Inferencia estadística Intervalos de confianza

Transcripción

1 Ifereca estadístca Itervals de cfaa Cuad se btee ua estmacó utual de u arámetr es cveete acmañar dcha estmacó r ua medda de la recsó de la estmacó. U md de hacerl es frmar el estmadr y su errr stadard. Otr md es reemlaar la estmacó utual r u terval de valres sbles ara el arámetr. Ejeml: ugams que teems ua m.a.... de ua dstrbucó N c varaa ccda. r ser ls dats rmales sabems que ~ N ~ N0 y r l tat sabems que la rbabldad de que.96 es 0.95 es decr se ecuetre etre.96 y A artr de esta exresó bteems 74

2 Es decr que la rbabldad de que el terval ctega al verdader valr del arámetr es Este terval se dema terval de cfaa ara de vel de cfaa Observaces: N es crrect decr la rbabldad de que θ erteeca al terval ab es - rque θ es ua varable aleatra. El terval es aleatr ya que sus extrems s fuces de la muestra y r l tat debems decr la rbabldad de que el terval ab ctega al arámetr θ es - Ua ve cstruíd el terval a artr de ua muestra dada ya tee setd hablar de rbabldad. E td cas teems cfaa de que el terval ctega a θ. La cfaa está uesta e el métd de cstruccó de ls tervals que s asegura que - 00% de las muestras rducrá tervals que ctee a θ. Itervals de cfaa ara ls arámetrs de ua dstrbucó rmal Dstrbucó t: ea ds v.a. Z ~N0 y U ~ Z T ~ U Γ deedetes etces e dce que T tee dstrbucó t de tudet c grads de lbertad. Esta dstrbucó está tabulada ara dferetes valres de. u desdad es smétrca resect al 0 y tee frma de camaa er tee clas más esadas que la dstrbucó rmal stadard. Cuad tede a ft la dstrbucó de tudet tede a la dstrbucó rmal stadard. t rscó: ea... ua m.a. de ua dstrbucó N etces a ~ N ~ N0 75

3 b ~ c c y s deedetes d ~ t Dem: a Ya hems vst que cualquer cmbacó de v.a. rmales deedetes es rmal y el rmed es ua cmbacó leal artcular. b y c Está fuera del alcace de este curs. e Resulta de a b y c ues ~ N0 y ~ s v.a. deedetes. Etces r defcó de la dstrbucó t de tudet ~ t Iterval de cfaa ara la meda de la dstrbucó rmal c varaa ccda: ea... ua m.a. de ua dstrbucó N c varaa ccda etces ~ N0 de dde se deduce el sguete terval de cfaa de vel - ara 76

4 77 ε ε Iterval de cfaa ara la meda de la dstrbucó rmal c varaa desccda: ea... ua m.a. de ua dstrbucó N etces ~ t t t de dde se deduce el sguete terval de cfaa de vel - ara t t Iterval de cfaa ara la varaa de la dstrbucó rmal c meda ccda: ea... ua m.a. de ua dstrbucó N c meda ccda etces ~ 0 ~ N Γ Cm además las v.a. s deedetes Γ ~ Cóm elegms ls ercetles de la dstrbucó que ecerra u área gual a -?

5 78 Ls elegms de maera tal que quede u área gual a e cada extrem. Etces e btee el sguete terval Iterval de cfaa ara la varaa de la dstrbucó rmal c meda desccda: ea... ua m.a. de ua dstrbucó N etces ~ r l tat

6 e btee el sguete terval ε ε Ejemls: ea ua m.a. ~ N. a ugams que el verdader valr del desví stadard es 35 y que se bserva x 60 y cstruyams u terval de cfaa ara la meda de vel Cm las v.a. s rmales y la varaa es ccda el terval ara será de la frma ε ε c y valr bservad de gual a 60. Obteems b ugams ahra que la varaa es desccda er que el valr bservad de es s35. El crresdete terval de cfaa ara será de la frma t t c t t. 0. Obteems Ntems que es más ach que el aterr c ued cm ates que bservams x 60 y s 35 hallems u terval de cfaa ara de vel r tratarse de ua muestra rmal c meda desccda el terval ara será de la frma ε ε 79

7 c y Obteems y u terval de cfaa ara de vel 0.95 será Est últm resulta de alcar ua fucó móta crecete a cada extrem del terval ara Determacó del tamañ de muestra: Csderems el terval de cfaa ara c varaa ccda e el cas de ua m.a. rmal. La lgtud del terval bted es L y deede de vel de cfaa varaa desví stadard de las bservaces tamañ de la muestra U md de bteer mayr recsó es decr u terval más agst es aumetad el tamañ de la muestra. se desea ua lgtud mer gual que L etces L L L L Ejeml: ugams que 35 qué tamañ de muestra se requere cm mím ara bteer u terval de vel 0.95 de lgtud mer gual que 0?. r l tat L 0 35 y. 96 etces E el cas de varaa desccda el rblema es más cmlej rque el ercetl t també deede del tamañ de muestra. 80

8 Métd geeral ara bteer tervals de cfaa: ea... ua m.a. de ua dstrbucó que deede de u arámetr θ. ugams que exste ua fucó T... θ es decr ua fucó de la muestra y del arámetr cuya dstrbucó deede de θ de gú tr arámetr desccd. Etces exste ds valres a y b tales que a T... θ b y a artr de esta exresó es sble bteer u terval de cfaa ara θ. La fucó T... se dema vte. Ejeml: ea θ... Hems demstrad que ua m.a. de ua dstrbucó execal de arámetr λ. ~ Γ λ λ Usad este resultad y que s V ~ Γ λ y a > 0 etces av ~ Γ se uede a demstrar que λ ~ Γ Usad cm vte la fucó terval de cfaa de vel - ara el arámetr λ. T... λ λ dems bteer u λ λ y el terval requerd es 8

9 Ejeml: ea... ua m.a. de ua dstrbucó U0θ. ara bteer u terval de cfaa ara θ recrdems que el EMV de θ es θ ˆ max... y rbems que la dstrbucó de θ ˆ θ deede de θ. Llamems V a la v.a. max.... Recrdems que s... es ua m.a. de ua dstrbucó F etces la fucó de dstrbucó de V está dada r V F v F v Querems demstrar que la dstrbucó de Vθ. deede de θ. F Cm e uestr cas V θ F w V θ w w V θ w FV θ w θ ~U0θ F V θ w F θw 0 θw θ s θ w 0 s 0 < θ w < θ s θ w θ 0 w s w 0 s 0 < w < s w r l tat la dstrbucó de Vθ deede de θ. Dervad se btee la desdad de Vθ f V θ w w I 0 w max... Utlad T... θ cm vte btedrems u terval θ de cfaa ara θ de vel -. Buscams a y b tales que y bteems el sguete terval max... a b θ 8

10 max... max... b a Cóm elegms a y b?. Observad debems hallar a y b 0 < a < b < tales que b a w dw w b a b a Obvamete hay ftas sluces de esta ecuacó er dríams elegr la slucó que rduce el terval de mer lgtud eserada es decr buscar a y b que mmce EL sujet a la cdcó sed L max... a b Cm ya hems demstrad que E max... θ debems mmar θ b a 3 sujet a la cdcó b a. Est uede hacerse utlad multlcadres de Lagrage be desejad de esta últma exresó a e fucó de b reemlaádla e 3 y mmad la exresó resultate resect de a. El terval de míma lgtud eserada es max... max... Itervals de cfaa de vel astótc - : E muchs rblemas es sble ectrar tervals de cfaa de vel exact - be s de muy dfícl cstruccó. E tr cass dsems de muy ca frmacó sbre la dstrbucó de las varables aleatras. E estas stuaces es sble bteer tervals de cfaa de vel arxmad cuad teems u tamañ de muestra grade. Defcó: ea... ua m.a. de ua dstrbucó que deede de u arámetr a... y { b... } tales que θ. Dadas ds suceses { } a... θ b... lm 83

11 a es ua sucesó de tervals de cfaa de vel astótc - ara el arámetr θ. També se dce a... b... la sucesó de tervals [... b... ] que s es sufcetemete grade el terval [ ] tee vel arxmad -. rqué calcular tervals de vel astótc? rque es sble ectrar ua fucó vte que deeda del arámetr rque se cce a dstrbucó exacta de la fucó vte rque e geeral es más fácl ectrar la dstrbucó astótca que la exacta de la fucó vte Ejemls: ea... ua m.a. de ua dstrbucó F c E y V <. Buscams u terval de cfaa ara. abems que es u estmadr sesgad y csstete de. N ccems su dstrbucó exacta rque ccems la de er sabems que d N0 es ccd esta fucó dría servr de vte ara el terval de vel arxmad er qué usams s es desccd. redad: Y U d Y a U Y d ay s Cm s r ser u estmadr csstete etces y. s Lueg s d N0 s d N0 A artr de este resultad s 84

12 85 y se btee el sguete terval de vel arxmad - s s Iterval de cfaa de vel astótc - ara el arámetr de la dstrbucó Bmal: ea... ua m.a. de ua dstrbucó B. Etces B ~. Querems cstrur u terval de vel astótc - ara. Recrdems que r el TCL N a ~ ˆ y r l tat 4 Hay ds frmas de bteer u terval ara a artr de esta últma exresó. a Cm r la Ley de ls Grades Númers dems alcar la redad eucada ates y reemlaar e el demadr del vte r su estmadr. Etces ˆ ˆ

13 86 bteed u terval ara de vel arxmad. b Reescrbms la exresó 4 e la frma Observems que 0 0 Buscams las raíces de esta ecuacó de segud grad que llamarems ˆ y ˆ y el terval edd será ˆ ˆ