Razones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo

Transcripción

1 Cpítulo Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo En este cpítulo el ángulo α que prezc debe stisfcer: 0 < α < 90 ó 0 < α < π.. Definiciones O C P Q CO Figur Se el ángulo O de medid α y trcemos un perpendiculr P Q l ldo O, formándose sí un triángulo rectángulo OP Q (Figur ). OQ y P Q se les costumbrn llmr ctetos y OP l hipotenus. Se definen ls rzones trigonométrics como cteto opuesto α hipotenus P Q OP, seno de α cos α cteto dycente α hipotenus OQ OP (coseno de α) tg α cotg α cteto opuesto α cteto dycente α P Q OQ cteto dycente α cteto opuesto α OQ P Q (tngente de α) ( cotngente de α)

2 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 4 sec α cosec α hipotenus cteto dycente α OP OQ hipotenus cteto opuesto α OP P Q (secnte de α) (cosecnte de α) Ejemplo. C Se el triángulo C rectángulo en. Se sus ctetos 8cm y C6cm. Notemos de inmedito que l hipotenus mide 0cm pues: , sí: 6 0 0,6 cos α 8 0 0,8 tg α , 75 cotg α 8 6, sec α , 5 cosec α 0 6 5, 66.. Observciones. O P Q Figur 4 P Q Se P Q un perpendiculr O, distint P Q (Figur 4). Demostrremos que l rzón seno no vrí. De l geometrí elementl OP Q OP Q,por tnto OP P Q OQ OP P Q OQ,de quí que P Q OP P Q relción que estblece que es indiferente usr P Q o P Q, OP puesto que se obtiene el mismo vlor pr.. (Tre pr ud.) O Q P Q Figur 5 P Si considermos un perpendiculr l ldo O en vez de un perpendiculr l ldo O (Figur 5). Demuestre usted que P Q OP P Q OP

3 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 5 nálogmente se estblecen situciones similres pr el resto de ls rzones trigonométrics. En resumen, ddo un ángulo gudo positivo α, existe un y sólo un vlor pr (respectivmente pr: cos α, tg α, ). Se trt de un función con dominio en el intervlo (0, π ) y recorrido lgún subconjunto de R, este concepto lo bordremos con propiedd más delnte... Propieddes Sin cer en error lguno, usremos l plbr rzón trigonométric o bien función trigonométric de un ángulo gudo positivo. De ls definiciones nteriores se sigue que:., cos α, tg α, sec α, cosec α y cotg α > 0, α : 0 < α < π. Como l hipotenus es siempre myor que cd uno de sus ctetos, result 0 < < 0 < cos α < sec α > y cosec α >. Sbemos que el complemento de un ángulo es quel ángulo que complet 90 o π/ sí el complemento de α es ( π α) 4. Se costumbr decir que l función coseno es l cofunción del seno y vicevers,que l función cotngente es l cofunción de l tngente y vicevers y que l cosecnte es l cofunción de l secnte y vicevers. L relción entre un función y su cofunción está dd por: ( π ) función (α) cofunción α De l siguiente figur (Figur 6) se tiene Figur 6 p ( π ) cos α ( π ) tg α cotg α ( π ) sec α cosec α ( π ) cos α sen α ( π ) cotg α tg α ( π ) cosec α sec α

4 .4. Rzones de ángulos especiles Vmos llmr ángulos especiles 0,45 y 60. Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 6 Pr ver ls rzones trigonométrics de 0 y 60 tomemos un triángulo equilátero de ldo (l ) 60 0 Figur 6 sen 0 cos 60 cos 0 sen 60 tg 0 cotg 60 cotg 0 tg 60 sec 0 cosec 60 cosec 0 sec 60 Pr 45, considere el triángulo notble: 4 5 Figur 6 sen 45 cos 45 tg 45 cotg 45 sec 45 cosec 45 Csos límites Llmmos csos límites los ángulos: 0 y 90 O Figur 7 Q P Con l Figur 7 y recordndo ls definiciones de ls rzones trigonométrics, en form intuitiv, podemos sumir que pr P Q ; pr α tn pequeño como se quier OQ 0 P Q OQ se chic tnto como se quier, es decir sen 0 0. Con el mismo rzonmiento obtenemos cos 0, tg 0 0 y sec 0. Notemos que pr el cso de l tngente tg α P Q OP y α proximándose 90 tnto como se quier P Q, crece indefinidmente mientrs que OP se mntiene constnte, es por esto que se costumbr expresr que: tg 90 + o bien que tg 90 no est definid. ceptemos hor sin previ definición riguros + simplemente como un símbolo, es decir un brevitur de lenguje. Sin más, ceptemos ls siguientes definiciones

5 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 7 sen 90 sen π sec 90 sec π + cos 90 cos π 0 cotg 90 cotg π 0 tg 90 tg π + cosec 90 cosec π.5. Identiddes fundmentles Recordemos que un identidd mtemátic es un iguldd que siempre es válid, pr todos los vlores que puedn tomr ls vribles involucrds. Ejemplo. Teorem. x y (x + y)(x y); x, y R α : 0 < α < 90, se verificn: sen α + cos α () + tg α sec α () + cotg α cosec α () cosec α (4) cos α sec α (5) tg α cotg α (6) Not: tg α cos α (7) cotg α cos α (8) sen α (), sen α sen (α ) cos α (cos α) etc. Demostrción. Ddo el ángulo α, en el triángulo rectángulo de l Figur 8. c Del teorem de Pitágors se tiene que + b c como c > 0 ) b Figur 8 C ( c ) + ( b c () + (cos α) sen α + cos α lo que es igul

6 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 8 nálogmente ud. puede demostrr: () y (). Pr (4) c c pero c cosec α sí cosec α. cosec α nálogmente ud. puede demostrr: (5) y (6). Finlmente pr (7) tg α b c b c ; c > 0 tg α cos α nálogmente ud. puede demostrr (8)..6. Expresión de cd rzón en términos de ls demás Ls 8 relciones (fórmuls) fundmentles no son independientes, es decir, hy lguns que pueden deducirse de ls demás. Por ejemplo: cotg α tg α cos α cos α. Vmos dr un método geométrico pr estblecer cd un de ls rzones trigonométrics en términos de ls demás. El método consiste en tomr como unidd el ldo del triángulo rectángulo que prece como denomindor en l rzón en términos de l cul se quiere expresr un rzón determind. Por ejemplo: Fórmuls en término de l rzón. Se el triángulo con hipotenus, sí: cos α sen α tg α sen sen cotg α cosec α sec α El resto de ls fórmuls, quedn de tre pr ud.

7 .7. Ejercicios resueltos Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 9. Si tg α sec α con 0 α < π. Hllr los vlores de: cotg α, cos α, cotg( π α) y el vlor de l expresión (tg α + sec α) Solución. α [0, π ], tg α sec α cos α cos α. Note que cos α 0 si 8 De l figur: cotg α 8 8, cos α ( π ) cotg α tg α 8 (tg α + sec α) ( 8 + ) ( ) Si p cos α q, p q > 0, 0 < α < 90, clcule el vlor de: p sen α q cos α Solución. p cos α q cos α p q pues p y q son positivos y 0 < α < 90, luego de quí que tg α p q, p p + q, cos α q p + q,entonces p q + q p p sen α q cos α p p p + q q q p + q p4 q 4 p + q (p q )(p + q ) p + q p q. En un triángulo C, si l hipotenus mide C 40m y β 70. Se prolong C hst D y el ángulo D 0. Encuentre CD y l perpendiculr desde l ldo C. Solución.

8 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 0 Se pide E y CD D De l figur se tiene 40 E C 0 40 cos 70 47,88m E cos 70 E 47,88 cos 70 6,8m EC 40 6,8,6m 70 E sen 70 47,88 sen 70 44,99m. por otr prte tg 0 E EC + CD CD E 44,99 EC CD tg 0 tg 0,6 CD,5m. 4. Desde l cúspide de un fro, de 90m de ltur, se observn dos botes situdos l oeste del fro según ángulos de depresión de 60 y 45. Clculr l distnci que sepr los botes. Solución. Sen y ls posiciones de los botes, queremos determinr x y x tg y y 90 tg 60 tg x + y x + y 90 x tg 60 90( cotg 60 ) 8,0m 5. Dos poles están seprds un distnci l, desde sus ejes. Cuál es l longitud de un corre inextensible teóric que debe trnsmitir el movimiento de un l otr en el mismo sentido, si los rdios de ls poles son 0 l y 5 l? Solución.

9 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo ( 5 0 ) l l α π 6 θ π l L longitud L de l corre est dd por l q 5 l L + + Â + q 0 r R Por simetrí, l cos π 6 l θ 0 l π 0 l π 5 Â π 5 l π 5 l π 5 l 4 5 π l luego L l + π 5 l π l ( + 5 π) l 6. Si cos α + b sen α c demostrr que Demostrción. tg α c b c Como sen α + cos α cos α + b sen α c(sen α + cos α) (b c)sen α (c ) cos α sen α cos α c b c tg α c b c 7. El seno de un ángulo es su tngente como : 5. Hllr el seno y l cotngente del ángulo Solución.

10 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo Se α el ángulo en cuestión, sí tg α 5 cos α cotg α 4 8. Un hombre está de pie en un punto de l riber de un río de orills prlels y observ que l rect que une con un punto de l riber opuest form un ángulo de 0 con l orill en l que él se encuentr.el hombre cmin por l orill hci un punto D, que se encuentr l frente de. Cundo h cmindo 00m el ángulo que vio nteriormente h umentdo 60. Determine el ncho del río. Solución. Sen C 00m, CD y, D x C y D x tg 60 x y y x tg 60 tg 0 x 00 + y y x tg 0 00 De ests dos ecuciones se obtiene que x 00 m. x tg 60 x tg 0 00 Clcule ud. el nuevo ncho si el ángulo ument hst 0 x 0 00 D 0 C Resp: x 86,6m

11 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 9. L elevción de un fro desde un lugr l sur de él es 45 y desde un lugr l oeste de es de 0. Si 50m. Hllr l ltur de dicho fro. Solución. C tg 45 h y y h h y 45 tg 0 h x x h pero como 50 + y x 0 x 50 + h h h 50 de donde h 5,5m 0. Demostrr ls siguientes identiddes ) b) c) cosec α + cosec α sec α tg α cotg α cos α tg α + cotg α + cotg α cosec α + cos α d) sec α + sec α sec α sec α + 4cotg α 4 + sec α e) f ) + tg α + cotg α ( tg α cotg α ) cos α cos α(sec α cosec α) cos α sen α + cos α g) sec α sec 4 α cosec α + cosec 4 α cotg 4 α tg 4 α h) + sen α + + cosec α cosec4 α cotg α( + cotg α) i) sen6 α cos 6 α sen α cos α + cos α j ) tg α + tg α + cotg α + cotg α sec α cosec α cos α

12 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 4 Not: Es recomendble trnsformr uno de los miembros de l tesis hst llegr l otro miembro, o bien mbos, hst llegr un mism expresión. No es recomendble psr expresiones de un miembro otro pues es posible cometer error, cundo ls implicciones son de un sólo sentido y no de equivlenci. En cso que ud. esté seguro, puede proceder como estime conveniente. Demostrciones ) cosec α + cosec α sen x + sen x sen x sen x+ sen x + ( + ) sen α ( sen α) cos α sec α b) c) tg α cotg α cos α senα cosα cosα sen α cos α sen α cos α cos α sen α cos α cos α senα + cos α cos α sen α cos α + cos α + cos α tg α + cotg α cos α cos α

13 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 5 + cos α + cotg α + cos α + cos α + cos α + cos α ( + cos α)senα + cos α ( + cos α)senα cosec α d) e) sec α + sec α sec α sec α + 4cotg α (sec α + ) (sec α ) 4cotg α (sec α )(sec α + ) ( ) tg α cotg α tg α + tg α cotg α + cotg α sec α tg α cosec α cotg α cos α senα cos α sen α cosα ( cosα) cos α ( cosα ) sen α cos α sen α sec α+sec α+ sec α+sec α sec α 4sec α sec α 4 tg α 4sec α 4 sec α 4(sec α ) (sec α )(sec α + ) 4 sec α + 4cotg α

14 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 6 f ) g) h) sec α cosec α + tg α + cotg α cos α cos α(secα cosec α) cos α sen α + cos α ( cosα)(senα cosα)(senα + cos α) cos α ( cos α ) ( + cos α)( cos α + cos α) ( cos α)( cos α). ( cos α) ( cos α) sec α sec 4 α cosec α + cosec 4 α sec α( sec α) cosec α( cosec α) sec α( tg α) cosec α( cotg α) ( + tg α)( tg α) ( cotg α)( cotg α) tg 4 α ( cotg 4 α) cotg 4 α tg 4 α + sen α + + cosec α + sen α + + sen α por otr prte: cosec 4 α cotg α( + cotg α) cosec 4 α cotg α( + cosec α) cosec 4 α (cosec α )(cosec α + ) cosec 4 α cosec 4 α + i) sen 6 α cos 6 α sen α cos α + cos α ( cos α)(sen 4 α + sen α cos α + cos 4 α) sen α cos α (sen α + cos α) sen α cos α + sen α cos α + sen α cos α

15 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 7 j ) tg α + tg α + cotg α + cotg α tg α sec α + cotg α cosec α cos α cos α + cos α sen α cos α + cos α sen4 α + cos 4 α cos α ( + cos α) sen α cos α cos α cos α cos α cosec α sec α cos α. Si (cotg β cotg α) cotg β cosec α demuestre que sen α cos α + sen β Demostrción. ( ) cos β sen β cos α cos β sen α sen β sen α cos β sen α cos α sen β cos β cos β( cos α) cos α sen β cos β cos β cos β cos α cos α sen β cos β ( sen β) cos α(cos β + sen β) sen β sen β cos α sen β cos α sen β sen α cos α sen β sen α cos α + sen β. Si cotg α cos β sen β Demostrción. y cotg β b cos α b demuestre que sen β b

16 cotg α cotg β sen β cotg β b cotg α De quí cotg α + cotg β Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 8 sen β b de donde: b sen β. Demuestre que es independiente de α, es decir es un constnte Demostrción. tg4 α + sec 4 α (sec α ) 5 tg 4 α sec4 α + tg 4 α tg α 5 tg 4 α tg4 α + sec 4 α sec α + 5tg 4 α tg4 α + (sec α ) 5tg 4 α tg4 α + tg 4 α 5tg 4 α tg4 α 5tg 4 α 5 4. Elimínese θ entre ls ecuciones cos θ sen θ cos θ + sen θ b Solución. (cos θ + sen θ)(cos θ sen θ) de quí cos θ sen θ b () y como: cos θ + sen θ b () elevndo l cudrdo () y () y luego sumndo miembro miembro se obtiene: (cos θ + sen θ) b + b b + b b + b 4

17 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 9 5. Resolver ls siguientes ecuciones considerndo 0 x π ) tgx cotgx cosecx b) sen 4 x + cos 4 x c) ( + cotgx)(senx cosx) cotgx d) cos x + sen x 0 Solución. Note que solo considerremos: 0 x π ) senx cosx cosx senx senx ; x 0 x π sen x cos x cosx cos x + cosx 0, ecución de o grdo pr cosx sí cosx ± cosx es imposible pues 0 x π cosx x π. sen 4 x + cos 4 x (sen x + cos x) sen x cos x b) sen x cos x sen x( sen x) 4 4sen 4 x 4sen x + 0 (sen x ) 0 sen x senx ± sólo se consider sen x pues: 0 x π sí x π 4

18 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 0 c) ( + cotgx)(sen x senx cosx + cos x) cotgx ( + cotgx)( senx cosx) cotgx senx cosx + cotgx cos x cotgxcosx( senx + senx cosx) 0 cosx 0 o sen x + senx cosx 0 x π cosx senx 0 senx cosx o cosx(cosx senx) 0 tgx x π 4 d) cos x + sen x 0 cos x ( sen x) 0 cos x cos x 0 cos x( cosx ) 0 cos x 0 o cosx 0 cosx 0 o cosx x π x π tgx + secx 6. Demostrr tgx secx + sen + cosx tgx + secx (senx + cosx) y use est identidd pr resolver l ecución Demostrción. pero: tgx + secx tgx secx + senx + ( cosx ) +senx cosx ( + senx ) cosx senx cosx + senx + cosx cosx + senx cos x ( + senx)cosx senx cosx + senx cosx

19 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo Solución de l ecución (senx + cosx) tgx secx + senx + cosx (senx + cosx) cosx senx + cosx cos x senx + senx + cosx ( + senx)(( senx) ) 0 ( + senx)( senx) 0 + senx 0 senx 0 senx no d solución pues 0 x π senx x π 6 7. Resolver, considerndo x un ángulo gudo i) tg x tg x + 4 secx ( ) ii) cotgx cotgx + Solución. i) tg x sec x 4 secx ( ) sen x (4 )cosx ( ) 0 cos x + (4 )cosx 0 de donde resolviendo est ecución de o grdo pr cosx, resulten: cosx en cuyo cso x 0 y cosx que no d solución pues 0 < cosx < pr x gudo.

20 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo ii) cotgx tgx + cotgx cotgx + cotg x + ( )cotgx 0 de donde resultn: cotgx que no d solución pr x un ángulo gudo y cotgx x Ejercicios propuestos ( π ). Si cos α cotg α, 0 < α < 90. Hllr los vlores de: tg α, cos α, sec α α como tmbién clcule l expresión y ( + cos α) ( + cos α) Respuest.,,, 0 l expresión es igul 0. (Ver ejercicio resuelto ). Si tg α sec α +, 0 α < π, clcule el vlor de tg α. Respuest. 4 (Eleve l cudrdo y proced con cuiddo). Muestre como se resuelve un triángulo rectángulo del cul se dn un ángulo gudo y su ldo opuesto. 4. Usndo l figur 0 clculr cos5

21 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo Respuest. 0,966 (Ver ejercicio resuelto ) 5. Dos observdores y miden ángulos de elevción de un vión que los sobrevuel un ltur constnte. En cierto instnte los ángulos medidos pro y son α 60 y β 40, respectivmente. Diez segundos ms trde, mide un ángulo de elevción γ 0. L seprción entre y es de Km. que ltur vuel el vión? Cuál es su velocidd? Q P h b g Respuest.,6759Km; 5,0m/seg. 6. Determine el lrgo mínimo que debe tener un corre pr unir dos poles de rdios R y r, seprds entre si un distnci d. (r < R) Respuest. l R(π θ) + d (R r) + rθ donde cos θ R r d R q q r d Cuál debe ser el lrgo si l corre se cruz entre ls poles? (Ver ejercicio resuelto 5) 7. El ángulo de elevción de lo lto de un torre es de 57,5 y el st de bnder de 7m de ltur en l punt de l torre, subtiende un ángulo de 0 l vist del observdor. Hllr l ltur de l torre. Respuest.

22 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 4 67, 67m 8. El seno de un ángulo es su coseno como 8 : 5. Hllr el seno y el coseno de dicho ángulo. Respuest. 8 y (ver ejercicio resuelto 7) 9. Pr determinr el ncho de un río de orills prlels, un observdor se ubic en C sobre l rect prolongd más llá de y luego cmin 00m perpendiculrmente dich rect, sí hll que y C subtienden su vist ángulos de 5 y 0. Encontrr el ncho del río. Respuest. C D 4,6m (ver ejercicio resuelto 8) 0. L elevción de un torre de ltur h, desde un punto l sur de ell es de 60 y desde un punto l oeste de ell es de 0. Si 00m encuentre l ltur de l torre. Respuest. h 54,7m (ver ejercicio resuelto 9). Un torre de ltur h, est en el borde de un cntildo. Desde un punto del plno horizontl que ps por l bse del cntildo, ls elevciones ngulres de ls prtes superior e inferior de l torre son α y β respectivmente. Demuestre que l ltur del cntildo es h tg β tg α tg β. Un st de bnder de b m. de ltur colocd en l punt de un torre de l m. de ltur, subtiende el mismo ángulo β desde dos puntos seprdos m. y que están en un rect horizontl que ps por l bse de l torre. Si θ es el ángulo que subtiende el trzo desde l punt del st. Probr que b sen β cosec θ l cosec θ(cosθ sen β)

23 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 5. Demostrr ls siguientes identiddes ) (tg α ) + ( cos α) (sec α ) b) sen 4 α( sen α) + cos 4 α( cos α) c) tg θ ( + tg θ) + cotg θ sen θ cos θ ( + cotg θ) d) cosec 6 α cotg 6 α + cosec α cotg α e) sen θ + cosec α + cotg α cosec α + cos θ f ) (tg α + cotg α) + (tg α cotg α) (sen4 α + cos 4 α) sen α cos α cos α g) + cotg α cosec α + tg α sec α + 0 h) sen θ + sec θ + sen θ cotg θ(cos θ + cosec θ) sec θ i) tg θ + tg θ sec θ + cosec θ j ) cos θ(tg θ + )( tg θ + ) sec θ + 5 sen θ 4. Si tg(n α) n tg α, n N demostrr que 5. Elimínese θ entre ls ecuciones sen (n α) sen α n + (n )sen α x sen θ y cos θ x + y cos θ + sen θ b x + y Respuest. x b + y 6. Demostrr i) sec α cosec β + tg α cotg β sec α cotg β tg α cosec β ii) sec α tg β tg α sec β sec β sec α

24 Rzones Trigonométrics en el Triángulo Rectángulo 6 7. Elimínese θ entre ls ecuciones i) senx + cosx m sen x + cos x n ii) 4m tgθ + sen θ 4n tg θ senθ Respuest. i) m m n ii) (m n ) mn 8. Resolver ls siguientes ecuciones, considerndo 0 x π i) tgx + cotgx secx ii) sen x senx + cos x iii) ( tgx)(senx + cosx) + tgx iv) sec x + tg x Respuest. i) π 6 ii) π iii) 0 iv) 0 (Ver ejercicios resueltos 8) 9. Si cotg α + cosec α, demuestre que cos α 5 si 0 < α < π 0. Resolver l ecución, ( )(tg x sec x) secx( tgx) pr: 0 x π Respuest. π 4