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1 LÍMITES Y CONTINUIDAD INTRODUCCIÓN: El presete mteril fue desrrolldo pr ser utilizdo como putes de clse, pr el curso cálculo diferecil e itegrl, o se pretede ser muy rigurosos co el desrrollo de l teorí mtemátic, si embrgo lgus defiicioes y teorems se preset lo más forml posible, esto se hce co el fi de simplificr lo más posible el estudio del cálculo y trtr de miimizr co ello, los futuros errores y obstáculos epistemológicos que pued presetr los estudites. Por otro ldo, u de ls mets del documeto es vzr más rápido e l prte teóric, si descuidr detlles importtes y sí desrrollr u myor úmero de ejemplos y ejercicios, si embrgo y por lguos motivos más, o se icluye ls solucioes de los ejemplos porque se cosider de myor provecho resolverlos durte el desrrollo de ls leccioes. Además, otro objetivo del mteril es bridr l estudite u cercmieto, uque o muy detlldo hci el álisis rel, es por ello que durte el curso se desrrollrá lgus demostrcioes secills y corts co iterés formtivo. El cálculo diferecil y el cálculo itegrl so si dud uo de los myores triufos de l creció hum y fruto de cietos de ños de álisis e itetos fllidos pr resolver muchos problems difíciles, cuys solucioes er clves pr el vce de ls ciecis, ls igeierís, l ecoomí y otrs disciplis, es por esto que l humidd se h setido muy orgullos de este coocimieto. El cálculo ifiitesiml (diferecil e itegrl) siet ls bses pr el álisis del movimieto, e especil por hber resuelto el problem de l rect tgete culquier curv, pero tmbié port los métodos geerles pr cálculo de áres, volúmees y distcis, demás de bridr técics y métodos pr resolver los problems de optimizció (máimos y míimos) y los de relcioes de cmbio relciods, etre otros. L primer fse del estudio del cálculo se iici co l teorí sobre límites y que es l bse de todo el álisis ifiitesiml, por ello se requiere que el estudite teg u bse muy sólid e éste tem y que teg ciert destrez e el cálculo de límites. CONTENIDOS: 1. Límite de u fució lrededor de u puto.. Teorems sobre límites.. Cálculo de límites (lgebricos, epoeciles, logrítmicos y trigoométricos). 4. Límites ifiitos y límites l ifiito. 5. Cotiuidd de u fució. 6. Teorems sobre cotiuidd de fucioes. ceguille@itcr.c.cr Pági 1 de 17

2 A) LÍMITES Defiició 1: (defiició ituitiv de límite) Si f es u fució, diremos que l froter o el límite de f vlor es, si pr cercr el vlor de L cudo tiede u f L tto como se quier bst co cercr decudmete l vlor de y escribimos f L Notció: L form de leer l epresió terior es: f L: límite cudo tiede de f es igul L Observció: Además, de l defiició terior y de cuerdo l coocimieto del plo crtesio de coordeds rectgulres, se tiee dos direccioes pr cercrse, por ello eiste dos límites llmdos límites lterles izquierdo y derecho que se deot y se lee respectivmete como: ) f M : límite cudo tiede por l izquierd de f b) f N : límite cudo tiede por l derech de f es igul M es igul N De lo terior se deduce que: si f f etoces eiste y como se puede observr e l siguiete figur: f L, tl Es decir, u límite eiste si está defiido por l derech y por l izquierd de su vlor de tedeci y demás los límites lterles debe ser igules etre sí. ceguille@itcr.c.cr Pági de 17

3 Not: Pr u límite, lo importte es el comportmieto lrededor del vlor uque éste vlor o perteezc l domiio de l fució, como se verá más delte. CÁLCULO DE LÍMITES A PARTIR DE UNA GRÁFICA Ejemplo 1: [7] Cosidere ls siguietes gráfics de l fució f, e cd cso determie l iformció que se le solicit. 1. ) f b) f 1 c) f d) f 1 e) f g) f. ) f b) f c) f d) f e) f g) f h) f CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CONOCIENDO SUS LÍMITES Ejemplo : [7] Costruy l gráfic de u fució f que cumpl simultáemete ls codicioes dds. D f, f f f f f 0 0 f f ceguille@itcr.c.cr Pági de 17

4 Defiició : (defiició forml de límite lrededor de u puto) Se I, co I u itervlo bierto, f defiid sobre I, slvo quizás e, se L, etoces f L sigific que: 0, 0 tl que 0 f L L defiició terior represetd de mer gráfic se verí sí: FORMAS INDETERMINADAS COMUNES (FI) Ls siguietes epresioes so llmds forms idetermis por trtrse de epresioes cuyo vlor o es determible de form imedit y requiere de u álisis más cuiddoso y profudo del límite pr poder ser clculdos. 0 0,,,, 0, 0 0, 0, 1 ALGUNOS RESULTADOS SOBRE LÍMITES Teorem 1: (uicidd del límite) Se I, co I u itervlo bierto, f defiid sobre I, slvo quizás pr. Si f eiste, etoces éste es úico. ceguille@itcr.c.cr Pági 4 de 17

5 Teorem : (cálculo de límites por evlució) Se k, I, f y g fucioes defiids sobre el itervlo bierto I,, P,Q (poliomios co coeficietes reles); etoces, si o sucede ls forms idetermids teriores, se cumple que: 1. k k.. f g f g 4. f g f g 5. f g f, g 0 g 6. k f k f P P 9. P P Q Q, Q Q , co defiid e su domiio 11. f f 1. f f 1. b 0 b log log b b 0 0 co b Ejemplo : Clcule los siguietes límites utilizdo los teorems teriores R//. log 7 4 R// R// Observció: Recordemos que el límite es idepediete del vlor de l fució evlud e el vlor de tedeci y es que puede suceder que el límite eist uque el vlor de l fució e el puto o eist, ddo que lo que os iteres es sber que sucede lrededor del vlor de tedeci y o e el vlor ecto, el siguiete teorem sugiere que hcer pr poder clculr límites e los cules o es posible relizr u sustitució directmete. ceguille@itcr.c.cr Pági 5 de 17

6 Teorem : (Trsformció del límite) Se I, co I lgú itervlo bierto, f g, I, slvo pr l úic posible ecepció e. Si f L etoces g L TÉCNICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES Del teorem terior, se deduce que pr clculr límites e los que l evlur se obtiee u form idetermi, se puede sustituir l fució dd por otr que se igul l terior ecepció de que pr l uev fució o eist el problem que idefie l epresió l mometo de evlur. Cso I (técic de ccelció): Si l form idetermid l evlur u límite cudo es 0 0 y l fució l cul P se le debe clculr el límite es de l form, co P y Q poliomios, etoces del Q teorem fudmetl del álgebr se deduce que P y Q tiee como fctor comú, sí pr logrr evlur el límite podemos trsformr el límite fctorizdo y cceldo del umerdor y el deomidor l epresió. Ejemplo 4: Clcule los siguietes límites: R// 6 R// 4 5 Cso II (técic de rciolizció): Si l form idetermid l evlur u límite cudo es 0 0 y l fució es u cociete co rdicles, el límite debe modificrse de tl mer que se eie el problem y pr ello, el proceso seguir hor cosiste e rciolizr el umerdor, el deomidor o mbos si es ecesrio y ccelr l epresió. Ejemplo 5: Clcule los siguietes límites: h h h R// 1 1 R// R// 1 R// ceguille@itcr.c.cr Pági 6 de 17

7 Cso III (técic de cmbio de vrible): Si l form idetermid l evlur u límite cudo es 0 y l fució es lgo 0 complicd, como pr plicrle directmete lguo de los csos teriores, es coveiete relizr u cmbio de vrible decudo que permit simplificr el trbjo de clculr el límite. Ejemplo 6: Clcule los siguietes límites: y 8 y4 4 y Not: Pr ciertos csos de l form R// R// es posible tmbié plicr ls técics teriores LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS FUNDAMENTALES Los siguietes teorems estblece el cálculo de límites de epresioes trigoométrics por evlució, siempre y cudo ls fucioes esté defiids pr. Teorem 4: Se e el domiio de l fució correspodiete e cd cso 1. se 0 5. t t 0. cos 1 6. sec sec 0. se se 7. cot cot 4. cos cos 8. csc csc Además, se tiee los siguietes límites trigoométricos otbles: se Ejemplo 7: 1 cos 0 0 Clcule los siguietes límites: 1. 1 cos 0. se 0. t 0 8 cos R// 1 R// R// 8 ceguille@itcr.c.cr Pági 7 de 17

8 Teorem 5: (teorem del empreddo o del ecje) Se h, f y g fucioes tles que: f g h Si f L h I, slvo, l úic posible ecepció pr I etoces g L Ejemplo 8: Clcule el siguiete límite utilizdo el teorem del ecje: 1 1. se 0 R// 0 LÍMITES LATERALES Defiició : (defiició ituitiv de límites lterles) L epresió f L quiere decir que os cercmos (proimmos) l límite de f desde vlores e el eje meores que, i.e. f L cudo, co ceguille@itcr.c.cr Pági 8 de 17

9 Por otro ldo, l epresió f L quiere decir que os proimmos (cercmos) l límite de f desde vlores e el eje myores que cudo, co, i.e. f L El siguiete teorem formliz mtemáticmete l eisteci del límite prtir de us codicioes sobre los límites lterles. Teorem 6: Se I, co I u itervlo bierto, f defiid sobre I, slvo quizás e, se L, etoces se cumple que f L f f L. Ejemplo 9: A) Cosidere l fució g defiid por: si 1 g si 1 7 si 1 Evlué cd u de ls siguietes epresioes 1. g. g g 4. g 1 1 g B) Clcule el siguiete límite 1. 6 R// No eiste Recordemos que: Idetificr ls gráfics básics de ls fucioes epoeciles y logrítmics será de gr yud, pues trvés de ells podremos yudros pr clculr gr ctidd de límites lterles, sí mismo como límites ifiitos y límites l ifiito. ceguille@itcr.c.cr Pági 9 de 17

10 Gráfics de l fució f f : Observe de ls gráfics teriores que: Si 0 1 Si f : Gráfics de l fució f log Observe de ls gráfics teriores que: Si 0 1 Si 1 log log log 0 log log 0 0 log 0 log log 0 0 ceguille@itcr.c.cr Pági 10 de 17

11 Es clro que e todos los csos cudo 1 los límites d por resultdo cero, si embrgo so ceros de diferete turlez y que lo que hcemos es cercros 1 y o llegr hst 1 y observdo l gráfic podemos ituir que el resultdo l evlur el logritmo o es ectmete cero, y que esto sólo sucede e el vlor ecto de 1, este tipo de observcioes v ser importtes pr el cálculo de lguos límites. ÁLGEBRA DE LOS INFINITOS El ifiito o es u úmero rel y por tto o se comport como tl, si embrgo se puede estblecer propieddes pr relizr opercioes co él, lgus de ells so ls que se euci cotiució. Algus propieddes del ifiito Se k etoces: 1) k k ) k k ) si k k k si k co k 0 4) si k k k si k co k 0 Otrs propieddes se eucirá posteriormete. LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO Pr los límites o cotdos, es decir pr quellos cuyo resultdo o es u úmero, sio que se trt de lgú ifiito, se dice que o coverge, que diverge o que o eiste puesto que o eiste u úmero rel l cul se proime el límite. ALGUNOS RESULTADOS PARA LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO Teorem 7: Se I, co I u itervlo bierto, slvo quizás e, tles que: f y g fucioes defiids sobre I, 1. 0 f k. g 0. g 0 Etoces f g si k 0 si k 0 Not: El teorem precedete tmbié es válido si, o. ceguille@itcr.c.cr Pági 11 de 17

12 U vrició del teorem terior se d segú el sigo del cero de g se plic l regl de los sigos pr determir hci cul ifiito tiede el límite. Ejemplo 10: [7] e tl cso Clcule los siguietes límites: e 1 l 1 R// No eiste R// 0 R// 007 R// Teorem 8: I lgú itervlo bierto, f y Se I, co I, slvo quizás e, tles que: 1. f k 0. g. g 0 f Etoces 0 g g fucioes defiids sobre Not: El teorem terior tmbié es válido si, o Ejemplo 11: Clcule los siguietes límites: 1. R// R// 4 Teorem 9: 1 i Si P es u poliomio de grdo e i0, etoces: P i 0 1 1, i 0,, i ceguille@itcr.c.cr Pági 1 de 17

13 Teorem 10: Se Q i 1 i0 j m1 m bj b0 b 1 b bm 1 bm poliomios de grdo y m respectivmete e P m j0 P Q Ejemplo 1: i 0 1 1, etoces:,, i m i bj 0,,, j 0,, b m Clcule los siguietes límites: R// R// R// R// [7] 1 R// 4 LÍMITES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICOS INVERSAS Si ls fucioes está bie defiids e su domiio y si está e dicho domio, etoces: 1. rcse rcse 5. rccsc rccsc. rccos rccos 6. rcsec rcsec. rct rct 7. rccot rccot Ejemplo 1: y Clcule el siguiete límite: 1. rct R// De mometo ls herrmiets co ls que se cuet pr clculr límites so muy secills, pero co forme vcemos, e el tem de derivds veremos u plicció muy poderos de ells pr el cálculo de límites complicdos, llmd Regl de L`Hôpitl. ceguille@itcr.c.cr Pági 1 de 17

14 B) CONTINUIDAD Defiició 4: (defiició ituitiv de cotiuidd) Decir que u fució f es cotiu e, sigific que su gráfic o tiee igú hueco, corte o slto e. Defiició 5: (cotiuidd putul) Se I, co I u itervlo bierto, f u fució defiid e, se dice que f es cotiu e si y sólo si f f, i.e. pr que f se cotiu e se debe cumplir que: 1. Eist f. Eist f. f f Nots: i. Si u fució o es cotiu e, se dice que es discotiu e. ii. Si f es u fució cotiu e todos los putos de u itervlo bierto b,, se dice que es cotiu sobre ese itervlo, este hecho se deot e símbolos como f C, b, álogmete si f es cotiu e todos los putos de u itervlo cerrdo b, se dice que es cotiu sobre b, y escribimos f C, b. iii. Si u fució es cotiu e tod l rect rel (i.e. es cotiu e ), se dirá simplemete que es cotiu. ceguille@itcr.c.cr Pági 14 de 17

15 De cuerdo l(s) propiedd(es) que o se cumple de l defiició 5, ls discotiuiddes so clsificds e evitbles y o evitbles. A cotiució se muestr u gráfic dode es posible recoocer los tipos más comues de discotiuiddes. ALGUNAS FUNCIONES CONTINUAS Teorem 11: Si f : Df y g: Dg so fucioes cotius, k, etoces: 1. y k es cotiu e. y es cotiu e. y es cotiu e, co 4. y es cotiu e, co, 0 si 0 5. y es cotiu e, co 6. y log es cotiu e, co 7. f g es cotiu e Df Dg 8. f g es cotiu e su domiio f 9. g 10. f g es cotiu e su domiio, co g 0 es cotiu e su domiio Nots: Además de ls fucioes teriores, muchs otrs fucioes so cotius, si embrgo tmbié muchs otrs o lo so, pr verificr si u fució es o o cotiu hcemos uso de l defiició de cotiuidd. ceguille@itcr.c.cr Pági 15 de 17

16 Ejemplo 1: [7] A) Cosidere l fució f defiid por: 1 t si t 0 f t bt si 0 t k 7 t si k Determie el o los vlores de k y b, de modo que R// k, b 1 f se cotiu e B) Cosidere ls fucioes: b si g6 si b si f c 4 si 6 c b si 6 Determie codicioes suficietes pr, b y c pr que l fució f g se cotiu e 1 R// 0, b y c 15 B) Se f u fució cotiu e que cumple: f 6 y f 0 Cosidere l fució: f 4 si 56 g si bse si f Determie el vlor de y b pr que l fució g se cotiu e R// 1, b 6 Teorem 1: (teorem del vlor itermedio) Si f es u fució cotiu e b, y k etoces eiste l meos u c etre y b tl que es culquier úmero etre f c k. f y f b, Not: El teorem firm que si tom todos los vlores etre f y f b. f debe tomr todos los vlores etre y b, l fució cotiu L pricipl plicció del teorem 1 e el álgebr, cosiste e que ddo u poliomio P tl que P 0 y P b, co b, tl que b, etoces el poliomio 0 P tiee lgu ríz (cero) e el itervlo, b. ceguille@itcr.c.cr Pági 16 de 17

17 Bibliogrfí: [1] Ávil, J. (007). Ejercicios de cálculo: límites, derivds e itegrles. Cost Ric: Editoril Tecológic. [] Piz, E. (00). Itroducció l Aálisis rel e u vrible. Cost Ric: Editoril de l Uiversidd de Cost Ric [] Demidóvich, B (1985) problems de álisis mtemático. Tercer Edició. Rusi. Editoril VAAP, Moscú (U.R.S.S.) [4] Apostol, T. (s.f.). Clculus. Espñ: Editoril Reverté [5] Herádez, E. (1988). Itegrl idefiid. Cost Ric: Istituto Tecológico de Cost Ric, Revist Digitl de Mtemátic, educció e Iteret ( [6] Lrso, R. Hostetler, R. (1990). Cálculo y Geometrí Alític. Tercer Edició. Méico. Editoril McGrw-Hill [7] Agüero, E. Cvrí, J. Flls, J. (s.f.). Cálculo Diferecil e Itegrl: Folleto de Práctics. Cost Ric: Tller de publiccioes, ITCR. [8] Rodríguez, J. (s.f.). Límites y cotiuidd. Cost Ric: Tller de publiccioes, ITCR. ceguille@itcr.c.cr Pági 17 de 17