log 1 + i 3) ) 3 + i) = log i) = log) i π 2 log 1 + i 3) + log 3 + i) = log) + i 3π 2. Lo que sí está claro es que el úmero logz) + logw) Logzw), es decir, logz) + logw) es u logaritmo de zw pero o tiee por qué ser el logaritmo pricipal de zw. Como la fució z argz) es cotiua 1 e C \ R 0 y discotiua e R 0, se deduce que el logaritmo pricipal es discotiuo e R 0 y cotiuo e C \ R Potecias complejas Recuerda que dados dos úmeros reales a > 0 y b R, la potecia de base a y expoete b se defie como a b = e b loga). Ahora, dados a, b C, co a 0, sabemos que hay ifiitos logaritmos de a, todos ellos so de la forma loga) + i2kπ, co k Z. Por ello, cualquier úmero complejo de la forma e bloga)+i2kπ) dode k Z, es ua potecia de base a y expoete b. De todas ellas se destaca ua: a b = e b loga) y dicho úmero se llama valor pricipal de la potecia de base a y expoete b. Observa que si b = 1/ dode N, el úmero ) 1 a 1/ = exp loga) loga) = exp + i arga) ) ) )) = z cos 1/ arga) arga) + i se Valor pricipal es el valor pricipal de la raíz -ésima de a que ates hemos otado por a. Esta defiició da lugar a las fucioes expoeciales complejas de base a, z a z, defiidas por a z = expz loga)). Tambié permite defiir la fució potecia compleja de expoete b, z z b como z b = expb logz)). Las fucioes expoeciales cumple evidetemete la igualdad a z+w = a z + a w pero las fucioes potecias o cumple, e geeral como vimos al estudiar las raíces, la propiedad zw) b = z b w b. Esta igualdad se da e el caso de que expb logzw)) = expb logz) + b logw)) o, puesto que la fució expoecial es periódica de periodo 2πi, cuado se verifique que 1 No hemos hablado todavía de fucioes cotiuas, mucho meos de cotiuidad de fucioes complejas, pero la idea ituitiva de que cuado z se acerca a z 0, el argumeto pricipal de z se acerca al argumeto pricipal de z 0 sigue siedo válida. 11

12 Fucioes elemetales b logzw) = b logz) + b logw) + 2kπi, para algú k Z. Como caso particular, cuado z y w perteece al primer cuadrate la igualdad logzw) = logz)+ logw) es cierta co lo cual lo aterior se cumple para k = 0. Por los mismos motivos la igualdad z b ) c = z bc o es cierta e geeral. 12