CONCEPTO DE CAMPO. INTERACCIÓN A DISTANCIA. La interacción entre dos partículas puede hacerse de dos maneras:

Transcripción

1 CONCEPO DE CPO. INERCCIÓN DISNCI La inteacción ente dos patículas puede hacese de dos maneas: Po contacto ente ellas, que seía el caso de dos bolas que chocan Po acción a distancia, esto es, petubando las popiedades del medio donde se encuentan las patículas. Supongamos a la tiea como una masa aislada, decimos que ella cea un campo (campo de fuezas gavitatoio) poque poduce una petubación en el espacio que la odea, de tal manea que si en él colocamos ota masa, se veá sometida a una fueza (que le llamamos peso). Dicho de ota foma, la tiea ejece una fueza sobe la ota masa a distancia, sin necesidad de tocala. Paa hacenos una idea claa de lo que es un campo, piensa en una fuente sonoa, como una adio. Cuando está en funcionamiento, continuamente emite ondas sonoas que se popagan po el espacio que la odea. Podemos deci que en ese espacio hay un campo de sonido. hoa vamos a epaa que significa eso:. Se necesita un agente que cee el campo. En este ejemplo la adio.. En todos los lugaes no se pecibe la misma intensidad sonoa, de manea que si nos acecamos o alejamos lo oímos más o menos fuete. En geneal puede decise que un campo es la egión del espacio donde se manifiesta una popiedad física que toma un valo distinto en cada punto. 3. Ya sabemos que la adio cea un campo de sonido, peo cómo sabemos que en un punto hay campo, hay sonido? Evidentemente la manea de sabelo es coloca a alguien que no sea sodo o un micófono. En geneal diemos que paa poba la existencia de un campo necesitamos un testigo o agente sensible al campo. 4. El testigo debe se sensible al campo conceto, dicho de ota foma debe tene la misma popiedad que el agente que cea el campo. Paa poba la existencia de un campo gavitatoio necesitamos una masa, paa un campo eléctico una caga, paa uno magnético una bújula que no es más que un imán. 5. En el caso de la adio, como compendeá el sonido poducido no llega a todos los puntos de foma instantánea, sino que lo haá a la velocidad del sonido. En el caso de los campos gavitatoio y eléctico la petubación se popaga a la velocidad de la luz. 6. Finalmente digamos que el campo ceado po un agente no ejece ninguna acción sobe él mismo. Clases de campos Los campos se clasifican según que la magnitud física sea escala o vectoial, así tenemos campos escalaes o vectoiales. Si la magnitud física, además de depende de la posición, dependiea del tiempo al campo se le llama dinámico, y estático si no depende del tiempo. ) Campos escalaes: Son aquellos en los que la magnitud física que se manifiesta es un escala. Po ejemplo, la densidad de un sólido no homogéneo, como la tiea, puede considease como un campo escala. Ya sabes que la densidad de la tiea aumenta si nos acecamos al núcleo, es deci que depende de la posición: ρρ(x,y,z).

2 Oto campo escala es la tempeatua en la atmósfea, poque en cada punto toma un valo, ya que depende de la altitud, peo además en este caso se tata de un campo dinámico, poque los valoes en cada punto vaían de unos días a otos es deci que (x,y,z, t).. Los campos suelen epesentase po unas líneas (o también po supeficies) obtenidas uniendo todos los puntos en los que la popiedad física toma el mismo valo, po esa azón, en los campos escalaes, se las llama líneas equiescalaes. En algunos casos estas líneas tienen nombe popio, como en el caso de las tempeatuas, donde se llaman isotemas, o de las pesiones, donde se llaman isóbaas. ) Campos vectoiales: Son aquellos en los que la magnitud física que se manifiesta es un vecto. Los campos gavitatoio y eléctico son de este tipo, poque en todo punto de los mismos se puede defini una fueza cuyo valo es función de la posición en el campo. Lo que pasa es que paa pone de manifiesto la existencia de esta fueza es peciso coloca a un testigo y esulta que el módulo de la fueza no solo es función de la posición del punto, sino que también depende de la caacteística del agente sensible o testigo. Convención: En lo que sigue llamaemos o Q a la masa o caga que cea el campo y m o q a la masa o caga del testigo, aunque podían llamase m y m Suponga una masa (o una caga eléctica Q) en el oigen de un SR. su alededo ceaá un campo gavitatoio (o un campo eléctico), de tal foma que si en cualquie punto del mismo colocamos a un testigo m o q sobe él actuaá una fueza que viene dada po la ley de gavitación de Newton en el caso de las masas o po la ley de Coulomb en el caso de las cagas. F gav m m G ( u ) F eléct q q k u

3 La diección de la fueza es siempe según la ecta que une las cagas (o las masas), po tanto tiene la misma diección que el vecto de posición de la m o q. En el caso de las masas el sentido siempe es atactivo (en la misma diección y sentido contaio a, es deci en la diección y sentido de u ) y en el caso de las cagas depende de sus signos. Resulta que la fueza que actúa sobe el testigo depende de: De la caga o masa que cea el campo ( o Q) y de la posición del punto P, es deci de la distancia ente las cagas (). anto una como ota son magnitudes popias del campo. demás depende del valo de la masa o caga que hemos colocado como testigo (m o q) Paa evita que la fueza en un punto de un campo dependa del testigo, vamos a defini una magnitud nueva llamada Intensidad del campo de fuezas como la fueza po unidad de testigo. La intensidad del campo gavitatoio se epesenta po g y es la aceleación de la gavedad, que conoces bien, y se mide en N/m o bien en m/s. La intensidad del campo eléctico se epesenta po E y se mide en N/Coulomb F F E g q m La Intensidad de campo gavitatoio es un vecto en la diección y sentido de la fueza, ya que las masas siempe son positivas. En el caso de la intensidad de campo eléctico siempe tendá la misma diección que la fueza, peo el sentido dependeá del signo de q (ecueda el poducto de un escala po un vecto). LÍNES DE FUERZ El concepto de campo fue intoducido po Faaday y a él se le ocuió además una foma paa visualizalo mediante unas líneas imaginaias, dibujadas de tal manea que sean en todo momento tangentes al vecto Intensidad de campo (o a la fueza, que como sabemos tiene la misma diección). Paa dibujalas se siguen los pasos:. Coloca al testigo unidad en un punto, ya que si m Kg o q +C, fueza e intensidad de campo coinciden.. Sobe el testigo apaeceá una fueza en la diección de la ecta que une los centos de las masas o cagas 3. Si el testigo estuviea libe se moveía dibujando la línea de campo y además nos daá el sentido.

4 demás se sigue el citeio de dibuja más o menos líneas en función de que la intensidad de campo sea gande o pequeña. Siguiendo estos mismos pasos podemos dibuja las líneas de campo paa una caga positiva o negativa obteniendo: En el caso de dos cagas (dipolo) o de dos masas se hace lo mismo, aunque teniendo en cuenta que en cualquie punto del campo, la fueza es debida a la suma vectoial que cada caga o masa hace po sepaado sobe ella (es lo que más adelante veemos y que se llama pincipio de supeposición): El esultado seía: Popiedades de las líneas de fueza:. Nos dan en todo momento la diección y sentido de la Intensidad de campo (pecisamente paa eso se dibujan). Las líneas de fueza del campo gavitatoio y del eléctico no se ciean. Como puede obsevase en las figuas, las líneas de fueza se inician en las cagas positivas y teminan en las negativas, po eso a las cagas positivas se las llama fuentes y a las negativas sumideos, así como las masas. 3. Las líneas de fueza nunca se cotan. En efecto, ya que la intensidad de campo (y la fueza) es tangente a ellas en cada punto, si se cotaan entonces podíamos dibuja dos tangentes y había dos fuezas distintas en el punto, lo que es absudo.

5 LEY DE GRVICIÓN UNIVERSL odas las masas en el univeso, po el hecho de selo, se ataen con una fueza que es popocional al poducto de las masas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que las sepaa (medida de cento a cento). m F G La diección de la fueza que una masa ejece sobe la ota es la de la ecta que las une, así que paa un SR centado en una de las masas la fueza tiene la diección del vecto de posición, peo el sentido puesto poque es atactiva. Po tanto vectoialmente seía: m F G ( u ) F G m u u es el vecto unitaio del vecto de posición de la masa m especto de, es deci es un vecto unitaio en la diección de la línea que une los centos de las masas y el sentido desde la masa que cea el campo hacia la ota. El signo menos se intepeta como que son fuezas atactivas, es deci que la fueza tiene la misma diección y el sentido opuesto al vecto de posición, es deci, la diección y sentido de u G es una constante de popocionalidad llamada constante de gavitación univesal (no debe confundise con la aceleación de la gavedad, ya que son cosas completamente distintas). Sus unidades se obtienen fácilmente despejándola de la fómula y su valo es: G 6,67 0 N m / Kg Caacteísticas de la inteacción gavitatoia: (e igual paa la inteacción ente cagas) Las fuezas gavitatoias son fuezas centales ya que al tene la fueza la diección de la ecta que une a las masas, siempe pasaá po la masa que cea el campo, siendo este punto el cento de fuezas.

6 Las caacteísticas de las fuezas gavitatoias son las popias de las fuezas centales: (Evidentemente el campo eléctico, al igual que el campo gavitatoio, también es un campo de fuezas centales y paa él también podíamos deci todo lo que sigue). ) Las fuezas gavitatoias tienen simetía esféica poque el módulo de la fueza de atacción ente dos masas es igual en cualquie punto del espacio que se encuente a la misma distancia de la masa que cea el campo, y el luga geomético de esos puntos es una esfea con cento en y adio. ) Una patícula sometida a un campo de fuezas centales descibe un movimiento en un plano. En efecto, ya que el vecto de posición de la masa m especto de, su velocidad y su aceleación (fueza) son siempe coplanaios y la patícula se moveá en el plano que deteminan. (Los tes vectoes siempe foman un plano poque como la fueza y el vecto de posición siempe tienen la misma diección, en ealidad es como si solo fuesen dos vectoes F y v.) Un ejemplo seía el movimiento cicula unifome, en el que la fueza a la que está sometida la patícula (fueza nomal) apunta constantemente hacia el cento (po tanto es cental) y tiene la diección del adio, igual que el vecto de posición, de manea que esos dos vectoes con la velocidad siempe fomaán un plano, es el del movimiento. Pecisamente esto justifica a la pimea ley de Keple, que dice que los planetas desciben óbitas elípticas planas en uno de cuyos focos está el sol. 3) El momento angula L de una patícula sometida a fuezas centales se conseva en el tiempo. En efecto, ya que como y F tienen siempe la misma diección, el momento de la dl fueza es nulo, poque F 0. Y como po oto lado al se nulo el dt s momento quiee deci que L cte

7 Obseva que si L es constante, también justifica que la tayectoia sea plana, ya que ello quiee deci que no solo no vaiaá ni en módulo ni en diección, que como sabemos es la pependicula al plano del movimiento. Si L no cambia en diección, el plano del movimiento tampoco 4) El tabajo ealizado po una fueza cental paa lleva un cuepo desde un punto hasta oto po una tayectoia cicula es nulo. En efecto, F d 0 poque en todo momento la fueza y el vecto desplazamiento son pependiculaes (poque d siempe es tangente a la tayectoia y la fueza, al se cental, siempe tiene la diección del adio). 5) Las fuezas centales son fuezas consevativas, po tanto, el tabajo paa lleva a una masa m desde un punto hasta oto es independiente del camino seguido y solo depende de la posición de los puntos. (Es consecuencia del punto anteio, ya que una fueza cental solamente ealiza tabajo cuando mueve un cuepo en diección adial, mientas que el tabajo es nulo cuando lo desplaza sobe la tangente). l tatase de un campo de fuezas consevativas: Sea cual sea la tayectoia seguida siempe podemos descomponela en tamos infinitesimales veticales y hoizontales. En los tamos hoizontales ( 3) el tabajo es nulo poque F d. Solo hay tabajo en los tamos y 3 4 El tabajo que hace la fueza gavitatoia paa lleva a la masa m desde al punto hasta el es el mismo po el camino que po el camino. La enegía que la masa m tiene en cada uno de los puntos del campo ceado po solamente depende de la posición y po eso se le puede asigna una enegía que llamamos enegía potencial. Una patícula sometida a fuezas consevativas conseva su enegía mecánica: Ec + Ep cte

8 Obsevación: Es impotante tene en cuenta que la fueza actúa tanto sobe una masa como sobe la ota y que son iguales y de sentidos opuestos (de acuedo con la tecea ley de Newton), es deci, una es la de acción y la ota de eacción: F F F F Lo que sucede es que solo nos inteesa sabe la fueza que la masa que cea el campo ejece sobe el testigo, po ese motivo no pestamos atención a la que el testigo ejece sobe la masa que cea el campo, peo ello quiee deci que no exista. Eso quiee deci que nosotos ataemos a la tiea exactamente con la misma fueza que ella nos atae a nosotos. e peguntaás poqué entonces la tiea no cae sobe los cuepos y sí al contaio. La espuesta es muy sencilla, y es que, la tiea tiene una masa muy gande compaada con la nuesta, y po tanto pesenta una inecia muy gande. Si la fueza que ejece la tiea sobe nosotos es F y nuesta masa es m, nos ataeá con una aceleación que vendá dada po F m a. Po oto lado, nosotos ejecemos sobe la tiea una fueza igual en módulo F y si la masa de la tiea es, la aceleación que nosotos ejecemos sobe ella vendá dada po F a. Como ambas fuezas son iguales, al se muy gande la aceleación a con que la tiea se mueve hacia nosotos es pácticamente nula. Ejemplo: s Una patícula se encuenta en un campo de fuezas del tipo F u τ Donde es la distancia al oigen O y u τ es un vecto unitaio pependicula al adio a) Cuál es el luga geomético de todos los puntos en los que dicha fueza tiene el mismo módulo? iene simetía esféica? b) Este campo de fuezas es de tipo cental? c) Calcula el tabajo ealizado po la fueza a lo lago de una tayectoia ceada. Es un campo consevativo? a) Es evidente, que puesto que la fueza solo depende de la distancia al oigen O, la fueza tendá el mismo valo en todos los puntos que estén a la misma distancia de O, po tanto el luga geomético seá una esfea con adio en O. En consecuencia el campo tiene simetía esféica. b) Como puede vese en la figua, al tene la fueza la diección de la tangente a la cicunfeencia (pependicula al adio dice el enunciado) no se tata de un campo de fuezas centales poque la diección de las fuezas no concue en un punto.

9 El campo seía cental si el vecto unitaio en luga de lleva la diección de la tangente llevaa la diección del adio, es deci su fuea del tipo F u c) Paa calcula al tabajo a lo lago de una cicunfeencia como la de la figua: como puede vese el vecto desplazamiento y la fueza siempe tienen la misma diección, así que foman 0º. el valo del módulo de la fueza a lo lago de toda la cicunfeencia es constante, ya que solo es función de y valdá F/R los límites de integación si queemos ecoe la cicunfeencia completa seán desde 0 hasta πr. W F s cos 0 πr π R Como el tabajo a lo lago de una tayectoia ceada no es nulo, entonces la fueza no es consevativa. Ejemplo: Calcula la fueza que la tiea ejeceá sobe un cuepo de Kg de masa situado: a) Sobe la supeficie teeste b) a 00Km de la supeficie c) Compaa ambos esultados con los que se obtienen aplicando la fómula Pmg DOS: R t 6370Km t 5, Kg G6,67.0 Nm /kg Como se sabe, a la fueza con que la tiea atae a los cuepos se le llama peso, así que no es más que la fueza con que se ataen dos masas, peo cuando una de ellas es la tiea, po tanto, aplicaemos la ley de gavitación univesal:

10 m F G a) En el caso de que el cuepo esté sobe la supeficie de la tiea, la distancia que sepaa ambos cuepos es igual al adio de la tiea, poque se mide desde el cento de una masa al cento de la ota, así que R t 4 t m 5,98 0 F G 6,67 0 9,83New R t b) Cuando la masa está a 00Km de la supeficie el poblema es exactamente el mismo, solo que ahoa la distancia que sepaa las masas es R t +h G (R m 6, ,98 0 ( ) t F t + h) 9,53New El esultado es pefectamente lógico, ya que como puede vese en la ley de gavitación univesal, a medida que aumenta disminuiá F. c) La fómula Pmg es exactamente la misma que la de más aiba ya que, como veemos enseguida, la aceleación de la gavedad es: t g G Po tanto la misma expesión Pmg vale paa ambos casos, simplemente lo que ocue es que la aceleación de la gavedad no vale igual en cada caso, poque, como puede vese depende de. Lo que sucede es que cuando vemos la expesión Pmg inmediatamente pensamos en que g9,8m/s sin paanos a pensa que la aceleación de la gavedad no es una constante poque depende de la altua, incluso más adelante veemos que también depende de la latitud. (Concetamente los pesos que hemos obtenido estaían calculados paa el supuesto de que la masa m estuviea en los polos.)

11 INERCCIÓN DE UN CONJUNO DE SS PUNULES. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN La ley de gavitación univesal nos da la fueza con que se ataen dos masas, peo no hace efeencia a la posible existencia de otas masas. Ello nos lleva al pincipio de supeposición: Si una masa se encuenta en el campo ceado po vaias masas, la fueza total sobe ella es la fueza esultante de las que cada masa, po sepaado, ejeza sobe ella. De igual foma puede decise que el campo gavitatoio ceado po vaias masas en un punto es igual a la suma vectoial de los campos que cean cada masa en ese punto. F total F F i total m g i es deci que g total g i Ejemplo: En los vétices de un cuadado de m de lado hay tes masas de, y 3 Kg. Calcula la fueza actuaía sobe una masa de 5Kg colocada en el cuato vétice. De acuedo con el Pincipio de Supeposición, la fueza total sobe la masa de 5Kg es la esultante de las fuezas que cada masa po sepaado ejece sobe ella. Simplemente calculamos el módulo de las fuezas de cada masa sobe la de 5Kg (la diección y sentido la dibujamos teniendo en cuenta que la fueza siempe es atactiva y en la diección de la ecta que une las masas y luego elegimos un sistema de efeencia y las sumamos como vectoes que son. m m 5 G G F F 5G m m 5 G G ( ) 5G m3 m 3 5 G G 5G F3 3 En el sistema de efeencia de la figua, la fueza en foma de vecto ceada po cada masa sobe la masa de 5Kg seía:

12 F 5Gj F 5G cos 45i + 5Gsen45 j 5Gi F 3 F 8,5Gi + 8,5Gj El módulo seía F ( 8,5G) + (8,5G) 0,35G, New 8,5G El ángulo con el eje X seía α actg 4,67º 8,5G NOCIÓN DE CPO GRVIORIO: INENSIDD DE CPO GRVIORIO DE UN S PUNUL Hemos visto que la fueza que actúa sobe una masa m cuando la colocamos en un punto del campo gavitatoio ceado po ota masa, depende de magnitudes popias del campo (la masa que lo cea y la posición del punto ()) peo también depende del valo de la masa m. Paa evita que la fueza en un punto de un campo dependa de la masa del testigo, vamos a defini una magnitud nueva llamada Intensidad del campo gavitatoio como la fueza po unidad de masa. La intensidad del campo gavitatoio se epesenta po g y es la aceleación de la gavedad F G u g m La Intensidad de campo gavitatoio solamente depende de la masa que cea el campo y de, es deci de la posición del punto en el campo. La intensidad de campo en un punto nos pemite conoce la fueza que actuaá sobe un testigo de masa m colocado en ese punto: F mg. Como se deduce de la elación, la fueza es un vecto en la diección y sentido de la fueza, ya que las masas siempe son positivas. Po oto lado, hemos visto que el campo gavitatoio ceado po vaias masas en un punto es igual a la suma vectoial de los campos que cean cada masa en ese punto. g total g es deci se cumple el pincipio de supeposición. i

13 CPO GRVIORIO ERRESRE Suponiendo que la tiea es una esfea de adio R y de masa, la fueza con que ataeá a una masa m colocada en sus inmediaciones vendá dada po la ley de gavitación univesal de Newton: m u F G (R + h) la fueza con que la tiea a tae a las masas se le llama peso: F mg, así que tenemos que la aceleación de la gavedad en un punto no es más que la Intensidad de campo gavitatoio en ese punto: g G (R u + h) Paa el caso conceto de puntos póximos a la supeficie teeste, y si despeciamos po ahoa la otación de la tiea alededo de su eje, su módulo seía: 5,98 0 g G R ,67 0 9,83m / s Factoes que influyen en la aceleación de la gavedad La aceleación de la gavedad no es una constante (a veces de tanto utiliza en los ejecicios de mecánica el valo de 9,8 m/s algunos alumnos llegan a pensa que siempe vale eso) ya que depende de la distancia ente las masas. a) Vaiación de la gavedad con la distancia:. Disminuye con la altua sobe la supeficie teeste, ya que su módulo es: g G G (R + h) Como puede vese, el valo de la aceleación de la gavedad disminuye con el cuadado de la distancia ente las masas.. iene su valo máximo sobe la supeficie de la iea: g G R 9,8m s 3. Disminuye linealmente en el inteio de la iea. pimea vista podía pensase que en el inteio de la iea la gavedad debeía aumenta al disminui, peo no es así, ya que solamente la masa enceada en su inteio contibuye al campo y, si te das cuenta, cada vez que nos vamos adentando en el inteio de la tiea cada vez hay menos capas de masas que influyen al campo, de manea que al disminuimos también disminuimos la masa.

14 Supondemos de que la densidad de la tiea sea constante. eniendo en cuenta que la densidad es ρ m / V, paa una esfea 4 3 de adio tenemos que m ρ π 3 La gavedad en el inteio de la iea y en la supeficie de la iea vienen dadas po: g int m G int int 4 ρ π G 3 int 3 int g G R 4 ρ πr G 3 R 3 g g int R int g g int R int Resumiendo, el módulo de la aceleación de la gavedad vale: g g int R g fuea G Dento de la tiea va aumentando linealmente con la distancia al cento. (es como una ecta de ecuación ymx) En la supeficie de la iea tiene el valo máximo g Fuea de la iea disminuye con el cuadado de la distancia b) Vaiación de la gavedad con la latitud. En la supeficie de la iea, la gavedad vaía con la latitud, debido al gio de la iea. Desde el punto de vista de un obsevado no inecial la aceleación seá la esultante de la gavedad en ese punto y de la aceleación centífuga. 45º de latitud y al nivel del ma, la aceleación de la gavedad tiene el valo de 9,8 m/s, que es el valo que suele tomase en los ejecicios de mecánica.

15 Ejemplo: Enconta la elación ente el valo de la gavedad en la supeficie teeste y el valo que tiene a una altua h sobe la supeficie. Si llamemos g al valo en la supeficie teeste y g al valo que tiene a una altua h, tendemos que: g G R g (R + h) G g (R + h) R g g g R (R + h) Como puede vese a medida que nos alejamos de la supeficie teeste el valo de g disminuye. Ejemplo: Calcula, en un luga de la tiea situado a 45º de latitud: a) la aceleación centífuga b) la aceleación de la gavedad a) Hay que tene cuidado y dase cuenta de que la cicunfeencia que descibe el punto de latitud 45º no es igual al adio de la tiea, sino a. Po tanto la fueza centífuga seá: v ( ω ) Fc m m mω a c ω como: π π π ω 7,7 0 5 ad / s día R cos cos m Sustituyendo: 5 a ω (7,7 0 ) ,04m / s c b) La aceleación de la gavedad en la supeficie de la iea, suponiendo no giase, viene dada po: 4 5,98 0 g G 6,67 0 9,83m / s R

16 hoa bien, al considea su otación, la aceleación eal en un deteminado luga es la que esulta de compone vectoialmente la aceleación centífuga paa ese punto con la aceleación de la gavedad calculada anteiomente: g g + eal a c Paa un sistema de efeencia como el de la figua, las aceleaciones en foma de vecto seían: g 9,83cos 45i 9,83sen45 j a c 0,04i 6,97i 6,95j g eal El módulo de la aceleación en ese punto seía: g eal ( 6,97) + ( 6,95) 9,8m / s que es el valo que se toma paa la aceleación de la gavedad en los ejecicios de mecánica. Obseva que, de acuedo con lo anteio, el valo máximo paa la aceleación de la gavedad la tenemos en los polos, y el valo mas pequeño en el ecuado que es donde la aceleación centífuga es mayo. ( a ω paa el ecuado R t y además es un vecto opuesto a g) c g eal,polo G R g eal,ecuad G R ω R

17 Ejemplo: Qué elación hay ente el peso de una masa m en las inmediaciones de la tiea y en un planeta que tenga una masa 0 veces supeio y el doble de adio? uy sencillo, expesamos la fueza que cada planeta hace sobe la masa y las dividimos miembo a miembo: F tiea m G R F planeta 0 m G (R) F F tiea planeta 4 0 F planeta F tiea 0 4 El esultado ea de espea ya que la fueza de atacción gavitatoia (peso) es diectamente popocional a la masa e invesamente popocional al cuadado de la distancia que sepaa las masas, po tanto, seá 0 veces mayo y veces más pequeña. Ejemplo: En los vétices de un cuadado de m de lado hay tes masas de, y 3 Kg. Calcula la intensidad de campo gavitatoio en el cuato vétice. Qué fueza actuaía sobe una masa de 5Kg colocada allí? Y sobe una masa de 6 Kg? De acuedo con el pincipio de supeposición, el campo gavitatoio (g) ceado po cada masa po sepaado en el punto P es: m g G G G m g G G G ( ) m 3 g 3 G G 3G 3 hoa solamente queda suma vectoialmente. En el sistema de efeencia de la figua, la intensidad de campo ceada po cada masa seía: g Gj g G cos 45i + Gsen45 j 3Gi g 3 g 3,7Gi +,7Gj

18 El módulo seía g ( 3,7G) + (,7G) 4,07G,7 0 m / s,7g El ángulo con el eje X seía α actg 4,67º 3,7G La fueza sobe una masa colocada en el punto P se obtiene simplemente con la expesión Fmg así que: F F 5Kg 6Kg m g 5,7 0 5 m g 6,7 0 6,36 0, New New Obsevación: Calcula el valo de la intensidad del campo gavitatoio en un punto (la gavedad) tiene una ventaja enome, ya que como vemos, una vez conocida, solamente hay que multiplica po la masa en el punto P y obtenemos la fueza que actúa sobe ella. (bueno, lo hemos hecho sobe su módulo, peo exactamente igual seía si hubiéamos multiplicado su expesión vectoial). Sin embago, si hubiéamos calculado la fueza sobe la masa de 5Kg sumando vectoialmente las fuezas a pati de ese valo no podemos obtene la fueza sobe ota masa, como hemos hecho con la de 6Kg, y habíamos tenido que epeti el ejecicio y la suma de vectoes. Esa es la azón po la que se define la intensidad de campo, poque su valo no depende de la masa del testigo, sino de los agentes popios que cean el campo, es deci de las masas que lo cean y de la posición. ENERGI POENCIL GRVIORI DE UN S EN PRESENCI DE OR El campo gavitatoio es un campo de fuezas centales y po tanto consevativo, así que en él puede definise una enegía potencial. El tabajo que hace una fueza consevativa paa lleva un cuepo desde un punto hasta oto es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos y. Po eso pecisamente a esos puntos se le puede asocia una enegía que solamente depende de la posición y que llamamos enegía potencial. (Natualmente, como es lógico, en un campo de fuezas consevativo la enegía potencial en un punto no depende exclusivamente de la posición de ese punto, también depende de la masa que cea el campo" y de la masa que hayamos colocado en ese punto". Pecisamente paa que tampoco dependa de la masa colocada en ese punto definiemos más adelante el Potencial (V) como la enegía potencial de una masa unidad.) Po definición, el tabajo que una fueza consevativa hace paa lleva un cuepo desde un punto hasta oto es igual a menos la vaiación de enegía potencial ente esos puntos : W,F.Consev.Campo Ep Ep Ep

19 Significado del signo menos: El signo menos indica que la fueza consevativa del campo hace tabajo espontáneo o eal (tabajo positivo) cuando desplaza el cuepo desde los puntos de mayo enegía potencial a los puntos con meno enegía potencial. Dicho de ota foma, bajo la acción de la fueza consevativa un cuepo se mueve espontáneamente desde los puntos de mayo enegía potencial a los puntos con meno enegía potencial. (Obseva que W + cuando Ep > Ep ),F.Consev. Campo En un campo de fuezas consevativas el tabajo que hacemos nosotos paa lleva, conta las fuezas del campo y sin aceleación, un cuepo desde un punto hasta oto no se piede, sino que queda acumulado en foma de enegía potencial. sí podemos deci que el tabajo que hacemos nosotos paa lleva un cuepo desde un punto hasta oto, conta las fuezas del campo y sin aceleación, es igual a la vaiación de enegía potencial ente esos puntos W,nosotos Ep Ep Ep W,F.Conseva.Campo hoa vamos a ve la expesión conceta de la enegía potencial gavitatoia, paa ello no hay mas que calcula el tabajo que hace el campo gavitatoio paa lleva una patícula desde el punto al : Ep Ep W,campo F gav d m G u d m G d donde hemos tenido en cuenta que vecto unitaio u y el vecto desplazamiento d tienen la misma diección y sentido, así que si que cos0. eniendo en cuenta además, que d nos quedaía que: W,campo G m G m Ep Ep Ep Ep m G m G (Nota: aunque matemáticamente no es de lo más coecto escibi dos signos menos seguidos y menos sin un paéntesis, peo lo escibiemos así poque esulta más didáctico. demás lo pondemos en ese oden paa que más adelante veas que estas expesiones son similaes a las del campo eléctico)

20 Enegía potencial gavitatoia en un punto. Como vemos, estictamente solamente podemos habla de difeencia de enegía potencial ente dos puntos (poque es el tabajo paa lleva la masa m desde uno a oto y po tanto debe habe dos puntos), peo si, po acuedo, asignamos ceo a la enegía potencial de uno de esos puntos, entonces podemos haba de enegía potencial absoluta (en ealidad efeida al punto que asignemos Ep0). Paece que lo azonable seía asignale ceo a la enegía potencial en el infinito, poque como la fueza disminuye con el cuadado de la distancia, en ese punto puede decise que no hay campo, po tanto, la difeencia de potencial ente un punto y el infinito seía la enegía potencial en ese punto. Dicho de ota manea: La enegía potencial de una masa m en un punto es igual al tabajo que hace el campo paa lleva a la masa m desde ese punto hasta el infinito. (eniendo que cuenta que nuesto tabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contaio, podíamos deci que la enegía potencial de una masa m en un punto es igual a tabajo que tenemos que hace paa tae a la masa, sin aceleación, desde el infinito hasta ese punto) como 0 Ep Ep Ep m G m G m G donde es la distancia que sepaa las dos masas. Como puedes ve la enegía potencial en un punto siempe es negativa y tiene su máximo valo negativo en la supeficie teeste y va aumentando al alejanos hasta llega a ceo en el infinito. Paticulaización de la enegía potencial paa puntos póximos a la supeficie teeste: En los puntos póximos a la supeficie es azonable utiliza la conocida expesión: Ep Ep Ep mgh Vamos a ve como se deduce esta expesión paticula a pati de la geneal que hemos obtenido: Como puede vese en la figua R tiea h (ltua sobe la supeficie teeste)

21 Si llamamos a la masa de la tiea y m a la masa del cuepo, según hemos visto antes: Ep Ep Ep m m G G G m eniendo en cuenta que: h al tatase de puntos póximos a la supeficie teeste, pácticamente con lo que podemos pone que R. y ecodando que el módulo de la Intensidad de campo, o gavedad viene dada po g G R t al final nos quedaía que: Ep Ep Ep mgh t Cuestión: De la expesión Epmgh, se deduce que la enegía potencial es positiva y aumenta con la altua. Cómo es posible, si de la expesión Ep Gm/ se deduce que siempe es negativa y aumenta con la altua? La Ep que tiene una masa m en un punto del campo ceado po ota, como indica su expesión geneal, siempe es negativa y su valo máximo es ceo, que coesponde a la Ep en el infinito. Lo que pasa es que siempe medimos difeencias de enegía potencial y cuando estamos obtenemos el mismo valo con independencia de donde tomemos el ceo. Po tanto ente dos puntos cualquiea hay la misma Ep si el nivel ceo lo tomamos en el infinito (que es lo natual) como si lo ponemos en cualquie oto luga como la supeficie de la tiea o donde sea: Fíjate que, independientemente de donde tomemos el ceo de Ep, el Ep ente dos puntos siempe vale igual: Ep Ep 0 J. Es exactamente el mismo caso que si montamos a un niño sobe una mesa paa medi su altua. anto si lo medimos de pies a cabeza, como si medimos desde el suelo a la cabeza y estamos la distancia del suelo a los pies obtendemos lo mismo. No impota que al cambia de sistema de efeencia en cada medida tengamos valoes distintos, lo que impota que es la difeencia siempe tendá el mismo valo.

22 Enegía potencial de una masa debida al campo ceado po una asociación de masas: de acuedo con el pincipio de supeposición la enegía potencial que tendá es la debida al campo que independientemente cada masa cea sobe ella, así que: m m m m m n m Ep G G G n Gm n i m i i Enegía potencial de una asociación de masas: En este caso la enegía potencial debida a todas ellas se obtiene sumando la enegía potencial de todos los paes de masas. Po ejemplo la enegía potencial de la asociación de la figua seía: mm Ep G mm m m Ep G Ejemplo: Imagina que hay dos masas m 0Kg y m 0Kg como se indica en la figua. Calcula el tabajo que hemos de hace paa lleva una masa m de 5Kg desde la posición (4,0) hasta la (8,0) m m i ij j Como sabemos el tabajo que hacemos nosotos es igual al incemento de enegía potencial, así que solamente tenemos que calcula la Ep que la masa m tiene al final y al pincipio y estalas. W Ep Ep Ep W,nosotos,F.Consevat. De acuedo al pincipio de supeposición, la Ep que la masa m tiene en el punto es debida a la que tiene como consecuencia del campo que cea m mas la debida al campo que cea la masa m, es deci: m m m m 0 0 Ep G + G Gm + 3,5G 4 5 De igual foma, la Ep cuando está en el punto seá: m m m m 0 0 Ep G + G Gm + 7,96G 8 8,54 Po tanto: W Ep Ep 3,5G ( 7,96G) 5,54G,nosotos +

23 POENCIL GRVIORIO Recueda que la fueza que actúa sobe una masa m, en un punto de un campo ceado po ota masa, depende del valo de m. Paa evita ese inconveniente se definió la intensidad de campo como fueza po unidad de masa. Lo mismo le ocue a la vaiación de enegía potencial de una masa m ente dos puntos y, de un campo ceado po ota masa, que también depende del valo de m. Paa evita ese inconveniente vamos a defini una magnitud nueva como vaiación de enegía potencial po unidad de masa y que llamaemos vaiación Potencial (V): V V Ep Ep m W,F.Consev m FF.Consev d m g d V V g d G u d G d donde hemos tenido en cuenta que vecto unitaio u y el vecto desplazamiento d tienen la misma diección y sentido, así que si que cos0. eniendo en cuenta además, que d nos quedaía que: V V G G V V G G Obviamente llegaemos al mismo esultado si dividimos la defeencia de enegía potencial po el testigo m ya que, como hemos dicho, la ddp ente dos puntos se definie como la difeencia de Enegía potencial que tiene ente esos puntos un testigo unidad: V V Ep Ep m G G

24 Potencial gavitatoio en un punto. Como sabemos estictamente solamente podemos habla de ddp ente dos puntos (poque se ha definido como el tabajo pae lleva a la unidad de masa ente esos dos puntos). No obstante si, po acuedo, asignamos ceo al potencial de uno de esos punts, entonces podemos haba de potencial absoluto en un punto. El punto que se elige es el infinito poque allí se supone que ya no hay campo. W,F.Consevat Dicho de ota manea, teniendo en cuenta que V V podemos deci que: c El potencial en un punto es igual al tabajo que hace el campo paa lleva una masa de Kg desde ese punto hasta el infinito. (eniendo que cuenta que nuesto tabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contaio, podíamos deci que el potencial en un punto es igual al tabajo que tenemos que hace paa tae una masa de Kg desde el infinito hasta ese punto). V V G G como 0 V G donde es la distancia que sepaa la masa que cea el campo del punto. Ejemplo: Calcula el potencial gavitatoio ceado po una esfea de 00Kg de masa y dos metos de diámeto en un punto situado a 9m de su supeficie. Cuál seá la enegía potencial de una masa de Kg situada en dicho punto? Suponiendo que la esfea es homogénea podemos consideala como una masa puntual concentada en su cento. a) Como hemos visto la ddp ente el punto y el infinito seá igual al potencial en el punto, que vale: V G 6, , J / Kg b) De acuedo con su definición, la enegía potencial de una masa unidad en un punto y el 0 potencial en ese punto son exactamente la misma cosa, así que Ep 6,67 0 Julios Paa oto valo cualquiea de m la elación ente ambas magnitudes seía: Ep m V

25 RELCION ENRE CPO Y POENCIL Si te das cuenta el campo ( g ) es un vecto y el potencial (V) es un escala, así que su coecta elación es a tavés de un opeado vectoial llamado gadiente, peo eso escapa de la pogamación de bachilleato, así que nos limitaemos a elaciona el módulo del campo y el potencial. Caso paticula de campo unifome, es deci, de puntos cecanos en los que la gavedad puede considease constante, entonces, teniendo en cuenta la definición de ddp, V V g d g g ( ) g d Dice que la ddp ente dos puntos, ente los que puede considease constante el valo del campo, es igual al valo del campo po la distancia ente esos puntos. la misma conclusión llegaíamos estando el potencial en el punto del que tiene en : V V G G ( ) G ( G ) g ( ) g d La elación efeida a un punto conceto, teniendo en cuenta las expesiones del módulo de g y la del potencial V en un punto: V G G g. Quiee deci que: si multiplicamos el módulo del campo en un punto po la distancia del punto a la masa que cea el campo al punto se obtiene el potencial en ese punto. Hay un detalle impotante: Si en un punto de un campo conocemos el valo de la Intensidad de campo ( g o E ) podemos pesumi exactamente lo que ocuiá cuando coloquemos una masa m o a una caga q en un punto cualquiea (podemos calcula exactamente el módulo de la fueza que actuaá, su diección y sentido, ya que F mg o bien F qe ) Sin embago, si en un punto del campo solo conocemos el potencial en ese punto no podemos pedeci lo que ocuiá. Cosa distinta seía si conocemos el potencial en dos puntos, entonces sí, poque, tanto la masa como la caga se moveán hacia donde disminuya su enegía potencial.

26 SUPERFICIES EQUIPOENCILES Como su popio nombe indica (equi significa igual) una supeficie equipotencial es aquella en la que en todos sus puntos hay el mismo potencial. Dibujemos una supeficie y supongamos que es equipotencial: Popiedades de las supeficies equipotenciales:. Las supeficies equipotenciales son siempe pependiculaes al vecto intensidad de campo. En efecto, ya que paa desplazamos de un punto a oto de la supeficie es necesaio que el vecto desplazamiento d sea coplanaio con la supeficie, y puesto que según la definición de ddp ente dos puntos: V V g d si la supeficie es equipotencial V V 0 lo que quiee deci que: g 0 o que d 0 ambas cosas son absudas poque si no hay campo o no hay desplazamiento no había poblema, así que la única ota altenativa es que el poducto escala de ambos vectoes sea nulo, es deci que fomen ángulo de 90º.. El tabajo paa lleva una masa de un punto de una supeficie equipotencial a oto de la misma supeficie equipotencial es ceo. Obvio, ya que W,F.Consevat m (V V ) y al movenos po la misma supeficie equipotencial V V. demás es ceo poque como g y F tienen la misma diección, entonces F d. 3. Paa el caso de una masa, o de una caga las supeficies equipotenciales son esfeas concénticas. En efecto, ya que como las líneas de campo son adiales, paa que las supeficies sean nomales a ellas deben se esfeas con cento en la masa o caga que cea el campo.

27 4. Dos supeficies equipotenciales nunca pueden cotase poque ello implicaía que en los puntos de cote podíamos taza dos pependiculaes y, como ya vimos, las líneas de campo no se cotan. demás, imagina que dos supeficies equipotenciales se cotaan, entonces en ambas había el mismo potencial y po tanto seía la misma supeficie. Ejemplo: Imagina tes puntos, y 3 en los que el potencial gavitatoio va disminuyendo, es deci que V >V >V 3. Hacia donde se moveía una masa m si la colocamos en el punto y la dejamos libe? La masa m (o una caga independientemente del signo) se mueve espontáneamente hacia el punto en el que disminuya su enegía potencial. (Recueda que eso pecisamente es lo que indica el signo menos de la definición W Ep Ep Ep,F.Consev.Campo ) Como Epm. V y teniendo en cuenta que las masas siempe son positivas (cosa que no ocue con las cagas) es obvio que Ep >Ep >Ep 3 y en consecuencia las masas se mueven siempe de foma espontáneamente hacia potenciales dececientes. En este caso hacia V 3. Si se tataa de una caga, como Epq. V esulta que si la caga es positiva se moveía hacia potenciales dececientes, peo si fuese una caga negativa se moveía hacia donde aumente el potencial. hoa que sabemos hacia donde se moveá la masa podemos dibuja el vecto campo g peo no podíamos si solamente conociéamos el potencial en un punto. Ejemplo: Ente dos puntos y de un campo eléctico existe una difeencia de potencial de 00 voltios. Qué tabajo ealiza el campo paa lleva una caga positiva de µc desde hasta? l tatase de un campo eléctico, la caacteística del campo es la caga eléctica, po tanto podemos pone que: W q V V sustituyendo W,campo,campo 0 6 ( ) Julios Como puede vese el Potencial se mide en Julios/Coulombio que ecibe el nombe especial de Voltio. De manea análoga el Potencial gavitatoio se mide en Julios/Kg que no tiene un nombe especial. Si en luga de peguntanos po el tabajo del campo, nos hubiesen peguntado qué tabajo hacemos nosotos paa lleva la caga de µc desde hasta? La espuesta, obviamente, seía.0 4 J

28 LEYES DE KEPLER. Los planetas desciben óbitas elípticas planas, en uno de cuyos focos está el sol. Esta ley esulta evidente si tenemos en cuenta que las fuezas gavitatoias son fuezas centales y que, po tanto, se conseva el momento angula. l se constante el momento angula L mv (tanto en módulo como en diección) el plano fomado po los vectoes y v también debe pemanece constante.. El adio vecto que une el sol con uno de los planetas bae áeas iguales en tiempos iguales. Dicho de ota foma, la velocidad con la que el vecto de posición del planeta especto al sol bae áeas es constante. En la figua hemos epesentado el áea baida po el vecto de posición en el tiempo t. Como ecodaás, el módulo del poducto vectoial de dos vectoes es igual al áea del paalelogamo que foman, y obviamente la mitad al tiángulo. Y teniendo en cuenta que la velocidad es v d / dt d d vdt m s mvdt m L dt d dt m L cte.

29 3. Los cuadados de los peiodos de evolución de los planetas son popocionales a los cubos de la distancia media de los planetas al sol: kr 3 La demostación de la tecea ley es consecuencia de la ley de gavitación univesal de Newton. Que el planeta se mantenga en óbita supone, desde el punto de vista de un obsevado no inecial, que el peso del satélite se compense con la fueza centífuga: Peso Fc m G v m eniendo en cuenta la elación ente la velocidad lineal y angula del planeta es que ω π / v ω y m G v 4π m ω despejando el peiodo: 4π G 3 k 3 Como puede vese todo lo que engloba el cículo son constantes (no apaece la masa del planeta) y el esultado de la opeación, lógicamente, coesponde a una constante

30 SÉLIES: VELOCIDD ORIL Y VELOCIDD DE ESCPE Velocidad obital: Paa que un satélite de masa m obite a una distancia alededo de la tiea, desde el punto de vista de un obsevado no inecial, es peciso que la fueza peso con que lo atae la tiea sea igual a la fueza centífuga: Fgav Fc m G v m v obital G Óbita geoestacionaia: Como vemos la velocidad obital del satélite no depende de su masa, solamente depende del adio de la óbita y vicevesa. Po tato, habá un adio paa el que el satélite tenga la misma velocidad angula que la iea (a esa óbita se le llama geoestacionaia) Los satélites geoestacionaios, como los de comunicaciones, son los que se encuentan en todo momento sobe el mismo punto, dicho de ota foman gian con la misma velocidad angula que la tiea (ωπ/día). Su óbita, además, debe esta en el plano del ecuado. Simplemente se tata de pone el adio de la óbita en función del peiodo, que debe se día, paa gie con la misma velocidad angula de la tiea. Paa un SRNI, la fueza de atacción gavitatoia debe compensase po la centífuga, así que: (es como deduci la tecea ley de Keple, peo ahoa despejamos el adio) m G v 4π m ω despejando el adio de la óbita, y sustituyendo día: G 4π 3 3 6,67 0 5,98 0 4π 4 (4*3600) 459Km

31 La enegía total del satélite cuando está en su óbita a una distancia del cento de la tiea seá suma de cinética y potencial, es deci: E Ec + E mv Ep ob G E m m E G m + G m + G ientas el satélite pemanezca en esa óbita no consume enegía, poque se desplaza po una supeficie equipotencial. Recueda que: W,campo m (V V ) Si V V W0 además en el caso del campo gavitatoio esulta obvio, ya que la fueza gavitatoia y el vecto desplazamiento po una supeficie equipotencial (que son esfeas concénticas) foman ángulo de 90º y su coseno es 0 El signo menos de la enegía total del satélite indica que se tata de un sistema ligado a la tiea, es deci que po sí mismo nunca se podía escapa de la atacción teeste. Paa escapa debeía tene enegía positiva o como mínimo nula. La enegía necesaia paa pone un satélite en óbita: Esta enegía es positiva poque debemos hacela nosotos. Supongamos que inicialmente el satélite está en eposo sobe el suelo. Paa que empiece a subi tenemos que ejece un tabajo sobe él (W F.NoConsev ) y en consecuencia no se conseva la enegía mecánica, po tanto: Ec + Ep W F.NoConsevat Ec Ec + Ep suelo + Epsuelo + W F.NoConsevat m G + W R F.NoConsevat W W F.NoConsevat F.NoConsevat m G mv R Gm R obital m G m m G + G R Ese tabajo se lo comunicamos en foma de enegía cinética: W F.NoConsev. mv o Po eso solemos deci: se lanza un cuepo con una velocidad inicial v o. Si balanceamos ente cuando el satélite está en el suelo y ya le hemos comunicado esa enegía y cuando está aiba obitando, ahoa ya sí que se conseva la enegía mecánica, puesto que ahoa la única fueza es la gavitatoia, que es consevativa: Ec + Ep 0

32 Ec suelo + Epsuelo Ec + Ep donde Ecsuelo mvo W Como ves, ambos azonamientos son idénticos aunque paezcan distintos. F.NoConsevat La velocidad de escape de un cuepo que es lanzado desde la supeficie de la tiea es aquella que pemite que el cuepo escape de la atacción teeste y ello equiee que su enegía total sea positiva o nula como mínimo. En efecto, ya que como sabemos, cuando lanzamos un cuepo desde la supeficie de la tiea, la atacción gavitatoia hace que su velocidad vaya disminuyendo confome se aleja a la vez que se va tansfomando en potencial. Si queemos que el cuepo escape completamente debemos comunicale una enegía cinética de manea que no se detenga hasta llega al infinito. Y en el infinito su enegía mecánica seía ceo poque llega con velocidad ceo y poque allí su Ep0, ya que es invesa a la distancia, así que como la enegía mecánica en el lanzamiento debe se igual a la que tiene en el infinito: Ec tiea + Ep Ec Ep tiea + E m + G mv R mv escape m + G de donde: v escape G R Si el cuepo estuviea a una altua h la velocidad de escape, seía v escape G donde R+h Como puedes ve compaando la velocidad obital y la velocidad de escape: v escape v obital

33 Ejemplo: Imagina un planeta que tuviese una masa igual a Kg y un adio de 000 Km. Calcula: a) La enegía potencial, cinética y total de un satélite de 500 Kg cuando está en la supeficie de ese planeta a punto de lanzase al espacio. b) La enegía potencial, cinética y total del satélite cuando esté obitando a 50 Km sobe la supeficie del planeta. c) Qué enegía hemos debido apota al satélite paa ponelo en esa óbita. d) Velocidad paa que escape de la atacción del campo gavitatoio e) La enegía adicional que hemos de apotale paa que escape del campo gavitatoio Datos: G6,67. 0 N m Kg a) Cuando está en eposo sobe la supeficie del planeta solamente tiene enegía potencial, que además es donde tiene el valo más pequeño (el máximo negativo). Ep Ec SupPlaneta m G 6,67 0 R mv 0 SupPlaneta Julios E Óbita Ec + Ep 00 Julios b) Cuando el satélite está a una altua h sobe la supeficie del planeta tiene una enegía potencial (que es independiente de si está giando o no): Ep SupObita m G 6, Julios fíjate que la enegía potencial a una altua h es mayo que la que tenía en la supeficie de la tiea. Es un númeo negativo que va ceciendo con la altua hasta alcanza su valo máximo igual a ceo en el infinito. Si subimos el satélite hasta esa altua y no hacemos nada más el satélite nos caeía encima exactamente igual que cuando se lanza una pieda hacia aiba. Si petendemos que el satélite obite ahoa debemos comunicale una velocidad tangencialmente (igual a la velocidad obital) de foma que (desde el punto de vista de un obsevado no inecial) la fueza centífuga compense el peso de satélite:

34 Fgav Fc m G v m v G 5 6, obital 0,4m / s La enegía cinética que tendá en la óbita es: Ec mv m G m G Óbita 40m / s E Óbita Ec + Ep Julios Obseva la elación que guadan las distintas enegías ente sí. Pecisamente se han escogido estos valoes paa obtene númeos sencillos que ayuden a ve claamente esas elaciones que son las mismas con independencia de los datos. c) La enegía que hemos de apotale paa ponelo en óbita es:. la enegía necesaia paa subilo hasta la altua h, que seá igual a la vaiación de enegía potencial Ep W 80 ( 00) 0Julios. Como ya indicamos, F.NoConsevat ese tabajo que hemos de hace es el mismo que si subimos una pieda hasta un tejado, con la única difeencia de que al se h muy gande la gavedad no puede considease constante y no podemos utiliza la expesión paticula Ep mgh sino que hemos utilizado su expesión geneal.. la enegía necesaia paa que obite con la velocidad obital, es deci 40 Julios Po tanto la enegía necesaia paa ponelo en óbita seá 60 Julios. la misma conclusión se llegaía aplicando el pincipio de consevación de la enegía ente la supeficie del planeta y la óbita: W F.NoConsevat (Ep Óbita Ep + Ec Ep Sup.Planeta W F.NoConsevat ) + (Ec Óbita W ( 80 ( 00)) + (40 0) + 60J F.NoConsevat Ec Sup. Planeta ) d) La velocidad de escape es la velocidad que hemos de comunicale paa mandalo al infinito con velocidad ceo y donde la enegía potencial también es ceo y po tanto la enegía total en el infinito es ceo. Fíjate que confome sube su velocidad disminuye y también su enegía cinética hasta hacese nula, mientas que la potencial va aumentando (se hace un númeo negativo cada vez meno) hasta llega a su valo máximo igual a ceo. m Ec + Ep mv escape G 0 5 G 6, vescape 0,566m / s e) La enegía necesaia paa que escape del campo gavitatoio es la enegía paa mandalo hasta el infinito, donde la Ec0 y la Ep0, así que aplicando la consevación de la enegía ente el punto y el infinito:

35 W F.NoConsevat Ep + Ec (Ep Ep ) + (Ec Óbita W b F.NoConsevat Ec W (0 ( 80)) + (0 40) + 40J F.NoConsevat Óbita ) fíjate que la enegía paa manda el satélite al infinito coincide con la enegía total que tiene, peo cambiada de signo. la enegía paa mandalo al infinito no es la enegía cinética que coesponde a la velocidad de escape, (esta seía ½ , J). Esta enegía seía la necesaia paa que escapase si estuviese paado a esa altua (Ep 80J), peo es que como está obitando además de la potencial tiene una enegía cinética adicional de +40J, po eso solamente hemos de apota 80J 40J que ya tiene 40J el esultado está de acuedo con lo que había sido necesaio paa mandalo al infinito desde la supeficie de la tiea. llí tenía una enegía total de 00 J, así que el tabajo necesaio paa mandalo al infinito seía de +00J. En el caso que nos ocupa hemos invetido +60J en ponelo a obita y luego +40J en mandalo al infinito, en total +00J. Ejemplo: Un satélite de 00Kg de masa descibe una obita cicula a 00Km de la supeficie teeste. a) Enegía potencial del satélite cuando está en la supeficie de la tiea. b) Calcula su velocidad obital b) Enegía potencial, cinética y total del satélite c) Qué le pasaía al adio de la óbita si po efecto del ozamiento el satélite va pediendo enegía? Y en paticula Qué le ocuiía a su velocidad angula? d) Peiodo e) Enegía necesaia paa ponelo en óbita f) Velocidad necesaia paa que escape del campo gavitatoio g) Enegía necesaia paa que escape del campo gavitatoio. Datos: 5, Kg R 6370Km G6,67. 0 N m Kg 4 m 5, a) EpSup.iea G 6,67 0 6,6 0 Julios b) Paa un obsevado situado en el satélite, éste estaá sometido a dos fuezas en la misma diección y sentido contaio: El peso y la F.centífuga, y ambas deben se iguales paa que se mantenga en óbita. R + iea h de donde: Fgav Fc m G v m

36 v G G R + h 6,67 0 5, obital b) La enegía potencial, cinética y total seían: 779m / s Ep Ec Óbita Óbita m G 6,67 0 mv m G 4 5, , G m 9 3,04 0 m / s 9 Julios O bien E E Óbita Óbita Ec + Ep 3,04 0 mv m + G ( 6,07 0 ) 3,04 0 Julios G m 3, Julios m c) eniendo en cuenta que la enegía total es E G esulta que, puesto que es negativa, disminuiá siempe que aumente en valo absoluto, es deci cuando disminuya el adio. sí pues, cuando po efecto del ozamiento pieda enegía comenzaá a descibi una espial de adio cada vez meno hasta cae en la tiea, o lo que es igual, la altua h cada vez seá meno y como: G v obital R + h al disminui h, su velocidad lineal aumentaá, y lo mismo le sucedeá a la velocidad angula, ya que: v G ω 3 (R + h) al disminui h, la velocidad angula aumenta con mayo apidez que la lineal. d) El peiodo 3 3 m v 4π 4π 4π ( ) G m ( ω) G 6,67 0 5,98 0 o bien teniendo en cuenta que: π ω v π π seg v seg e) La enegía que hemos de comunicale nosotos paa ponelo en óbita seá la necesaia paa subilo hasta esa altua ( Ep) más la enegía cinética que luego hay que comunicale tangencialmente paa que comience a obita. plicando el pincipio de consevación de la enegía ente la supeficie de la tiea y la óbita: W F.NoConsevat (Ep Óbita Ep + Ec Ep Sup.iea W F.NoConsevat ) + (Ec Óbita Ec Sup. iea )

37 W F.NoConsevat ( 6, ( 6,6 0 )) + (3, ) + 3,3 0 9 J f) La velocidad de escape es la velocidad que hemos de comunicale paa mandalo al infinito, donde la enegía es ceo, así que: v Ec + Ep mv m G escape G 6,67 0 5, escape 0 09m / s FORS DE L RYECORI DEL LNZIENO DE UN COHEE En pime luga vamos a ecoda que: La enegía potencial gavitatoia siempe es negativa y que va aumentando confome nos alejamos de la supeficie de la tiea (donde tiene su máximo negativo) hasta llega a ceo en el infinito. La enegía cinética po el contaio siempe es positiva, aunque si lanzamos un cuepo hacia aiba ia disminuyendo hasta llega a ceo. La enegía mecánica total, que es la suma de la cinética y de la potencial, podá po lo tanto se negativa, ceo o positiva. Enegía mecánica negativa: Si la enegía mecánica es negativa decimos que el cuepo está ligado a la gavedad teeste y que po tanto no puede escapa de su campo. Pueden ocui: ) Si la velocidad es meno que la de escape y tiene la diección del peso seía como tia una pieda veticalmente hacia aiba: subiá hasta una deteminada altua (más o menos gande dependiendo del valo de la velocidad inicial) y volveá a cae al suelo. EpSupef.iea + Ecquelehemos Ecaiba + Epaiba < 0 comunicado Como Ec+ Ep0 mientas sube, la disminución de Ec conlleva un aumento de la Ep y al contaio mientas baja. ) Si la velocidad con que lo lancemos tiene componente vetical y hoizontal el cuepo subiá hasta la altua h (la componente vetical de la velocidad es quien le hace subi) y allí pueden pasa tes cosas: b. Que la componente tangencial de la velocidad sea igual a la que debe tene paa obita v G / a esa altua a la que ha llegado obital. En ese caso, una vez aiba, descibiá una óbita cicula alededo de la tiea y su enegía como hemos deducido valdá: E G m

38 b. Que la componente tangencial de la velocidad < v obital. Entonces volveía a la supeficie teeste, como ocue cuando lanzamos una pieda o un poyectil a poca velocidad. b3. Que la componente tangencial de la velocidad > v obital (peo más pequeña que la de escape) entonces el cuepo seguiá ligado al campo gavitatoio, peo descibiá una óbita elíptica en luga de cicula. Enegía mecánica ceo : Si la enegía mecánica es ceo (Ec+Ep0), entonces el satélite tendá la enegía mínima paa escapa del campo, y lo haía siguiendo una tayectoia paabólica. la velocidad necesaia se le llama velocidad de escape: v escape G / Enegía mecánica positiva: Es deci, si le comunicamos una velocidad tal que Ec>Ep entonces, po supuesto escapaá del campo gavitatoio, peo lo haía siguiendo una tayectoia hipebólica. demás como puede suponese llegaía al infinito con una velocidad>0. E6.S008 a) Explique qué se entiende po velocidad de escape de la iea y deduzca azonadamente su expesión. b) Suponiendo que la velocidad de lanzamiento de un cohete es infeio a la de escape, explique las caacteísticas del movimiento del cohete y ealice un balance de enegías. EJEPLO: a) Se lanza hacia aiba un objeto desde la supeficie teeste. Calcula la velocidad inicial que hemos de comunicale paa que llegue a una distancia del cento de la tiea. Paticulaice la expesión de la velocidad inicial paa puntos póximos a la supeficie teeste. b) Comente los cambios enegéticos que tienen luga duante el ascenso del objeto consideando despeciable el ozamiento. c) Calcule la velocidad obital paa que gie en una óbita d) Se lanza hacia aiba un objeto desde la supeficie teeste. Calcula la velocidad inicial que hemos de comunicale paa que llegue a una distancia del cento de la tiea y obite. e) Calcula la velocidad de escape del objeto si lo lanzamos desde la supeficie de la tiea. y si lo lanzáamos desde la óbita de adio? DOS: G,, R, m masa del objeto a) Cuando a un cuepo le comunicamos (po algún pocedimiento) una enegía cinética estamos aumentando su enegía mecánica y puesto que la fueza gavitatoia es consevativa podemos

39 aplica el pincipio de consevación de la enegía mecánica. eniendo en cuenta que si se lanza veticalmente hacia aiba iá subiendo hasta paase, pone que: Ec + Ep Ec + Ep tiea tiea P P de donde: v 0 mv m + G mv R m + G 0 P G R G R R G h R Paticulaización paa puntos póximos a la supeficie teeste: eniendo en cuenta que en tal caso las distancias ente las masas R y son pácticamente iguales, y que la gavedad es g G /R podemos pone: h v G R 0 En ealidad este ejecicio es igual al que hemos esuelto en cusos anteioes (aunque utilizando la expesión de Ep válida paa puntos póximos): Calcula la altua que alcanza un cuepo cuando se le comunica veticalmente y hacia aiba una inicial v o. En tal caso lo que hacíamos ea aplica, exactamente igual, la consevación de la enegía mecánica, peo asignábamos nivel ceo de Ep en la supeficie de la tiea y la expesión mgh paa la Ep a una altua h: (seía igual si asignamos Ep mgh y a Ep mgh ya que en tal caso mg(h h ) mgh ) mv tiea tiea P g h Ec + Ep Ec + Ep + v 0 g h 0 mg h 0 + mg h b) De acuedo al pincipio de consevación de la enegía mecánica, Ec + Ep 0, como el incemento de enegía cinética es negativo (puesto que al subi va disminuyendo su velocidad), la enegía potencial debe incementase en el mismo valo peo positivamente. c ) eniendo en cuenta que paa un obsevado no inecial que se mueva con la masa m la fueza esultante sobe ella es nula: F gav F c m v G m P v obital G d) d.este caso es paecido al apatado a) con una difeencia: que una vez que llegue a la distancia no puede tene velocidad nula, sino pecisamente una velocidad igual a la velocidad obital y además esa velocidad debe se tangencial (ya que si tuviese componente vetical seguiía subiendo). (En ealidad no se hace así, sino que pimeo se sube el satélite hasta la altua a que debe obita y una vez allí se le comunica hoizontalmente una velocidad igual a la obital.)

40 Ec + Ep Ec + Ep tiea tiea P P m m mv + G mv + G 0 P R sustituyendo v p po la velocidad obital: m mv + 0 G m R de donde G m + G R v 0 G R d. podíamos habe hecho oto azonamiento (aunque en el fondo es exactamente lo mismo). Se tataía de calcula la difeencia de enegía mecánica que tiene la masa m cuando está en la óbita y cuando está paada sobe la supeficie de la tiea. Esa difeencia de enegía es la que hemos de comunicale en foma de enegía cinética: E E Ec Ec + Ep + Ep m G R m G m m + G G La difeencia de enegía de cuando está obitando con adio y cuando estaba en eposo en la supeficie de la tiea es E E W F.No.Consev Gm( R/R) eniendo en cuenta que ese tabajo que le comunicamos lo debe adquii en foma de enegía cinética, tenemos que: R R Gm mv 0 v 0 G R R En ealidad hay una difeencia ente ambos azonamientos. En el pime caso se pate de que el cuepo está sobe la supeficie de la tiea, peo ya se le ha comunicado la enegía suficiente y po eso ahoa ya todas las fuezas son consevativas, entonces: Ec + Ep 0 En el segundo caso se pate de un momento anteio, es deci cuando el cuepo aun está en eposo sobe la tiea, y po tanto paa que comience a subi necesita que se le comunique una enegía, entonces: Ec + Ep W F.NoConsevat d3. Paa aclaa los conceptos y enlaza con lo que apendimos en los tios de poyectiles, fíjate que la velocidad inicial del cuepo debe foma un cieto ángulo, teniendo dos componentes: La componente X de la velocidad inicial debe coincidi con la velocidad obital. (ya que duante todo el movimiento es la misma y po tanto debe se igual a la que tiene en el punto más alto)

41 G v0 x vobital La componente Y de la velocidad inicial, que tampoco depende del tiempo, es igual a la que equiee paa elevase hasta una distancia del cento de la tiea y ya hemos calculado antes. R v 0 y G R El módulo de la velocidad inicial seá, po tanto: v v 0x + v 0y G + G R R G R R No confundas la componente Y de la velocidad inicial con la componente Y del vecto velocidad total. Esta sí que depende del tiempo, ya que este es suma de la velocidad inicial y de la debida a la gavedad seía: G R v i + G g t j donde R g G La componente Y de la velocidad inicial depende del tiempo, ya que es la suma de la componente Y de la velocidad inicial (que es constante e igual a la que equiee paa elevase hasta una distancia del cento de la tiea) y de la debida a la gavedad (que depende del tiempo). e) La velocidad de escape es aquella que pemite que el cuepo escape de la atacción teeste y ello equiee que su enegía total sea positiva o nula como mínimo. Si queemos que el cuepo escape completamente debemos comunicale una enegía cinética de manea que no se detenga hasta llega al infinito, donde su enegía mecánica seía ceo poque llega con velocidad ceo y poque allí su Ep0, ya que es invesa a la distancia. Po tanto, como la enegía mecánica en el lanzamiento debe se igual a la que tiene en el infinito: Ec tiea + Ep Ec Ep tiea + E m + G mv R mv escape m + G de donde: v escape G R Si el cuepo estuviea a una altua h la velocidad de escape, seía v donde R+h escape Como puedes ve compaando la velocidad obital y la velocidad de escape: G v escape v obital

42 Ejemplo: Con qué velocidad había que lanza desde la supeficie de la tiea una nave paa que llegue a la luna? Datos: 5, Kg L 7,35.0 Kg d L 3, m su supeficie. Esto es casi igual si que nos pidiean la velocidad con que hay que lanza una pieda paa que llegue al tejado. La pequeña difeencia es que, en este caso, solo tenemos que lleva el cuepo hasta una distancia x donde el campo gavitatoio y el luna se igualan y luego ya seá la luna la que tie del cuepo y lo lleve hasta El punto P o donde la gavedad teeste y luna se igualan, es deci g g L : G x L G x3, m (d x) Y ahoa simplemente, aplicamos la consevación de la enegía mecánica ente la supeficie de la tiea y ese punto P o donde la gavedad es ceo, que es donde hay que lleva al cuepo. Ec + Ep Ec + Ep tiea tiea P0 P0 mv m + G mv R m + G x Po v G R x 4, 0 m / s La intensidad de campo puede se nula en el infinito o, como hemos visto en este caso, en un punto ente la tiea y la luna donde la gavedad teeste se compense con la gavedad luna. No obstante, habás visto la ingavidez apaente de los astonautas en un satélite en óbita. Se explica sencillamente poque la aceleación del satélite es igual a la aceleación de la gavedad. v v Paa un obsevado inecial g a nomal y paa un obsevado no inecial g a centífuga Seía exactamente igual que si vamos en un ascenso y se ompe la cueda. La aceleación con que nos moveíamos seía igual a la de la gavedad, con lo que, especto de la cabina del ascenso, tendíamos aceleación ceo y la sensación de ingavidez. Si en tal situación soltamos un objeto nos daía la impesión de que no cae poque siempe guadaía la misma posición especto a nosotos, sin embago especto de un SRI, ealmente ambos estamos cayendo con una aceleación igual a la de la gavedad.

43 PLICIÓN CIRCULCIÓN DE UN VECOR LO LRGO DE UN CINO C El concepto de ciculación se intodujo pimeo en hidodinámica paa sabe si un fluido ciculaba, es deci si hay un movimiento neto del mismo a tavés de un camino o conducción. De la misma foma se puede aplica al vecto Intensidad de campo, aunque en este caso ealmente no hay nada que cicule. Imagina un camino cualquiea, abieto o ceado. omemos un elemento de camino d entonces la ciculación del vecto I a lo lago del mismo se define como el poducto escala de la intensidad de campo po el vecto desplazamiento: dc I d dc Ciculación a lo lago del elemento de camino d I Intensidad de campo d vecto desplazamiento que ya conocemos (vecto tangente al camino): d dxi + dyj + dzk α ángulo que foman la Intensidad de campo y el vecto desplazamiento Si dividimos el camino a segui en elementos d y evaluamos paa cada uno el difeencial de ciculación y los sumamos todos, tendemos la ciculación total del vecto I ente los puntos y a lo lago del camino c. Esto se expesa con la integal de línea siguiente: C I d I cosα d,c Se lee: la ciculación ente los puntos y a lo lago del camino c,c Si la ciculación fuese a lo lago de un camino ceado, es deci desde el punto al y luego desde el al, tendíamos:,c C I d + I d I d,c,c La integal con el ciculito indica que el camino es ceado. El concepto de ciculación que se ha definido es aplicable a cualquie vecto:

44 La ciculación del vecto fueza ente los puntos y a lo lago de un camino c no es más que el tabajo ealizado po la fueza paa lleva al cuepo desde el punto al po ese camino. (Ya ecodaás cuando definimos el tabajo, que dijimos que en geneal depende del camino seguido. No obstante si la fueza es consevativa no seía necesaio especifica el camino poque no depende de él.) C,c F d W,c,c La ciculación del vecto intensidad de campo ente los puntos y es igual a la menos la difeencia de potencial ente esos puntos. (En este caso nos da igual el camino seguido poque la difeencia de potencial ente dos puntos solo depende de la posición de los puntos.) C g d V V G u d G G Ejemplo: Calcula el tabajo ealizado po la fueza F 3x yi + xj cuando lleve a una patícula desde la posición (0,0) hasta la (,) a tavés de los caminos: a) de la ecta y x b) de la paábola y x Nos dice que calculemos el tabajo, peo seía exactamente igual si nos hubiesen dicho que calculemos la ciculación del vecto fueza ente esos puntos y po esos caminos, ya que como sabemos es la misma cosa. W,c dyj) F d (3x yi + xj) (dxi +,c,c W,c (3x y dx + x dy),c La integal podemos descomponela en dos integales, una donde, como puedes ve, se intega especto a x y la ota donde se intega especto a y. W,c,c 3x y dx + x dy,c a) Hasta aquí es lo mismo sigas la tayectoia que sigas, poque solamente hemos sustituido F po su valo y ealizado el poducto escala. fíjate que, po ejemplo, en la pimea integal se intega especto de x, peo la y no es una constante poque depende de x, así que antes de ealiza la integal debemos pone todo en función de una sola vaiable y paa eso es paa lo que necesitamos la ecuación de la tayectoia, así que como: camino c: y x

45 sustituyendo, la pimea integal nos quedaía como: 3 x x dx y los límites de integación, como integamos especto de x, seían x y x, es deci ente 0 y en la segunda integal debemos hace lo mismo, pone todo en función de una sola vaiable. sí que, si despejamos la x y sustituimos, nos quedaía: y / dy peo también si deivamos la ecuación de la tayectoia tendemos que dy dx, así que también podíamos opta po pone la segunda integal de la foma: x dx. Da igual toma una u ota aunque clao, según optemos, los límites de integación seían desde y a y o desde x a x. W W,c x x 0 3x 6x 4 x dx + x x 0 4,c x dx [ x ],50Julios b) El tabajo paa lleva la patícula a lo lago del camino c se hace exactamente igual, con la única difeencia de que ahoa la elación ente las vaiables x e y es distinta, poque viene dada po la ecuación del camino: camino c: y x Sustituyendo la ecuación de la tayectoia en la pimea integal, nos quedaía 3x x dx y los límites de integación, como integamos especto de x, seían x y x, es deci ente 0 y eniendo en cuenta que si deivamos la ecuación de la nueva tayectoia ( y x ) obtendemos dy 4x dx si sustituimos en la segunda integal nos quedaá x 4x dx y los límites de integación, como también integamos especto de x, seían x y x, es deci ente 0 y W W,c x x 0 3x x dx + x x 0 3 6x5 4x,c x 4x dx,53julios Como puede vese, en geneal, el tabajo depende de la tayectoia seguida. Po el contaio, si solo dependiea de la posición de los puntos y diíamos que la fueza es consevativa. FLUJO RVES DE UN SUPERFICIE El concepto de flujo se intodujo en hidodinámica paa expesa el flujo neto de fluido a tavés de la supeficie. En un campo vectoial se aplica el concepto de flujo de manea

46 análoga paa indica el númeo de líneas de fueza que ataviesan una supeficie, aunque está clao que como las líneas de campo son imaginaias, en ealidad a tavés de la supeficie no fluye nada. Sea una supeficie cualquiea, abieta o ceada, si tomamos un elemento difeencial de supeficie ds, el flujo (φ) de la Intensidad de campo a tavés de ella se define como el poducto escala del vecto Intensidad de campo po vecto de supeficie: d φ I ds dφ Flujo a tavés del elemento ds I Intensidad de campo que lo ataviesa ds vecto pependicula a la supeficie y de módulo igual al áea del elemento α ángulo que foman la Intensidad de campo y la nomal a la supeficie Si dividimos la supeficie S en elementos infinitesimales ds y calculamos paa cada uno la difeencial de flujo y las sumamos todas tendemos el flujo total a tavés de toda la supeficie, lo que se expesa como la integal de supeficie: φ I ds S No tienes que peocupate po la apaición de una integal de supeficie, poque en todos los casos que se van a plantea se esolveá sin tene que ecui a cálculos complejos. Po ejemplo: ) Si el campo es constante y pependicula a la supeficie, ds, es deci que Icte y α0º nos quedaía que: φ S I ds S I ds cos0º I S ds I S ) Si el campo es constante y paalelo a la supeficie, es deci α90º, entonces, como el poducto escala es nulo: φ 0 C) Si el campo es constante y foma un ángulo α con la pependicula a la supeficie: Ejemplo: φ I S cosα Un cilindo está en un campo eléctico unifome E como se indica en la figua. Cuánto vale el flujo a tavés del cilindo?

47 Vamos a calcula el flujo a tavés de la paed lateal, luego de la caa anteio y luego de la posteio. Sumando tendemos el flujo total a tavés de toda la supeficie del cilindo El flujo φ a tavés de la paed lateal es ceo, poque el campo y el vecto supeficie foman 90º y su coseno es nulo: φ E S cosα E S cos 90º 0 El Flujo φ a tavés de la caa anteio es: φ E S cosα E S cos0º E πr siendo R el adio del cilindo El flujo φ 3 a tavés de la caa de atás es: φ 3 E S cos α E S cos80º E πr El flujo total se obtiene sumando: φ φ + φ + φ3 ás adelante estudiemos el teoema de Gauss, según éste, el flujo total a tavés de una supeficie ceada es nulo si no enciea cagas en su inteio (o masas en el caso del campo gavitatoio). 0

48 Ejemplo: Una espia cuadada de 4cm de lado se encuenta en un campo magnético de Webe/m. Calcula el flujo que ataviesa a la espia: a) Cuando está pependicula al campo b) Cuando está paalela al campo c) Cuando foma un ángulo de 60º con la diección del campo d) Cuando gia con una velocidad angula ω Hemos definido el flujo de foma geneal como el poducto escala de un vecto a tavés de una supeficie, En este caso el vecto es la inducción magnética y la supeficie, en ealidad no es tal, puesto que una espia no es más que un hilo conducto que se ciea sobe sí, pudiendo tene foma cicula, cuadada o cualquie ota. a) φ S cos0º S 0,04 3, 0 3 Webe b) Cuando la espia está paalela al campo el flujo es ceo, poque en ese caso el vecto supeficie y el campo foman 90º y su coseno es nulo c) Cuando la espia foma un ángulo de 60º con la inducción magnética, fíjate que el ángulo que ésta foma con el vecto supeficie seía de 30º (no olvides que el vecto supeficie es pependicula a la supeficie) φ S cos 30º S 0,04 cos30 3,8 0 3 Webe d) Cuando la espia gie con una velocidad angula ω, el ángulo α seá función del tiempo, estando elacionados ambos, como sabemos po: α α + ω t φ S cosα S cos ωt φ 3, 0 3 cos ωt Se tata del un flujo vaiable, poque depende del tiempo como puede vese. as adelante veemos que si un cicuito (la espia en este caso) es atavesado po un flujo magnético vaiable, en él apaece una fueza electomotiz inducida (e) que viene dada po: dφ d e dt ( S cos ωt) dt o Sω senωt Pecisamente en esto se basa la poducción industial de coiente altena.

49 FLUJO DE L INENSIDD DE CPO RVES DE UN SUPERFICIE CERRD. EORE DE GUSS El teoema de Gauss nos pemite calcula el flujo de la Intensidad de campo a tavés de una supeficie ceada de foma cualquiea. Supongamos una supeficie ceada de foma esféica, (paa mayo sencillez, aunque el esultado es geneal) y que en su inteio enciea una masa m. El flujo a tavés de un elementode supeficie seía: d φ g ds El flujo a tavés de toda la supeficie se obtiene integando a toda ella: φ S g ds S g ds S m m G ds G S m ds G 4π 4πGm esolviendo el poducto escala y teniendo en cuenta que α80º g ds g ds cos80 g ds La integal de supeficie es la suma de todas las supeficies elementales y po tanto la supeficie de la esfea 4π En el caso de que dento de la supeficie hubiea vaias masas, el flujo total seía la suma del debido a cada una de ellas, es deci que: Es muy impotante tene en cuenta que: φ 4 πg Solamente contibuyen al flujo a tavés de la supeficie ceada las masas (o cagas en el caso del eléctico) que se encuenten en su inteio. De ello se deduce que el flujo a tavés de una supeficie ceada que no contiene masas (o cagas) en su inteio es nulo. La consecuencia es que la líneas de campo gavitatoio son abietas (sumideos paa las masas y confluyen en un punto) con lo que entaían en la supeficie po un lado y saldían po el oto dando esultante de flujo nula. El flujo a tavés de la supeficie ceada es independiente de la posición de las masas en su inteio, ya que su expesión no depende de. El flujo del campo gavitatoio a tavés de una supeficie ceada debido a las masas que enciea en su inteio siempe es negativo. m i

50 Ejemplo: Dento de una caja de galletas hay dos bolas iguales de masa m y fuea de ella hay ota bola también de masa m. a) Cual seá el flujo del campo gavitatoio a tavés de la caja? b) Como se calculaía el campo en un punto P fuea de la caja? Como hemos dicho, solamente contibuyen al flujo a tavés de la supeficie ceada las masas en su inteio y además que el flujo es independiente de la posición de las masas en el inteio de la supeficie: φ 4 πg(m + m) Sin embago paa calcula el campo en un punto sí que había que tene en cuenta a todas las masas, estén donde estén, y además también habá que tene en cuenta las posiciones que ocupa cada masa especto al punto. plicando el pincipio de supeposición, no había más que calcula el valo del campo en el punto P debido a cada masa po sepaado y sumalos vectoialmente. Ejemplo: Obtene, utilizando el teoema de Gauss, la expesión de la intensidad de campo gavitatoio ceado po una masa m a una distancia. Po supuesto ya sabemos la expesión que tiene, peo vamos a obtenela a pati del teoema de Gauss. Dibujamos alededo de la masa una supeficie ceada que va a se una esfea cuya distancia a la masa seá. Según la ley de Gauss: φ g ds S expesión geneal del flujo φ 4πGm eoema de Gauss Como: El vecto g y el vecto ds foman ángulo de 80º El módulo de g es constante en toda la supeficie, poque al se la supeficie esféica en todos sus puntos dista igual a la masa m. m g ds 4πGm g 4π 4πG m g G S