Aunque es un paso enorme en nuestra comprensión tiene problemas importantes: 3. La fuerza entre dos cuerpos actúa a distancia (acción instantánea)

Transcripción

1 Gavitación La ley de gavitación de Newton data del siglo XVII s una ley Univesal: la gavedad actúa de la isa anea ente la Tiea y su cuepo que ente el Sol y los planetas Aunque es un paso enoe en nuesta copensión tiene pobleas ipotantes: 1. No sabeos si se aplica a la escala de Galaxia ( años luz) o ente las galaxias en el Univeso no se puede aplica a la cosología. Las nociones de espacio y tiepo en está teoía no son física (etafísica): el espacio es un voluen abstacto sin líite ientas que el tiepo es absoluto e infinito 3. La fueza ente dos cuepos actúa a distancia (acción instantánea) n la teoía de la elatividad estingida de instein (1905) el tiepo es incluido coo vaiable dináica (espacio-tiepo): ( xyzct,,, ) donde ct toa en cuenta el tiepo de inteacción ente las asas (acción no instantánea) l inteval ( ) del espacio-tiepo ( ) s = ct + x + y + z = invaiable deteina estuctua causal s = ct + x + y + z > 0 space-like - egión desconectada po efectos causal (agujeo nego) 1

2 n la teoía de la elatividad Geneal (1915) instein elaciona la fueza de gavitación a la cuvatua del espacio - la ateia dicta al espacio-tiepo coo cuva se y el espacio-tiepo dicta a la ateia coo ove se es una teoía geoética TODAS LAS PDICIONS de la elatividad geneal son veificadas La cuvatua del espacio-tiepo - veificado en 1919 po ddington La expansión del espacio-tiepo veificado po Hubble descipción cosológica del espacio Los agujeos negos obsevaciones y ediciones con el telescopio de Hubble Las ondas de gavedad estellas a neutones en paes Peo tabién tiene pobleas: 1. La fueza de gavedad no es siila a otas fuezas dicotoía ente visión elativista y teoía de patículas - la ateia enta coo tenso de enegía (cantidad geoética con 51 téinos y solo uno es non ceo) - no explica inecia, no incluye teodináica. xistencia de singulaidades no se sabe coo se aplica las fuezas a la escala del átoo gavedad cuántica? teoía de las cuedas? 3. No es clao que es la natualeza del espacio-tiepo instein el espacio es la distancia ente ateia no se sabe si el univeso sigue la segunda ley de teodináica

3 Ley de gavitación de Newton Publicada en 1687, la ley de la gavitación de Newton estipula que: Toda patícula de ateia en el univeso atae a todos las deás patículas con una fueza que es diectaente popocional a las asas de las patículas e invesaente popocional al cuadado de la distancia que las sepaas 1 (1) Fg = G Donde F g es la agnitud de la fueza 1 y son las asas de las patículas la agnitud de la distancia ente las patículas y G la constante gavitatoia Las fuezas gavitatoias siepe actúan sobe una línea que une las patículas y foan un pa accióneacción (tecea ley de Newton) Po ejeplo, la fueza de atacción que su cuepo ejece sobe la Tiea es igual a la fueza de atacción que la Tiea ejece sobe su cuepo 3 Peo coo la asa de la Tiea es 10 as gande 3 que su asa, su aceleación es 10 ás pequeña (casi no se ueve) Si la distibución de asa es unifoe, dento un cuepo sólido la fueza gavitatoia sobe un cuepo debeé disinui hasta ceo en su cento sólo cuenta la contibución de la asa inteio 3

4 La inteacción gavitatoia de dos cuepos con una distibución de asa de sietía esféica es la isa que si la asa de los dos cuepos estaba concentada en un punto en su cento (a deosta ás tade) sta calidad de la fueza gavitatoia legitia el odelo de patícula Así que si odelaos la Tiea con un cuepo siético de asa : () Fg = G La gavitación explica poque los cuepos celestes tiene una foa esféica: dado que todas las patículas de un cuepo se ataen ente si tienden a ovese de foa que se iniice la distancia que las sepaas, y po lo tanto a asui una foa siética esféica tendencia a enegía potencial ínia y áea (supeficie) ínia ste efecto se educe paa cuepo de pequeña asa poque la fueza electoagnética que foa las oléculas es ucho ás potente que la fueza gavitacional 4

5 Deteinación del valo de G Balanza de tensión (Si Heny Cavendish 1798) Una vailla ligea ígida en foa de T invetida es sostenida po una fiba vetical de cuazo uy ligea Dos esfeas pequeñas de asa 1 se ontan en los exteos Si colocaos dos esfeas gandes de asa ceca de las asas 1, las fuezas de atacción hacen gia T de un ángulo pequeño ste ángulo se ide usando la luz coheente de un láse eflejado po un espejo La luz eflejada se ueve a lo lago de una escala l valo de G edido de esta anea es: G = (85) N kg Coo 1N 1kg s = [ ] 3 G = kg s 5

6 jeplo de Cálculo de la fueza gavitatoia: n la balanza de Cavendish, poneos 1 = kg y = 0.500kg Si la distancia ente 1 y es de = F g 11 N kg 0.500kg 10 = = N kg ( ) De todas las fuezas, la fueza gavitatoia es la ás débil Aceleación debida a la atacción: Consideaos las asas 1 y aisladas en el espacio. La aceleación a 1 de la asa 1: a 10 F g N 8 1 = = = kg s La aceleación a de la asa : a 10 F g N 10 = = = kg s Notaos que la aceleación no es constante poque la fueza auenta a edida que la distancia ente las asas disinuye 6

7 Supeposición de fuezas (adición vectoial) La fueza sobe la asa en O es igual a la sua vectoial de dos fuezas: F = F1+ F Las coponentes x e y : 0.500kg kg F = G = ( 0.00) + ( 0.00) kg kg F = G = ( 0.00) N N F 1 1x = F1cos45 = N e F 1 1y = F1sen45 = N 1 F x N = e F = 0 y F = F + F = e 1 x 1x x N F F F 1 y = 1y + y = N La agnitud de la esultante: F = F + F = N 11 x y Fy La diección de la esultante: θ = actan = 14.6 F x 7

8 Poblea inteesante: en la teoía de gavitación de Newton, la fueza ente dos cuepos actúa a distancia (acción instantánea) A dos aneas de tata este poblea en física odena 1. Una es la teoía de capo (electodináico): un cuepo establece una petubación en el capo en todos los puntos del espacio y la fueza que actúa sobe un segundo cuepo es la espuesta del capo sobe este cuepo. La ota anea es la elatividad especial: la apidez áxia de inteacción es la velocidad de la luz Nota ipotante: la teoía del capo es consistente con la elatividad especial, poque las petubaciones del capo viajen en el espacio a la velocidad de la luz - la elatividad geneal es una teoía de capo 8

9 Noción de Peso l peso de un cuepo es la fueza gavitatoia total ejecida sobe el po todas los deás cuepos del univeso Peo coo la fueza gavitatoia es uy débil, y que su influencia disinuye con el inveso cuadático de la distancia, solaente los cuepos cecanos contibuyen al peso A la supeficie de la Tiea: (3) w= Fg = G Donde es el adio de la Tiea La aceleación gavitacional a la supeficie de la Tiea es: (4) g G = Fg = g Coo podeos edi G, e g, podeos deduci la asa de la Tiea: (5) ( ) g = = = G kg s kg 11 N La asa de la Tiea fue calculada po la piea vez po Cavendish usando el valo de G deteinado po su balanza n un punto po encia de la supeficie de la Tiea, a una distancia del cento ( aiba de la supeficie): (6) w= Fg = G Nota: el hecho que la Tiea gia sobe su eje iplica que el peso eal no es exactaente coo el cálculo la Tiea no es un efeencial inecial 9

10 Tapoco la Tiea uesta una distibución hoogénea de ateia: Asuiendo una distibución unifoa, el voluen edio: 4 4 = = = (7) V π π ( ) 3 La densidad poedio seé po lo tanto: (8) ρ = = = = V c kg kg g Po copaación la densidad del agua es: kg g ρ agua = 1000 = c La densidad de las ocas en la supeficie es del oden de solaente g 3 (ganito, Gneiss) c 3 el inteio de la Tiea po lo tanto debe se ucho ás denso Los odelos geológicos sugieen una g densidad en el cento hasta 13 3 c 10

11 l capo gavitacional de la Tiea, po lo tanto, no debe se unifoe: La figua uesta el capo gavitacional coo edido po un satélite de la NASA Peso en Mate: l adio y asa de Mate son: 6 M = y M = M kg 3900N Su asa es igual a: sonda = = 4000kg 9.8 s Su peso en Mate seá: 3 MMsonda 11 N kg 4000kg WMate = G = = 15000N kg 6 M ( ) sto es 40% de su peso en la Tiea La aceleación gavitacional de objetos que cae en Mate tabién es ás pequeña Fg Usando la asa de la sonda encontaos: g = = 3.7 s sonda Objetos caen ás lentaente en la supeficie de Mate 11

12 Peso apaente y otación teeste Coo la Tiea gia sobe su eje, no es un efeencial inecial Po esta azón, el peso apaente de un cuepo en la Tiea no es exactaente igual al peso vedadeo w 0 Si suponeos que la Tiea es esféicaente siética, el peso vedadeo tendá una agnitud: G l cuepo en el Polo Note está en equilibio en un sistea inecial, y la lectua de un balanza de esote es igual a w 0 l cuepo en el ecuado se ueve en un cículo de adio con apidez v y debe habe v una fueza neta hacia adento igual a la asa po la aceleación centípeta: w0 F = 1

13 n el ecuado, el peso apaente es: (9) v w= w0 Al ecuado, la aceleación gavitacional es: v (10) g = g0 n un día, ~ s, un punto en el ecuado se ueve una distancia igual a la 6 π = π cicunfeencia de la Tiea: ( ) Po tanto: 6 ( ) π v = = 465 y 86164s s v 465 s = = s v La gavedad g = g0 es ceca de 0.03 s eno Paa puntos inteedios, necesitaos escibi una ecuación vectoial: (11) w = w 0 a ad = g 0 a ad La diección del peso apaente difiee de la diección hacia el cento de la Tiea en un ángulo pequeño o! No se pueden cea objetos odificando códigos de capo., que es o! No se pueden cea objetos odificando códigos de capo. o enos Nota que paa una nave en óbita, la aceleación o! No se pueden cea objetos odificando códigos de capo., de odo que o! No se pueden cea objetos odificando códigos de capo. Un astonauta o cualquie oto cuepo en una nave en óbita no tiene peso (ingavidez apaente). 13

14 negía potencial gavitatoia A la supeficie de la Tiea, consideaos la fueza gavitatoia con una constante, de odo que el potencial gavitacional esta dado po: U = gy Peo en geneal Fg = G Paa deduci la expesión geneal paa la enegía potencial gavitacional consideaos un cuepo de asa fuea de la Tiea y calculaos el tabajo W efectuado po la fueza gavitatoia cuando el cuepo se aleja o aceca al cento de la Tiea desde 1 a Po definición: gav (1) W gav = 1 Fd Donde F es la coponente adial (hacia fuea) de la fueza gavitatoia F g Coo F g está diigida hacia a dento: (13) F = G Usando está expesión, podeos escibi la expesión po la enegía gavitatoia coo: (14) d 1 1 = = 1 Wgav G G 1 Coo la fueza gavitatoia es consevativa, el tabajo no depende de la foa de la tayectoia 14

15 La enegía potencial U, tal que: Wgav = U = U1 U (15) U = G Veos que cuando auenta, U se tona ás positivo y cuando disinuye, U se tona ás negativo. Cuando, U 0 s ipotante ecoda que solaente la difeencia de potencial significativa, no su valo absoluta U es físicaente Tabién debeos ecoda que coo la fueza gavitatoia es consevativa, la enegía ecánica es consevada: = constante o K1 + U1 = K + U 15

16 De la Tiea a la Luna n la histoia de Julio Vene (1865) los astonautas viajaon de la Tiea a la Luna en un casco dispaado po un cañón Cuál es la apidez inicial necesaia paa alcanza una altitud =? Coo la única fueza es la fueza gavitacional: = constante o K1 + U1 = K + U Donde 1 es el punto de patida ( = ) y es la altua áxia ( = y v = 0 ) Si la asa del casco (con los astonautas) es, la consevación de enegía: 1 v1 G = G v = G = = = 4 11 N kg k kg s h La apidez de escape es la apidez necesaia paa escapa de la Tiea Paa enconta este valo basta pone, así que K = 0 y U = 0 1 vesc G = 0 v esc 11 N ( kg ) G kg 4 k = = = = s h Notaos que si el lanzaiento se hace a pati de Cape Kennedy hacia el este, la apidez es eno de 410 /s que es la apidez de otación a esta latitud n geneal la apidez de escape es: v esc = GM 16

17 elación ente fueza y enegía gavitacional Coo la fueza gavitacional tiene una coponente solaente en la diección adial: du d (16) F = = G = G d d La fueza adial apunta en la diección opuesta a la de ceciente n el caso de la supeficie teeste podeos escibi: Coo g G 1 1 W = G = G G 1 1 gav 1 1 = W g( ) = <, se hace un tabajo conta la fueza gav sto es siila a la expesión auenta con la altua 1 0 = = donde 1 = h, el potencial gavitatoia Wgav U gh 17

18 Moviiento de satélites Los satélites se antienen en óbita siguiendo las leyes de Newton Si lanzaos un poyectil desde el punto A en la diección AB tangente a la supeficie de la Tiea, a edida que cae, la Tiea se cuva hacia abajo alejándose de el Si lanzaos el poyectil coo una apidez suficiente, podía segui dando una vuelta a la Tiea Las tayectoias ceadas que desciben los satélites son elipses (o segentos de elipse cuando la tayectoia choca con la Tiea) la enegía total del sistea es negativa Una óbita cicula es un caso especial de elipse el obite cicula es el obite que tiene el oento angula ás alto paa un enegía potencial gavitacional dada n una óbita abieta (hipebólica o paabólica), el poyectil nunca vuelve a su punto de patida la enegía total del sistea es positiva 18

19 La única fueza que actúa sobe un satélite en obita es la atacción gavitatoia, diigida hacia el cento de la Tiea l satélite cae constanteente alededo de la Tiea su apidez es exactaente la necesaia paa antene su distancia constante Una óbita cicula es el caso ás siple e ipotante, pues uchos satélites atificiales tienen este tipo de óbita Los planetas de nuesto sistea planetaio tabién tienen obitas casi cicula Un satélite en óbita cicula descibe una tayectoia unifoe y su apidez es constante Si el adio de la óbita es, la aceleación del satélite seá: a ad v = (diigida hacia el cento) Po la ley de gavitación, la fueza gavitacional es esponsable paa esta aceleación, de odo que paa un satélite de asa : La velocidad pa una óbita cicula es: G v = G (17) v = Podeos ve que v y no son independientes l oviiento del satélite no depende de su asa - copotaiento típico de cuepos en caída libe o ingavidez apaente: el astonauta tiene la isa velocidad y aceleación que su nave (los dos están cayendo) 19

20 Coo la apidez v es igual a la distancia π ecoida en una evolución dividida po el peiodo: (18) π v = T Deducios el peiodo de una óbita cicula: (19) T π π = = π = v G G 3/ Una óbita ás gande tiene un peiodo ás gande y po tanto una velocidad ás pequeña Copaando con la velocidad de escape, veos que paa escapa de un cuepo esféico con un adio necesitaos veces la velocidad de un satélite en óbita cicula con este adio paa sali de una óbita cicula, necesitaos auenta la velocidad po un facto Paa una óbita de adio, la enegía ecánica total = K + U es: (0) 1 1 = v G = G G = G sto es la itad de la enegía gavitacional A auenta, auenta la enegía ecánica Cuando el satélite toca a la atósfea las fuezas de ficción hacen un tabajo negativo disinuyendo la enegía ecánica del satélite no hay consevación de enegía ventualente, el satélite caeá sobe la Tiea 0

21 jeplo de Satélite eteoológico Masa: = 1000kg La altitud encia de la supeficie de la Tiea: = 300k alt Distancia del satélite del cento de la Tiea: = + = 300k+ 6380k= 6680k La velocidad del satélite en óbita cicula: 11 N ( kg) G kg v = = = s alt Su peiodo: T 6 π = = π = 5430s= 90.5in v 7730 s La aceleación adial: 7730 v s a = = = s l tabajo equeido paa pone el satélite en obita es igual a Wob = 1, donde 1 es la enegía ecánica de satélite en su apa de lanzaiento y es la enegía ecánica del satélite en óbita N kg 1000kg 11 4 G kg 6 ( )( ) = = = ob ( ) G 10 1 = = J W = = + = J J J J Paa que el satélite escape al capo de gavitación de la Tiea, la enegía necesaia seía igual 10 a la enegía del obite Wesc = = J 1

22 Moviiento de los planetas l nobe planeta es de oigen giega y significa vagabundo, poque se ueve en copaación de las estellas Duante los siglos XVI y XVII se descubí nuevas ley sobe el oviiento de Planeta Nicolas Copenic en 1543, popuso que: La Tiea es un planeta con los otos Todos los planetas gian alededo del Sol nte 1601 y 1609, Johanes Keple estudio el oviiento de los planetas usando datos pecisos copilados po el astónoo Tycho Bahe, deduciendo 3 leyes sobe los oviientos de los planetas en tono del Sol 1. Cada planeta se ueve en una óbita elíptica con el Sol en uno de los focos. Una línea desde el Sol a un planeta dado bae áeas iguales en tiepos iguales 3. l peiodo de un planeta es popocional a la longitud del eje ayo de su óbita, elevado a la potencia 3 Usando la ley de gavitación, Newton conseguí a deduci las tes leyes de Keple Piea ley: Newton pudo deosta que una fueza que vaia coo 1/ peite únicaente óbitas ceadas que son elípticas o Las óbitas abietas son paábolas o hipébolas Nota que en ealidad el Sol y los planetas tonan junta alededo de su cento de asa Peo coo el Sol tiene una asa 70 veces ayo que los planetas cobinadas, el cento de asa del sistea planetaio se encontó uy ceca del cento del Sol n sisteas binaios de estellas este fenóeno es ás obvio

23 Popiedades de una elipse n una elipse, la diensión ás laga es el eje ayo = sei-eje ayo, a Los puntos S y S son los focos l Sol esta en S y el planeta esta en P (el oto foco esta vació) La sua de las distancias de S a P y de S a P es la isa paa cualquie punto sobe la elipse La distancia de los focos al cento es ea, donde e es un núeo sin diensión, que vaia ente 0 y 1, llaado excenticidad Un cículo es una elipse con excenticidad e = 0 Las excenticidades de las óbitas de los planetas vaia ente (Venus) hasta 0.40 (Plutón) La Tiea tiene una excenticidad e = l punto ás lejos del Sol es el afelio y el punto ás ceca es el peihelio 3

24 Segunda ley de Keple Consideaos el oviiento de un planeta duante un tiepo pequeño dt n este tiepo, la línea desde el Sol al planeta descibe un ángulo dθ l áea baida es el tiángulo de altua y 1 base dθ y áea da= dθ La apidez con que se bae el áea da dt la velocidad de secto es (1) da 1 = dt dθ dt La esencia de la segunda ley de Keple es que la velocidad de secto tiene el iso valo en todos los puntos de la óbita Cuando el planeta esta ás ceca del Sol la apidez debe auenta y cuando se aleja debe disinui La coponente de v pependicula a la línea adial es v vsenφ = l desplazaiento dθ = vdt dθ v = dt () 1 Peo vsenφ = v que es igual a (3) da 1 = vsenφ dt veces el oento angula L = v da 1 = v dt La segunda ley de Keple iplica que el oento angula es una constante 4

25 n téinos de la ley de gavitación es sencillo entende el poque dl = τ = Fg, peo coo F g es paalelo a, F g = 0, el oento angula es una dt constante sto es vedad po cualquie fueza cental La consevación del oento angula explica tabién poque las obitas de las planetas son dento de un plano: el oento angula constante es siepe pependicula a y F g Dado L= v constante, y F g deben siepe se en el iso plano Deduci la tecea ley de Keple es ás coplicado, peo Newton pudo osta que la elación ente el peiodo y el sei-eje ayo es: (4) T π a = G 3/ S Paa una óbita cicula a se tansfoa en l peiodo no depende de la excenticidad jeplo de Tecea ley de Keple La elación ente el sei-eje ayo de la óbita de Uano y Satuno es: 1 au = = 1.01 a S T T = = U Según la tecea ley de Keple: ( ) 3/ S sto es consistente con los peiodos obsevados: TU anos.85 T = 9.4 anos = S Nota que Uano fue descubieta ucho ás tiepo después (1781) que la ley de Keple fue conocida 5

26 l coeta de Halley n su peihelio, el coeta esta a una distancia de 9 a una distancia de k del Sol Coo k del Sol y duante el afelio esta = constante, K es áxia cuando U es ínia en el peihelio La agnitud del eje ayo es igual: pe + afe a = = k n el peihelio la distancia ente el coeta y el Sol es a ea= a( 1 e) k De esta elación deducios la excenticidad: e = 1 = a l peiodo es: T 9 ( ) 30 ( kg) 3/ π a π k = = = = GS G 3/ s 75.5 anos l últio peihelio estaba en 1986, que quiea deci que el póxio aconteceá en 061 6

27 Distibuciones de asa esféicas Newton busco vaios años una deostación de que las inteacciones gavitatoia ente dos distibuciones de asa esféicas es la isa que si la asa de cada una estuviea centada en su cento Newton invento el cálculo difeencial e integal paa deosta esto pezaos con una asa puntual que inteactúa con un casco esféico delgado con asa total M Consideaos un anillo en la supeficie del casco centado en la línea que va del cento del casco a Todas las patículas del anillo están a la isa distancia s de La enegía potencial de inteacción ente y una patícula de asa i po: Ui = G s i del anillo está dada Suaos esta expesión paa todas las patículas del anillo: i (5) du = Ui = G = G i = G dm s s s i i i 7

28 l adio del casco es así que el adio del anillo es senφ y su cicunfeencia es πsenφ La anchua del anillo es dφ y su áea da es: da= π senφ dφ = π senφdφ La elación ente dm y M es la isa que ente el áea del anillo da y el áea total A= 4π (6) dm da d = = = M A 4π π senφ φ 1 sen φdφ GM (7) du = senφdφ s Coo s = ( cosφ) + ( senφ) (8) s = cosφ + Difeenciaos sds= senφdφ (9) M sds M du = G = G ds s Paa enconta la enegía potencial total necesitaos intega desde s= hasta s= + M M + (30) U = G ds = G ( + ) ( ) (31) M U = G sto es igual a la enegía potencial de dos asas puntuales y M a una distancia Coo la fueza está dada po F du =, la equivalencia tabién se aplica a la fueza d Po lo tanto, la inteacción gavitatoia ente una distibución de asa esféica siética y una asa puntual es igual que si toda la asa de la esfea estuviea concentada en le cento Coo las fuezas vienen en pa acción-eacción y cuplen con la tecea ley de Newton, la deostación tabién se aplica si la asa puntual estuviea la asa de una asa esféica siética 8

29 Masa puntual dento de un casco esféico Paa una asa puntual adento de un casco esféico, el iso análisis se aplica Basta solaente intega de hasta + M M + (3) U = G ds = G ( + ) ( ) (33) M U = G La enegía potencial U no depende de y es igual en todo el inteio del casco Si la asa se ueve dento del casco no se efectúa un tabajo así que la fueza sobe debe se ceo en cualquie punto dento del casco n geneal, cualquie punto del inteio de una distibución de asa geoéticaente siética a una distancia desde su cento, la fueza gavitatoia sobe una asa puntual es la de la asa intena a concentada en el cento sto es una ota expesión de la ley de Gauss o del teoea de Bikhoff (elatividad geneal) 9

30 Viaje al cento de la Tiea Suponga que hace un agujeo que ataviesa la Tiea y deja cae una bolsa de coeo de asa Supongaos que la densidad de la Tiea es unifoe Coo vios, la fueza gavitatoia a una distancia del cento sólo depende de la asa M dento de una esfea de adio Con densidad unifoe, la asa es popocional al voluen de la esfea: M 4 3 π 3 = = 4 3 π La agnitud de la fueza gavitatoia sobe está dada po: F g GM G G = = = La fueza es diectaente popocional a G stá ceo en el cento e igual a Fg = en la supeficie ( = ). 30

31 Agujeos negos Consideaos el Sol 30 Coo una asa M = kg y un adio (34) 8 = la densidad edia: M M ρ = = = = V 4 4 π π ( ) kg kg La atacción gavitatoia junta los átoos de gas hasta hace al Sol, en poedio, 41% ás denso que el agua y unas 100 veces ás denso que el aie que espiaos La apidez de escape de la supeficie de una asa esféica con asa M y adio es v= GM Podeos elaciona esto con la densidad edia 4 3 Sustituyendo: M = ρv = ρ π 3 GM 8πGρ (35) v= = 3 La velocidad de escape de la supeficie del Sol es: sta velocidad es enoe, 1500 la velocidad de la luz 5 6 v = s=. 10 k h Consideaos estellas con la isa densidad peo difeentes adios Pa un valo dado de ρ, la velocidad de escape auenta con el adio n 1783, John Mitchell, un astónoo aficionado, señalo que si un cuepo con la isa densidad del Sol tuviea un adio 500 veces ayo, la agnitud de su apidez de escape seía ayo que la apidez de la luz seejante objeto no eitiía luz foaía un agujeo nego 31

32 De la ecuación v = GM, hay un adio cítico paa que un cuepo de asa M pueda eiti luz Nota que no podeos usa v= c en la ecuación (esto daía c GM GM c paa deduci este líite, poque 1. la enegía cineática de la luz no es dada po c. ni tapoco el potencial gavitacional tiene la foa de la ecuación U = G n 1916, Kal Schwazschild usó la teoía de la elatividad geneal de instein paa deduci una expesión paa el adio cítico, llaado ahoa adio de Schwazschild GM (36) S = c S Si un cuepo esféico sin otación con asa M tiene un adio eno que nada, ni siquiea la luz, podá escapaa de su supeficie S, entonces ste fenóeno descibe un agujeo nego La supeficie de la esfea con adio S, se denoina hoizonte de eventos, poque no podeos ve (o conoce) los eventos que ocuen en su inteio espacio es space-like Lo único que un obsevado afuea del hoizonte de eventos puede sabe aceca de un agujeo nego es: 1. Su asa, po su efecto gavitatoios sobe otos cuepos. Su caga eléctica, po la fueza eléctica que ejece sobe otos cuepos 3. Su oento angula, poque un agujeo nego en otación tiende a aasta el espacio junto con él Todas la deás infoación aceca del cuepo se piede ieediableente cuando colapsa dento de su hoizonte de eventos = entopía del agujeo nego 3

33 Foación de un agujeo nego de asa estela Segundo la teoía astofísica odena, un estella al final de su vida colapsaá bajo su peso foando un agujeo nego si su asa final (después de una explosión en supenova) es del oden M (liite de las estellas a neutones) GM 30 n la ecuación S =, poneos: M = 1.99 ( 10 kg ) c 11 N ( kg ) kg GM 3 (37) S = = = = 5.9k c s Si el adio es igual a (38) S, la densidad edia tiene el valo: M ρ = = = 4 4 π ( ) kg 18 kg S π 15 sto es del oden de 10 veces la densidad de la ateia odinaia en la Tiea y es copaable con la densidad de los núcleos atóicos De hecho una vez que el cuepo se colapsa a un adio de colapse ás S, nada puede evita que se toda la asa se copie en un solo punto llaado singulaidad que tiene ceo voluen y po tanto una densidad infinita 33

34 Se obseva en el cento de galaxias objetos que solaente pueden se poducido po 6 9 ateia cayendo en un aguejo asivo del oden de 10 M hasta 10 M Coo se foa tal objeto no se sabe, posibleente po la nueosa fusión de galaxias de baja asas y icas en gas en cúulos de galaxias o gupos 34

35 De hecho se sabe ahoa que un agujeo con asa del oden de 3 o en el cento de nuesta galaxia M se encuenta Confiación po adio telescopio VLA que Sg A* esta ubicado uy cecano del cento dináico de nuesta galaxia ( ) + la fuente es vaiable en adio (198) 35

36 Vista ás detallada de Sg A* en el cento de nuesta galaxia adio fuente copacta (Balick and Bown 1974) 36

37 (Genzel & Towns 1987) diagaa de asa vs. distancia al cento de Sg A* deducida a pati de la dináica de estellas - el ejo odelo sugiee asa puntual del oden M (odelos: 1) coe adius; ) su of coe adius + point ass; 3) coe adius + dak cluste) 37