y f(x) o bien x g(y) de la precedente función es: y a x o

Transcripción

1 TEMA Nº 6 (Úlm mdfccó CALCULO DIERENCIAL E INTEGRAL II UNCIONES IMPLÍCITAS uces mplícs de u vrble depedee: Defcó: Se csder que es fucó mplíc de l vrble depedee cud esá esblecd drecmee mede u ecucó del p: (; Csderems l epresó: (; que es l ecucó de u crcuferec que ee su cer e el rge de crdeds rd L frm eplíc f( be g( de l precedee fucó es: respecvmee e cers cveees dms E muchs css dd l ecucó ( = es psble psr de l frm mplíc l frm eplíc f( mede prcedmes purmee lgebrcs (cm se h relzd e el ejempl dd Per ese mbé css e que ell es psble Pr ell rrems de reslver el prblem de deermr ls prpeddes de u fucó f( defd mplícmee pr (; s ecesdd de psr l frm eplíc N debe pesrse que d epresó de l frm (; deerm u fucó f( g( Es fácl dr ejempls de fuces ( ; que gulds cer deerm sluces e érms de u vrble Así pr ejempl se l fucó sl se ssfce pr el pu = ; = ese pr l fucó = f( Or ejempl más drásc ú es el sguee: (; que l gulr cer resul que h gú vlr rel de de que ssfg l epresó precedee Se cmprede eces l ecesdd de hllr cdces bj ls cules l epresó ( ; defe u fucó f( g( cules s ls prpeddes de éss e relcó c ls prpeddes de (; Aes de dr el erem de esec hrems lgus csderces de crácer gemérc uv z (; L ecucó (; resul equvlee l ssem sguee: cu slucó es l z curv e que l superfce z (; es ercepd pr el pl z = (pl Cud es curv de erseccó es e rs plbrs cud l superfce z (; cre relmee l pl ( ; dch curv de erseccó será el gráfc e el pl ( de u fucó = f( epresó eplíc de(; Vle decr que cud (; defe u fucó =f( se verfc : (; ; f( E relcó c ls psces relvs de l superfce z =( el pl crded ( lcems ls dss suces gemércs que puede preserse:

2 U prmer psbldd es que l superfce z ( ; el pl ( eg pus e cmú pr ejempl el cd: z (; E l cs es bv que ese curv de erseccó c el pl ( pr l ese slucó = f( = g( Pr ell se hce ecesr csderr sl quells css e que h pr l mes u pu ( que ssfg l ecucó(; Ess vlres ( csue l llmd slucó cl de ( = S ese u slucó cl ( gemércmee res ds psblddes Que el pl gee l superfce z (; e el pu P ( se hrzl Que el pl gee l msm superfce e el pu csderd N se hrzl S el pl gee l superfce e P ( es hrzl es fácl dr ejempls que muesr que l slucó = f( ó = g( puede esr Así (; ee l slucó cl sed hrzl el pl gee crrespdee dch pu (es el msm pl ( cm se ve plcd l ecucó del pl gee: z ( ; ( ( ; ( z Per (; defe gu fucó = f( = g( Pr r pre es cmplemee psble que l ecucó (; eg u slucó = f( be = g( ú cud el pl gee e P( se hrzl Cm ejempl (; ( de l cul se deduce l fucó eplíc = be l fucó = / Pr ell e el cs ecepcl de pl gee hrzl crrespdee l slucó cl pdems hcer gu frmcó de crácer geerl L psbldd rese es que pr l slucó cl ( el pl gee se hrzl L ucó s muesr eces que l superfce z = ( ; puede dblrse rápdmee l sufcee cm pr eludr crr l pl e ls prmddes de P ( e u be defd curv de erseccó que es prcó de l curv e ls vecddes de ( ; puede ser descrp pr fuces = f( = g( El hech que el pl gee e P ( se hrzl equvle esblecer que ( ; ( ; s uls smuláemee (Recrdr l ecucó del pl gee Recpuld resul que hems llegd mede csderces purmee uvs de crácer gemérc l cclusó que sí: Ese u slucó cl ( de (= Ese pl gee l superfce z=( e ( ( es dferecble e ( 3 El pl gee e ( es hrzl pr l cul bs que pr l mes u de ls dervds prcles Y se ul e ( eces ese curv de erseccó de l superfce z = ( c el pl crded z = e ls prmddes de ( e csecuec ( ; defe u fucó = f( be = g(

3 Ls resulds beds de mer gemérc uv ls dscurems cucó e frm líc rgurs TEOREMA I De esec ucdd cudd dervbldd dferecbldd de fuces defds e frm mplíc Se z = ( u fucó de ds vrbles que ssfg ls sguees cdces: ( ; (ese slucó cl pr lgú pu P( R (; (; ese s cus l cul segur l Dferecbldd de ( ; cm fucó de ds vrbles pr l l esec del pl gee l superfce z = ( e el pu ( 3 ( ; l cul segur que el pl gee e ( es hrzl eces es psble deermr u er recgulr que ceg l pu P( ; : l que pr cd pereecee l ervl de l rec rel ( l ecucó ( = deerm ufrmemee u vlr = f( pereecee l ervl rel ( cumplédse ; f( ( L fucó = f( ssfce l ecucó f( Además = f( es cu dferecble su dervd dferecl s respecvmee: d (; (; f ( d d e d pu e que ( d (; (; Demsrcó: El pl de demsrcó es el sguee : Esec ucdd b Cudd c Dervbldd Dferecbldd Esec ucdd Esblecerems u recágul ; e el cul l ecucó (; = deerm u úc fucó = f(; per se debe clrr que vms rr de ecrr el mr recágul de ese p sl debems demsrr que ese recágul ese Ver gur gur 3

4 Cm pr hpóess ( ; es cu ( ; pdems ecrr u recágul R que cee P( ; que se l ecesrmee pequeñ cm pr que e d R l fucó (; z se dferee de cer pr l eg sempre el msm sg S perder geerldd pdems super que ese sg es psv S fuer sí reemplzríms pr - pr l cul mbé vle -( ; = se ( ; ( ; R ( Pr ( e cd segme = ce (prlel l eje ced e R; l fucó z = f( csderd cm fucó de slmee ( = ce es mó crecee e sed esrc Csderems e prculr = Cm ( ; pr ser mó esrcmee crecee l fucó z = ( esrá u pu A( ; l que el vlr de e A es egv; (; esrá u pu B l que (; Per pr l cudd de z = ( se deduce que z = ( será egv sl e A s e d u er de A e prculr l lrg de u segme = que ceg A esé ced e R z = ( será psv sl e B s e d u er de B e prculr l lrg de u segme = que ceg B ese ced e R Ahr elegms el ervl l sufceemee pequeñ cm pr que: ( ; ( ; / Supgms que fjms e culquer vlr del ervl que ume desde hs Cm ( ; z = ( crece esrcmee cu mómee desde u vlr egv ( ; hs u vlr psv ( ; puede uc eer el msm vlr pr ds pus de gul bscs Eces pr cd vlr de del ervl ese u vlr de uívcmee deermd pr el cul ( ; = c Lueg ese vlr de es fucó de : f( Hems prbd sí l esec ucdd de l fucó = f( que es slucó de ( = e el recágul ; N: Es evdee el ppel prmrdl desempeñd e l demsrcó pr l hpóess (; que s segur que el pl gee e ( es hrzl b Cudd de = f( Querems demsrr que = f( es cu e el recágul ; Demsrrems prmermee l cudd de l fucó = f( e u pu (; que ssfce l ecucó f ( Pr ell debe demsrrse que dd u rbrr es psble hllr r úmer psv ( l que: f( f( pr De gul frm que e el pu err se demuesr que ese uívcmee =f( / ( = e el recágul ; dde se h elegd e fucó de l cm es elegms el ervl e fucó del 4

5 gur Per f ( f ( lueg f ( f ( Es úlm s dc lm f( f( que s deerm l cudd de = f( e Cm ese rzme puede plcrse culquer pu del ervl << qued prbd l cudd de =f( e d ese úlm ervl c Dervbldd de = f( Pr l hpóess segud que mplc l dferecbldd de z = ( pdems escrbr: z ( h; ( ; h ( ; ( ; h dde c h ( Ahr pr = f( ere h ese depedec Así es f( h f( h f( h f( (3 Supems mbé que ls pus ( ; (+h + pereece l recágul dde =f( es defd e frm mplíc pr (= Eces es (; = ; (+h ; + = Lueg: h h Dvded pr h l err eems h h h h h es es h 5

6 md líme pr h será: h h h (; (; lm lm pr (3 ( l cudd de f( h (; h (; h h f( h f( lm lm se d ( ; e ( / ( (4 h h h h d ( ; ( ; De (4 se deduce que d ( ; d es es ( ; d ( ; d Resuld que se huber bed dferecd (= cm fucó de ds vrbles uces Implícs de vrbles depedees Aquí esblecems cdces bj ls cules u epresó de l frm ( ; ;; ; defe IMPLICITAMENTE u fucó f( ; ;; de vrbles depedees El erem esudd pr fuces mplícs de u vrble depedee se eede urlmee pr fuces mplícs de vrbles depedees Cm e ese cs l demsrcó es smlr l vs sl se eucrá el crrespdee erem se msrrá cm se bee ls frmuls que fgur e él TEOREMA II Se ( ; ;; ; u fucó de + vrbles que ssfce ls sguees cdces: º ( (ese slucó cl pr lgú pu P( R + º ; ;; ; ese s cus (l que segur l Dferecbldd de 3º ( eces es psble deermr u er que ceg l pu P ( ;;3;; l epresó ( ; ;; ; : l que e cd pu del er = deerm u vlr f(; ;; ( que es úc E el úlm er mecd se cumple que: f f( l fucó = f( ; ;; dervds prcles esá dds pr: ( ;; ;; ; ( ; ;; ;; ; ; ;; ; ( ; ;; Además: es cu dferecble sus e d pu e que ( 6

7 Pr beer es frmul prms de l dferecl de u fucó de vrbles f( : d A d A d A d dde es A Pr r pre cm ( es dferecble pdems escrbr: d d d d d Despejd d e d pu e que es d ( será: d d d Cmprd es úlm epresó c (5 será: A Dervds dferecles sucesvs de fuces mplícs pr = 3 Pr cmddd rbjrems c u epresó de ds vrbles: (; = que supems cumple ls cdces del erem vs pr defr =f( que l geerlzcó es med Hems vs que d d ( ; e dde = f( se ( ; ( ; ( ; Dervd es úlm epresó c respec será: d d d d d d d d d d d d ' (6 S desems clculr debems dervr (6 respec de prceder cm es L msm hcems pr ls dervds de rde superr Pr clculr ls dferecles sucesvs prms de: ( ; d ( ; d dferecms es epresó eed e cue que = f( (5 7

8 d d d d (; d d (; d d ( d d (; d (; dd d d d d d d d d d d dd (; d d (; Y d d (; d (7 (; d Pr clculr d 3 se dferec (7 lueg se despej d 3 Pr clculr ls dferecles de rde superr de =f( se prcede e frm álg l err 8

9 SISTEMAS DE UNCIONES IMPLÍCITAS Se r de vesgr cdces bj ls cules u ssem de l frm: ( ; ;; ; ; ( ; ;; ; ; deerm u slucó dd pr u ssem de fuces eplícs: f f ( ( ; ; ;; ;; cules s ls prpeddes de l slucó e relcó c ls prpeddes de Defrems prmermee el érm ACOBIANO DETERMINANTE UNCIONAL S u = u( ; v = v( s ds fuces cus de ls vrbles depedees ; sed sus dervds prcles u v u v ; ; ; mbé cus l epresó: u v u v u v u v recbe el mbre de cb deerme fucl de uv c respec e geerlmee se de c lgu de ls sguees epreses: (u v ( (u v (; Pr fuces de vrbles: u u u u ( ; ;; u u ( ; ;; ( ; X es (uu u ( u u u u 9

10 TEOREMA III S ( ; ;; ; ; ( ; ; ; ; s ds fuces de + vrbles que cumple ls sguees cdces: º ( ( pr lgú pu P( R + º dme dervds prcles de prmer rde cus e u er del pu P l que segur l Dferecbldd de cm fucó de + vrbles 3º P ( ; (; P P eces se puede deermr u er que ceg l pu P (del espc R = e el cul ( (A ( deerm u slucó: f ( f ( (B sl u Se cumple que: f( que: f( f f ( ( f f ( (

11 e el er mecd sed ls fuces dds e (B cus dferecbles e depedees Demsrcó: Prms de l hpóess p se e P Pr que es se cumpl ls cur dervds puede ser smuláemee uls e P eces s perder geerldd supems que es: e P (C Ahr csderems l ecucó ( (D Per ls hpóess de ese erem ju c (C s segur (Terem II que de (D se deduce: g( ; ;; ; (E fucó úc cu dferecble cu dervd respec de es: e P ( Además se cumple que es g( (E S reemplzms (E e l epresó de se ee: ( [ g( ] G[ ] cu dervd respec (cm fucó cmpues será: G pr l : e P ( es Cm ; ; ; depede de será : Per pr (: G reemplzd es epresó e l err qued :

12 G G p epresó que ese es ds de cer e P( Per ls hpóess de ese erem jumee c G e P c E s segur que: ( ; ;; ; ; G[ ; ;; ; ] deerm u fucó f ( ; ;; que es úc cu dferecble que cumple f ( S reemplzms f ( ; ;; e l epresó (E pr edrems: g[ ; ;; ; f ( ; ;; ] f ( ; ;; que resul úc cu dferecble cumple f ( f ( g( g 3 Reued ess epreses resul l slucó buscd : f( ; ;; f( ; ;; Clculrems hr ls dervds de e c respec cd u de ls Prms del ssem: (; ;; (; ;; ; ; ; ;

13 3 dervd (cm fucó cmpues cd u de ells respec de ls (eed e cue que ess s depedees ds ls dervds de l frm j s uls pr d j se bee: dde ls cógs s ; Psd e cd ecucó ls érms depedees l segud membr se ee: que es u ssem lel de ds ecuces c ds cógs que puede reslverse pr l regl de CRAMER sempre que el deerme de ls cefcees se ds de cer se sempre que: cs que curre que ese deerme es el ACOBIANO es vs pr hpóess es e el pu P Reslved el ssem err edrems: ; ( ( ; ; ( ( ; ; ( ( ; ; ( ( ; ; ( ( ; ; ( ( ; Hbrá dervds de cd u de ls fuces ; pr = ;;

14 Clculms hr ls dferecles d d Dferecd el ssem = = será: d d d d d d d d d d d d d d que mbé sempre e el pu P puede reslverse e d d cm es pr CRAMER SISTEMAS DE M UNCIONES IMPLÍCITAS Desems esudr cdces bj ls cules el ssem de m ecuces c +m vrbles: (;; ; ;; m m (;; ; ;; m Deerm u slucó dd pr: f(;; m f m (;; cules s ls prpeddes de ls f e relcó c quells de ls j ( j =m TEOREMA 4 S ls (; pr = ;;m s m fuces de m+ vrbles que cumple c ls sguees cdces: ( ; º (ese slucó clpr lgú pu P( ; R +m m ( ; º Ls (; dme dervds prcles de prmer rde e u er del pu P( ; 3º ( ; ;; m m p ( ; ;; m p m m m p eces se puede deermr 4

15 K K u er que cee l pu P = = m j e el cul el ssem de ecuces =(=m deerm u slucó j =f j ( (j=m que es úc Se cumple que j f j( (j=m que e el ervl mecd Además ls fuces s cus dferecbles e depedees sed ls dervds j m ( ;; (;; K;; ( ;; m ( ;; m m m ( ;; (;; K;; m m L demsrcó de ese erem es álg l del erem III pr ell l hrems quí APLICACIÓNES DE LOS TEOREMAS DE UNCIONES IMPLÍCITAS UNCIÓN INVERSA: Csderems u fucó de u vrble depedee =f( Vms msrr cm se puede ulzr el Terem de fuces mplícs pr deermr cdces bj ls cules esrá l fucó vers =g( cules s sus prpeddes cm clculr su dervd Terem 5: S =f( es u fucó cu c dervd cu ese u pu = c =f( ^ f ' ( ( eces es psble deermr u er que cee l pu = e el cul =f( defe l fucó vers =g( Es fucó es cu dervble sed su dervd d d d e d pu del er mecd e el cul se f' ' ( d Demsrcó: frmems l sguee fucó ulr ( = - f ( ( S e es epresó reemplzms pr e pr ; eed e cue ( se bee ( ; = (3 Además cm f( es cu c dervd cu resul que (; ( (4 ese s cus pues que ( = -f' ' ( ( = (que se bee dervd ( Per ( = - f' ' ( pr hpóess Es úlm jumee c (3 (4 s segur pr el Terem que ese = g ( que es úc cu dervble defd pr (=f(= e u er del pu P( sed: 5

16 d d se ' ' f f d d c l cul qued demsrd el Terem 5 d d d d Obsérvese que ese Terem s frm sbre l frm eplíc de l fucó vers =g( s que s sumsr cdces bj ls cules segur ese és cules s sus prpeddes e relcó c ls de =f( Nóese que =f( puede erprerse cm u rsfrmcó T: --> cud ese vers = g( se edrá l rsfrmcó vers T - --> T:--> T - : --> TRANSORMACIÓN INVERSA Csderems hr el cs de u ssem de fuces rsfrmcó de l frm u T : (5 v Cbe pregurse bj que supuess esrá l rsfrmcó vers T f u v (6 e cu cs se edrí gráfcmee: g u v P( u T v T v P '(u v v T f u v g u v T - u u Terem 6: S ls fuces u ( v s cus c dervds prmers cus ese u pu P( c ( pereece l clse C ( es decr 6

17 u ( (A el cb e P p = v ( p p eces se puede deermr u er que ceg l pu P e el cul l rsfrmcó (5 dme vers (6 Ls fuces fu v gu v s dferecbles Demsrcó: rmems el ssem de fuces ulres u v u (7 u v v S reemplzms uv pr u v respecvmee e (7 eems e cue (A Obeems u v u (8 u v v Dervd (7 se ee: ; ; u ; v (9 u v ; ; ; cm ls fuces u v pereece l clse C pr hpóess resul que mbé pereece l clse C lmee el cb de respec de e es: ( ( sed pr hpóess ese cb e el pu P ds de cer Es úlm cdcó se s segur ( Terem 3 que ese el ssem: p jumee c (8 que se de l clse C f uv g uv ( defd pr u ( v ( 7

18 e u er del pu (u v el cul esá frmd pr ds fuces que s cus depedees dferecbles sed sus dervds: u u v v u u _ v v j Ese erem frm sbre cdces bj ls cules segur ese (6 cules s sus prpeddes e relcó c ls de (5 per e geerl prprc l frm eplícmee (6 L geerlzcó pr u ssem de fuces de vrbles se relz mede u prcedme smlr Cdces sufcees pr l esec de l rsfrmcó vers se epres e u erem álg ls erres TRANSORMACIÓN DE COORDENADAS Hems esudd ls ssems de l frm T u v su vers T - fu v gu v Es evdee que ess puede erprerse cm cmbs de crdeds e el pl El hech fudmel cceree ls cmbs de crdeds es bvmee l versbldd se l bucdd de l crrespdee rsfrmcó es es que cd pu de u espc le crrespde u sl u del espc rsfrmd Pr el Terem 6 ese prblem de decdr s u ssem dd de fuces defe u cmb de crdeds qued resuel frmvmee cud: ls fuces s de l clse C el cb de l rsfrmcó es ds de cer e d pu de l regó csderd Pues que eces vms que ese l rsfrmcó vers 8

19 Csderems hr lgus hechs geerles referees e prmer érm ls cmbs de crdeds e el pl defd pr: u ( T su vers T v - fu v (3 gu v Cud se d ls crdeds ( de u pu P respec de u ssem de crdeds cress " l que e reldd se hce es fjr l pscó de P cm erseccó de ls recs = ; = u Per l fjr = ( qued que represe ls ecuces prmércs de v u curv e el pl "uv" c prámer "" que =cse De md que l rec = del pl "" le crrespde u curv del pl "uv" v = = P P = = u Aálgmee l fjr l rded = beems ls ecuces prmércs de r curv del pl "uv c prámer "" que =cse De mer que l rec = del pl ( le crrespde r curv e el pl "uv" Eces l pu P que e el pl "" es l erseccó de ls recs = ; = le crrespde e el pl "uv" el pu P' que es l erseccó de ls curvs respecvs mecds E geerl l fml de recs =c ; =c ;; =c del pl le crrespde u fml de curvs e el pl "uv"aálgmee l fml de recs del pl = ; = = le crrespde r fml de curvs e el pl uv Recíprcmee l fml de recs u=u ; u=u u=u del pl uv le crrespde u fml de curvs e el pl "" l gul que l fml de recs del pl uv v=v ; v=v v=v le crrespde r fml de curvs e el pl "" Trsfrmcó de Crdeds Cress ( Crdeds Plres ( r r 3 r 3 r r r=r r=r r=r 3 9

20 P( <r<+ r O rcs rse r r r cs se rse r cs rcs rse r e d pu ds del O ( Gemércmee vems que es : r rcg Cmbs de crdeds e el Espc : E el espc pdems hcer csderces smlres ls efecuds e el pl Ierpreems gemércmee lgus hech geerles referees ls cmbs de crdeds defds pr: u z T: v z w z (4 su vers f u v w T g u v w (5 z h u v w Cud se d ls crdeds ( z de u pu P respec u ssem de crdeds cress l que e reldd se hce es fjr l pscó de P cm erseccó de ls res pls = ; = ; z=z Per l fjr = el ssem (4 dp l frm de ls ecuces prmércs de u superfce e el espc "uvw" De md que l pl = del espc "z" le crrespde u superfce e el espc "uvw"ls msms csderces se puede relzr respec ls pls = z=z Asíl pu P ( z del espc "z" le crrespde el pu P de erseccó de ls mecds res superfces e el espc "uvw"

21 COORDENADAS SEMIPOLARES O CILINDRICAS: r z T r r z z cs se z z rcg r T z r z r r cs se se cs e d pu sud sbre el eje z ACOBIANO DE UN PRODUCTO O COMPOSICIÓN DE TRANSORMACIONES Csderems l sguee rsfrmcó: : f f f (6 Cu cb es: = (7 supgms que ls vrbles depede de rs j vrbles es decr: g g g (8 cu cb es: (9 Hgms hr el prduc de ls jcbs (7 (9 P z r z < r < + - z + = r

22 ( Recrdd l frm cm se relz el prduc de mrces beems: 3 Per l sumr es Lueg e geerl j j j j j resuld que reemplzd e ( d: se que: Nems que el segud membr resul ser el jcb de l rsfrmcó prduc cmpscó de G : G Vle decr que el cb del prduc cmpscó de ds rsfrmces es gul l prduc de ls jcbs de cd u de ells Cm el prduc de rsfrmces es e geerl cmuv h que eer e cue el rde Vems hr el cs prculr e que se: = ; = = Resul eces que el prduc de ls rsfrmces (8 (6 d cm resuld l rsfrmcó dedd Pr l pr defcó de rsfrmcó vers (8 es l vers de (6 se G= - : : f f f g g g

23 Hced el prduc de ls jcbs eems: e dde segú vms es: que depede de Eces ds ls j será gules cer pr j cud =j = Así es: de dde: Lueg : j l que s dce que el jcb de l rsfrmcó vers de u rsfrmcó es gul l vers del jcb de l rsfrmcó rgl s es dme vers 3