Representación geométrica de las coordenadas generalizadas en la mecánica hamiltoniana

Transcripción

1 Repesentación geomética de las coodenadas genealiadas en la mecánica hamiltoniana Maía M. Aala, John E. Baagan Depatamento de Física, Univesidad Pedagógica Nacional, Calle 72 No Bogotá, Colombia. (Recibido el 16 Julio 2013, aceptado el 27 de Noviembe de 2013) Resumen A pesa de la impotancia que tiene la geometía en la física ésta no suele se destacada en su enseñana. En este atículo mostaemos el caácte que impime compensión que apota lo geomético en la descipción del estado mecánico de un sistema. Mostaemos en paticula la elevancia que tienen las supeficies cuando se asumen como los elementos estuctuantes del espacio se daá intepetación geomética a téminos como jacobiano de una tansfomación fomas covaiantes contavaiantes de un vecto. Palabas clave: Geometía física, Mecánica Hamiltoniana, Análisis conceptual de la física, significado geomético de las coodenadas genealiadas. Abstact Despite the impotance of geomet in phsics is not usuall pominent in thei teaching. This aticle will show the chaacte that pints and the undestanding that bings the geometic desciption of the mechanical state of a sstem. We will show, in paticula, the elevance that sufaces has when it is assumed as the stuctual elements of space and geometic intepetation will be given to such tems as a Jacobian ansfomation and covaiant and contavaiant foms of a vecto. Kewods: Geomet and Phsics, Hamiltonian mechanics, Conceptual analsis of phsics, conceptual meaning of the genealied coodinates. PACS: Y, Ha, Fk. ISSN I. INTRODUCCIÓN Buena pate de las estategias de fomaliación en física implícitas en la constucción de magnitudes físicas están íntimamente elacionadas con las fomas que se le dan a las elaciones espaciales, donde las estuctuas que se eplicitan son usadas a su ve paa fomalia otos campos de la epeiencia. El tatamiento de la etensión es, en pimea instancia, el modelo efeencia de toda magnitud física. Además, los citeios con los que se suelen clasifica las magnitudes físicas son de tipo geomético, si bien estos implican a su ve difeencias de tipo algebaico en cuanto hacen efeencia a fomas difeentes de opea con ellas: Vemos, así, como se suelen clasifica las magnitudes en etensivas e intensivas, también en flujos e intensidades, o en escalaes, vectoes tensoes en las magnitudes vectoiales identifican dos clases aiales polaes. Mawell, po ejemplo, afima que la distinción ente flujos e intensidades adica en que los flujos son magnitudes definidas con elación a supeficies las intensidades con elación a línea [1]. No obstante la elevancia de la geometía en la física ésta no suele se destacada en su enseñana. En este atículo mostaemos el caácte que impime compensión que apota lo geomético en la descipción del estado mecánico de un sistema. Mostaemos en paticula la elevancia que tienen las supeficies cuando se asumen como los elementos estuctuantes del espacio se daá intepetación geomética a téminos como jacobiano de una tansfomación fomas covaiantes contavaiantes de un vecto. Paa descibi el estado mecánico de un sistema se equiee detemina las coodenadas genealiadas, es deci, las vaiables necesaias paa especifica los cambios que en su configuación el sistema puede epeimenta, así como las vaiables conjugadas necesaias paa especifica los movimientos posibles del sistema asociadas a las coodenadas genealiadas. Peo la deteminación de dichas a vaiables no es única. Es posible escoge distintos conjuntos de vaiables que cumplen con este popósito. Sin embago paa hacelo es conveniente apoimanos lo más que se pueda a lo que denominaemos la geometía del sistema. A continuación buscaemos mosta el significado de esta afimación. Paa empea es impotante tene en cuenta que las supeficies son los elementos fundamentales en la oganiación del espacio en el que consideamos se suceden Lat. Am. J. Phs. Educ. Vol. 7, No. 4, Dec

2 Maía Mecedes Aala, John Eduad Baagán los divesos fenómenos del mundo físico, en cuanto es con ellas que se puede difeencia una egión de ota en el espacio encea egiones del mismo. Peo paa que ello sea posible se equiee que las supeficies sean oientables, es deci, que podamos habla de los lados de una supeficie. La difeenciación iquieda-deecha ilusta este equisito de oientabilidad de las supeficies. De hecho la oientación del plano de simetía que podemos econoce en el cuepo humano es base epesión de esta difeenciación. Pensemos que ocuiía con nuesta oganiación espacial si confundiéamos o no distinguiéamos ente deecha e iquieda. Recodemos las dificultades que tenemos en el manejo espacial cuando actuamos miándonos a un espejo. Un buen ejemplo de una supeficie no oientable es la Cinta de Möbius. deteminación eige a su ve enconta los valoes a, b, c paa los cuales c b a (1) FIGURA 2. Tes vectoes que no son coplanaes. FIGURA 1.Cinta Möbius.Tomada de: [2]. La condición de no coplanaeidad de los vectoes coesponde a eigi que dichos vectoes, taados desde el mismo oigen estén contenidos en planos que definan un paalelepípedo, que po selo tenga un volumen difeente de ceo lo cual equivale desde un punto de vista analítico a eigi que el poducto tiple mito ente ellos no sea nulo: (2) II. SISTEMAS DE COORDENADAS NO ORTO- GONALES Y SISTEMAS RECÍPROCOS La elevancia de los planos supeficies en la estuctuación del espacio es ota de las gaves omisiones en la enseñana de la física las matemáticas. En téminos de supeficies oientables podemos detemina los elementos básicos mediante los cuales epesentamos las elaciones espaciales como son los puntos las líneas o cuvas; así, un punto puede se pensado como la intesección de tes supeficies una cuva la intesección de dos De ota pate, es impotante destaca que paa ubica un punto en el espacio con elación a oto usualmente ecuimos a tes planos pependiculaes ente sí, planos catesianos, que se inteceptan en el punto de efeencia, que su intesección en paejas definen las líneas conocidas con el nombe de ejes coodenados: las coodenadas del punto en cuestión son las distancias del punto a los planos coodenadas. Sin embago también es posible mu ilustativo, aunque menos usual, detemina la posición de un punto especto a oto teniendo como efeencia planos que no son pependiculaes ente sí, o lo que es lo mismo, epesa un vecto cualquiea en téminos de tes vectoes que no son coplanaes. Tal Haciendo el poducto escala de con, es deci, encontando la poección de en el plano b-c que equivale a siendo el ángulo fomado ente dicho plano (ente la nomal al plano), así espectivamente 1 con los otos planos, tenemos que Po lo tanto, (3) (4) (5), (6), (7). (8) Lat. Am. J. Phs. Educ. Vol. 7, No. 4, Dec

3 Repesentación geomética de las coodenadas genealiadas en la mecánica hamiltoniana Estos valoes epesados en foma de deteminantes son epesión del uso de la egla de Came paa esolve el sistema de ecuaciones que se deiva en el poceso de (18) deteminación de los coeficientes buscados, a, b c. Esta es también una ilustación de la íntima elación eistente ente la geometía el álgeba. De este modo un vecto cualquiea se puede epesa en Designemos a espectivamente el sistema como: po. Dichos vectoes son espectivamente nomales a los planos que contienen a, a a no son unitaios. El vecto se puede escibi entonces como en su sistema ecípoco como:, (19). (9). (20) Se dice que..confoma un sistema ecípoco a.es mu impotante tene en cuenta que no sean coplanaes. Po definición el poducto escala de cualquiea de los vectoes del sistema ecípoco con su coespondiente vecto del sistema dado es la unidad, peo el poducto escala con vectoes no coespondientes se anula, así:, (10), (11), (12). (13) Se puede mosta que los volúmenes de los paalelepípedos definidos po los vectoes de dos sistemas ecípocos son invesos ente sí:. (14) Estos sistemas se dice que son ecípocos ente sí poque se establecen ente ellos elaciones totalmente siméticas; mientas que se epesan en téminos de como: Cuando el son pependiculaes ente sí, se dice que confoma un sistema auto ecípoco en la medida que este sistema su ecípoco coinciden. III. VECTORES BASE PARA LAS COORDENA- DAS GENERALIZADAS Las coodenadas cilíndicas esféicas son casos paticulaes de las coodenadas genealiadas q j s siendo el númeo de gados de libetad que hemos utiliado paa descibi la configuación de los sistemas mecánicos estudiados. La posición siendo el númeo de pates móviles de cada pate móvil del sistema la hemos epesado en téminos de dichas coodenadas. Consideando la vaiación de la posición de la patícula i cuando la coodenada q j tiene un incemento infinitesimal dq j definimos los vectoes base unitaios asociados a las coodenadas q j s como:, (21) de modo que el vecto tiene el mismo sentido que el desplaamiento infinitesimal de la patícula cuando la coodenada q j vaía un dq j. se suele designa po, se epesan en téminos de, (15) como: (16) (17) po lo tanto se puede escibi como [3]. Consideemos el caso de las coodenadas esféicas, θ, φ tomemos como efeencia las coodenadas ectangulaes, el vecto se puede epesa entonces como:, (22). (23) Los vectoes base esféicos en téminos de los vectoes unitaios ectangulaes seán po lo tanto: Lat. Am. J. Phs. Educ. Vol. 7, No. 4, Dec

4 Maía Mecedes Aala, John Eduad Baagán, (24), (25). (26) La condición de no coplanaeidad de los vectoes, está dada, como lo habíamos visto, po la condición de que el poducto tiple mito no se anule que coincide con la eigencia de que el jacobiano de las coodenadas catesianas con especto a las esféicas tampoco lo haga, que es a su ve la condición necesaia suficiente paa que las coodenadas esféicas o, en geneal, las coodenadas genealiadas se puedan epesa en función de las catesianas, o en otas palabas que eista la tansfomación invesa: función de las ectangulaes, las ecuaciones donde son constantes que epesentan tes supeficies que pasan po un punto con coodenadas ectangulaes, Esto equivale a deci que el punto en cuestión es la intesección de las supeficies. La intesección de las supeficies define una cuva a lo lago de la cual sólo vaía ; cuva especto a la cual po lo tanto es tangente en cada punto así espectivamente con las otas paejas de supeficies. En las figuas 3 4 se ilustan estas afimaciones paa el caso de las coodenadas esféicas. Sin embago, es impotante tene en cuenta que dichas coodenadas son otogonales po lo tanto el sistema de coodenadas es auto ecípoco, lo cual implica que los vectoes tangentes a las cuvas intesección de las supeficies coinciden con las nomales a dichas supeficies. Nótese que las nomales a las supeficies son los gadientes de las funciones que las epesentan en cada punto de éstas. La epesentación de un vecto en que implica poectalo en las diecciones nomales a las supeficies de efeencia se suele denomina epesentación covaiante aquella que lo poecta hace especto a las tangentes a las cuvas intesección ente dichas supeficies epesentación contavaiante.. (27) O en geneal: Supeficie = cte Plano = cte. (28) Los vectoes no son siempe otogonales ente sí, entonces, como habíamos visto, tienen un sistema de vectoes ecípocos que son nomales a las supeficies que define el vecto posición cuando una de las coodenadas genealiadas de las cuales es función pemanece constante las otas dos vaían. De hecho, como las coodenadas genealiadas se pueden epesa en Supeficie = cte FIGURA 3. Supeficies asociadas a las coodenadas esféicas vectoes unitaios esféicos. Lat. Am. J. Phs. Educ. Vol. 7, No. 4, Dec

5 Repesentación geomética de las coodenadas genealiadas en la mecánica hamiltoniana donde las se suelen denomina las componentes covaiantes de la velocidad las, las componentes contavaiantes de la velocidad o simplemente velocidades genealiadas. IV. CONCLUSIONES La geometía descita a tavés del manejo de supeficies binda al estudiante la posibilidad de de estuctua el espacio de la mecánica hamiltoniana. La elación ente geometía algeba vectoial toma sentido cuando se involucan elementos conceptuales como los descitos en este aticulo en téminos de las coodenadas genealiadas sus posibles fomas de epesentación. Las nociones de vecto covaiante contavaiante tienen epesentación geomética po lo tanto también pueden se entendidas dichas epesentaciones vectoiales. FIGURA 4. Cuvas asociadas a las coodenadas esféicas que esultan de las supeficies esféicas intesección de las supeficies esféicas de la figua3. Podemos conclui entonces que al defini las coodenadas genealiadas paa descibi la configuación del sistema mecánico se define a la ve el sistema de supeficies en téminos de los cuales se analia el espacio en el cual se epesenta la evolución del sistema. De ota pate, como hemos visto en geneal, la velocidad de cada pate móvil del sistema mecánico, en paticula se puede epesa en función de los vectoes base de las coodenadas genealiadas utiliadas, o de sus ecípocos así: o, (29), (30) AGRADECIMIENTOS Se agadece al gupo Física Cultua de la Univesidad Pedagógica Nacional po pemiti este tabajo. REFERENCIAS [1] Aala, M., Romeo, A., Malagon, F., Rodigue, L. D. Gaon, M. Aguila, Y., Los pocesos de fomaliación la oganiación de los fenómenos físicos: el caso de los fenómenos mecánicos, (Fondo Editoial Univesidad Pedagógica Nacional, Bogotá, 2008). [2] Góme, P., Consultada el 10 de eneo de [3] Kasnov, M. L.,Kiseliov, A. I., Makaenko, E. I., Análisis Vectoial.(Editoial MIR, Moscú, 1981). Lat. Am. J. Phs. Educ. Vol. 7, No. 4, Dec