1. Elementos del problema de Muestreo

Transcripción

1 . Elemetos del problema de Muestreo. Defcoes báscas Elemeto o udad de muestreo: objeto e el que se toma las medcoes Poblacó objetvo: cojuto de elemetos que deseamos estudar Muestra: subcojuto de la poblacó Poblacó muestreada: coleccó de todos los elemetos posbles que podría seleccoarse para la muestra Udad de muestreo: so cojutos (o solapados) de elemetos de la poblacó que cubre la poblacó completa Marco de muestreo: es la lsta de las udades de muestreo

2 . Elemetos del problema de Muestreo. Defcoes báscas Poblacó Objetvo Poblacó del marco de muestreo No localzable No cluda e el marco de muestreo Rehusa respoder POBLACIÓN MUESTREADA No es elegble para la ecuesta Otras causas

3 . Elemetos del problema de Muestreo. Seleccó de la muestra Muestreo aleatoro smple: Todas las muestras de u determado tamaño tee la msma probabldad de ser seleccoadas. Muestreo aleatoro estratfcado: Se dvde a la poblacó e grupos, deomados estratos, y se seleccoar ua muestra aleatora smple de cada estrato. Muestreo por coglomerados: Se dvde a la poblacó e grupos, deomados coglomerados, y seleccoar ua muestra aleatora smple de coglomerados. Muestreo sstemátco: Cosste e seleccoar u elemeto al comezo de ua lsta de la poblacó y luego se seleccoa cada u úmero fjo de poscoes el resto de elemetos. 3

4 . Elemetos del problema de Muestreo.3 Fuetes de error.3. Errores de muestreo θ característca descoocda de la poblacó θˆ estmador de la característca ˆ θ θ Error de estmacó P ˆ θ θ B α, 0 < α < Límte de Error de Estmacó (LEE) B Cota para el error de estmacó Error de estmacó máxmo α Nvel de cofaza 4

5 . Elemetos del problema de Muestreo.3 Fuetes de error.3. Errores de muestreo. El estmador es sesgado y tee dstrbucó Normal. ɵ θ N( θ, σ ɵθ ) P ˆ θ θ B P B ˆ θ θ B Z N(0,) B B ˆ θ θ B P Z α θ σ σ ˆ σ θ ˆ θ ˆ θ z B z σˆ α α θ σ ˆ α 0,95 B z σ,96σ σ 0,975 ˆ θ ˆ θ ˆ θ P ˆ θ θ σ ˆ θ 0,95 5

6 . Elemetos del problema de Muestreo.3 Fuetes de error.3. Errores de muestreo. El estmador es sesgado co desvacó típca σ ˆ θ Desgualdad de Tchebychev: ( ) θ θ θ σ P ˆ E ˆ k ˆ, k k k P ˆ θ θ σ 3 ˆ θ 0,75 4 6

7 . Elemetos del problema de Muestreo.3 Fuetes de error.3. Errores de muestreo P θ θ θ θ θ θ θ + α ˆ B P B ˆ B P ˆ B ˆ B Itervalo de cofaza para el verdadero valor del parámetro co ua cofaza de α ( ˆ θ B, ˆ θ + B ) 7

8 . Elemetos del problema de Muestreo.3 Fuetes de error.3. Errores de o muestreo Sesgo de seleccó. Ocurre cuado algua parte de la poblacó objetvo o está e la poblacó muestreada. Sesgo de medcó. Ocurre cuado por dversos motvos los datos que obteemos o so exactos o verdaderos. No respuesta. La o respuesta de dvduos seleccoados para la muestra puede causar sesgo e los datos muestrales. 8

9 . Elemetos del problema de Muestreo.3 Fuetes de error.3. Errores de o muestreo FORMAS DE MINIMIZAR LOS ERRORES DE NO MUESTREO. Reetrevstas. Recompesas e cetvos 3. Etrevstadores adestrados 4. Verfcacó de datos 9

10 . Elemetos del problema de Muestreo.4 Métodos de recoleccó de datos Etrevsta persoal. Vetaja: La gete usualmete respode cuado es cofrotada e persoa. El etrevstador puede elmar malos eteddos acerca de las pregutas. Icoveete: La acttud del etrevstador puede afectar a la respuesta obteda Etrevsta por telefoo. Vetaja: So mas baratas que las persoales. El vestgador puede escuchar la etrevsta. Icoveete: Establecer u marco para la poblacó Realzacó e u perodo de tempo más corto. Cuestoaros autoaplcados. Vetaja: So más baratos (so evados por correo y o requere etrevstadores). Icoveete: Tasa de respuesta baja. Observacó drecta. Usada e ecuestas que o requere medcoes e persoas. 0

11 . Elemetos del problema de Muestreo.5 Dseño del cuestoaro - Decdr lo que se quere descubrr - Verfcar las pregutas ates de realzar la ecuesta - Elaborar las pregutas de maera seclla y clara - Prestar atecó al orde de las pregutas - Decda s desea utlzar pregutas abertos o cerradas - Evtar pregutas que duzca al etrevstado a decr lo que se quere escuchar - Utlzar pregutas de opcó forzosa

12 . Elemetos del problema de Muestreo.6 Plafcacó de la ecuesta. Establecer objetvos. Poblacó objetvo 3. El marco 4. Dseño del muestreo 5. Recoleccó de datos 6. Istrumetos de recoleccó de datos 7. Seleccó y preparacó de vestgadores de campo 8. Prueba ploto 9. Orgazacó del trabajo de campo 0. Orgazacó del maejo de datos. Aálss de los datos

13 . Elemetos del problema de Muestreo.7 Razoes para el uso del muestreo Evtar la destruccó de la poblacó. E alguos casos, ua udad de observacó debe ser destruda para ser observada. E ese caso, u ceso destruría toda la poblacó. Rapdez. Los datos se puede reur más rápdo, de modo que las estmacoes se puede publcar de ua maera programada Ecoomía y precsó. El muestreo puede proporcoar formacó fable co costes mucho meores que los de u ceso. 3

14 . Muestreo Aleatoro Smple. Seleccó de ua muestra aleatora smple. Números aleatoros. Rutas aleatoras. Cada muestra posble de tamaño tee la msma probabldad de ser seleccoada. E la práctca, la ateror codcó se traduce e que cada elemeto tega la msma probabldad de perteecer a la muestra. La seleccó de cada elemeto de la muestra se hace sobre la base de u sorteo completamete aleatoro. Opcoes: tablas de úmeros aleatoros o geeracó de úmeros aleatoros co programas de ordeador Ordear o umerar la poblacó. Rutas aleatoras (guías telefócas) IMPORTANTE: EL NÚMERO TOTAL DE ELEMENTOS QUE FORMAN UNA MUESTRA TIENE MENOS IMPORTANCIA QUE EL PRINCIPIO DE SELECCIÓN ALEATORIA 4

15 . Muestreo aleatoro smple e poblacoes ftas... Meda, varaza y proporcó muestrales: Propedades. Error de estmacó. Poblacó Y (µ,σ ). Muestra aleatora smple Y,..., Y (..d.) y. Muestreo Aleatoro Smple y E( y) µ V( y) σ S S ( ) y y E ( S ) σ V ( y ) S Cuado las varables Y, Y,..., Y so dcotómcas µp, σ pq p y, y 0, ( ) ( ) σ E p p V p ɵ ( ) pq S y y pq E( S ) pq V ( p ) ɵ pq 5

16 . Muestreo Aleatoro Smple. Muestreo aleatoro smple e poblacoes ftas... Meda, varaza y proporcó muestrales: Propedades. Error de estmacó. µ σ σ Y N(, ) coocda y µ σ N(0,) µ σ σ Y N(, ) descoocda y µ t N(0,) ( para > 30) S Y cualquer ley ( ) y µ y µ N(0,) ( para > 30) σ S Y B(, p) µ p y p p p p p p p pq ɵ pq ɵ pq N(0,) 6

17 . Muestreo Aleatoro Smple. Muestreo aleatoro smple e poblacoes ftas... Meda, varaza y proporcó muestrales: Propedades. Error de estmacó. σ σ σ P y µ 0,95 P y µ 0,95 y µ y µ P Zα Zα α P,96,96 0,95 σ σ,96 σ σ σ σ P y µ y + 0,95 y, y + 7

18 . Muestreo Aleatoro Smple. Muestreo aleatoro smple e poblacoes ftas... Meda, varaza y proporcó muestrales: Propedades. Error de estmacó. P y σ µ 0,95 Desgualdad de Tchebychev ( ) ( ) E X µ V X σ P X µ kσ k ( ) ( ) σ σ E y µ V y k P y µ 0,

19 . Muestreo Aleatoro Smple. Muestreo aleatoro smple e poblacoes ftas.. Estmacó putual. Itervalos de cofaza. Cotrastes de hpótess. ESTIMACIÓN PUNTUAL y y V ( y) S INTERVALO DE CONFIANZA y S, y + S CONTRASTE DE HIPÓTESIS S se acepta H0 : µ µ 0 s µ 0 y, y + S se rechaza H0 s µ 0 y, y + S S 9

20 . Muestreo Aleatoro Smple. Muestreo aleatoro smple e poblacoes ftas..3 Determacó del tamaño muestral. σ V ( y) B σ 4 B σ σ B D 4 B 4, D σ S R R σ σ 4 6 V ( p ) pq B pq pq B, D B D 4 4 p p p q 0

21 . Muestreo Aleatoro Smple. Muestreo aleatoro smple e poblacoes ftas MEDIA PROPORCIÓN ESTIMADOR y y p y, y 0, CUASIVARIANZA MUESTRAL S y y ( ) ( ) ɵ pq S y y VARIANZA DEL ESTIMADOR σ ( ) S V y V ( y) pq ɵ pq V ( p) ( ) V p

22 . Muestreo Aleatoro Smple. Muestreo aleatoro smple e poblacoes ftas MEDIA PROPORCIÓN LIMITE DEL ERROR DE ESTIMACIÓNB V ( y) S V ( p ) ɵ pq INTERVALO DE CONFIANZA y S, y + S ɵ ɵ pq, pq p p + TAMAÑO MUESTRAL σ σ B D 4 B 4, D pq pq B, D B D 4 4

23 . Muestreo Aleatoro Smple.3 Muestreo aleatoro smple e poblacoes ftas.3. Estmacó de la meda, proporcó y total poblacoales. σ N µ y E ( y) µ V ( y) N y N N E ( S ) σ E S σ N N ( ) V y S N N N N N 0,95 N 5% N N 0 N τ N y y ɵ S N S V ( ɵ τ ) V ( N y) N V ( y) N N( N ) N 3

24 . Muestreo Aleatoro Smple.3 Muestreo aleatoro smple e poblacoes ftas.3. Estmacó de la meda, proporcó y total poblacoales. p y, y 0, S ɵ pq V ( p ) S N ɵ pq N N N ɵ ɵ τ Np ( ) ( ) ( pq V ɵ τ V N p N V p) N( N ) 4

25 . Muestreo Aleatoro Smple.3 Muestreo aleatoro smple e poblacoes ftas.3.. Determacó del tamaño muestral. σ N N B Nσ B D ( meda) ( N ) D + σ 4 D B ( total) 4N σ S σ R R σ 4 6 Npq B B D ( proporco) D ( total) ( N ) D + pq 4 4N p p p q 5

26 . Muestreo Aleatoro Smple.3 Muestreo aleatoro smple e poblacoes ftas MEDIA TOTAL PROPORCIÓN TOTAL ESTIMADOR y y ɵ τ N y p y ɵ τ Np VARIANZA DEL ESTIMADOR S N V ( y) V ( ɵ τ ) N V ( y) N ɵ pq N V ( p) V ( ɵ τ ) N V ( p ) N LIMITE DEL ERROR DE ESTIMACIÓNB V ( y) V ( ɵ τ ) N V ( y) V ( p ) V ( ɵ τ ) N V ( p ) 6

27 . Muestreo Aleatoro Smple.3 Muestreo aleatoro smple e poblacoes ftas INTERVALO DE CONFIANZA MEDIA TOTAL ( y V ( y), y + V ( y) ) ( ɵ τ V ( ɵ τ ), ɵ τ + V ( ɵ τ )) PROPORCIÓN TOTAL ( p V ( p ), p + V ( p )) ( ɵ τ V ( ɵ τ ), ɵ τ + V ( ɵ τ )) Nσ ( N ) D + ( ) σ Npq N D + pq TAMAÑO MUESTRAL D B 4 ( meda) D B 4 ( proporco) D B ( total) 4N B D ( total) 4N 7

28 3. Muestreo Aleatoro Estratfcado 3. Seleccó de ua muestra aleatora estratfcada. Notacó. L úmero de estratos N tamaño de la poblacó tamaño de la muestra N N tamaño del estrato L L N µ meda poblacoal del estrato τ total poblacoal del estrato y tamaño de la muestra del estrato meda muestral del estrato σ p varaza poblacoal del estrato proporcó poblacoal del estrato S p varaza muestral del estrato proporcó muestral del estrato c coste de ua observacó del estrato 8

29 3. Muestreo Aleatoro Estratfcado 3. Estmacó de la meda, proporcó y total poblacoales. N y ɵ L τ τ τ ɵ τ L st N y L L S N V ( ɵ τ st ) N V ( y ) N N y st ɵ τ st L N N N y L L S N V ( yst ) ( ) N V y N N N N yst y ɵ τ st ɵ τ N y 9

30 3. Muestreo Aleatoro Estratfcado 3. Estmacó de la meda, proporcó y total poblacoales. ESTIMADOR y st ɵ MEDIA TOTAL L N L N y τ N y st p PROPORCIÓN st ɵ τ TOTAL L N p N L st N p VARIANZA DEL ESTIMADOR V ( y ) st L N N N L S N V( ɵ τ st ) N N S N V ( p ) st L ɵ p q N N N N L ɵ p q N V ( ɵ τ st ) N N 30

31 3. Muestreo Aleatoro Estratfcado 3.3 Determacó del tamaño muestral. V ( yst ) B V ( y ) st σ N N N L N ω L N σ ω L + Nσ N D D D B 4 ( meda) B ( total) 4N σ p q L N D + N p q ω L N p q D B 4 ( proporcó) B D ( total) 4N 3

32 3. Muestreo Aleatoro Estratfcado 3.4. Asgacó óptma. ω j L N j σ c j j N σ c ω Mmza el coste de obtecó de la muestra para u límte del error de estmacó fjado. j N L j N p q j c j j pq c L L N σ N σ c c L N D + Nσ L L p q N pqc N c L N D + N pq Mmza el límte del error de estmacó para u coste de obtecó de la muestra fjo. C L L N σ N σ c c C L L N N pq c p q c c + c + c C 3 3 c ω + c ω + c ω C 3 3 C c ω + c ω + c ω 3 3 3

33 3. Muestreo Aleatoro Estratfcado 3.4. Asgacó de Neyma. S c c... c... c L Caso umérco: ω j N L j σ j N σ ( L ) N σ L + + N σ N D Caso dcotómco: ω j N L p q j j j N p q ( L ) N p q N D + L N p q 33

34 3. Muestreo Aleatoro Estratfcado Asgacó proporcoal. S c c... c... c σ σ... σ... σ L L Caso umérco: ω j N N j L ND + N N σ L N σ Caso dcotómco: Vetajas: y y p p ɵ τ st ɵ τ st st ω j N N j L ND + N p q N L N p q Resuelve complcacoes e la asgacó para varas medcoes muestrales 34

35 3. Muestreo Aleatoro Estratfcado 3.4 Asgacó de la muestra. Determacó del tamaño muestral y asgacó para varas estmacoes Asgacó óptma/neyma ª estmacó: ª estmacó: 00 ω 0,0 0 ω 0, ω 0,50 0 ω 0,50 0 Asgacó proporcoal ª estmacó: ª estmacó: 00 ω 0,30 30 ω 0, ω 0,30 ω 0,

36 3. Muestreo Aleatoro Estratfcado 3.5 Estratfcacó después de seleccoar la muestra. Ejemplo 3.6 (Ejercco 7, relacó tema 3) E ua cudad se sabe que el 30% de los hogares tee calefaccó eléctrca. Al realzar ua ecuesta sobre el cosumo de eergía (valor e euros de la factura bmesual) se obtuvero los sguetes resultados: Tpo Calefaccó Nº casas Valor total de las facturas desvacó típca muestral Eléctrca No electrca Obtega ua estmacó del valor medo de la factura de electrcdad e la cudad. Dé u límte para el error de estmacó. 36

37 3. Muestreo Aleatoro Estratfcado 3.5 Estratfcacó después de seleccoar la muestra. Solucó: y ,5 y N y N y y (0,30 95,5) + (0, 70 5) 65, 05 st N N S N N S N V ( y st ) N N N N N N S N S N N ,30 + 0, 70 59, 5 V ( y ) 5,4 st y ,0 37

38 4. Itroduccó 4. Muestreo co formacó auxlar Y X Varable bajo estudo Varable que proporcoa la formacó auxlar Muestra costtuda por pares: ( x y ),..., (, ), x y Bajo ua fuerte relacó leal postva r xy > y depededo de la relacó etre ambas varables utlzaremos: Estmadores de razó Estmadores de regresó Estmadores de dfereca ( y bx) ( y a + bx) ( y a + x) 38

39 4. Muestreo co formacó auxlar 4. Estmacó de razó Se defe la razó como el cocete: τ y R τ x τ τ y x Nµ y Nµ x µ R Y µ Etoces s se cooce los valores de la meda y del total de X sólo hay que estmar el valor de R (r): ˆ r τ y x ˆ µ r µ y τ x X ESTIMADOR DE LA RAZÓN: r y x y x VARIANZA ESTIMADA DE r: Sr N r µ x N ( ) Vˆ( r ) S y rx 39

40 4. Muestreo co formacó auxlar 4. Estmacó de razó 4.. Estmacó de la meda y el total poblacoales Etre X e Y exste ua alta correlacó leal postva y que el modelo leal pasa por el orge. ESTIMADOR DE LA MEDIA: ˆ µ y rµ x S VARIANZA ESTIMADA DEL ESTIMADOR: ( ) N Vˆ r ˆ µ µ Vˆ( r) y x N ESTIMADOR DEL TOTAL: ˆ τ y rτ x VARIANZA ESTIMADA DEL ESTIMADOR: ˆ τ x Sr N Sr N V ( ˆ τ y ) τ V ( r) N N N ˆ x µ x 40

41 4. Muestreo co formacó auxlar 4. Estmacó de razó 4.. Determacó del tamaño muestral Tamaño muestral mímo para que la estmacó de la razó, la meda y el total o supere ua cota de error de magtud B µ Nσ r σ r + ND B 4 B D 4 B 4 N x para estmar la razó para estmar la meda para estmar el total N debe ser coocdo o estmado σ r se estma utlzado ua muestra preva (tamaño ): ˆ σ r S r ˆ µ x x 4

42 4. Muestreo co formacó auxlar 4.3 Estmacó de regresó Etre X e Y exste ua alta correlacó leal postva y el modelo leal o pasa por el orge. Modelo leal smple + ( y y)( x x) y a bx Método de mímos cuadrados y y bx ˆ + bx ˆ y + bˆ( x x ) aˆ bˆ y bx ˆ s S xy xy s x S x ( x x ) dode S x x s x x x ( ) x ( ) S x x y y s x x y y ( )( ) ( )( ) xy xy 4

43 4. Muestreo co formacó auxlar 4.3 Estmacó de regresó 4.3. Estmacó de la meda y el total poblacoales ESTIMADOR DE LA MEDIA: VARIANZA ESTIMADA DEL ESTIMADOR: ˆ µ aˆ + b ˆ µ y + bˆ µ yl x S ( x) ( ) L ˆ V ˆ µ yl x N N ( ( ( ))) ˆ ( ) ˆ SL y y + b x x y y b ( x x ) S S S r s r S xy y y xy y xy x ( ) ( ) ESTIMADOR DEL TOTAL: ˆ τ ˆ yl Nµ yl VARIANZA ESTIMADA DEL ESTIMADOR: ( ˆ τ ) N Vˆ ( ˆ ) ˆ yl V µ yl 43

44 4. Muestreo co formacó auxlar 4.3 Estmacó de regresó 4.3. Determacó del tamaño muestral Tamaño muestral mímo para que la estmacó de la meda y el total o supere ua cota de error de magtud B Nσ L σ L + ND B 4 D B 4N σ para estmar la meda para estmar el total σ L se estma utlzado ua muestra preva (tamaño ): ˆ σ L S L 44

45 4. Muestreo co formacó auxlar 4.4 Estmacó de dfereca Etre X e Y exste ua alta correlacó leal postva y la pedete del modelo es uo Estmacó de la meda y el total poblacoales ESTIMADOR DE LA MEDIA: y + ( µ x) µ d dode d VARIANZA ESTIMADA DEL ESTIMADOR: dode S D ESTIMADOR DEL TOTAL: µˆ ˆ τ yd x x + ˆ yd Nµ yd y x S D N ( ˆ ) Vˆ µ ( y ( x + d ) ( d d ) yd S y D d N y x cuasvaraza de los d VARIANZA ESTIMADA DEL ESTIMADOR: ( ˆ τ ) N Vˆ ( ˆ ) ˆ yd V µ yd 45

46 4. Muestreo co formacó auxlar 4.4 Estmacó de dfereca 4.4. Determacó del tamaño muestral Tamaño muestral mímo para que la estmacó de la meda y el total o supere ua cota de error de magtud B Nσ D σ D + ND B 4 D B 4N σ para estmar la meda para estmar el total σ D se estma utlzado ua muestra preva (tamaño ): ˆ σ D S D 46

47 5. Muestreo sstemátco 5. Seleccó de ua muestra sstemátca. Usos. Vetajas Muestra Sstemátca de e k:. Ordear los elemetos de la poblacó. Seleccoar aleatoramete u elemeto (llamado puto de co) de los prmeros k elemetos de la poblacó. 3. Después seleccoar cada k-esmo elemeto hasta cosegur ua muestra de tamaño. N k se toma como el úmero etero meor o gual que Vetajas del muestreo sstemátco frete al muestreo aleatoro smple: E la práctca, el muestreo sstemátco es más fácl de llevar a cabo y está expuesto a meos errores del ecuestador. Frecuetemete, co gual tamaño de muestra el muestreo sstemátco proporcoa más formacó que el muestreo aleatoro smple. 47

48 5. Muestreo sstemátco 5. Estmacó de la meda, proporcó y el total poblacoales ESTIMADOR DE LA MEDIA POBLACIONAL: ˆµ y sy y + ( j ) k j VARIANZA ESTIMADA DEL ESTIMADOR: V ( y) σ N N V σ ( y ) + ( ) ESTIMADOR DEL TOTAL POBLACIONAL: VARIANZA ESTIMADA DEL ESTIMADOR: sy S N ( y ) Vˆ sy [ ρ] ρ coef. Correlacó etre los elemetos de la muestra sstemátca ESTIMADOR DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL: τˆ Ny sy N S N N ( ) N Vˆ ( y ) N V ˆ τˆ pˆ sy sy y + ( j j ) k VARIANZA ESTIMADA DEL ESTIMADOR: Vˆ pˆ qˆ sy sy N ( pˆ ) sy N 48

49 5. Muestreo sstemátco 5.3 Comparacó co el muestreo aleatoro smple: Poblacoes ordeadas, aleatoras y peródcas V. Poblacó ordeada: cuado los elemetos que la costtuye está ordeados de acuerdo co los valores, crecetes o decrecetes, de ua determada característca. ρ 0 ( y) σ N N V ( y ) V ( y ) V sy σ ( y ) + ( ) sy [ ρ] m.s. es preferble al m.a.s.. Poblacó aleatora: cuado los elemetos está ordeados al azar. ρ 0 ( y ) V ( y) V sy Es dferete usar m.s. ó m.a.s. 3. Poblacó peródca: cuado los elemetos tee ua varacó cíclca. ρ 0 ( y ) V ( y) V sy > m.a.s. es preferble al m.s. 49

50 5. Muestreo sstemátco 5.4 Determacó del tamaño muestral Tamaño muestral ecesaro para estmar la meda y el total poblacoales co u límte B para el error de estmacó Nσ ( N ) D + σ D B 4 B 4N para estmar la meda para estmar el total Tamaño muestral ecesaro para estmar la proporcó poblacoal co u límte B para el error de estmacó Npq ( N ) D + pq B para estmar la proporcó 4 D B para estmar el total 4N 50

51 6. Muestreo por Coglomerados 6. Necesdad y vetajas del muestreo por coglomerados. 6. Formacó de los coglomerados. Coglomerados y estratos. Notacó N coglomerados e la poblacó. coglomerados e la muestra. m y M M elemetos e el coglomerado suma de las observacoes e el coglomerado N m N m N elemetos e la poblacó m m elemetos e la muestra tamaño medo de los coglomerados de la poblacó. m m tamaño medo de los coglomerados de la muestra. 5

52 6. Muestreo por Coglomerados 6.3 Estmacó de la meda, proporcó y total poblacoales. µ y ɵ τ M y y m N Sc V ( y) M N S y ym ( ) V ( ɵ τ ) M V ( y) c ɵ τ t N yt ( ) St V ɵ τ t N V ( yt ) N( N ) y t y N St V ( yt ) N S y y ( ) t t S m m... mn M y Nyt 5

53 6. Muestreo por Coglomerados 6.4 Determacó del tamaño muestral. ɵ τ M y µ N σ c ND + σ c y y m B M D ( meda) 4 σ ( ) c Sc y ym B D ( total) 4N ɵ τ t t t N y y y m.a.s. sobre los totales de los coglomerados Nσ t ND + σ t B S y y D 4N ( ) t t t σ. 53

54 7. Estmacó del tamaño de la poblacó 7. Muestreo drecto. Se seleccoa ua muestra aleatora de tamaño t, se marca y devuelve a la poblacó.. Se seleccoa ua muestra de tamaño (fjado de atemao) de la msma poblacó y se observa cuátos de ellos está marcados. (s º elemetos marcados e esta muestra) Proporcó de elemetos marcados e la ª muestra: p proporcó de elemetos marcados e la poblacó s p ˆ t N N t p ESTIMADOR DE N: t t N ˆ pˆ s / t s VARIANZA ESTIMADA DEL ESTIMADOR: ( ) 3 Vˆ Nˆ t ( s s) 54

55 7. Estmacó del tamaño de la poblacó 7. Muestreo verso. Se seleccoa ua muestra aleatora de tamaño t de la poblacó, se marca y se devuelve a la poblacó.. Se seleccoa ua muestra de tamaño hasta que se obtee s elemetos marcados. ESTIMADOR DE N: t t N ˆ pˆ s / VARIANZA ESTIMADA DEL ESTIMADOR: t s Vˆ ( Nˆ ) t ( s + s) ( s ) 55

56 7. Estmacó del tamaño de la poblacó 7.3. Estmacó de la desdad y del tamaño de la poblacó A área dode está coteda la poblacó. Se dvde a la poblacó e N cuadros de gual área º elemetos e el cuadro -esmo m a. Se toma ua muestra de cuadros de los N exstetes. Se observa el úmero de elemetos que cotee la muestra: m 3. Se calcula la desdad de elemetos e la muestra: m ˆ º elemetos e la muestra λ área de la muestra m a 4. Dado que la desdad poblacoal es º elemetos e la poblacó M λ área de la poblacó A M Aλ 56

57 7. Estmacó del tamaño de la poblacó 7.3. Estmacó de la desdad y del tamaño de la poblacó ESTIMADOR DE LA DENSIDAD: VARIANZA ESTIMADA DEL ESTIMADOR: m a ESTIMADOR DEL TAMAÑO POBLACIONAL: VARIANZA ESTIMADA DEL ESTIMADOR: λˆ m Vˆ( ˆ) λ a λ M ˆ A λˆ 7.3. Muestreo por cuadros e el espaco temporal ˆ( ˆ ˆ( ˆ a m A a ˆ) V M ) A V λ A a m E determadas ocasoes, podemos tomar los cuadros como tervalos temporales 57

58 7. Estmacó del tamaño de la poblacó Cuadros cargados Cuadro cargadocuadro que cotee al meos u elemeto objeto de estudo. Se dvde a la poblacó e N cuadros de gual área a. Se toma ua muestra de cuadros de los N exstetes. y úmero de cuadros o cargados y 3. La desdad poblacoal se estma como ˆλ l a y su varaza como V ˆ( ˆ) λ a y y Dado que M Aλ ESTIMADOR DEL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN Mˆ A ˆ λ A a l y VARIANZA ESTIMADA DEL ESTIMADOR Vˆ( Mˆ ) A a y y 58

59 8. Aálss Cluster 8. Itroduccó Aálss cluster: sere de téccas que tee por objeto la búsqueda de grupos smlares de dvduos o varables. Es ua técca completamete umérca e la que o se realza hpótess prevas. Pasos e u aálss cluster: Establecer u dcador (dstaca o smlardad) que os dga e qué medda cada par de observacoes se parece etre sí.. Crear los grupos de forma que cada uo de ellos cotega aquellas observacoes que más se parezca. 3. Descrbr los grupos obtedos y compararlos. Tpos de téccas para realzar este aálss: Téccas jerárqucas Téccas o jerárqucas 59

60 8. Aálss Cluster 8. Meddas de smlardad Ejemplo 8. 30,00 Nombre Empresa Iversó publcdad Vetas E 6 0 5,00 E4 E7 E8 E 4 E3 0 E4 5 Vetas 0,00 E3 E E E ,00 E E6 E ,00 E E Iverso 60

61 8. Aálss Cluster 8. Meddas de smlardad 8.. Meddas de smlardad para varables métrcas (A) Dstaca Euclídea: D ( x x ) Ejemplo 8. k ( ) ( ) j p jp p D , 66 Matrz de dstacas eucldeas dstaca euclídea Caso :E :E 3:E3 4:E4 5:E5 6:E6 7:E7 8:E8 :E,00 5,66 3,4 5,5 9,00 34,37 3,65 38,0 :E 5,66,00 8,5,00 33,4 38,0 34,79 40,6 3:E3 3,4 8,5,00 3,6 37,00 40,6 35,3 40,3 4:E4 5,5,00 3,6,00 36,5 39,9 33,00 38,05 5:E5 9,00 33,4 37,00 36,5,00 7,07 5,00 7,7 6:E6 34,37 38,0 40,6 39,9 7,07,00,8,00 7:E7 3,65 34,79 35,3 33,00 5,00,8,00 5,39 8:E8 38,0 40,6 40,3 38,05 7,7,00 5,39,00 (B) Dstaca Euclídea al cuadrado: k ( ) D x x j p jp p (C) Dstaca de Mskowsk: k D x x j p jp p 6

62 8. Aálss Cluster 8. Meddas de smlardad 8.. Meddas de smlardad para datos baros Ejemplo 8.3 Observacoes Varables X X X3 X4 E 0 0 E 0 E3 0 E E5 0 (A) Dstaca euclídea al cuadrado Dj b + c E 0 E 0 0 E 0 E a b 0 c d (B) Dstaca euclídea (C) Dfereca de tamaño Dj b + c D j ( b c) ( a + b + c + d ) Ejemplo 8.4 D ( ) ( ) 0,063 6

63 8. Aálss Cluster 8.3 Estadarzacó de los datos Ejemplo 8.5 E el sguete cuadro se recoge el tamaño de los actvos y el úmero de trabajadores de 8 empresas: Empresa Actvos Trabajadores E E E E E E E E

64 8. Aálss Cluster 8.3 Estadarzacó de los datos Ejemplo 8.5 (Cotuacó) Caso :E :E 3:E3 4:E4 5:E5 6:E6 7:E7 8:E8 Matrz de dstacas dstaca euclídea :E :E 3:E3 4:E4 5:E5 6:E6 7:E7 8:E8,000 5,0E+07 00,000 5,0E+07,0E+0,0E+0,0E+0,0E+0 5,0E+07,000 5,0E+07 00,000,0E+0,0E+0,0E+0,0E+0 00,000 5,0E+07,000 5,0E+07,0E+0,0E+0,0E+0,0E+0 5,0E+07 00,000 5,0E+07,000,0E+0,0E+0,0E+0,0E+0,0E+0,0E+0,0E+0,0E+0,000 5,0E+07 00,000 5,0E+07,0E+0,0E+0,0E+0,0E+0 5,0E+07,000 5,0E+07 00,000,0E+0,0E+0,0E+0,0E+0 00,000 5,0E+07,000 5,0E+07,0E+0,0E+0,0E+0,0E+0 5,0E+07 00,000 5,0E+07,000 Esta es ua matrz de dsmlardades GRUPO : [E,E,E3,E4] Actvos e toro de los mlloes GRUPO : [E5,E6,E7,E8] Actvos e toro de los mlloes Procesos de estadarzacó: Putuacoes Z. Rago. Rago 0 a. 64

65 8. Aálss Cluster 8.3 Estadarzacó de los datos Ejemplo 8.6 Matrz de dstacas Dstaca euclídea Caso :E :E 3:E3 4:E4 5:E5 6:E6 7:E7 8:E8 :E,000,86,86,675,639,58,87,889 :E,86,000,048,86,767,639,87,87 3:E3,86,048,000,86,87,889,639,780 4:E4,675,86,86,000,87,87,504,639 5:E5,639,767,87,87,000,86,86,048 6:E6,58,639,889,87,86,000,675,86 7:E7,87,87,639,504,86,675,000,86 8:E8,889,87,780,639,048,86,86,000 GRUPO : E y E GRUPO : E3 y E4 GRUPO 3: E5 y E6 GRUPO 4: E7 y E8 65

66 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters jerárqucos (A) Método de agrupacó de cetrodes Ejemplo 8.7 dstaca euclídea al cuadrado Caso :E :E 3:E3 4:E4 5:E5 6:E6 7:E7 8:E8 :E :E :E :E :E :E :E :E Observacoes más cercaa: E3 y E4 (dstaca3) Grupo E3-4 Calculo del cetrode de E3-4: 0 + Publcdad de E Vetas de E3-4 3,5 66

67 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters jerárqucos Ejemplo 8.7 (Cotuacó) Datos actualzados: Nombre Empresa Iversó e publcdad Vetas E 6 0 E 4 E3-4 3,5 E E E E

68 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters jerárqucos Ejemplo 8.7 (Cotuacó) Matrz de dstacas actualzadas dstaca euclídea al cuadrado Caso :E :E 3:E3-4 4:E4 5:E5 6:E6 7:E7 8:E8 :E,0 3,0 07,3 4,0 84,0 8,0 066,0 445,0 :E 3,0,0 9,3,0 05,0 445,0 0,0 63,0 3:E3-4 07,3 9,3,0 3,3 338,3 593,3 58,3 533,3 4:E4 4,0,0 3,3,0 34,0 544,0 089,0 448,0 5:E5 84,0 05,0 338,3 34,0,0 50,0 5,0 34,0 6:E6 8,0 445,0 593,3 544,0 50,0,0 5,0 44,0 7:E7 066,0 0,0 58,3 089,0 5,0 5,0,0 9,0 8:E8 445,0 63,0 533,3 448,0 34,0 44,0 9,0,0 ( ) ( ) DE, E ,5 07,3 Próxma uó E7-E8 68

69 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters jerárqucos Ejemplo 8.7 (Cotuacó) Etapa Coglomerado que se comba Hstoral de coglomeracó Etapa e la que el coglomerado aparece por prmera vez Coglom erado Coglom erado Coefcetes Coglom erado Coglom erado Próxma etapa 3 4 3, , , , , , , E las cuatro prmeras etapas se fusoa empresas dvduales. E la etapa 5 se fusoa dos grupos E- y E3-4, auque estos aparece etquetados co el ombre de uo solo de sus tegrates (E- se represeta por, E3-4 se represeta por 3). La columa de coefcetes refleja las dstacas a las que estaba los grupos que se va fusoado e cada etapa. 69

70 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters jerárqucos Ejemplo 8.7 (Cotuacó) * * * H I E R A R C H I C A L C L U S T E R A N A L Y S I S * * * Dedrogram usg Cetrod Method Rescaled Dstace Cluster Combe C A S E Label Num E3 3 òûòòòø E4 4 ò ùòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòø E òûòòò ó E ò ó E7 7 òûòòòòòø ó E8 8 ò ùòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò E5 5 òûòòòòò E6 6 ò 70

71 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters jerárqucos (B) Método del veco más cercao (vculacó smple) Ejemplo 8.8 Hstoral de coglomeracó Etapa Coglomerado que se comba Etapa e la que el coglomerado aparece por prmera vez Coglom Coglom Coglom Coglom Próxma erado erado Coefcetes erado erado etapa 3 4 3, , , , , , ,

72 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters jerárqucos Ejemplo 8.8 (Cotuacó) 30,00 E8 5,00 E4 E7 E3 Vetas 0, ,00 E E ,00 E E Iverso 7

73 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters jerárqucos (C) Método del veco más lejao (vculacó completa) Ejemplo 8.9 Hstoral de coglomeracó Etapa Coglomerado que se comba Etapa e la que el coglomerado aparece por prmera vez Coglom Coglom Coglom Coglom Próxma erado erado Coefcetes erado erado etapa 3 4 3, , , , , , ,

74 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters jerárqucos Ejemplo 8.9 (Cotuacó) 30,00 E8 5,00 E4 E7 E3 Vetas 0, ,00 E 7 E ,00 E E Iverso 74

75 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters jerárqucos (D) Método de la vculacó promedo (vculacó tergrupos) Ejemplo 8.0 Etapa Coglomerado que se comba Hstoral de coglomeracó Etapa e la que el coglomerado aparece por prmera vez Coglom Coglom Coglom Coglom Próxma erado erado Coefcetes erado erado etapa 3 4 3, , , , , , , Etapa 5: Observ. Dstaca Meda E, E3 80 E, E4 4 E, E3 68 5,5 E, E4 75

76 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters jerárqucos Seleccó del úmero de coglomerados de la solucó Dedograma Tasas de varacó etre los coefcetes de coglomeracó obtedos e etapas sucesvas Etapa Observacoes Grupos Nº que se fusoa Resultates grupos Coefcete Tasa de Varacó [E3,E4] [E3,E4],E,E,E5,E6,E7,E8 7 6,5,3 [E7,E8] [E3,E4][E7,E8],E,E,E5,E6 6 0,76 3 [E,E] [E,E][E3,E4][E7,E8],E5,E ,67 4 [E5,E6] [E,E][E3,E4][E5,E6][E7,E8] 4 6,7 5 [E,E][E3,E4] [E,E,E3,E4][E5,E6][E7,E8] 3 03,3 0,89 6 [E5,E6][E7,E8] [E,E,E3,E4][E5,E6,E7,E8] 385,5 6,3 7 [E,E,E3,E4][E5,E6,E7,E8] [E,E,E3,E4,E5,E6,E7,E8] 84 - T 6,5, 3 6,5 76

77 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters o jerárqucos A. Seleccó de los cetrodes cales Aspectos a teer e cueta e la eleccó de los cetrodes cales:. El vestgador propoe los cetrodes cales.. S éste o está seguro, u posble camo es realzar u aálss jerárquco y observar el dedograma. 3. S o se tee gua dea preva, el SPSS (u otros paquetes estadístcos) los seleccoa. B. Asgacó de observacoes a grupos (cluster) C. Se recalcula los cetrodes D. Se aplca crtero de covergeca 77

78 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters o jerárqucos Formacó de los grupos (MÉTODO DE LAS K-MEDIAS). Calcular la dstaca de cada observacó a los cetrodes cales calculados e la fase ateror. Cada observacó se asga al coglomerado al que esté más cercao (utlzado dstacas eucldeas). Iversó Vetas Dstacas Cetrode Dstacas Cetrode Coglomerado asgado E ,37 5,5 E 4 38,0 E3 0 40,6 3,6 E4 5 39,9 0 E ,07 36,5 E ,9 E7 45 5,8 33 E ,05 78

79 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters o jerárqucos Formacó de los grupos (MÉTODO DE LAS K-MEDIAS). Ua vez efectuada la asgacó de observacoes a coglomerados, se recalcula los cetrodes Cetrodes cales Cetrodes fales Coglomerado Publcdad Vetas Publcdad Vetas ,5 9,5 5,5 7, ,5 9, ,5 7,

80 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters o jerárqucos Formacó de los grupos (MÉTODO DE LAS K-MEDIAS) 3. Se repte el paso clasfcado cada observacó e el coglomerado del que dsta meos. El proceso se detee cuado o se produce gua reasgacó de observacoes a coglomerados o hasta que se alcace u determado úmero de teracoes que se puede establecer como opcó al ejecutar el aálss. Iversó Vetas Dstacas Dstacas Coglomerado Cetrode Cetrode asgado E 6 0 3,83 8,50 E 4 35,89 3,78 E3 0 37,60 4,93 E4 5 35,96 7,7 E ,58 33,4 E ,93 37,60 E ,7 33,30 E ,4 38,6 80

81 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters o jerárqucos Formacó de los grupos (MÉTODO DE LAS K-MEDIAS) SALIDAS DEL SPSS: Cetros cales de los coglomerados Coglomerado Iversó 50 Vetas 5 5 d (47,5 50) + (9, 5 5) 4,93 d (50 ) + (5 5) 39, 9 Hstoral de teracoes(a) Cambo e los cetros de los coglomerados Iteracó 4,93 7,67,000,000 a Se ha logrado la covergeca debdo a que los cetros de los coglomerados o preseta gú cambo o éste es pequeño. El cambo máxmo de coordeadas absolutas para cualquer cetro es de,000. La teracó actual es. La dstaca míma etre los cetros cales es de 39,94. 8

82 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters o jerárqucos Formacó de los grupos (MÉTODO DE LAS K-MEDIAS) SALIDAS DEL SPSS: Perteeca a los coglomerados Cetros de los coglomerados fales Nº de caso Coglomerado Dstaca E 8,504 E 3,783 3 E3 4,93 4 E4 7,67 5 E5 9,58 6 E6 4,93 7 E7 6,70 8 E8 8,43 Coglomerado Iversó 47,50,50 Vetas 9,5 7,75 8

83 8. Aálss Cluster 8.4 Formacó de los grupos: Clusters jerárqucos y o jerárqucos 8.4. Clusters o jerárqucos Formacó de los grupos (MÉTODO DE LAS K-MEDIAS) ANOVA Coglomerado SALIDAS DEL SPSS: Error Meda Meda gl cuadrátca gl cuadrátca F Sg. Iversó 450,000 7, ,09,000 Vetas 4,500 56,97 6,079,788 Las pruebas F sólo se debe utlzar co ua faldad descrptva puesto que los coglomerados ha sdo elegdos para maxmzar las dferecas etre los casos e dferetes coglomerados. Los veles crítcos o so corregdos, por lo que o puede terpretarse como pruebas de la hpótess de que los cetros de los coglomerados so guales. 83

84 9. Compoetes prcpales 9. Itroduccó La utldad de la técca de compoetes prcpales es doble:. Por u lado, el aálss de compoetes prcpales permte resumr de forma óptma la formacó proporcoada por las varables orgales medate las compoetes.. Permte trasformar las varables orgales, e geeral correladas (solapameto e la formacó), e uevas varables correladas, facltado la terpretacó de los datos. 84

85 9. Compoetes prcpales 9. Compoetes prcpales Sea S la matrz de covaraza asocada co el vector aleatoro X [ X, X,..., ] '. Supogamos que S tee pares de valores y vectores propos (, ),(, ),...,( p, p ) λ φ λ φ λ φ dode λ λ λ 0. La -ésma compoete prcpal está dada por co esta eleccó p φ φ φ φ ' Y X X + X + + p X p,,,..., p ' Var( Y ) φsφ λ,,,..., p Cov Y Y S k ' (, k ) φ φk 0, X p 85

86 9. Compoetes prcpales 9. Compoetes prcpales Sea ' ' ' Y φ X, Y φ X,..., Yp φp X las compoetes prcpales. Etoces p s + s + + s Var( X ) λ + λ + + λ Var( Y ). pp p La proporcó de la varaza total explcada por la k -esma compoete prcpal es λk, k,,..., p λ + + λ p p el coefcete de correlacó etre la compoete Y y la varable X k es: φk λ ry,,,,,..., X k p k s kk 86

87 9. Compoetes prcpales 9. Compoetes prcpales Ejemplo9. x ; S S λi λ. λ λ λ 3λ λ.67 y λ 0.33 ( S λ I ) φ φ +.0φ 0.0φ.57φ φ φ φ..57 φ φ.43 φ. 0.8 φ + φ φ

88 9. Compoetes prcpales 9. Compoetes prcpales X X Y φ ' ( ) 0.8X X X Y ( ) 0.57X + 0.8X X X X 88

89 9. Compoetes prcpales 9. Compoetes prcpales S ; S Y r x x s ( X ). s ( X ) s ( X ) ( ) Var( X ) tr S Var( Y ) tr( S ) λ Y x λ.67 λ + λ r φ λ φ λ r 0.89 s.9 s. Y, X Y, X 89

90 9. Compoetes prcpales 9. Compoetes prcpales Estadístcos descrptvos Desvacó Meda típca N del aálss VAR0000 3,5000, VAR0000 3,5000, Varaza total explcada Compoete Autovalores cales(a) Total % de la varaza % acumulado Bruta,670 89,06 89,06,330 0,984 00,000 Método de extraccó: Aálss de Compoetes prcpales. Matrz de compoetes(a) Bruta Compoete Reescalada Compoete VAR0000,338,97 VAR0000,938,894,338 0,938 φ 0,8 φ 0,57,67,67 90

91 9. Compoetes prcpales 9.. Compoetes prcpales a partr de varables estadarzadas Z ( X µ ) [ ] 0 s E Z Cov( Z) R p Var( Y ) p Var( Z ) p ry, Z φk λ,, k,..., p k λ k p 9

92 9. Compoetes prcpales 9.. Compoetes prcpales a partr de varables estadarzadas 4 S R 0.4. ( ) ' λ 00.6 φ 0.040, S : ' λ 0.84 φ 0.999, ( ) S : Y X X Y 0.999X 0.040X λ 00.6 λ + λ r Y, X r Y, X φ φ s s λ λ

93 9. Compoetes prcpales 9.. Compoetes prcpales a partr de varables estadarzadas ( ) ' λ.4 φ 0.707, R : ' λ 0.6 φ 0.707, ( ) X µ X µ Y 0.707Z Z ( X µ ) ( X µ ) R : X µ X µ Y 0.707Z 0.707Z X µ X µ r ( ) ( ) φ λ Y, Z r φ λ Y, Z λ p 93