Agujeros de gusano en un espacio no-conmutativo del tipo Morris-Thorne considerando una teoría de gravedad

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1 CLIC No. 14, Año Agujeos de gusano en un espacio no-conutativo del tipo Mois-Thone consideando una teoía de gavedad odificada Agujeos de gusano en un espacio no-conutativo del tipo Mois-Thone consideando una teoía de gavedad odificada f(r) Raúl Isea Instituto de Estudios Avanzados IDEA Hoyo de la Pueta, Bauta, Venezuela isea@idea.gob.ve Resuen Fecha de ecepción: 09/03/016 Fecha de aceptación: 03/10/016 Pág: 8 Se deteina la función de foa de un agujeo de gusano del tipo Mois-Thone en un espacio no-conutativo, consideando una teoía de gavedad odificada f(r). Finalente, se veifica que viola la condición de enegía que es un equisito paa antene abieto un agujeo de gusano de acuedo a la liteatua científica. Palabas Clave: agujeo de gusano, f(r), no-conutativo Intoducción Mois y Thone [1] han popuesto una seie de condiciones que pueden peiti utiliza a los agujeos de gusano coo una estuctua del tipo túnel que conecta dos egiones del univeso, peitiendo viaja gandes distancias del espacio en el eno tiepo posible. Asiiso, se ha planteado la posibilidad de eplealos coo áquinas del tiepo con la condición que no se cabien los eventos del futuo []. Snyde [3], [4] epleó po piea vez una discetización del espacio tiepo basada en una geoetía no-conutativa caacteizada po la siguiente elación [ X i Xj ] = iθ ij, donde θ ij es una atiz antisiética con diensiones de longitud [ayoes detalles en [5], [6], y etoadas posteioente po Connes [7] así coo Fujikawa [8], po cita algunos ejeplos. Dicha geoetía ha explicado po ejeplo, odelos que explican la aceleación del univeso [9], la ceación de la ateia en el univeso [10], descipción de agujeos negos [11] así coo en agujeos blancos [1], ente otos. Con el uso de dicha geoetía, Nicolini y colaboadoes [14] seleccionan un ansatz que coesponde a una ética siética y estática expesada po ρ() = (4πθ) 3 e 4θ (1)

2 Cento Nacional de Desaollo e Investigación en Tecnologías Libes (CENDITEL) Revista Electónica Conociiento Libe y Licenciaiento (CLIC), Méida Venezuela ISSN: Aquí, es la asa contenida en la egión copendida θ. Gacias a esta elación, y teniendo pesente el eleento de línea estática y siética en coodenadas esféicas de acuedo a Mois y Thone [1]: ds = e φ() dt d + + (dθ + sen θdφ () 1 k b() donde φ() y b() son la función del coiiento al ojo gavitacional y la función de foa, espectivaente. Los tes valoes posible de k coesponden a 0, 1y + 1 paa un espacio plano o cuvatua nula, espacio abieto con cuvatua negativa y ceado con cuvatua positiva, espectivaente. La ecuación de capo de Einstein viene dada po G = 8πT uv, donde T uv es el tenso de enegía oento, las ecuaciones de Einstein vienen expesadas coo (consideando un sistea de unidades c = 1 así coo 8πG = 1 ): G tt : 3k + b = ρ (3) G : ( k3 b)φ b k 3 3 = p (4) G θθ : ( k 3 b)(φ + φ ) + φ [( b ) b 4k 3 ] k 3 b + b 3 = p t (5) donde la denota la deivada con especto a. Teniendo pesente que p coesponde a la pesión adial ientas que p t es la pesión lateal edida justo pependiculaente a la diección adial, dicho conjunto se considea coo la solución de la gavedad de Einstein. A continuación se deteina la función de foa b() así coo la teoía f(r). Función de foa b() Si sustituios la expesión de la densidad de enegía dada po (1) en la ecuación (3), encontaos que la función de foa viene dada po b () = e 4θ 8(πθ) 3 3k Al intega esta últia ecuación obteneos la expesión de la función de foa: b() = 4(πθ) 3 ( πθ 3 ef( ) θe 4θ ) k 3 + c (6) θ donde C es una constante de integación, y ef es la función de eo definida coo ef(x) x e t dt π 0 3

3 CLIC No. 14, Año Agujeos de gusano en un espacio no-conutativo del tipo Mois-Thone consideando una teoía de gavedad odificada A continuación adoptaos un odelo donde se eplea la teoía de gavedad odificada f(r), que no es ás que considea téinos adicionales a las ecuaciones de capo de Einstein que son esultado de una genealización de la acción de Einstein-Hilbet con téinos adicionales del escala de cuvatua descito po R (ve po ejeplo [14] y [15]). Pesión adial p La pesión adial p está dada po la ecuación (4), y si consideaos un valo constante del coiiento al ojo, φ = φ 0, obteneos: b() k3 p = (7) 3 De odo que al sustitui la expesión de la función de foa deducida en la ecuación (6) y supone una cuvatua plana (k = 0), obteneos: p = 4 3 (πθ) 3 ( πθ 3 ef( θ ) θe 4θ ) (8) Esta últia ecuación se epleaá ás adelante cuando se deteine la expesión de enegía ρ + p < 0. Teoía f(r) Las ecuaciones de capo en teoías f(r) fueon intoducidas po Weyl y Eddington, quienes publicaon una teoía de gavedad basada en lagangianos cuadáticos, es deci, popocionales al cuadado del escala de Ricci [14],[15]. Po siplicidad consideeos k igual a ceo, de odo que las ecuaciones vienen dadas po: G : F (1 b ) + F G tt : F b = ρ (9) (b b) bf 3 = p (10) G θθ : F (1 b ) + F (b 3 b ) = p t (11) La función de foa dependeá de la odificación de la expesión de la gavedad. Si consideaos el caso ás sencillo, su dependencia seá una función de la ley de potencia de acuedo a la siguiente expesión: donde R es el escala de Ricci, y F df, de odo que teneos: dr F (R) = ar n (1) 4

4 Cento Nacional de Desaollo e Investigación en Tecnologías Libes (CENDITEL) Revista Electónica Conociiento Libe y Licenciaiento (CLIC), Méida Venezuela ISSN: R() = b (13) po lo que al sustitui (13) en (1), se obtiene F (R) = a( b )n (14) A pati de estas ecuaciones es posible deiva la expesión geneal de la función de foa del agujeo de gusano al despeja la expesión de b () según (9), es deci: b () n+1 = (1+n) a(4πθ) 3 e 4θ (15) n Esta últia ecuación es una expesión geneal que nos peite obtene la función de foa. Paa ealiza la integación, se va a considea cinco valoes difeentes de n. A continuación se indica la solución que coesponde a paa n = 1. Paa n = 1, la función de foa b() se obtiene a pati de la ecuación (13) dada po: b () = ( aθ 3 4π 3 4 ) e 8θ El téino dento del paéntesis es un valo constante y lo podeos defini coo 1 0, donde el supeíndice nos indica el valo de n del cual fue deivado, en este caso n = 1, así que lo podeos eescibi coo b () = 1 0 e 8θ. Integando esta ecuación tas eagupa téinos, alcanzaos la siguiente ecuación: b() n=1 = 1 0[ 5 3 πθ ef( 3 ) 4θe 8θ ] (16) θ En la Tabla 1 se uesta los esultados del pocediiento anteio paa n = hasta n = 5; ientas que la figua 1 se uestan las funciones de foa b() paa n = 1 (en azul), n = (en ojo), n = 3 (en vede), n = 4 (en fucsia) y n = 5 (en nego), consideando θ = 0.0, a = 1 y = 0. Es inteesante destaca que la función de foa paa n = hasta 5 pesentan el iso copotaiento, con excepción de la solución obtenida con n = 1. 5

5 CLIC No. 14, Año Agujeos de gusano en un espacio no-conutativo del tipo Mois-Thone consideando una teoía de gavedad odificada Tabla 1: Resultados de la función de foa facto b() obtenidos paa n igual hasta 5 (detalles en el texto), donde se definen las constantes 1 0 paa cada valo de n. n b() n 0 0[3 3 3 πθ ef( 3 3 ) 6θe 1θ ] θ 3 3 0[16 πθ 3 ef( 4 4 0[5 3 4 θ ) 8θe 16θ ] 3 πθ ef( ) 10θe 0θ ] 5θ 5 5 0[6 3 3 πθ ef( ) 1θe 4θ ] 6θ 4a πθ 4 aθ 3 3 π a (πθ) θ 3 a (π) 4 Finalente, ecodeos que Mois y Thone [1] señalaon que paa antene abieto un agujeo de gusano se cuple la condición ρ+p < 0. De anea que paa n = 1, y consideando las ecuaciones (1) y (8) obteneos: ρ + p n=1 = e (4πθ) 3 4θ 4 3 (πθ) 3 ( πθ 3 ef( θ ) θe 4θ ) (17) Po siplicidad, se uesta en la figua los esultados de evalua dichas ecuaciones cuando consideaos = 0, a = 1, y θ = paa una de las funciones de foa b() en cada valo de n que están indicados en la Tabla 1. En colo azul, ojo, vede, fucsia y nego se epesentan los esultados de evalua las expesiones de ρ + p coespondientes a n = 1,, 3, 4 y 5, espectivaente. En todos esos casos se obseva que ρ + p es negativa, condición ya encionada en la liteatua científica. Figua 1: Función de foa del agujeo de gusano (ve texto paa detalles). 6

6 Cento Nacional de Desaollo e Investigación en Tecnologías Libes (CENDITEL) Revista Electónica Conociiento Libe y Licenciaiento (CLIC), Méida Venezuela ISSN: Figua : Gáfica de D ρ + p en función de (ve texto paa detalles). Conclusiones Se deteinó la función de foa de un agujeo de gusano del tipo Mois-Thone en un espacio no-conutativo, donde se ha consideado una teoía de capo odificado gavedad f(r). Con dicha geoetía, igualente se veifica que paa antene abieto dicho agujeo (ve figua ), es necesaio viola la condición de enegía ρ + p < 0 coo se planteó en el tabajo publicado po Mois-Thone. Bibliogafía [1] M. S. Mois, and K.S. Thone. (1988). Woholes in space-tie and thei use fo intestella tavel: A tool fo teaching geneal elativity. A. J. Phys, Vol. 56, pp , [] R. Isea. (016) La física de los viajes en el tiepo a tavés de un agujeo de gusano. Aceptado paa se publicado en la Revista de la Escuela de Física. Vol. IV, 016. [3] H. S. Snyde. (1947) Quantized Space-Tie. Phys. Rev. vol. 71, pp , [4] H. S. Snyde The electoagnetic field in quantized space-tie. Phys. Rev. vol. 7, pp , [5] C. A. Vaquea, and J.L. Lucio. (005) Non-Coutative Mechanics as a odification of space-tie. AXiv: ath-ph/051064v1, 005. [6] L. Mezincescu. (000) Sta opeation in Quantu Mechanics. AXiv:hep-th/ v,

7 CLIC No. 14, Año Agujeos de gusano en un espacio no-conutativo del tipo Mois-Thone consideando una teoía de gavedad odificada [7] A. Connes. (1997) Noncoutative diffeential geoety and the stuctue of spacetie. In Cyclic Cohoology and Noncoutative Geoety, J. J. R. Cuntz and M. Khalkali, eds., Field Institute Counications, Ae, Math, Soc, Povidence RI, pp. 14-4, [8] K. Fujikawa. (004) Quantization of Space-tie Noncoutative Theoy. AXiv:hep-th/ , 004. [9] A. R. El-Nabulsi. (010) Noncoutative acceleated ultidiensional univese doinated by quintessence. Astophysics and Space Science, vol. 36, pp , 010. [10] T. Mille, and M. Helle. (016) Ceation of Matte in a Noncoutative Univese. AXiv: , 016. [11] Nicolini, Pieo. (009) Noncoutative Black Holes, The Final Appeal To Quantu Gavity: A Review. Int.J.Mod.Phys. vol. A4, pp , 009. [1] F. Rahaan, S. Kaaka, I. Kaa, S. Ray. (015) Wohole inspied by non-coutative geoety. Physics Lettes B. Vol. 746, pp , 015. [13] P. Nicolini, A. Sailagic, E. Spallucc. (006) Noncoutative geoety inspied Schwazschild black hole. Phys Lett. Vol. B63, pp , 006. [14] S. Capozziello, M. Fancaviglia.(008) Extended theoies of gavity and thei cosological and astophysical applications. Gen Rel Gav. Vol. 40, pp , 008. [15] A. De Felice, and S. Tsujikawa, F(R) Theoies. (010) F(R) Theoies Living Rev Relativity. Vol. 13(3), pp ,