CONTRASTACION DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS

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1 10 CONTRASTACION DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS Coceptos fudametales e la cotrastacio de hipótesis estadísticas Cotraste de hipótesis acerca de proporcioes Potecia y tamaño muestral Cotrastes sobre la esperaza matemática de ua població Normal Cotraste sobre la variaza de ua població ormal Regioes criticas óptimas Cotrastes de razó de verosimilitudes 10.8 El problema de dos muestras Cotrastes de igualdad de esperazas e poblacioes ormales Variazas coocidas Variazas descoocidas Cotraste de igualdad de proporcioes Cotraste de igualdad de variazas

2 10.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN LA CONTRASTACION DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS 1 E capítulos ateriores hemos apredido a efectuar iferecias acerca de los valores paramétricos poblacioales, a partir de iformació muestral, y lo hemos hecho tato a través de estimadores putuales como de itervalos de cofiaza. Si embargo, e muchas ocasioes, el ivestigador tiee ua creecia a priori, posiblemete basada e su experiecia previa co el feómeo que está estudiado, acerca de los valores uméricos de los parámetros de dicho proceso. E tal caso, el ivestigador estará iteresado e estimar los valores uméricos de dichos parámetros descoocidos, pero tambié querrá cotrastar diversas hipótesis posibles acerca de la distribució de probabilidad de la població que geeró la muestra dispoible. Geeralmete las hipótesis se refiere a si la iformació muestral es cosistete co su creecia a priori acerca de los valores paramétricos, lo que cofigura los deomiados problemas de ua muestra. E ocasioes, el ivestigador dispoe de dos muestras, y se cuestioa acerca de si la iformació que proporcioa ambas es cosistete co la posibilidad de que provega de la misma població, frete a la alterativa de que proviee de poblacioes diferetes, problemas estos deomiados de dos muestras. Los cotrastes de hipótesis especifica siempre ua posibilidad, deomiada hipótesis ula, deotada por H 0, que es aquélla e que el ivestigador está dispuesto a creer a priori. Es preciso especificar asimismo ua hipótesis alterativa, deotada por H 1, aquélla que pasará a aceptar si rechaza la hipótesis ula. La idea previa a la cotrastació estadística de hipótesis es que existe razoes para creer que la hipótesis ula pueda ser cierta: es aquél suceso que parece más posible a priori el que debe defiir la hipótesis ula. Por otra parte, la hipótesis alterativa debe estar defiida por aquellos sucesos, icompatibles co los que defie la hipótesis ula, que tiee probabilidad positiva. U suceso de probabilidad ula o debe estar icluido i e la hipótesis ula i e la hipótesis alterativa. De este modo, la preguta que u ivestigador debe hacerse cuado lleva a cabo u cotraste de hipótesis, es acerca de si se ecuetra suficiete evidecia e la muestra e cotra de la hipótesis ula, como para rechazarla. Como la hipótesis ula refleja ua creecia a priori, sólo la rechazaremos e favor de la hipótesis alterativa si existe suficiete evidecia e su cotra. Hay que isistir, por tato, e que sólo debe cotrastarse hipótesis ulas e las que el ivestigador está dispuesto a creer, y acerca de las cuales tiee fudada creecia a priori. La cotrastació de hipótesis o es algo que deba hacerse mecáica i sistemáticamete. Sería absurdo platearse e ua aplicació empírica u úmero elevado de cotrastes de hipótesis, co objeto de ver cuáles se rechaza y cuáles o. E los problemas de ua muestra, se cotrasta ua hipótesis ula que asiga valores uméricos a uo o más parámetros poblacioales descoocidos, frete a otro valor o rago de valores, que se icluye e la hipótesis alterativa. Para resolver el ciotraste de tal hipótesis, es preciso dispoer de iformació muestral, sobre la cual calcular el valor de u estadístico que guarde relació estrecha co el poarametro acerca del cual se quiere egectuar el cotraste. El valor umérico obteido para el estadístico os dirá si es aceptable uestra hipótesis a priori acerca del valor delparámetro descoocido o si, por el cotrario, o podemos maeter uestra hipótesis, debiedo rechazarla e favor de la hipótesis alterativa. Todo cotraste de hipótesis se desarrolla e varias etapas: 1 plateamieto de la hipótesis ula H 0 y de la hipótesis alterativa H 1, ambas referetes a valores posibles de u parñametro descoocido, 2 2 decisió acerca de u estadístico que resuma adecuadamete la iformació muestral, e relació co el parámetro acerca del cual se va a llevar a cabo elcotraste

3 2 3 divisió del espacio muestral e dos regioes: regió crítica y regió de aceptació. Ambas costituye ua partició del espacio muestral 4 obteció de ua muestra de u determiado tamaño, e la que medir la característica de iterés 5 cálculo del valor del estadístico e la muestra recogida 6 resolució del cotraste: si el valor muestral del estadístico cae e la regió crítica, se recha la hipñotesis ula H 0 e favor de la alterativa H 1 ; si el valor muestra del estadístico cae e la regió de aceptació, o se rechaza la hipótesis ula. Como ejemplo, vamos a cosiderar el caso de cotrastació de ua hipótesis acerca de la proporció de elemetos poblacioales que satisface ua determiada característica, utilizado para ello ua determiada muestra; es decir, queremos cotrastar ua hipótesis acerca del parámetro p de ua distribució Berouilli. Supogamos que, ates de acometer ua campaña publicitaria a ivel acioal, lo que represeta u eorme gasto, ua empresa de cosmética ha realizado ua campaña publicitaria acerca de ua de sus coloias e ua determiada ciudad, y quiere cotrastar si dicha campaña ha sido efectiva, lo que le motivaría a implatarla a ivel acioal. Evidetemete, para que este aálisis sea riguroso, debe cumplirse que la ciudad utilizada como muestra sea represetativa, es decir, que o haya razoes para pesar que la proporció de usuarios ates o después de la campaña vaya a ser distita e la ciudad utilizada que e el resto del país. El departameto de marketig de la empresa realiza ua ecuesta tras la campaña de publicidad e dicha ciudad, etrevistado a 200 persoas. El porcetaje de persoas que cosumía habitualmete su producto ates de la campaña publicitaria, que es coocido, era del 5% y la empresa decidirá que la campaña ha sido efectiva si el uevo porcetaje es superior a u determiado umbral, por ejemplo, del 7%. Ahora bie, o coocemos la proporció de cosumidores tras la campaña. Todo lo que hacemos es ecuestar a 200 persoas, y calcular ua estimació de la ueva proporció de cosumidores. Lo primero que hemos de hacer es escoger u estimador del parámetro objeto de cotraste. Ya sabemos que la proporció muestral es u estimador isesgado de la proporció poblacioal, por lo que parece razoable que utilicemos el porcetaje muestral. Imagiemos que 15 persoas, u 7,5% de los ecuestados, cotesta afirmativamete, co lo que cocluimos que la campaña ha sido u éxito. Ahora bie, proceder de este modo supoe asigar a la iformació muestral ua fiabilidad absoluta, que os lleva a comparar la estimació e ella obteida, co el umbral establecido del 7%. Si embargo, la estimació es ta sólo ua realizació del estimador (la proporció muestral, e este caso, que ha sido de 7,5% e esta muestra, pero que habría sido diferete si tomásemos otra muestra distita. Salvo que etrevistásemos a todos los poteciales cosumidores de la ciudad, o podemos coocer el verdadero valor de la proporció tras la campaña publicitaria. Tratar adecuadamete estas variacioes muestrales es crucial, pues ada impide que tegamos ua estimació como la mecioada, icluso si la proporció poblacioal es, realmete, prácticamete la misma de ates de la campaña, lo que os llevaría a icurrir e el eorme coste que represeta efectuar la campaña publicitaria a ivel acioal, cuado ésta o es, e realidad, eficaz. Ello costituiría lo que deomiamos u Error de tipo I, por rechazar la hipótesis ula de ausecia de cambio e la proporció de cosumidores, cuado ésta es cierta, puesto que o ha habido variació relevate, auque la iformació muestral os hace creer que sí la ha habido. Tambié podría suceder lo cotrario, y obteer "sólo" 13 respuestas afirmativas, ua proporció del 6,5%, lo que os llevaría a o rechazar la hipótesis ula cuado, realmete, el cosumo se ha extedido co respecto al existete ates de la campaña. Esto es lo que deomiamos u Error de tipo II, cosistete e o rechazar la hipótesis ula cuado ésta es falsa.

4 3 RESULTADO DEL CONTRASTE H 0 H 1 ESTADO DE LA NATURALEZA H 0 CORRECTO Error de tipo I H 1 Error de tipo II CORRECTO Formalicemos u poco más el proceso: Queremos cotrastar ua hipótesis, deomiada hipótesis ula, cosistete e que la campaña publicitaria o ha teido efecto, es decir, que el porcetaje de cosumidores o es sigificativamete superior al de ates de la misma. Represetamos esta hipótesis ula mediate: H 0 : p = 0,05. Esta hipótesis ula se dice simple, por coteer sólo u valor umérico del parámetro descoocido. Frete a ésta, hemos de formular ua hipótesis alterativa, e la que recogemos los valores del parámetro que pasaremos a aceptar e caso de rechazar la hipótesis ula. Tomemos, de mometo: H 1 : p 0,05. Esta hipótesis alterativa es compuesta, pues icluye todo u rago de valores alterativos para el parámetro descoocido. A diferecia de la hipótesis ula, que es simple, la hipótesis alterativa o defie ua úica distribució de probabilidad. La hipótesis ula sí lo hace, pues de ser cierta, la distribució de probabilidad de la variable idicatriz que para cada persoa e la població toma el valor 1 si cosume la coloia, y 0 si o lo hace, queda totalmete determiada como ua distribució Berouilli, B(p, co p = 0,05. De este modo, teemos: Error de tipo I: Rechazar H 0 y, por tato, aceptar H 1, cuado H 0 es cierta Error de tipo II: No rechazar H 0 cuado H 1 es cierta, es decir, cuado H 0 es falsa. El ivel de sigificació o tamaño de u cotraste de hipótesis, que deotaremos por ", es la probabilidad de cometer u error de tipo I, es decir, la probabilidad de rechazar la hipótesis ula cuado es cierta. La potecia de u cotraste es la probabilidad de rechazar la hipótesis ula cuado es falsa, lo cual es algo que querríamos hacer. Por tato, a diferecia del ivel de sigificació del cotraste, que preferiremos que sea reducido, querremos que la potecia del cotraste sea elevada. Si deotamos por $ la probabilidad de cometer u error de tipo II, etoces la potecia es igual a 1-$, ya que: P o rechazar H 0 /H 0 es falsa % P rechazar H 0 /H 0 es falsa ' 1 y el primer sumado es igual a $. Veremos e la próximas seccioes que la forma de resolver el cotraste de hipótesis es distita co cada especificació de la hipótesis alterativa, ya sea ésta simple o compuesta y, si es compuesta, el cotraste se lleva a cabo tambié de distita maera segú el rago de valores paramétricos alterativos que icluya. Tal como hemos expuesto este ejemplo, se llevaría a cabo u cotraste llamado de dos colas, e el que rechazaremos la hipótesis ula si ecotramos mucha evidecia e su cotra, lo que ocurrirá si la proporció muestral difiere apreciablemete de p = 0,05. Si embargo, o puede aceptarse a priori que la campaña publicitaria haya teido u efecto perjudicial sobre el cosumo, es decir, que la proporció de clietes sea iferior tras la campaña publicitaria, por lo que la hipótesis alterativa debería ser: H 1 : p > 0,05. E tal caso,

5 4 detectaremos evidecia e cotra de H 0, si obteemos ua proporció muestral relativamete alta, pero o si es baja. U ejemplo del tipo de cotrastes que llevamos a cabo e problemas de dos muestras es de las hipótesis: H 0 : p h = p m : la proporció de fumadores etre los alumos de la Facultad de CCEE es igual para hombres que para mujeres, para lo que habría que extraer dos muestras, ua de cada grupo poblacioal. La alterativa podría cosistir simplemete e que ambas proporcioes so diferetes H 1 : p h p m, o ser más estricta, e el setido de especificar que la proporció de fumadores etre los estudiates varoes es superior a la de las mujeres: H 1 : p h > p m. La forma de resolver el cotraste de hipótesis es distita co cada especificació de la hipótesis alterativa: e el primer caso efectuaríamos u cotraste de dos colas, mietras que e el segudo efectuaríamos u cotraste de ua sóla cola. E este tipo de problemas o se trata de cotrastar u valor umérico cocreto para ambos parámetros, sio ta sólo que ambos so iguales etre sí. A la vez que efectúa el cotraste, el ivestigador estimará las proporcioes de ambas poblacioes, potecialmete diferetes, y tambié podría estimar ua úica proporció, utilizado ambas muestras, si es que o rechaza la hipótesis ula. Los problemas de dos muestras más habituales se refiere, además del expuesto e el ejemplo, al cotraste de hipótesis de igualdad de esperazas matemáticas o de variazas etre poblacioes posiblemete diferetes CONTRASTE DE HIPÓTESIS ACERCA DE PROPORCIONES Comezamos e esta secció la discusió de los métodos precisos para llevar a cabo u cotraste de hipótesis, cotiuado co el ejemplo aterior, e que se quiere efectuar u cotraste sobre la proporció poblacioal. Para ello, mategamos e dicho ejemplo el supuesto de que la regla de rechazo elaborada a priori por la empresa ha sido: rechazar si el estimador isesgado de la ueva proporció, es decir, la proporció muestral, deotada por p, p = X/, es igual o superior a 0,07. Puesto que cometemos u error de tipo I cuado rechazamos H 0 siedo cierta, es decir, siedo p = 0,05, y puesto que rechazamos H 0 si la proporció muestral es igual o superior a 0,07, teemos que la probabilidad de cometer u error de tipo I, es decir, el ivel de sigificació del cotraste, es: " ' P $p$0,07/p'0,05 ' P X $0,07/p'0,05 dode X deota el úmero total de persoas que se declara usuarios de la coloia, de etre los 200 etrevistados, y es el tamaño muestral, e este caso, = 200. Para hallar esta probabilidad, utilizamos el hecho de que si cada variable idividual es B(1,p, etoces la suma X es B(,p. Por tato: " ' P X $0,07/p'0,05 ' P X$(0,07(200'14/p'0,05 ' ' 1& ' 13 P(X'i/p'0,05 ' 1& ' 13 i'0 i'0 200 i (0,05 i (0,95 200&i Evaluar cada uo de los sumados puede resultar complejo, por lo que es preferible utilizar bie la aproximació de Poisso a la distribució biomial, o la aproximació Normal que so válidas cuado la probabilidad idividual p es pequeña, pero el producto p es suficietemete grade. Aquí teemos: p =

6 5 (200(0,05 = 10. Examiado las tablas de la distribució de Poisso para 8 = 10, teemos que la probabilidad de que dicha variable tome u valor umérico igual o iferior a 13 es de 0,864, por lo que: " = 1-0,864 = 0,136. Podríamos asimismo calcular la probabilidad $ de cometer u error de tipo II pero, para ello, es preciso supoer que la proporció poblacioal ha cambiado hasta u uevo valor p'. Por ejemplo, supogamos que, realmete, ahora p' = 0,6, auque esto es descoocido. Recordemos que o rechazamos H 0 si X<14, de modo que: $ ' P X<14/p ' 0,06 ' ' 13 i'0 200 i (0,06 i (0,94 200&i ' 0,682 valor umérico que aparece e las tablas de la distribució de Poisso para p = (200(0,06 = 12. Es fácil calcular que si p' = 0,7, etoces se tedría: 8 = 14 y $ = 0,464, mietras que si p' = 0,8, etoces: 8 = 16 y $ = 0,275. Por tato, cuado la verdadera proporció de usuarios actuales de la coloia excede del 5%, la probabilidad de cometer error de tipo II, o rechazado H 0, que es falsa, es tato meor cuato mayor sea la discrepacia etre la ueva proporció y la atigua, 5%. Los valores de " y $ depede de la estrategia que se adopte para efectuar el cotraste. E este caso, al exigir superar el 7%, la empresa está siedo bastate exigete para rechazar H 0. Ello hace que la probabilidad de cometer el error de tipo I sea relativamete pequeño, mietras que la probabilidad de cometer u error de tipo II es elevada. Esto se debe a que el error de tipo II sucede cuado o se rechaza H 0, siedo falsa; dado que estamos exigiedo bastate evidecia e cotra de H 0 para rechazar, tedemos a o rechazar demasiado a meudo. Supogamos que la empresa sigue ua estrategia algo distita: rechazar H 0 : p = 0,05, si la proporció muestral es igual o superior a 0,08. E tal caso, el error de tipo I o ivel de sigificació, sería: " ' P X$16 /p'0,05 ' 1& ' 15 P(X'i/p'0,05 ' 1& ' 15 i'0 i'0 200 i (0,05 i (0,95 200&i ' 1&0,951 ' 0,049 sustacialmete iferior a la que alcazamos co el umbral del 7%, que era de " = 0,136. Parece claro, por tato, que la estrategia cocreta que se adopte a priori para resolver el cotraste icide sobre los iveles de ambas probabilidades de cometer error. Este ejemplo tambié sugiere, como así es cierto, que al variar el umbral de rechazo, tedemos a reducir la probabilidad de cometer u tipo de error, pero a costa de icremetar la probabilidad de cometer el error del otro tipo. Dejemos esta discusió por u mometo, y pasemos a cosiderar u modo alterativo, asimismo adecuado, de resolver u cotraste de hipótesis acerca de proporcioes: H 0 : p = p 0, frete a H 1 : p p 0. Para ello, os basaremos e que, supoiedo que la hipótesis ula sea cierta, si X es el úmero de éxitos e ua prueba de repeticioes idepedietes de ua biomial B(,p 0 etoces la proporció muestral X/ puede aproximarse por ua distribució N(p 0, p 0 (1-p 0 /, siempre que sea suficietemete grade [Teorema XX]. E tal caso, la variable aleatoria: Z ' X/&p 0 - N(0, 1 p 0 (1&p 0 (10.1

7 6 y por tato, satisface que: X/&p 0 *$2,57 ' 1 & P &2,57 # p 0 (1&p 0 X/&p 0 #2,57 ' 1 & P p 0 &2,57 p 0 (1&p 0 p 0 (1&p 0 #X/ #p 0 %2,5 y, e el caso e que p 0 = 0,05, dicho itervalo es: 01 ' 1&P 0,05&(2,57 (0,05(0,95 #X/ #0,05%(2, (0,05(0, ' 1&P 0,010 #X/ #0,090 Es decir, si la hipótesis ula es cierta, la probabilidad de que la proporció muestral que calculemos a partir de las 200 observacioes muestrales se aleje de p 0 = 0,05 por ecima de 0,090 o por debajo de 0,010 es igual a 0,01, el ivel de sigificació escogido. Si al ecuestar a las 200 persoas obteemos ua proporció iferior al 1%, o superior al 9%, diremos que es u suceso muy poco probable, por lo que la hipótesis que hemos mateido: H 0 : p = 0,05, seguramete o es cierta. E cosecuecia, si ello sucede, rechazaremos la hipótesis ula, habiedo efectuado el cotraste a u ivel de sigificació, o co u tamaño, del 1%. Puede parecer que el requerimieto de exigir ua proporció poblacioal fuera del itervalo (0,01;0,09 sea demasiado estricto, y que debería rechazarse para otros iveles, como $p ' 0,025 ó $p ' 0,075. Si embargo, esto o es debatible. Los iveles extremos del 1% y 9% surge porque el ivel de sigificació del cotraste se ha escogido igual al 1%. Si hubiésemos escogido u ivel de sigificació del 5%, habríamos teido: X/&p 0 *$1,96 ' 1 & P &1,96 # p 0 (1&p 0 X/&p 0 #1,96 ' 1 & P p 0 &1,96 p 0 (1&p 0 p 0 (1&p 0 #X/ #p 0 %1,9 ' P 0,05&(1,96 (0,05(0,95 #X/ #0,05%(1, (0,05(0, ' P 0,020 #X/ #0,080 u itervalo más estrecho. El que acabamos de describir es u cotraste deomiado de dos colas, y es adecuado cuado o se tiee iformació acerca de los valores alterativos al icluido e la hipótesis ula. Pero ya hemos cometado que e este ejemplo, tiee pleo setido creer que si la proporció de usuarios ha variado tras la campaña publicitaria, será para aumetar, o para dismiuir, por lo que debe especificarse ua hipótesis alterativa del tipo: H 1 : p > 0,05. E tal caso, el cotraste se lleva a cabo del siguiete modo: para detectar evidecia e cotra de H 0, deberemos obteer ua proporció muestral relativamete alta. Ello idicaría que la situació de mercado ha cambiado tras la campaña de publicidad, siedo ahora la proporció de clietes superior a la iicial. Por tato, ua proporció muestral algo elevada será icosistete co la hipótesis de mateimieto de p = 0,05. Ahora bie, cuál debe ser el umbral de proporció poblacioal por ecima del cual rechacemos H 0? De uevo, podemos obteerlo utilizado u argumeto similar al aterior. Necesitamos determiar el umbral z " por ecima del cual la distribució N(0,1 tiee ua probabilidad

8 de 0,01. Nos iteresa este setido de la desigualdad porque rechazaremos la hipótesis ula cuado detectemos u valor umérico ta grade del estadístico que o pueda haberse obteido bajo H 0. Notemos que el estadístico Z que defiimos e (11.1 sigue ua distribució N(0,1 bajo H 0, pero sigue ua distribució co ua media mayor que 0,05 si H 0 o es cierta. Por eso que es que valores uméricos altos proporcioa evidecia e cotra de H 0. Examiado las tablas de la N(0,1 vemos que dicho umbral es 2,325, por lo que teemos: 7 0,01 ' P Z' X/&p 0 p 0 (1&p 0 $2,325 ' P X $0,05%(2,325 (0,01(0, ' P X $0,066 que coduce a rechazar la hipótesis ula si obteemos ua proporció muestral por ecima de 6,6%. Nuestro aálisis os dice que tal resultado sería muy poco probable bajo el supuesto mateido e H 0, que es: p = 0,05. La regió que estamos determiado, tato e cotrastes de ua cola como e cotrastes de dos colas, se deomia regió críticas, y comprede la parte del espacio muestral meos probale bajo H 0. Por tato, si cae e ella el estadístico muestral utilizado e el cotraste (e uestro ejemplo, la proporció muestral, se rechaza H 0. La regió de aceptació es el complemeto de la regió crítica. La estrategia seguida e el cotraste del ejemplo y, co ella, la regió crítica, sería diferetes si la hipótesis alterativa fuese: H 1 : p < 0,05. E tal caso, sería ua proporció muestral reducida la que proporcioaría evidecia e cotra de H 0. Así, como tambié es 0,01 la probabilidad de que ua variable aleatoria N(0,1 tome valores por debajo de -2,325, tedríamos: X/&p 0 #&2,325 p 0 (1&p 0 ' P X/#&(2,325 p 0 (1&p 0 ' P X #0,05&(2,325 (0,01(0, ' por lo que ua proporció muestral iferior al 3,4% costituiría suficiete evidecia e cotra de la hipótesis ula, al ivel de sigificació " = 1%, como para rechazarla. La metodología de cotrastació de hipótesis estadísticas que hemos expuesto e este ejemplo acerca de la proporció es comú a cualquier otro cotraste de ua hipótesis ula simple acerca de u parámetro. La úica dificultad estriba úicamete e que, e ocasioes, o es fácil deducir el estadístico muestral que es preciso utilizar, auque e los casos que osotros cosideraremos e este texto, es siempre secillo POTENCIA Y TAMAÑO MUESTRAL Para itroducir alguos coceptos adicioales acerca de la cotrastació de hipótesis, supogamos que queremos cotrastar u valor umérico acerca de la esperaza matemática de ua població Normal de variaza coocida, F 2 = 125. Supogamos que dudamos etre µ = 60 ó µ= 65. Es decir, establecemos hipótesis ulas y alterativas, ambas simples: H 0 : µ = 60, frete a H 1 : µ = 65. Ua vez más, el cotraste se resuelve costruyedo ua regió crítica. A cotiuació, tomaremos ua muestra, y si el valor umérico del estadístico utilizado para el cotraste cae e la regió crítica, rechazaremos la hipótesis µ= 60, pasado a aceptar que µ = 65. E este ejemplo es atural pesar e utilizar la media muestral como estadístico, y costruir ua regió

9 crítica e la que se rechaza H 0 si la media muestral excede de u umbral 8. Ello se debe a que la hipótesis alterativa cotempla u valor de µ superior al de la hipótesis ula y, por tato, ua media muestral elevada proporcioaría evidecia e cotra de H 0. Si, por el cotrario, tuviésemos: H 0 : µ= 60 frete a: H 1 : µ = 55, la regió crítica sería: Rechazar H 0 si la media muestra es iferior a u cierto umbral, pues ua media muestral suficietemete reducida sería evidecia a favor de ua esperaza matemática reducida, e iferior, e cualquier caso, a la que se cotempla e la hipótesis ula. E uestro ejemplo, escojamos u ivel de sigificació, por ejemplo: " = 0,10. Sabemos que la media de ua muestra aleatoria simple extraída de ua població Normal sigue asimismo ua distribució Normal, co esperaza matemática igual a la poblacioal, y variaza igual a la variaza poblacioal, dividida por el tamaño muestral. Por tato, teemos: 8 Z ' x&µ F 2 / - N(0,1 Rechazaremos H 0 al ivel de sigificació " si la media muestral es suficietemete grade, es decir, cuado: x&µ F 2 / ' x&60 125/100 $ 8 " dode 8 " se seleccioa de modo que: " ' P x&60 125/100 $ 8 " puesto que ello garatiza que, si el verdadero valor umérico, descoocido, de la esperaza matemática es F = 60, etoces la probabilidad de obteer ua media muestral superior a 8 " e ua muestra de 100 observacioes de ua població Normal N(µ,125 y, co ello, rechazar H 0, es precisamete 0,10, el ivel de sigificació deseado para el cotraste. E el caso de la N(0,1, el umbral superior de probabilidad de 0,90 es 1,285, como puede verse e las tablas de esta distribució, de modo que se tiee: " ' P x&60 $1,285 ' P x$60%(1, /100 ' P x$61, /100 Costruida la regió crítica, ya podemos proceder a extraer ua muestra de tamaño 100, calcular su media muestral, y, si supera a 61,437, rechazaremos H 0 : µ= 60, pasado a aceptar: H 1 : µ = 65. La probabilidad de cometer u error de tipo II co esta regió crítica es: $ ' P x<61,437 / µ'65 ' P x&65 125/100 < 61,437&65 125/100 ' P Z< 61,437&65 '&3,19 0 1,118 prácticamete cero, lo cual os poe bastate a salvo e este setido. Ello se ha logrado, e parte, debido a que

10 el ivel de sigificació, probabilidad de cometer u error de tipo I, es relativamete alta, 0,10. Recordemos que la potecia del cotraste es el complemeto de la probabilidad de cometer u error de tipo II, es decir, la probabilidad de rechazar la hipótesis ula cuado esta es falsa. Nótese, por tato, que la potecia es la probabilidad de o cometer u cierto tipo de error y, por ello, se quiere que sea lo más próximo a 1 que se pueda. Como veremos e las siguietes seccioes, uo de los objetivos de la teoría de cotrastació de hipótesis estadísticas es, precisamete, la costrucció de cotrastes de máxima potecia. Supogamos ahora que e el caso de la població Normal aterior, e que queremos cotrastar la hipótesis ula H 0 : µ = 60, la hipótesis alterativa es compuesta: H 1 : µ > 60 siedo la variaza igual a 125, y que hemos tomado ua muestra de tamaño = 25. Supogamos asimismo que establecemos a priori como regió crítica: Rechazamos H 0 si la media muestral excede de 62. Ecotremos la fució de potecia de este cotraste. Para ello, ecesitamos: 9 W(µ ' P x$62/µ ' P x&µ 125/25 $ 62&µ 125/25 probabilidad que, para valores de la esperaza matemática µ etre 60 y 67, vale, respectivamete: W(60=0,185; W(61=0,327; W(62=0,500; W(63=0,671; W(64=0,814; W(65=0,910; W(66=0,964; W(67=0,987. El Gráfico 10.XX de esta fució os da los valores de la potecia del cotraste bajo distitos valores de µ alterativos al cosiderado e la hipótesis ula. Esta es la fució de potecia del cotraste. El valor de la fució W(µ e el valor paramétrico especificado e H 0, µ = 60, os da la probabilidad de rechazar H 0 cuado µ = 60, es decir, la probabilidad de rechazar la hipótesis ula cuado es cierta, es decir, el ivel de sigificació del cotraste, y co la regió crítica establecida, es de 0,186. Cuado µ= 65, la hipótesis ula es obviamete falsa, y la probabilidad de rechazarla, es decir, la potecia del cotraste e dicho puto, es de 0,910, bastate alta, lo cual es bueo. Si embargo, el ivel de sigificació que hemos obteido, de 0,187, es cosiderado como demasiado elevado para la mayoría de las aplicacioes de iterés. Lo más frecuete, es que los ivestigadores suela preferir iveles de sigificació del 1%, 5% o, como mucho, del 10%. No existe, si embargo, gra justificació para escoger estos iveles e vez de otros alterativos. E el ejemplo del fabricate de coloias, tato el error de tipo I como el de tipo II tedría repercusioes muy distitas sobre sus resultados, acarreado cosecuecias, e la forma de pérdidas, que el fabricate puede evaluar a priori. Por tato, está e codicioes de fijar u determiado ivel de sigificació, ua vez que cuete co dicha estimació de pérdidas posibles, y o hay razó para creer que coicidirá co los iveles mecioados. E cualquier caso, vamos a proceder bajo el esupuesto de que se ha fijado u ivel, digamos que del 0,05. Cómo debemos escoger la regió crítica? La respuesta viee de u argumeto similar a los ateriores; puesto que lo que queremos es que W(60 = 0,05, teemos que hallar u umbral 8 tal que: 0,05 ' W(60 ' P x$8 0,05 /µ'60 ' P x&60 125/25 8 0,05 $ &60 /µ'60 ' 1&M 8 &60 0,05 125/25 2,236 dode M deota la fució de distribució de ua N(0,1, lo que implica: 8&60 2,236 ' 1,645 Y 8 ' 60 % (1,645(2,236 ' 63,68

11 es decir, rechazar H 0 si se obtiee ua media muestral superior a 63,68. Esta es ua regió crítica más pequeña a la que ates teíamos. La probabilidad de cometer u error de tipo II co esta regió crítica, para µ = 65, es: 10 $ ' P x<63,68 ' P x&65 125/25 < 63,68&65 125/25 ' M(&0,590 ' 0,2776 o sea, ua potecia e µ = 65 de 0,722, otablemete iferior a la que obtuvimos co la regla aterior de rechazar co ua media muestral superior a 62. Hemos reducido el ivel de sigificació del cotraste, pero a costa de aumetar la probabilidad de cometer u error de tipo II, es decir, a cambio de reducir la potecia del cotraste. Ya mecioamos ates que este es u resultado geeral: sólo puede reducirse la probabilidad de cometer u error de u tipo, a costa de icremetar la probabilidad de cometer u error de otro tipo. Sólo puede reducirse ambas probabilidades simultáeamete si se aumeta el tamaño muestral, o si se cosigue u cotraste distito que tega mejores propiedades que el que se está utilizado. Supogamos ahora que hemos recogido más iformació muestral, = 125, de modo que la variaza de la media muestral pasa a ser igual a 1. Para obteer u cotraste co ivel de sigificació del 5%, ecesitamos determiar u umbral 8 " tal que: 0,05 ' P x$8 " /µ'60 ' P x&60$8 " &60/µ'60 Pero x&60 es ahora ua variable aleatoria N(0,1, por lo que todo lo que ecesitamos es: 8 " &60 ' 1,645 Y 8 " ' 61,645 La fució de potecia es ahora: W(µ ' P x$61,645/µ ' P x&µ 125/125 $ &µ 125/125 ' 1&M 61,645&µ E particular, se tiee e µ = 65, que: $ ' 1&W(µ ' M 61,645&65 ' M(&3,355 ' 0 o, equivaletemete co potecia: W(65 = 1. E este caso, aumetado el tamaño muestral, hemos podido aumetar la potecia si teer que aumetar a la vez el ivel de sigificació. Como puede fácilmete imagiarse, tratar de adiviar el tamaño muestral que proporcioará las características deseadas al cotraste es muy poco eficiete. Resulta mucho más adecuado proceder a calcular dicho tamaño muestral directamete, ua vez que se ha decidido acerca del ivel de sigificació y la potecia que se desea e u determiado valor de µ, alterativo al de la hipótesis ula. Por ejemplo, supogamos que queremos: " = 0,01, a la vez que: $ = 0,05 e el puto µ= 65. Etoces:

12 11 0,01 ' P x$8/µ'60 ' 8&60 1&M 125/ 0,05 ' 1&P x$8/µ'60 ' 8&65 M 125/ es decir: 2,325 ' 8&60 125/ &1,645 ' 8&65 125/ os da u sistema de dos ecuacioes e dos icógitas que puede resolverse para ecotrar simultáeamete 8 y el tamaño muestral. E este caso, se tiee: 8 ' 62,928 ' 8,878 que redodeamos a: = 79. Si seguimos la estrategia de extraer ua muestra de 79 elemetos, y rechazar H 0 si la media muestral excede de 62,928, teemos u ivel de sigificació del 1%, así como ua potecia e µ = 65, de 0,95. Otro cocepto de gra iterés e el cotraste de hipótesis estadísticas es el de valor p proporcioado por ua muestra e u determiado cotraste. Este se defie como la probabilidad de obteer u valor del estadístico utilizado igual al que hemos obteido e la muestra o aú más extremo e la direcció de la hipótesis alterativa, bajo el supuesto de que la hipótesis ula es cierta. Supogamos que e el cotraste aterior, co 25 observacioes, hemos obteido ua media muestral de 63,5. El valor p de esta media muestral es etoces la probabilidad de obteer u valor de 63,5 o superior (esta es la direcció e que rechazamos H 0, bajo la hipótesis ula de que: µ = 60 es cierta, es decir: p ' P x$63,5/ µ'60 ' P x&60 125/25 $ 63,5&60 125/25 /µ'60 ' 1&M 63,5&60 125/25 ' ' 1&M(1,565 ' 1&0,941 ' 0,059 Que el valor p de u estadístico e u cotraste sea pequeño sigifica que es poco probable que pudiéramos obteer evidecia aú más e cotra de H 0 que la que hemos obteido e la muestra. Teemos, por tato, que la iformació muestral proporcioa evidecia bastate sigificativa cotra la hipótesis ula, que tederemos a rechazar casi bajo cualquier ivel de sigificació " que fijemos. El valor p es el meor ivel de sigificació para el cual rechazamos la hipótesis ula co la iformació muestral dispoible. Para iveles de sigificació mayores que él, rechazamos H 0. Co el valor p que hemos calculado e el cotraste aterior, rechazaríamos H 0 para iveles de sigificació superiores a 0,059, como " = 0,10, pero o para valores iferiores, como " = 0,05 o "= 0,01. E este caso, la media de 63,5 e la muestra de 25 elemetos o parece ser muy dañia cotra H 0. Es claro que el ivel p proporcioado por ua muestra depede tato del valor umérico del estadístico que co ella se calcule, como del tamaño muestral. El iterés del valor p reside e que o determia de maera úica el resultado de u cotraste, sio que

13 distitos ivestigadores que tega distitos putos de vista respecto al ivel de sigificació que es coveiete utilizar e u cotraste, puede utilizar el mismo valor p, pudiedo alcazar la misma o diferete decisió CONTRASTES SOBRE LA ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA POBLACIÓN NORMAL El cotraste de hipótesis acerca de la esperaza matemática de ua població Normal se realiza utilizado como estadístico la media muestral. Si la hipótesis ula es simple y establece que H 0 : µ = µ 0 etoces, si es cierta, la població es N(µ 0, F 2, y la media muestral se distribuye N(µ 0, F 2 /. E cosecuecia, el estadístico: Z ' x&µ 0 F/ - N(0,1 os permite llevar a cabo el cotraste. Si la hipótesis alterativa es compuesta, del tipo: H 1 : µ µ 0, etoces la regió crítica cosiste e o rechazar si la media muestral está suficietemete próxima a µ 0, es decir, si: *Z*#1,96 oloqueeslomismosi: µ 0 &(1,96 F # x #µ 0 %(1,96 F y rechazar e caso cotrario. Si la hipótesis alterativa es del tipo: H 1 : µ > µ 0, etoces ecotraremos evidecia e cotra de la hipótesis ula, es decir, a favor de H 1, cuado la media muestral sea "suficietemete grade", ya que la hipótesis alterativa es que la esperaza matemática es mayor que µ 0, el valor especificado e la hipótesis ula. Por tato, rechazamos la hipótesis ula si: Z $1,645 oloqueeslomismo: x $µ 0 %(1,645 F Si la hipótesis alterativa es del tipo: H 1 : µ < µ 0, etoces ecotraremos evidecia e cotra de la hipótesis ula, es decir, a favor de H 1, cuado la media muestral sea "suficietemete pequeña" ya que la hipótesis alterativa es que la esperaza matemática es meor que µ 0. Por tato, rechazamos la hipótesis ula si: Z #1,645 ] x #µ 0 &(1,645 F Este cotraste lo hemos resuelto supoiedo que la variaza poblacioal es coocida. Cuado o lo es, se sustituye por la cuasivariaza muestral, y se utiliza la distribució t de Studet, co -1 grados de libertad, del mismo modo que ates:

14 13 t ' x&µ 0 $F/ - t &1 Ejemplo El dueño de u restaurate cree que la catidad de diero que, e térmio medio, gasta cada cliete e ua comida, es de ptas.. Supogamos que el dueño del restaurate "sabe" quizá por muestreos de ocasioes ateriores, que la desviació típica e las facturas idividuales es de 800. Bajo la hipótesis ula: H 0 : µ = 2.500, teemos la siguiete distribució: Z ' x& / N(0,1 de modo que, fijado u ivel de sigificació " = 0,05, por ejemplo, teemos: 0,05 ' x& &P * *$1,96 ' 1&P 2.500&(1,9680 # x #2.500%(1, / 100 ' 1&P # x #2.657 Para cotrastar dicha hipótesis, toma las facturas correspodietes a 100 comesales, extraídos al azar a lo largo de varios días, obteiedo ua muestra de ptas. por comesal, que se halla fuera de la regió crítica que hemos costruido, por lo que o rechazamos la hipótesis de que el gasto medio es de ptas.. Si embargo, co u ivel de sigificació superior al 5%, habríamos rechazado la hipótesis ula. Si el dueño del restaurate hubiese estado iteresado e cotrastar la hipótesis citada porque temiese que el gasto estaba siedo iferior a ptas. por comesal, etoces debería utilizar u cotraste de ua cola, rechazado H 0 si ecuetra suficiete evidecia e cotra de ella. Como la hipótesis alterativa es ahora: H 1 : µ < 2.500, rechazará H 0 si la media muestral es suficietemete pequeña, teiedo: 0,05 ' P x&2.500 #&1,645 ' P x #2.500&(1,645(80 ' P x # / 100 Como la media muestral obteida o cae detro de esta regió crítica (bie es verdad que por poco, o rechazamos la hipótesis ula tampoco e este caso: o hemos ecotrado suficiete evidecia e cotra de la creecia de que cada comesal gasta e media ptas.. E la mayoría de las situacioes es difícil mateer que el ivestigador cooce la variaza de la població. Cuado ello o ocurre, la sustituye e el estadístico aterior, que o es sio la media muestral tipificada, por la cuasivariaza muestral, y obtiee el umbral crítico del cotraste a partir de la distribució t -1, e vez de la N(0,1. E el ejemplo aterior, supogamos que o se tiee suficiete garatía acerca del valor de la variaza poblacioal, y que se hubiese procedido a estimarla mediate la cuasivariaza muestral, obteiedo: s = 700. El desarrollo seguiría a partir de aquí como ates, sólo que utilizado la distribució t. Ahora bie, el tamaño muestral es elevado y, co él, el úmero de grados de libertad: -1 = 99, y la distribució de probabilidad t 99 es idistiguible de la distribució N(0,1. El valor umérico del umbral iferior del itervalo de cofiaza del 95% es ahora de 2384,9, distito de ates porque la estimació de la cuasivariaza o ha coicidido co el supuesto valor teórico que ates

15 14 supusimos coocido. Puesto que la media muestral obteida está por debajo de este umbral, si bie ligeramete, cosideramos que es suficietemete pequeña y rechazamos H 0, pasado a creer que el gato medio por comesal es iferior a las ptas..por el cotrario, la misma cuasivariaza muestral estimada, pero a partir de ua muestra de que sólo 25 comesales, coduciría a o rechazar la hipótesis ula CONTRASTE SOBRE LA VARIANZA DE UNA POBLACIÓN NORMAL Para cotrastar ua hipótesis acerca de la variaza de ua població Normal N(µ,F 2 se utiliza el hecho de que e dicha distribució de probabilidad se tiee: (&1 s 2 F 2 - P &1 Esta distribució de la cuasivariaza muestral, adecuadamete ormalizada, o depede de que la esperaza matemática de la població Normal sea coocida, por lo que para llevar a cabo este cotraste de hipótesis o es preciso coocer µ. De hecho, i siquiera es preciso estimar µ. Si embargo, este cotraste es algo más delicado que los ateriores, debido a que la distribució chi-cuadrado o es simétrica; e cosecuecia, o obteemos umbrales o valores críticos simétricamete repartidos e toro al estadístico utilizado para el cotraste, como ha ocurrido e todos los cotrastes aalizados hasta ahora. El procedimieto que se sigue co la distribució chi-cuadrado es el siguiete: fijado u ivel de sigificació ", cosideramos los umbrales que deja ua probabilidad "/2 a su derecha e izquierda, respectivamete: P (&1s 2 # P &1,"/2 ' " 2 F 2 0 P (&1s 2 $ P &1,1&"/2 ' " 2 F 2 0 y ambos tramos, el itervalo a la izquierda de P -1,"/2 y el itervalo a la derecha de P -1, 1-"/2, costituye la regió crítica de este cotraste. Como siempre, para obteer la regió crítica, utilizamos la distribució de probabilidad que se obtiee bajo la hipótesis ula. Nótese la lógica de este cotraste: el estadístico que se utiliza es el cociete etre la cuasivariaza muestral, y el valor de la variaza coteido e la hipótesis ula. Si ésta es cierta, dicho cociete o será muy distito de 1. E el estadístico, el cociete queda multiplicado por el úmero de grados de libertad: si H 0 es cierta, el cociete citado tederá a ser más próximo a 1 cuato mayor sea el tamaño muestral. Este posible sesgo hacia o rechazar la hipótesis ula queda corregido mediate el producto por -1. Si H 0 o es cierta, etoces el cociete será o bie sigificativamete superior a 1, si el verdadero valor de F 2 excede de F 02, o sigificativamete iferior a 1, e caso cotrario. Será positivo, e cualquier caso, y así lo es la distribució chi-cuadrado, a diferecia de las distribucioes Normal o t. Ejemplo Supogamos que se quiere cotrastar que el tipo de cambio peseta/marco alemá se ha hecho más volátil e el último mes que e el mes aterior, e el que su variaza fue de 64,25. Para ello, tomamos las cotizacioes de los 20 días e que ha estado abierto el mercado de cambios este mes, y obteemos ua cotizació media de 81,42 y ua cuasivariaza muestral de: s = 87,47. Co este tamaño muestral, el úmero de grados de libertad de la distribució chi-cuadrado correspodiete es 19, por lo que si fijamos u ivel de sigificació del 5%, teemos:

16 15 P P 2 #8,91 ' 0,025 P $32,85 ' 0, ; 0,025 P2 19 ; 0,975 por lo que el itervalo a la izquierda de 8,95, juto co el itervalo a la derecha de 32,85, forma la regió crítica de este cotraste. Teemos la regió crítica defiida por los dos tramos: 0,025 ' P (19s 2 64,25 #8,91 ' P s 2 # (8,91(64,25 19 '30,13 0,025 ' P (19s 2 64,25 $32,85 ' P s 2 # (32,85(64,25 19 ' 111,08 Como la cuasivariaza muestral estimada 87,47, o cae detro de la regió crítica, o rechazamos la hipótesis ula de que la volatilidad del tipo de cambio este mes, ha sido similar a la del pasado. Ahora bie, si la motivació para el cotraste reside e el temor a que la volatilidad haya aumetado, deberíamos efectuar u cotraste de ua sóla cola, buscado evidecia e el setido de u cociete s 2 2 /F 0 grade, dode F 02 = 64,25. E tal caso, la regió crítica sería: 0,05 ' P (&1s 2 F 2 0 $ P 19 ; 0,05 ' P s 2 $ (30,14(64,25 19 ' 101,92

17 16 y tampoco rechazamos H 0. El cotraste de hipótesis puede llevarse a cabo asimismo calculado el valor umérico del estadístico chi-cuadrado, y comparádolo co los valores críticos o umbrales de la correspodiete distribució de probabilidad. E este ejemplo, el valor umérico del estadístico es: P 2 ' (19(77,47 64,25 ' 25,87 que o es iferior a 8,91, i superior a 32,85, que so los umbrales que defie la regió crítica al ivel de sigificació del 5%, co 19 grados de libertad, para el cotraste de dos colas. Para el cotraste de ua sóla cola se procedería de modo aálogo. El valor p sería la probabilidad de obteer u valor del estadístico igual o superior a 25,87, es decir: Valorp ' P P 2 $25,87 ' 1&0,832 ' 0, por lo que o rechazaríamos 1 H 0 a los iveles de sigificació más habituales: 1%, 5% ó 10% REGIONES CRITICAS ÓPTIMAS E las seccioes ateriores se ha podido apreciar ua gra afiidad etre los procedimietos de llevar a cabo cotrastes de hipótesis simples, y la elaboració de itervalos de cofiaza. E efecto, auque la resolució de los cotrastes se ha efectuado mediate la costrucció de ua regió crítica, aquella que, de icluir el valor del estadístico utilizado coduciría a rechazar H 0, e realidad, ésta o es sio el complemeto de u itervalo de cofiaza para el parámetro descoocido. La aalogía es total e el caso de cotrastes de dos colas, si bie los cotrastes de ua cola ya o se presta a esta comparació. E las seccioes restates presetamos u efoque diferete de la cotrastació de hipótesis, primero para el caso de hipótesis ulas simples frete a hipótesis alterativas asimismo simples, y e la secció siguiete, para hipótesis cualesquiera, tato simples como compuestas. Presetamos e esta secció u resultado importate, el teorema de Neyma-Pearso, que permite costruir regioes críticas óptimas, e u cierto setido que defiiremos eseguida, para el caso de u cotraste de hipótesis ula simple frete a hipótesis alterativa simple. Auque resuelve sólo este caso, os será tambié de utilidad cuado, posteriormete, aalicemos cotrastes de hipótesis más geerales. Defiició.- Sea RC ua regió crítica, de ivel de sigificació ", de u determiado cotraste de la hipótesis ula simple: H 0 : 2 = 2 0, frete a la hipótesis alterativa, tambié simple: H 1 : 2 = 2 1. Se tiee, por tato: " = P(RC / 2=2 0. Se dice que RC es ua regió crítica óptima de tamaño ", si para cualquier otra regió crítica RC' de tamaño " = P(RC'/ 2=2 0, se tiee: P(RC/2 1 $ P(RC /2 1 1 La probabilidad de 0,832 se ha obteido mediate ua iterpolació lieal de las probabilidades e la tabla de la distribució chi-cuadrado.

18 17 esto es, RC es óptima si, supuesto que la hipótesis alterativa fuese cierta, la probabilidad de rechazar la hipótesis ula (algo que querríamos hacer utilizado la regió RC es al meos ta grade como la probabilidad aáloga utilizado cualquier otra regió crítica de tamaño ". RC es etoces la regió crítica más potete, de ivel de sigificació ". Teorema de Neyma-Pearso.- Sea L(2 = L(2;x 1, x 2,..., x la fució de verosimilitud de ua muestra aleatoria simple x 1, x 2,..., x extraída de ua població co fució de desidad f(x/2, y sea 2 0 y 2 1 dos valores posibles del parámetro 2. Si existe ua costate positiva 8 y ua partició del espacio muestral e dos subespacios RC y RC' tales que: 1 P x 1,x 2,...,x 0RC / 2 0 ' " 2 L(2 0 L(2 1 # 8 cuado (x 1,x 2,...,x 0 RC 3 L(2 0 L(2 1 $ 8 cuado (x 1,x 2,...,x 0 RC etoces RC es ua regió crítica óptima de tamaño " para el cotraste de la hipótesis ula simple: H 0 : 2 = 2 0 frete a la alterativa simple: H 1 : 2 = 2 1. La primera codició simplemete dice que RC tiee, efectivamete, tamaño ". La seguda afirma que RC costa de aquellos putos que so relativamete más probables bajo el valor paramétrico coteido e H 1, mietras que la tercera codició afirma que RC', que es el complemeto de la regió crítica, está formada por los putos relativamete más probables bajo el valor paramétrico coteido e H 0. Ejemplo.- Supogamos que hemos extraído ua muestra aleatoria simple de tamaño de ua població Normal(µ, 25. Vamos a hallar la regió crítica óptima para el cotraste de la hipótesis H 0 : µ = 10 frete a la alterativa: H 1 : µ = 15. Para ello, utilizaremos el cociete de verosimilitudes: L(10/L(15, y trataremos de ecotrar los putos del espacio muestral para los que este cociete es igual o meor a ua cierta costate 8. Para ello cosideramos la desigualdad: L(10 L(15 ' (50 B &/2 exp & 1 50 (50 B &/2 exp & 1 50 ' ' (x i &10 2 (x i &15 2 ' exp & ' x i & 125 # 8 y tomado logaritmos e ambos miembros, teemos la desigualdad equivalete: & 10 ' x i % 125 # 50 (l 8 es decir:

19 18 1 ' x i $ 125& 50 l 8 que cosiste e rechazar la hipótesis ula si la media muestral excede de ua determiada costate, es decir, que la regió crítica óptima para ese cotaste es de la forma: Rechazar H 0 si x$k para ua determiada costate. La costate k se escoge de modo que el tamaño, del cotraste sea ". Si, por ejemplo, = 100, y k = 10,75, se tiee u tamaño: " ' P x$10,75 / µ'10 ' P x&10 $ 10,75&10 25 / / 100 ' 1&M(1,5 ' 0,067 Alterativamete, si queremos que el tamaño tome ua valor cocreto, por ejemplo, " =.10, etoces podemos escoger k coveietemete: 0,10 ' 1&M(1,285 ' P x$k/µ' 10 ' P x&10 $ k&10 25 / / 100 ' 1&M k&10 0,5 que implica: k&10 0,5 ' 1,285 Y k ' 10,643 Este ejemplo ilustra que el teorema de Neyma-Pearso proporcioa la forma que tiee ua regió crítica óptima para el cotraste de ua hipótesis ula simple frete a alterativa tambié simple. Ello es equivalete a dispoer de ua estrategia para la resolució del cotraste, como por ejemplo: rechazar H 0 si la media muestral es elevada. Posteriormete, el ivestigador determia co precisió, e su aplicació específica, lo que se etiede por suficietemete elevada. E el ejemplo aterior, os ha proporcioado directamete ua regió e ua cola de la distribució, resultado al que llegamos e la secció XX tras ua breve argumetació. Ejemplo.- Cosideremos el cotraste de la hipótesis: H 0 : 8 = 1 frete a 8 = 2 e ua distribució de Poisso. A partir de ua muestra aleatoria simple de tamaño, teemos: L(1 L(2 ' 1' x i e & A x! i A x! i ' ' e 2 x i e ' &2 2 x i # k y, tomado logaritmos e la última desigualdad:

20 19 ' x i l2 $ & lk es decir: ' x i $ & lk l2 ' c que sugiere rechazar la hipótesis ula cuado la suma de los elemetos muestrales sea suficietemete grade. Es razoable, puesto que el valor del parámetro 8 bajo H 1 es mayor que bajo H 0, y 8 es la esperaza matemática de la distribució 2. Si el tamño muestral es = 8, etoces, la suma de los elemetos muestrales, todos ellos variables de Poisso co parámetro 8, idepedietes etre sí, sigue ua distribució tambié de Poisso, co parámetro 88. Bajo la hipótesis ula, la suma de los 8 elemetos muestrales será Poisso co 8 = 8. Si fijamos u ivel de sigificació del 10%, tedríamos, de las tablas de la distribució de Poisso que, para 8 = 8: P ' 8 X#11 ' 0,888 P ' 8 x i #12 ' 0,936 si poder ecotrar u valor umérico exacto que correspoda a ua probabilidad de 0,90, por el hecho de ser la distribució Poisso de tipo discreto. Ahora bie, si queremos garatizar u ivel de sigificació del 10%, hemos de tomar 11 como umbral máximo permitido, bajo H 0, para la suma de los elemetos muestrales, puesto que de este modo: ' P RechazarH 0 /H 0 cierta ' P ' 8 x i >11/' 8 x i espoisso(8 ' 1&P ' 8 x i #11/ ' 8 x i espoisso(8 ' 1&0,888 ' 0,112 La regió crítica óptima para el cotraste de hipótesis ula simple frete a alterativa simple, es aquella regió a la quee 2 1 asiga ua mayor probabilidad, de etre todas las regioes muestrales co ivel de sigificació ". E cosecuecia, el cotraste que utiliza ua regió crítica óptima tiee la propiedad de que su fució de potecia alcaza e 2 = 2 1 el máximo valor de etre las fucioes de potecia de todos los cotrastes de tamaño ". Por eso, u cotraste que utiliza ua regió crítica óptima se deomia cotraste uiformemete más potete. Si H 1 es ua hipótesis compuesta, etoces la potecia de u cotraste depede de cada alterativa simple coteida e H 1, y ya o es obvio como escoger ua regió crítica que maximice la potecia, e algú setido. Por ello, damos la siguiete defiició: Defiició.- U cotraste, defiido por ua regió crítica RC de tamaño " es u cotraste uiformemete de 2 Tambié es la variaza, por lo que cabría costruir u cotraste basado tato e la suma de los elemetos muestrales como e la suma de sus cuadrados.

21 máxima potecia, si es u cotraste de máxima potecia frete a cada alterativa putual coteida e H 1. La regió crítica RC se deomia etoces regió crítica uiformemete de máxima potecia, de tamaño ". 20 Volviedo al cotraste acerca de la esperaza matemática de ua distribució Normal co variaza coocida, supogamos ahora que la hipótesis alterativa fuese: H 1 : µ > 10, y cosideremos u valor geérico µ 1 coteido e H 1. Tedríamos el cociete de valores de la fució de verosimilitud: L(10 L(µ 1 ' (50 B &/2 exp & 1 50 (50 B &/2 exp & 1 50 ' ' (x i &10 2 (x i &µ 1 2 ' exp & (µ 1 & 10 ' x %(100&µ i 1 # k y tomado logaritmos e la desigualdad, teemos que ésta se cumple si y sólo si: x $ 10%µ 1 2 & 50 lk 2(µ 1 &10 que sugiere rechazar H 0 si la media muestral es suficietemete grade. Ahora, fijado u ivel de sigificació ", determiaríamos de las tablas de la distribució Normal el valor de la costate c de modo que, bajo H 0, la probabilidad de rechazar sea igual a ". Este cálculo o depede del valor umérico que se cosidere bajo la hipótesis alterativa. Por tato, el valor escogido para la costate c proporcioa u ivel de sigificació deseado ", co idepedecia del verdadero valor que µ pudiese tomar e caso de ser H 0 falsa. Ya sabemos que la fució de potecia del cotraste que así resulta depederá, por supuesto del valor umérico µ 1, pero o así la regió crítica, que existe y es úica, co idepedecia de µ 1. El cotraste aterior es, por tato, uiformemete de máxima potecia, de tamaño ". Si embargo, tal cotraste o siempre existe. E este caso, si se quiere " = 0,05, se tiee uevamete: c = 10, CONTRASTES DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES Presetamos e esta secció u procedimieto geeral para el cotraste de hipótesis cuado tato la hipótesis ula como la alterativa puede ser de tipo compuesto. No siempre es secillo o, icluso, posible, ecotrar ua solució aalítica a u cotraste ta geeral, habiedo de resolverse uméricamete, pero es ua metodología para el cotraste de hipótesis que es de eorme utilidad e trabajos ecoométricos. Si deotamos por S al espacio paramétrico total, supogamos que la hipótesis ula especifica que el verdadero valor del parámetro (o parámetros sobre el que se cotrasta, está coteido e ua regió 1 de S, y cosideramos la partició atural: S ' 1^1 c. Queremos cotrastar: H : frete a : H : S _ 1 c dode la hipótesis ula especifica, simplemete, que el verdadero valor del parámetro descoocido o está e 1. El método de cotrastació que vamos a propoer es ua geeralizació del resultado de Neyma-