FACULTAD DE TURISMO Y FINANZAS UNIVERSIDAD DE SEVILLA GRADO EN FINANZAS Y CONTABILIDAD DEPARTAMENTO DE ECONOMIA APLICADA I MATEMATICAS FINANCIERAS

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1 FACULTAD DE TURISMO Y FINANZAS UNIVERSIDAD DE SEVILLA GRADO EN FINANZAS Y CONTABILIDAD DEPARTAMENTO DE ECONOMIA APLICADA I MATEMATICAS FINANCIERAS BOLETIN DE PROBLEMAS SEGUNDO CURSO

2 Sistemas financieros de capitalización y descuento simple 1. Calcular el montante que obtendremos al capitalizar euros al 5% durante 90 días (año civil y comercial). Solución: ,64 euros (civil) 5.062,50 euros (comercial) 2. Calcular el interés que obtendremos al invertir euros al 4% simple durante 2 años. Solución: 480 euros 3. Calcular el tanto de interés anual al que se invirtieron euros durante 6 meses obteniendo euros. Solución: 8% 4. Calcular el tiempo durante el que se capitalizaron euros al 1% mensual simple obteniendo 2.882,25 euros. Solución: 6 meses y 22 días. 5. Cuál es el descuento cobrado por un banco al descontar euros al 6% de interés durante 6 meses. Solución: 300 euros 6. Calcular el tanto de interés aplicado al descontar una letra de nominal euros con vencimiento a 90 días si el efectivo obtenido fue de euros. Solución: 5.92% 7. Qué cantidad obtendríamos al descontar racionalmente al 6% un pagaré de nominal euros si éste vence dentro de 6 meses y nos cobran una comisión del 0.5%. Cuál sería el tanto de interés efectivamente aplicado? Solución: 9.948,50 euros 7.07% 8. Vendemos una letra de euros al 5% de descuento. Calcular la cantidad obtenida si ésta vence dentro de 4 meses. Cuál es el descuento cobrado? Y la rentabilidad que obtendrá el comprador si espera al vencimiento? Solución: euros, 200 euros, 5.08% 9. Al descontar comercialmente en un banco una letra de nominal euros y vencimiento a 3 meses se obtiene un efectivo de euros Calcular cuando vence otra de nominal 300 euros si obtenemos por ella 295 euros Solución: 2 meses y 15 días (d=8%) 10. Para pagar un artículo valorado en euros hacemos una entrega inicial de 250 euros y tres pagos iguales con vencimientos a 30, 60 y 90 días. Para los que nos ofrecen recargar el precio del artículo en un 6% o cobrarnos por los pagos aplazados un 12% de descuento y una comisión del 0.1%. Qué decisión debemos adoptar? Solución: P 1 =323 euros P 2 =306,44 euros 2 a 11. Calcular la cantidad que obtendremos al invertir euros al 5% de interés anticipado durante 4 meses. Cuál es el interés obtenido? Y el tanto de interés vencido equivalente? Solución: euros, 200 euros, 5.08% 12. Se sustituyen tres letras de 600 euros, 550 euros y 750 euros con vencimientos respectivos 3, 6 y 9 meses por otra, calcular su vencimiento si: (a) Su nominal es de euros y nos aplican un tanto de interés del 4%. (b) Si su nominal es de euros y nos aplican un tanto de descuento del 4%. (c) Si su nominal es de euros y nos aplican un tanto de descuento. Solución: a) 3 meses b) 3 meses y 3 días c) 6 meses y 7 días 1 Las soluciones se presentan redondeadas en tantos por ciento a la centésima 1

3 13. Queremos sustituir tres letras de 400 euros, 500 euros y 700 euros con vencimientos respectivos 3, 6 y 9 meses por otra con vencimiento dentro de 2 meses. Calcular su nominal si se utiliza el descuento comercial al 6% y nos cobran una comisión del 0.1% por cada letra sustituida. Solución: 1.564,75 euros 14. Una entidad vende a crédito concediendo 10 plazos mensuales e incrementando el importe de la factura con un recargo del 10%. Descuenta al 6% y comisión 0.3% en un banco los nueve efectos suscritos por el comprador. Determinar el beneficio inmediato que produce a la entidad esta operación si el precio de venta es de euros Solución: 361,40 euros 15. El señor X, tiene ahorrada una determinada cantidad de dinero y decide comprar un efecto comercial cuyo valor nominal es de 7.816,50 euros y vence dentro de un año rindiendo un 8%. Sin embargo con este dinero que tiene ahorrado podría comprar tres letras de igual nominal y vencimientos respectivos de 2, 5 y 11 meses cobrando un 7% de descuento comercial. Estas tres letras son propiedad del señor Y obtenidas al vender un aparato de aire acondicionado valorado en 7.062,50 euros que le abonaron mediante dichas letras con vencimiento a los 3, 6 y 12 meses de la venta aplicando a las mismas un determinado tanto de descuento. (a) Cuál fue el coste del efecto comercial para el señor X? (b) Cuál es el nominal de las tres letras que el señor X podría haber comprado? (c) Qué tanto de descuento aplicó el señor Y a las letras en la venta del aparato de aire acondicionado? Solución: a) 7.237,50 euros b) euros c) 10% 16. El Sr. Alvarez posee una tienda de artículos de deporte y vende al Sr. Sánchez un velero que ofrecerá a su hijo como regalo de fin de carrera. El Sr. Sánchez entrega en ese momento euros y conviene en pagar el resto mediante dos letras de igual nominal con vencimiento dentro de 6 y 12 meses. Cuando han transcurrido 3 meses el Sr. Alvarez presenta al descuento dichas letras obteniendo 5.285, 95 euros líquidas (el tanto que le aplican es del 15 % simple, y una comisión del 5 47 % sobre el descuento). Se pide: (a) Nominal de las letras que firma el Sr. Sánchez. (b) Precio de venta al contado del velero, sabiendo que el Sr. Alvarez cuando vende a plazos recarga el precio del artículo en un 25%, deja a elección del cliente la entrega inicial y el resto lo divide en los plazos acordados. (c) Plantear la ecuación que nos lleva a calcular el interés efectivo del comprador. Solución: a) euros b) euros c) 43.09% 17. Unos amigos que quieren montar un despacho necesitan comprar un ordenador pero no disponen de suficiente efectivo de forma que acuerdan hacer un pago en efectivo y firmar tres letras de doble nominal que dicho pago. El vendedor les aplica un tanto del 12% y les exige que las letras sean a 30,60 y 90 días respectivamente. Calcular el nominal de dichas letras si el precio de venta al contado es de euros. A los 45 días y no disponiendo de efectivo deciden cambiar las restantes por una única que venza en 45 días. El vendedor acepta aplicando el mismo tanto pero cobrando una comisión del 0 1% sobre el nominal de dicha letra. Calcular el nominal y plantear la ecuación que nos da el tanto de interés simple efectivo de la operación finalmente realizada. Solución: 1.017,44 euros 2.047,29 euros 12.66% 18. El señor X ha perdido su cosecha debido al desbordamiento de un río colindante a su finca y tendrá que volver a sembrar, aunque en estos momentos carece de fondos para comprar la semilla. Posee dos letras de igual nominal y vencimientos a los 9 y 15 meses respectivamente, que obtuvo al vender una máquina cosechadora. Si el señor X acudiese a un banco A que descuenta aplicando un tanto del 8% simple y una comisión de 1%, obtendría euros. Por otra parte le ofrecen acudir a un banco B que descuenta aplicando un tanto de interés del 7% simple y una comisión del 2%. Se pide: (a) Nominal de las letras que posee el señor X. 2

4 (b) Cantidad que obtendría el señor X si descontara sus letras en el banco B. (c) Qué tanto de descuento debería aplicar el banco A para que al señor X le resultase indiferente ambas propuestas?. (Se mantienen las comisiones). Solución: a) euros b) 1.829,66 euros c) 7.52% 3

5 Sistemas financieros de capitalización y descuento compuesto 19. Un capital de euros se coloca al 8 % simple durante un cierto tiempo, trascurrido el cuál se vuelve a imponer el montante obtenido en una nueva operación de igual duración. Si el montante obtenido en la segunda operación es euros, determinar la duración de la operación. Qué capital habríamos obtenido en una única operación con la misma duración? Solución: 4 años euros 20. Al cabo de un año y cinco meses, cierto capital asciende con sus intereses a euros. Ocho meses más tarde el capital más los intereses suma euros. Determínese su importe y el tanto de interés simple a que se impuso. Solución: euros 6% 21. Cierta persona ingresa en una determinada entidad financiera la cantidad de euros al principio de cada trimestre durante un año, la operación se concierta con un tanto de interés simple del 8% acumulandose los intereses trimestralmente. Calcúlese el capital que recibirá transcurridos dos años desde la primera imposición. Qué capital hubiera recibido cuatro meses antes?. Solución: 9.101,18 euros 8.864,40 euros 22. Calcular el montante de de euros invertido al 6% anual durante 8 años y 5 meses por los convenios exponencial y lineal. Solución: ,18 euros(exp.) ,94 euros(lineal) 23. Calcular el montante producido por un capital de 500 euros invertido al 8% durante 8 años. Calcular así mismo los intereses obtenidos. Solución: 925,47 euros 425,47 euros 24. Determinar el montante de un capital de euros invertido al 6% anual capitalizable por trimestres, siendo 10 años el tiempo que estuvo invertido. Cuál es el tanto anual equivalente? Solución: ,14 euros 6.14% 25. Determinar el tanto anual de interés compuesto que se necesita usar para obtener un montante de euros al invertir euros durante 5 años. Qué tanto efectivo se utilizará si sabemos que se capitaliza por cuatrimestres? Solución: 8.45% 2.74% 26. Durante cuánto tiempo debe invertirse un capital de de euros al 6 % de interés compuesto anual, para que llegue a obtenerse un montante de euros? Solución: 9 años 1 mes y 8 días. 27. Se asocian 3 inversores e imponen un capital de euros entre los tres en la explotación de un negocio. Al cabo de 6 años lo liquidan recibiendo cada uno por capital e intereses ,59 euros el socio A, ,32 euros el socio B y ,73 euros el socio C. Determinar la imposición de cada uno de los socios y el tanto de interés de la inversión. Solución: euros(a) euros (B) euros (C) 5.41% 28. Un banco abona a sus depositantes el 9% de interés capitalizable semestralmente, una segunda entidad abona el mismo 9% capitalizable trimestralmente y una tercera lo hace mensualmente. Determinar el tanto efectivo anual y el montante que se tendría transcurridos 3 años y medio si se colocan euros Solución: 9.20% 6.804,31 euros(a) 9.31% 6.827,42 euros (B) 9.38% 6.843,25 euros (C) 29. Hace 14 años una entidad bancaria nos proporcionó dos formas de inversión, ambas a plazo fijo y a un tanto nominal del 15%, invertido un capital en ambas proposiciones observamos una diferencia de 1.301,10 euros. Calcular el capital invertido sabiendo que en la primera forma de inversión el tanto nominal tenía una frecuencia semestral y en la segunda bianual. Cuánto deberíamos haber invertido en la segunda para que ambos capitales hubieran producido igual montante?. Solución: euros 1.207,35 euros 4

6 30. Cuál es el descuento cobrado por un banco al descontar un efecto de nominal euros al 6% de interés durante 2 años y 6 meses?. Solución: 1.355,59 euros 31. Qué cantidad obtendríamos al descontar racionalmente al 8% un pagaré de nominal euros si éste vence dentro de 2 años y nos cobran una comisión del 0.5%. Cuál sería el tanto de interés efectivamente aplicado? Solución: ,78 euros 8.32% 32. Vendemos una letra de euros al 5% de descuento. Calcular la cantidad obtenida si ésta vence dentro de 4 años y la rentabilidad que obtendrá el comprador si espera al vencimiento Solución: 9.774,08 euros, 5.26% 33. Calcular la cantidad que obtendremos al invertir euros al 5% de interés anticipado durante 2 años y 4 meses. Cuál es el interés obtenido? Y el tanto de interés vencido equivalente? Solución: ,26 euros, 1.500,26 euros, 5.26% 34. Deseamos sustituir dos deudas de y euros que vencen dentro de 5 y 7 años respectivamente por un único pago. Suponiendo que la valoración se realiza al 4 5% convertible semestralmente, determinar: (a) Vencimiento del pago único si este es de euros (b) Vencimiento medio (c) Cuantía del pago único si se realiza dentro de 10 años. Solución: a)6 años, 9 meses y 16 días, b)6 años, 1 mes y 7 días c) euros 35. Por tres préstamos contraídos con una entidad bancaria tenemos las siguientes obligaciones: (a) Pago de euros dentro de 5 años (b) Pago de euros dentro de 10 años (c) Pago de euros dentro de 15 años Queremos efectuar una entrega única de euros valorando al 5% de interés. Dentro de cuántos años debemos efectuar la entrega?. Cuál debería ser la cantidad a entregar a los 12 años para saldar las tres deudas?. Solución: 11 años, 1 mes y 12 días ,89 euros 36. Una deuda de euros que vence dentro de 4 años la queremos sustituir por 4 pagos de 250 euros a realizar en 4 años consecutivos. Calcular dichos vencimientos si valoramos al 6% de interés anual compuesto. Solución: 2 años, 6 meses y 18 días,...,5 años, 6 meses y 18 días 37. Descontamos hoy una letra que vence dentro de 72 días al 8% de descuento simple anual e invertimos durante 2 años y 4 meses la tercera parte al 6% de interés compuesto anual y el resto al 4 5% de interés simple semestral. Sabiendo que el montante total obtenido es de 1.169, 53 euros. Determinar el nominal de la letra. Solución: euros 38. Dos letras de cambio de igual nominal y vencimientos dentro de 18 meses se descuentan hoy al 10% de descuento comercial simple la primera, y con descuento racional simple la segunda, siendo del 10% el tanto de interés. Sabiendo que la diferencia de los efectivos es de 20 euros, se pide calcular la suma de los montantes de los efectivos anteriores dentro de 18 meses, sabiendo que el primero se capitaliza al 10% anual de interés simple y el segundo al 10% anual de interés compuesto con convenio lineal. Solución: 2.025,89 euros 5

7 Rentas 39. Calcúlense los valores inicial y final de una renta discreta, inmediata, formada por 10 términos de cuantía euros y valorada a un tanto periodal del 5%. Distinguir los casos prepagable y pospagable. Solución: 7.721,73 euros ,89 euros. (posp.) 8.107,82 euros ,79 euros (prep.) 40. Calcular la diferencia entre los valores actuales, valorando al 13%, de dos rentas de cuantía constante anual 500 euros, prepagables e inmediatas de 100 años de duración una e indefinida la otra. Solución: 0,0214 euros. 41. Calcular el valor actual de una renta postpagable de 400 euros trimestrales, valorando al 12% nominal, a la que tendremos derecho dentro de un año y recibiremos durante los 5 siguientes. Solución: 5.287,38 euros. 42. Cierta persona ha venido realizando durante 7 años imposiciones de euros al principio de cada semestre en una entidad financiera que capitaliza a rédito constante semestral del 4%. Determínese el montante de que podrá disponer en este momento sabiendo que hace un año que realizó la última imposición. Solución: ,53 euros. 43. Una finca tiene un valor estimado de euros pero está gravada con un censo, que se paga cada 2 años por un importe de euros. Si el próximo censo vence dentro de 2 años, cuál es el valor neto de la finca suponiendo un tipo de interés efectivo anual del 8 5%? Solución: ,28 euros. 44. Un club deportivo compra terrenos adicionales por un valor de euros pagando euros al contado y comprometiéndose a pagar el resto en 6 pagos anuales iguales al final de cada año. Cuál deberá ser el importe anual de cada pago si el tipo de interés pactado es el 10% anual?. Solución: 3.444,11 euros. 45. Determínese el número de términos postpagables de cuantía constante euros necesarios para cancelar una deuda de euros sabiendo que para su valoración se utiliza un rédito periodal constante del 10%. Si el resultado obtenido no es entero redondearlo por defecto y considerar un pago complementario al contado. Solución: 11 pagos de euros y 257,41 euros al contado. 46. Mediante el pago de euros al final de cada año se pretende cancelar una deuda de euros. Si el tanto de valoración es el 10% anual. Cuál será el número de pagos a efectuar?. Si el resultado obtenido no es entero redondearlo por exceso y modificar la cuantía de los pagos. Solución: 15 pagos de 1.972,11 euros. 47. El valor al contado de una vivienda es de euros y nos proponemos adquirirlo entregando euros en el momento de la compra y el resto en 20 pagos anuales de euros, efectuándose el primero al año de la compra. Qué tanto de interés nos cobran por los pagos aplazados? Solución: 7.75% 48. Calcúlese el valor actual de una renta prepagable de cuantía anual de euros y 5 años de duración, si para su valoración se utiliza un rédito constante anual del 11% los 3 primeros años y del 10% los restantes. Solución: 8.216,87 euros. 49. Calcular el valor actual de una renta postpagable de 10 términos anuales cuyos tres primeros son de 800 euros, cada uno de los 4 siguientes de euros y los restantes de euros. El tipo de interés es del 8% para los 4 primeros años y del 10% para los restantes. Solución: 6.922,54 euros. 6

8 50. Un señor necesita disponer de un capital de euros dentro de ocho años. Determínese la cuantía de las imposiciones a realizar en los casos: (a) Ocho imposiciones anuales prepagables de cuantía constante A en una entidad que capitaliza al 8%. (b) Imposiciones anuales postpagables de cuantía B los seis primeros años y de cuantía 2B los restantes valorando al 8%. (c) Imponer al principio de cada año una cuantía constante C durante los ocho años, siendo los réditos anuales de valoración en este caso del 7% los 5 primeros años y del 9% para los restantes. Solución: A=3.482,03 euros B=3.145,49 euros. C=3.465,65 euros. 51. Mediante la entrega de euros al término de cada año y durante 11 años se pretende constituir un capital que permita percibir durante los 20 años siguientes una renta constante. Calcular el término de la misma si la operación se evalúa al tanto anual del 9%. Solución: 6.732,84 euros. 52. Al objeto de que su hijo de 14 años de edad, reciba al alcanzar los 23 años la suma de euros, el Sr. López entrega cierta cantidad al final de cada año en una entidad bancaria que computa intereses al 8 5% para este tipo de depósitos. Transcurridos cinco años el banco eleva el tipo de interés al 9%. Se pide la anualidad que entregaba el Sr. López y la anualidad necesaria después de la subida del tanto para obtener la misma suma. Qué cuantía podría retirar el hijo si se continuasen depositando los mismos importes? Solución: 784,24 euros. 752,33 euros ,89 euros 53. Cierta persona con derecho a percibir dentro de 3 años una renta pospagable semestral de cuantía euros y con duración indefinida solicita en el momento actual sustituirla por otra renta trimestral de 20 años de duración, recibiendo el primer término en este mismo momento. Si los tantos nominales semestrales de valoración son del 9% para los 10 primeros años y del 10% para los siguientes, determínese la cuantía trimestral a percibir. Solución: 429,20 euros. 54. Una inmobiliaria pone en venta pisos cuyo precio de contado asciende a euros y ofrece a sus compradores las siguientes formas de pago: (a) Dar entrada del 25%, el 50% mediante 10 letras semestrales, la primera dentro de 6 meses, y el 25% restante es financiado mediante una hipoteca cuya amortización se realiza en 12 años a razón de 3.228,74 euros anuales. (b) Entregar euros de entrada, euros al cabo de 6 meses y el resto en letras mensuales durante 10 años, siendo el vencimiento de la primera dentro de un año. Sabiendo que la inmobiliaria carga un 21% de interés en los pagos aplazados, cuál será la cuantía de estos en cada una de las modalidades?. Qué tanto de interés se aplica para constituir la hipoteca?. Plantear la ecuación que nos da el tanto global de la primera opción. Qué modalidad le interesaría más a un posible comprador desde el punto de vista financiero? Solución: 6.509,82 euros.(a) 1.252,27 euros.(b), 12%, 16.66% 1 a. 55. Calcular el valor actual de los ingresos que percibirá una empresa en los próximos 6 años, sabiendo que la producción del primer año se valora al final del año en euros y que será incrementada cada año sobre el anterior en euros si para la valoración se utiliza el 10%. Solución: ,49 euros. 56. El concesionario de la explotación de una patente tiene convenido con el inventor indemnizarle en la siguiente forma: Al final de cada año durante 8 años le entregará cantidades crecientes comenzando por euros y aumentando cada año en euros, en los años del 9 al 12 se percibirá la cuantía del octavo y a partir del año 13 se comenzará a ir disminuyendo las entregas en euros cada año respecto del anterior. Después de pagado el cuarto plazo deciden de común acuerdo sustituir los pagos restantes por cuantías constantes en el mismo número de las que quedan por vencer. Si el tipo de interés de valoración es el 7

9 12% anual, determinar el valor actual de las cuantías a abonar por la concesión y la cuantía constante a abonar después del cuarto año. Solución: ,34 euros , Cierta persona impone en un banco el primero de Enero de cierto año la cantidad de euros y en la misma fecha de los años siguientes impone una cantidad que es un 10% mayor que la del año anterior. Qué cantidad reunirá al cabo de 8 años de efectuar la primera imposición, si la entidad capitaliza al tanto del 5% anual?. Distinguir si ha vencido el noveno término o no. Solución: ,39 euros (si) ,80 euros. (no) 58. Una persona que percibe actualmente un sueldo neto anual de de euros ahorra el 25% de sus ingresos y los deposita al final de cada año en una entidad bancaria que capitaliza al 5%. Determínese la cuantía de que podrá disponer al cabo de 10 años en el supuesto de que las subidas salariales sean del 8% anual acumulativo durante los 5 primeros años y del 6% durante los restantes. Solución: ,83 euros. 59. La Sociedad Anónima X estudia un proyecto consistente en el montaje de un determinado servicio, cuyas instalaciones significan un gasto inicial de euros y unos gastos periódicos de cuantía euros durante los tres primeros años, decreciendo después a razón de un 8% anual sobre esta cantidad. Los ingresos se estiman en el 70% de los gastos anuales durante los tres primeros años creciendo un 10% acumulativo a partir del tercero. Suponiendo que la explotación del servicio se realice durante 15 años al cabo de los cuales se traspasa a un tercero por euros, calcular el valor actual de los beneficios tomando como tanto de valoración el 5% y plantear la ecuación que nos da el tanto interno de rendimiento del proyecto. Solución: ,83 euros. 15% 60. En una línea de ferrocarril existe un paso a nivel que tiene que ser guardado por vigilantes cuyos salarios ascienden a euros anuales, mediante pagos iguales al final de cada mes. La construcción de un puente asciende a de euros y tiene que ser reemplazado cada 20 años, siendo sus gastos de conservación de euros anuales (supuestos vencidos). Valorando al 5%, le interesa a la compañía construir el puente?. Solución: Valor actual salarios ,56 euros. Valor actual puentes ,74 euros. Si. 61. Calcúlese con fecha 1 de Enero, el valor actual al 5% de los ingresos que pueden obtenerse por la explotación de un kiosco de venta de helados durante los próximos 10 años, si se estima que los ingresos ascenderán a euros al final de cada mes durante los meses de Mayo a Septiembre en que permanece abierto. Solución: ,24 euros. 62. Un estudiante prevé que va a tener los siguientes gastos durante los cinco años de carrera: Gastos de matricula 600 euros los dos primeros años, subiendo a 800 euros en los tres siguientes. Estas cantidades se pagan el 50% el 1 de Octubre de cada año y el resto el 1 de Enero del año siguiente. Gastos de material 200 euros al comienzo de cada uno de los tres trimestres del curso. Gastos de manutención y alojamiento 600 euros mensuales a pagar al final de cada mes durante los nueve meses de curso (de Octubre a Junio) durante el primer año, incrementándose a razón de un 8% acumulativo anual en años sucesivos. Determínese la cantidad que tendrá que depositar en estos momentos, al inicio de la carrera, en una entidad financiera que capitaliza al 5% anual, para poder hacer frente a estos pagos. Solución: ,06 euros. 63. La Sociedad Ferroviaria X pretende construir un ramal de ferrocarril para dar salida a la producción de una fábrica de cementos de reciente creación. Se estima que la instalación de vías y adquisición de material (máquinas, vagones, etc.) alcanzará un millón de euros. Los diversos gastos de carácter mensual se elevan a euros durante el primer año incrementándose en lo sucesivos a razón de euros anuales. Cada ocho años es preciso empezar a reponer el tendido de la vía, operación que tarda en realizarse cuatro 8

10 años, importando anualmente euros. Cada diez años se prevén unos gastos de material de euros. Sobre la base de este informe técnico y valorando a un tanto del 10% constante anual, ha de fijarse el precio base que la Sociedad Ferroviaria X debe cobrar por tonelada transportada suponiendo una producción de salida de la fabrica constante de toneladas mensuales. La duración de la concesión del transporte es de 30 años. Transcurrido este tiempo las instalaciones pasan a ser propiedad de la fábrica de cementos. Solución: 0,175 euros/tm 64. Una empresa para resolver sus problemas de transporte, puede decidir entre las siguientes opciones: (a) Adquisición cada 4 años de un vehículo que le cuesta euros y tiene unos gastos de conservación y reparación que se estiman en euros anuales al final de cada año. (b) Adquisición cada 6 años de un vehículo que le cuesta euros y tiene unos gastos de conservación y reparación de euros anuales al final de cada año. Suponiendo un interés del 15% anual. Cuál de las dos opciones es más interesante para la empresa si al final de la vida útil se efectúan las correspondientes renovaciones con carácter indefinido. Solución: G a = ,12 euros G b = ,76 euros (a) 65. Tres compañeros de la Escuela de Empresariales, tras finalizar sus estudios en la misma, deciden crear una empresa que ofrece el servicio de conexión a Internet. Para ello, alquilan un local que les cuesta euros mensuales y piden un crédito que les supone un gasto de 3.949,67 euros cada cuatrimestre al final del mismo, y con el que afrontan los pagos que les ha supuesto adquirir la franquicia que les permite ser servidores de Internet. Estiman unos gastos de mantenimiento bimensuales de 500 euros. Los ingresos estiman que aumentarán cada mes en un 15% acumulativo durante los tres primeros años, estabilizándose en el mismo nivel que el último mes del tercer año los tres restantes. Para la valoración se utiliza un tanto de interés compuesto anual del 9%, y un horizonte temporal de seis años. (a) Cuáles deberán ser los ingresos del primer mes para que la empresa no incurra en pérdidas ni tenga beneficios? (b) Cuál es el importe del préstamo pedido por los tres amigos si el tanto de interés anual compuesto aplicable al mismo es del 12,4864 %? Solución: a) 27,44 euros b) euros. 9

11 Amortización de préstamos 66. Nos conceden un préstamo de euros al 8% de interés. Si la duración del mismo es de 6 años, calcular cuánto tendremos que pagar transcurridos 6 años y la reserva o saldo al principio del cuarto año. (a) Si se amortiza el préstamo mediante reembolso único de capital e intereses. (b) Si se amortiza el préstamo mediante reembolso único de capital pagando los intereses cada año. Solución: a) ,12 euros 8.817,98 euros b) euros euros 67. Una entidad bancaria concede un préstamo de euros a cierta S.A. para ser amortizado en 15 años mediante reembolso único de capital pagando los intereses cada año a partir del tercero. Si el rédito anual concertado es el 10%, determinar las cuotas de intereses y el capital a entregar. Solución: euros euros 68. Una entidad bancaria concedió un préstamo de euros para ser amortizado en 7 años mediante reembolso único de capital e intereses, el rédito anual concertado fue del 5% para los dos primeros años y del 6% para los restantes. Transcurridos cuatro años, de común acuerdo, deciden que se paguen los años restantes las cuotas de interés. Determinar el capital a entregar y dichas cuotas de interés. Solución: ,69 euros 743,26 euros 69. Una entidad bancaria ha otorgado un préstamo de euros para devolver en 10 años a un tipo de interés del 4% anual por el método de amortización progresivo o francés. Calcular la cuantía constante de las anualidades y las cuota de amortización e interés del cuarto año. Cuales serán las del sexto año? Solución: 1.232,91 euros 936,91 euros 296 euros, 1.013,36 euros 219,55 euros 70. Para amortizar un capital de euros en 8 años a un tipo de interés del 6% anual, durante los dos primeros años no se entrega ninguna cantidad como contraprestación, y en los seis restantes los términos amortizativos son constantes. Calcular estos términos y el capital amortizado a los cuatro años. Solución: ,82 euros ,94 euros. 71. Un préstamo de euros ha de amortizarse en 10 años, con abono de intereses anuales al 8% los seis primeros años y al 9% los cuatro restantes. Si durante los dos primeros años sólo se abonan las cuotas de interés y en los restantes el término amortizativo es constante, calcular la cuantía de los términos amortizativos y el capital vivo al comienzo de los años tercero y quinto. Solución: ,31 euros euros ,27 euros. 72. Se desea amortizar un préstamo de euros mediante 20 anualidades vencidas, siendo el tipo de interés del 6% para los primeros 8 años, del 6 5% para los seis siguientes y del 7% para los 6 últimos. Se pide la anualidad que amortiza el préstamo, el saldo a principios del año 8 y el tanto efectivo del préstamo. Solución: ,88 euros ,45 euros. 6.19% 73. Una persona cobra durante 12 años 200 euros al principio de cada uno de ellos. Los intereses se capitalizan al 4 5%. Al finalizar el duodécimo año presta la cantidad retirada (redondeada a euros) a un comerciante que se compromete a reembolsar el préstamo a base de 6 anualidades constantes, que empezará a pagar un año después de constituirse el préstamo a un tanto del 6%. Se pide el importe de la anualidad que permite el reembolso y el importe de la deuda del comerciante después del pago de la quinta anualidad. Solución: 657,26 euros. 620,06 euros. 74. En un préstamo de euros que tiene que ser amortizado en 10 años abonándose intereses del 7 5% mediante cuotas de amortización constantes, se pide la anualidad del quinto periodo y la cuota de interés del séptimo. Solución: euros. 300 euros. 75. Se concede un préstamo de euros para su amortización en 8 años, mediante el método de cuotas de amortización constantes. Si el tipo de interés es 12% anual obtener la cuantía de la séptima anualidad, el capital amortizado en los 4 primeros años y el capital pendiente al principio del octavo. Solución: euros euros euros. 10

12 76. Se otorga un préstamo de euros para amortizarse en 5 años abonándose anualmente solamente el interés al 9 5% y debiendo devolver el principal al final de la operación. El deudor concierta simultáneamente una operación de reconstitución del capital al 8 5% anual y entregando una cuantía constante al final de cada año. Calcular la cantidad a desembolsar por el deudor y la cantidad acumulada en el fondo al final del tercer año. Solución: 6.594,14 euros ,80 euros. 77. Una sociedad contrae un préstamo de euros con una entidad bancaria para amortizar por el sistema americano al 6% anual con una duración de 10 años. Por otra parte forma un fondo en otro banco en el cual realizará imposiciones semestrales para conseguir el montante que extinga la deuda a un tanto del 5%. Calcular la cuota de interés del sexto año del préstamo y la cuantía constante que hay que imponer en el fondo. Plantear además la ecuación que nos da el tanto efectivo a que resulta la doble imposición. Solución: 600 euros. 392,67 euros. 6.61% 78. Una entidad financiera concede un préstamo de euros a un interés anual del 12% para ser amortizado en 10 años mediante una renta con anualidades variables en progresión aritmética de razón 150 euros, determinar las cuantías de las anualidades primera y quinta, así como su descomposición en interés y amortización. Solución: 1.586, 11 = , 11 (euros) 2.186, 11 = 1.239, , 81 (euros) 79. Cierta entidad ha concedido un préstamo de cuantía euros, duración 10 años, abono de intereses al 14% y la amortización se realiza mediante la entrega de términos anuales variables en progresión aritmética de razón d=500. Determínese la tercera anualidad y el capital pendiente al principio del quinto año. Es posible la amortización de este préstamo en las mismas condiciones anteriores pero con d= y con d= 2.000? Solución: 8.861,16 euros ,30 euros. Ninguno de los dos casos. 80. Una sociedad contrae un préstamo de de euros con una entidad bancaria para amortizar en 6 años al 5% anual mediante anualidades que aumentarán el 50% de la anterior. Determínese la primera anualidad, el capital pendiente al principio del tercer año y las cuotas de amortización del cuarto y último año. Solución: ,12 euros ,14 euros ,31 euros ,69 euros. 81. En una entidad financiera se solicita un préstamo de euros amortizable en 10 años mediante anualidades constantes a un tanto de interés anticipado del 10%. Se pide la anualidad, la cuota de amortización del cuarto año y la cuota de intereses correspondientes al sexto vencimiento. Solución: 2.686,84 euros ,80 euros. 924 euros. 82. Una entidad bancaria concede un préstamo de euros para ser amortizado en 6 años a un tipo de interés del 11% mediante una renta anual constante. Transcurridos tres años se decide de común acuerdo cambiar las condiciones del préstamo pasando a ser estas del 9% de interés anticipado y con cuotas de amortización constantes. Se pide la anualidad con que se inicia el préstamo, cuotas de amortización a partir del cambio de condiciones y pago efectuado en ese momento. Solución: 3.545,65 euros ,18 euros ,46 euros. 83. Un préstamo de euros se amortiza en 5 años con anualidades a 1 = a 2 = a a 3 = 1 5a, a 4 = 2a, a 5 = 3a y tipos de interés i 1 = 0 08, i 2 = 0 085, i 3 = 0 09, i 4 = 0 1 y i 5 = Se pide el valor de las anualidades primera y última, qué capital tendremos amortizado a los tres años? Solución: 1.587,09 euros ,26 euros ,91 euros. 84. En un préstamo de euros, duración de la operación 8 años y abono de intereses anticipados, los intereses concertados son i 1 = i 2 = 0 08; i 3 = 0 09; i 4 = i 5 = i 6 = 0 10; i 7 = 0 105; i 8 = 0 11 y las cuotas de amortización siguen la ley m k = k m con k = 1, 2,..., 8. Calcular el valor de las cuotas de amortización primera y última así como la cuota de interés que se paga al final del tercer año. Solución: 500 euros euros euros. 85. De un préstamo de euros amortizable en 10 años por el sistema francés al 4%, determinar el valor, usufructo y nuda propiedad al principio del año 8. Tanto de valoración 5%. Solución: 3.357,52 euros. 255,67 euros ,85 euros. 11

13 86. Consideremos un préstamo de euros a amortizar en 8 años al 12%. Calcúlese el valor financiero, usufructo y nuda propiedad transcurridos 4 años con rédito de valoración de mercado del 11%, si se amortiza por los sistemas americano y uniforme. Solución: Americano: ,22 euros ,67 euros ,55 euros. Uniforme: ,97 euros ,69 euros ,29 euros. 87. Se otorgó un préstamo de euros para ser amortizado en 12 años a un tipo de interés del 12% anual. Si en este momento, principio del sexto año del préstamo, el tipo de interés del mercado es del 11%, determinar el valor del préstamo, del usufructo y de la nuda propiedad, si se amortiza mediante términos variables en progresión, aritmética de razón 100 euros o geométrica de razón Solución: Aritmética: ,01 euros ,09 euros ,92 euros. Geométrica: ,98 euros ,55 euros ,43 euros. 88. Un préstamo alemán fue concedido hace 3 años con las siguientes características: capital prestado euros, duración de la operación 10 años y tanto anual anticipado del 6%. Si en este momento el acreedor vende el préstamo a un tanto del 5%. Determinar el valor, usufructo y nuda propiedad distinguiendo si los intereses del cuarto año se han o no devengado. Considerar anualidades constantes y cuotas de amortización constantes. Solución: Anualidades: 7.524,79 euros ,35 euros ,44 euros. (si) 7.981,92 euros ,48 euros ,44 euros. (no) Cuotas: 6.895,54 euros ,17 euros ,37 euros. (si) 7.315,54 euros ,17 euros ,37 euros. (no) 89. Un individuo desea obtener un préstamo de nominal de pesetas, a amortizar con términos amortizativos constantes y trimestrales durante 20 años. Para ello acude a una entidad financiera que le propone bien el sistema francés con un interés del 9% nominal bien el sistema alemán con un interés del 8.75% nominal anticipado (ambos pagaderos trimestralmente). Se pide respecto a ambos préstamos: (a) Descomposición en cuota de amortización e interés del decimotercer término amortizativo. (b) Valor financiero, usufructo y la nuda propiedad al final del tercer año, con un interés de mercado del 8%. Solución: Francés: a) 3.247, 65 = 715, , 39 (euros) b) ,47 euros ,04 euros ,44 euros. Alemán: a) 3.164, 29 = 718, , 34 (euros) b) ,27 euros ,92 euros ,36 euros. 90. Una sociedad contrata un préstamo de euros a devolver en 5 años, a un tanto de interés anual del 8%. Las anualidades serán de una cantidad a la primera, 3a la segunda, 2a la tercera, 5a la cuarta, y 4a la quinta. Calcular la tercera anualidad y su descomposición en cuota de interés y amortización. Si el tanto de interés de mercado al finalizar el segundo año es del 10 %, calcular el usufructo y la nuda propiedad. Solución: , 92 = 6.488, , 16 (euros) ,57 euros ,53 euros. 91. El señor López entrega un capital de euros para recibir 8 años después su equivalente, pactando la operación un tipo de interés del 8% anual. Si el deudor pretendiese cancelar la operación al principio del quinto año y el tanto del prestamista es del 10% qué cantidad exigirá éste como mínimo para rescindir?. Si el deudor entregase en el punto anterior euros cuál sería el nuevo saldo pendiente y cual sería la cantidad que tendría que entregar al final de los 8 años?. Solución: 6.321,05 euros ,82 euros ,25 euros. 92. Un préstamo de euros, debe amortizarse con sus intereses acumulados al 6% a los 15 años. A los 5 años el deudor hizo una entrega parcial, momento en que el tanto de interés era del 4 5% y a los 15 años canceló su deuda entregando de euros, cuál fue la cantidad entregada en el año 5? Solución: 2.553,55 euros. 12

14 93. Un préstamo de euros contratado al 6% durante 8 años se cancela de la siguiente forma: Un primer pago de 900 euros 3 años antes del vencimiento y un segundo pago al vencimiento final. Hallar el importe del segundo pago. Y si al efectuar el primer pago el tanto del mercado es del 4%? Solución: 2.115,78 euros ,32 euros. 94. Hace 7 años se concedió un préstamo de euros al 8% para ser reembolsado mediante pago único de capital e intereses en 10 años. Calcular la cantidad mensual que se ha depositado en un fondo durante 4 años al 7% si con el capital constituido se logra hoy cancelar totalmente el préstamo a un tanto de interés de mercado del 6%. Solución: 263,82 euros. 95. Inmediatamente después de pagados los intereses del cuarto año el deudor quiere cancelar un préstamo de euros, amortizable al 6% en 10 años con pago anual de intereses. Qué cantidad debe entregar si en dicho momento el tanto de interés es el 4%?. Qué saldo quedará si hace una entrega de euros? Solución: ,43 euros ,58 euros. 96. Una deuda de euros se amortiza en 10 años, método francés, a un tipo de interés del 11 5% anual. Al principio del sexto año de la operación, el dinero en el mercado se presta a un tipo de interés del 13%. Calcular la reserva al principio del sexto año y la cantidad a abonar para cancelar la operación (en el supuesto de ser aceptado el tanto de mercado por ambas partes). Cuál sería la nueva anualidad si se cancelase parcialmente la operación entregando euros?. Cuál sería el saldo pendiente en este caso? Solución: 2.214,82 euros ,33 euros. 322,51 euros ,11 euros. 97. Una entidad bancaria concede un préstamo de euros para ser amortizado en 8 años a un tipo de interés del 11% mediante una renta anual constante. Transcurridos 3 años el tipo de interés que aplica la entidad en los préstamos que concede es el 12%, determinar la cantidad que tendría que abonar el prestatario para rescindir la operación al nuevo tipo de interés si además la entidad exige una compensación adicional del 1% del saldo. Qué anualidades habría que pagar en lo sucesivo si se cancelara parcialmente la operación abonando euros y no existiera en este caso penalización? cuál sería el saldo pendiente en este caso? Solución: ,99 euros ,18 euros ,75 euros. 98. Determinar los tantos efectivos del deudor y del acreedor en un préstamo simple de a devolver dentro de 5 años con unos intereses del 12% anual si en la operación inciden las siguientes características: Gastos a cargo del deudor en el origen y final de la operación del 3% del capital prestado. Gastos iniciales a cargo del acreedor del 0 5% del capital prestado. Impuestos sobre los rendimientos a un tipo del 16% Solución: 13.06% 10.29% 99. Obtener las ecuaciones de los tantos efectivos del deudor y del acreedor en un préstamo de euros a amortizar en 4 años a un tipo de interés del 12 5% anual mediante anualidades constantes considerando: Gastos iniciales y finales a cargo del deudor del 2 4% del capital prestado. Impuestos anuales sobre los intereses, a cargo del acreedor a un tipo del 15% Gastos de administración anuales constantes de euros a cargo del deudor. Solución: 14.46% 10.62% 100. Un préstamo de euros al 7% se amortiza en 10 años con anualidades constantes percibiéndose la primera a los tres años de concertada la operación. Si el prestatario tiene unos gastos iniciales de 50 euros y el sistema impositivo le detrae al prestamista el 1% de las anualidades, determinar las ecuaciones que nos dan los tantos efectivos del prestamista y del prestatario. Solución: 6,83% 7.09% 13

15 101. El señor X solicita un préstamo de euros para devolverlo en 7 años a un tanto de interés anual efectivo del 16.64%, mediante semestralidades postpagables constantes de cuantía a los cuatro primeros años y semestralidades constantes de cuantía 2a para los tres años restantes. Transcurridos 3 años, el señor X recibe la devolución de la declaración de la renta que asciende a euros y decide utilizar esta cantidad para efectuar una cancelación parcial anticipada una vez que se ha pagado la sexta semestralidad. Se pide: (a) Descomponer el décimo término amortizativo en amortización e intereses. (b) El valor financiero, la nuda propiedad y el usufructo al final del segundo año, suponiendo que ya se ha pagado la cuarta semestralidad y que el tanto de mercado es del 12.36% anual efectivo. (c) El valor de la última nueva semestralidad si éstas siguen la misma ley y el tanto de mercado es del 12.36%. Solución: a) 7.447, 52 = 5.068, , 86 (euros) b) ,16 euros ,07 euros ,09 euros. c) 6.502,89 euros El señor X desea comprar un piso para lo que entrega una entrada de euros, cinco pagos trimestrales, abonándose el primero de euros a la entrega de la entrada y aumentando cada uno sobre el anterior en 250 euros, y una hipoteca a la entrega de las llaves, que se efectuará coincidiendo con el vencimiento de la última letra, por un total de euros. A los cinco años de contratar la hipoteca, siendo el tanto de mercado del 9% (anual vencido), el banco le propone cancelar la hipoteca a cambio del 30% de sus ingresos (que entregaría al banco al final de cada mes) durante los próximos 5 años. Se pide: (a) Precio al contado del piso valorando todos los desembolsos al 10% anual vencido. (b) Importe de los pagos mensuales de la hipoteca si se contrata al 12% de interés nominal vencido por 10 años. (c) Descomposición del valor financiero los cinco años en usufructo y nuda propiedad. (d) Aceptará la proposición si los ingresos anuales para el primer año son de euros y espera subidas anuales acumulativas del 5%? Solución: a) ,31 euros. b) 1.434,72 euros. c) ,62=18.577, ,76 (euros) d) V=63.874,24 euros. Si El señor López pide al Banco A un préstamo hipotecario de euros para amortizarlo en 10 años mediante mensualidades postpagables constantes; el tanto nominal capitalizable mensualmente aplicado es del 10%. Transcurridos tres años se pueden conseguir en el mercado préstamos hipotecarios al 8% efectivo anual, por lo que el señor López piensa en liquidar su antigua hipoteca y constituir un nuevo préstamo a amortizar en los siete años restantes también mediante mensualidades constantes. El Banco A estipula contractualmente para la cancelación anticipada la entrega del saldo incrementado en un 1%. El nuevo préstamo origina unos gastos iniciales del 3% de la cantidad adelantada que se abonarán al contado. Se pide: (a) Mensualidad del primer préstamo. (b) Suma que ha de entregarse para que el banco acepte la cancelación y cuantía de la nueva mensualidad. (c) Es conveniente la operación (tener en cuenta que el interés del mercado ha variado)? Solución: a) 1.321,51 euros. b) ,23 euros ,97 euros. c) V 1 =85.548,32 euros. V 2 = ,21 euros. si 14

16 104. El señor X compra un piso pagando euros de entrada, seis pagos cuatrimestrales efectuando el primero cuatro meses después de la entrada, siendo éste de euros y aumentado cada uno de los demás en 250 euros sobre el anterior, una aportación extra de euros 9 meses después de la entrada y un pago final de euros a efectuar junto con el último pago cuatrimestral. Para hacer frente a los seis pagos cuatrimestrales firma letras, para hacer frente a la aportación extra elabora un plan de ahorro trimestral en un banco que capitaliza al 12 % de interés anual simple y el pago de euros lo realiza mediante la firma de una hipoteca con el banco A, de pagos trimestrales vencidos con una duración de 15 años y tanto nominal del 12 % (capitalizable trimestralmente). A los 3 años de firmada la hipoteca con el banco A, recibe una oferta de la caja de ahorros B, de una hipoteca de pagos mensuales vencidos, 12 años de duración y tanto de interés del 9 % nominal (capitalizable mensualmente), que utilizaría para cancelar la hipoteca firmada con el banco A que cobra para cancelar el saldo junto con una comisión del 1%. (a) Calcular el valor del piso valorando a tanto anual compuesto del 10% (b) Calcular la cantidad que obtendrá la inmobiliaria al descontar las letras en un banco a tanto de descuento del 12 % anual simple, la cuota del plan de ahorro (prepagable y constante) y el término amortizativo de la hipoteca firmada con el banco A. (c) Calcular la cantidad que el banco A exigiría para cancelar la hipoteca y el término amortizativo de la hipoteca propuesta por la caja de ahorro B. (d) Aceptará la propuesta de la caja de ahorros B si valora ambas opciones a un tanto de interés del 10%? Solución: a) ,93 euros. b) euros ,65 euros ,61 euros. c) ,67 euros ,11 euros. d) ,89 euros. (A) ,09 euros. (B) No. 15