Tema 7. ESTIMACIÓN POR INTERVALO.

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1 Estadística Tema 7 Curs 006/07 Objetivs Ccepts: Tema 7 ETIMACIÓN POR INTERVALO Ccer ls siguietes mdels de prbabilidad: Chi-cuadrad, t-tudet, F-edecr De cada u de ells: * Defiició e fució de tras variables aleatrias * Prpiedades gráficas y de asimetría Cmpreder el sigificad del iterval de cfiaza de u determiad parámetr Cmpreder el métd geeral de bteció del iterval de cfiaza de u parámetr Cmpreder cóm depede el iterval del ivel de cfiaza y del tamañ de la muestra elegida aber hacer: Maejar las tablas de ls siguietes mdels de prbabilidad: Chi-cuadrad, t-tudet, F- edecr, para hallar percetiles c =00, 005, 005,,095, 0975, 099, Cstruir el iterval de cfiaza de u determiad parámetr, sabied si se cumple las cdicies para pder hallarl, eligied el pivte adecuad y aplicad el métd geeral de bteció de itervals Para u ivel de cfiaza dad: dar ua cta del errr abslut de ua estimació estimar u tamañ de la muestra que garatice ua precisió determiada para u iterval de cfiaza de la media de ua pblació Prblemas de exámees (web): IN: Febrer 006: Prblema 3 a) eptiembre 006: Prblema 3 Febrer 005: Prblema 3 c) Jui 005: Prblema d) e) eptiembre 005: Prblema 3 Jui 004: Prblema 3 c) eptiembre 004: Prblema 3: 3 eptiembre 003: Prblema 3 d) CON: Febrer 006: Parcial a 5 Febrer 005: Mdel 3ª Jui 005: g) h) eptiembre 005: f) g) E este curs habrá que saber hallar ls siguietes itervals: Para pblacies rmales: media, variaza, diferecia de medias y cciete de variazas Para pblacies cualesquiera: media, prprció y diferecia de medias

2 Estadística Tema 7 Curs 006/07 7- Itrducció E el tema aterir cmetams las diversas frmas de iferecia sbre ls parámetrs de ua pblació: Iferecia paramétrica: Estimació putual: θ= θ 0 λ = 564 (cm λ es la media de ua Piss, ua psible estimació es la media muestral) Estimació pr iterval: θ (a,b) c u % de cfiaza Cfidece Itervals fr Llamadas diarias % cfidece iterval fr mea: 564 +/ [ ;65494] I practical terms we state with 950% cfidece that the true mea Llamadas diarias is smewhere betwee ad Ctraste de hipótesis: aceptams θ= θ 0 frete a θ θ 0 (ó θ> θ 0 ó θ< θ 0 ), c ivel de sigificació E este tema, estudiarems cóm hacer las estimacies pr iterval, su fudamet teóric y su iterpretació Veams u ejempl primer: Csiderams la variable : estatura de ls alums del grup GM3 (curs 004/05), y querems estimar su media Para ell csiderams la muestra (=39) tmada al cmiez del curs Ua estimació putual vedría dada de frma atural pr la media muestral: = 7465 i querems ua estimació pr iterval, ua primera idea es buscar u iterval tal que el valr de la media esté e dich iterval c ua prbabilidad determiada (pr ejempl, 095) i) Para hallar prbabilidades, ecesitams ua va de la que czcams su distribució E este cas, pr la defiició de la va pdems csiderar que sigue ua distribució rmal N ( μ, σ ) (además, la muestra bteida pasa el ctraste de la rmal c p-valr de 066) Pr tat, pr las prpiedades de la distribució rmal, sabems que el estimadr de la media,, tambié sigue ua distribució rmal: N μ, σ μ σ, es decir N ( 0,) ii) Para hallar el iterval, pdríams buscar valres K, K R, tales que ( ) P K N(0,) K = 095 E este cas, K = 96 y K = 96, y tedríams que c prbabilidad 095 σ μ

3 Estadística Tema 7 Curs 006/07 iii) i ahra despejams μ, teems que 96 σ μ + 96 σ 095 El iterval al 95% sería 96 σ, + 96 σ c prbabilidad iv) A partir de ls dats de la muestra realizada, se tiee que = 7465 y =39, per desccems el valr de σ Ua slució, es aprximarl pr la cuasidesviació típica de la muestra =643 C ess dats, bteems u iterval (765, 7657) para μ c ua cfiaza del 95% (El resultad es aprximad, es el crrect Al aprximar σ pr la cuasidesviació típica, la distribució ya es N(0,), si que seguirá tr mdel, que dará lugar a u iterval diferete i l hallams c tatgraphics se btiee: 950% cfidece iterval fr mea: [759;76639], que es muy similar, per más ampli Cmetarems este aspect más adelate) Observacies: De qué depede el iterval de cfiaza? De la estimació del parámetr (e el ejempl, el valr de ), del ivel de cfiaza (pues determia ls valres de K, K ) y del tamañ de la muestra () Cóm ifluye cada u, se cmetará más adelate Pr qué decims cfiaza e lugar de prbabilidad? Es crrect decir que ( μ ) P = 095? N es crrect hablar de prbabilidades e puede calcular prbabilidades de va, per μ es ua va Pr ell, cuad teems u iterval bteid a partir de ls dats de ua muestra, se habla de cfiaza i tmams tra muestra de la misma pblació, habríams bteid el mism iterval? es úic el iterval de cfiaza? La fórmula para bteerl sí es úica, per ls valres ccrets que tma el iterval depede de ls dats de la muestra y de su tamañ, pr l que para cada muestra se btedrá u iterval de cfiaza diferete 3

4 Estadística Tema 7 Curs 006/07 Métd de bteció de itervals de cfiaza: E geeral, para hallar IC(θ): iterval de cfiaza para u parámetr θ c u ivel de cfiaza de -, seguirems ls misms pass que e el ejempl aterir Frmalizams el métd de la siguiete frma: i) Elecció de u pivte = (,, ; θ ) que: depede de ls dats de la muestra y del parámetr θ : = (,, ; θ ) c distribució de prbabilidad ccida que depede de θ ii) Ectrams valres, P K K = K K R, tales que ( ), iii) Despejams θ e la expresió aterir para bteer T = T(,, ), T = T(,, ) tales que P( T θ T ) = iv) El iterval de cfiaza buscad es IC(θ):( T, T ) Observació: Distiguims etre la fórmula para hallar el iterval de cfiaza (el iterval de cfiaza), y el iterval de úmers reales bteid a partir de ls dats de ua muestra (u iterval de cfiaza) Ates de bteer ls dats () Después de bteer ls dats () s estadístics (y pr tat va), tiee setid iterpretar cm ua prbabilidad: P T θ T = Cm T = T (,, ), T = T (,, ) e dice que (, ) ( ) T T es el iterval de cfiaza para θ, al ( ) 00% (tambié se habla del ivel de sigificació, que se iterpreta cm la prbabilidad de que θ esté fuera de dich iterval) A partir del resultad de la muestra x,,x R, se tiee que ls extrems del iterval t i =T i (x,, x ) R (s úmers reales) pr l que tiee setid hablar de prbabilidad P( t θ t ) = Pr es, se iterpreta cm ivel de cfiaza e dice que (, ) t t es u iterval de cfiaza para θ, pues si se btiee tra muestra, el resultad sería distit y se tiee tr iterval de cfiaza para θ Ua cfiaza del 95% sigifica que si bteems 00 itervals de cfiaza para θ, el verdader valr de θ estaría e 95 de ells Ntació: E adelate, utilizarems la siguiete tació:,, : muestra aleatria simple de la va + + : media muestral ( = ) ( ) + + ( ) : cuasivariaza muestral ( = = : cuasidesviació típica muestral 4 )

5 Estadística Tema 7 Curs 006/07 7- Itervals de cfiaza e pblacies rmales E este apartad csiderams siempre que las variables estudiadas sigue ua distribució rmal Estudiarems: cóm hallar ls itervals de cfiaza para la media y la variaza de ua sla variable y cóm hallar itervals de cfiaza para cmparar las medias y las variazas de ds variables, 7- Itervals de cfiaza para ls parámetrs de ua sla variable E este apartad csiderams N ( μ, σ ) Estudiarems ls siguietes itervals: IC(μ): Iterval de cfiaza para la media IC(σ ): Iterval de cfiaza para la variaza Para cada cas, dams ls pivtes adecuads y la expresió fial del iterval IC(μ): Iterval de cfiaza para la media E la itrducció vims que si ( μ, σ ) μ σ N, etces N ( 0,), per e la práctica se suele ccer el valr de σ, pr l que utilizarems la cuasidesviació típica, dad lugar a tra expresió que sigue u mdel de distribució que es N(0,) μ Pivte: = t ( ) ; IC(μ): ± t / t t, dde ( ) P = / t t t Ver Aex : Distribucies χ y t i i= χ, si,, t, si N(0,) s va idepedietes c distribució N ( 0,), χ y s va idepedietes 5

6 Estadística Tema 7 Curs 006/07 IC(σ ): Iterval de cfiaza para la variaza Pivte: ( ) = χ ( 3 ) ; IC(σ ( ) ( ) ):, σ x / x/, dde ( xp) P χ = p 0,4 0,3 0, 0, χ x / x x -/ Ejempl: Csiderams la variable Pes de ls estudiates de la EUI, y ls dats bteids de la muestra tmada e el grup M (curs 006/07) A partir de dichs dats, querems bteer u iterval de cfiaza, al 95% de cfiaza, para la estatura media, para su variaza y su desviació típica E primer lugar, cmprbams que es crrect super que dicha variable sigue ua distribució rmal Para ell, utilizams la pció Distributi Fittig de tatgraphics, y bteems: Apprximate P-Value = 0,8677 >03, pr l que pdems aceptar que sigue ua distribució rmal, y pdems utilizar ls pivtes vists aterirmete para hallar ls itervals de cfiaza Iterval de cfiaza para la media eguims ls pass habituales: i) Elecció del pivte : μ Pr ser IC de la media de ua pblació rmal, elegims = t Cm =49, t 48 ii) Ectrams valres, E este cas, buscams, P K K = K K R, tales que ( ) K K R, tales que P( K t K ) = Ver Aex : χ i, si,, i= s va idepedietes c distribució N ( 0,) 6

7 Estadística Tema 7 Curs 006/07 48 = 095 Pr la simetría de la t-tudet, buscams K R, tal que P ( K t K ) t K K Para bteer K, se puede usar las tablas tatgraphics, buscad K tal que P( t48 K) = 0975 E este cas, las tablas icluye el valr =48, pr l que utilizams tatg (Describe/Distributis/Prbability Distributis/Iverse CDF): Iverse CDF Distributi: tudet's t CDF Dist (t 48 ) 0,05 -,0064 0,975,0064 Pr tat, csiderams K = 0064 iii) Despejams μ e la expresió * K K : Partims de μ K K, y se llega a K μ + K iv) El iterval de cfiaza al 95% es, + K K C ls dats de la muestra, teems que: = 49, = 7837, = Además, K = 0064 ustituyed ess valres e la expresió del iterval, se tiee: [68,308; 76,0465] El pes medi está e el iterval [68,308; 76,0465] al 95% de cfiaza 3 Iterval de cfiaza para la variaza (y la desviació típica) eguims ls pass habituales: i) Elecció del pivte : Pr ser IC de la variaza de ua pblació rmal, elegims Cm =49, χ 48 ii) Ectrams valres, P K K = K K R, tales que ( ) 7 ( ) = χ σ

8 Estadística Tema 7 Curs 006/07 E este cas, buscams, Para bteer, K K R, tales que P( K χ K) 48 = 095 K K, se puede usar las tablas tatgraphics, buscad K, ( χ ) ( 48, χ48 ) P K = 005 P K = 0975 K tales que E este cas, las tablas tampc icluye el valr =48, pr l que utilizams tatg (Describe/Distributis/Prbability Distributis/Iverse CDF): Iverse CDF Distributi: Chi-quare (48) CDF Dist 0,05 30,7545 0,975 69,06 = , K = 6906 Pr l que csiderams K 0,4 0,3 0, χ , K K x iii) Despejams σ e la expresió K K : * Partims de K ( ) ( ) ( ) K K K σ σ ( ) σ ( ) ivertims K K iv) El iterval de cfiaza es ( ) ( ), K K C ls dats de la muestra, teems que: = 49, = 8086 (Variace) ustituyédls e la expresió del iterval, jut c ls valres de [5775; 878] K, K, se tiee: La variaza del pes está e el iterval [5775; 878] al 95% de cfiaza 8

9 Estadística Tema 7 Curs 006/07 i querems bteer el iterval de cfiaza para la desviació típica σ, e el pas iii) despejams σ e lugar de σ : K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K σ σ σ K K tmams K raíces K Pr tat, el iterval de cfiaza bteid a partir de ls dats de la muestra es: 5775 ; 878 = [5; 680] La desviació típica del pes está e el iterval [5; 680] al 95% de cfiaza Observacies Cóm cambia el iterval si cambia el ivel de cfiaza? i hallams el iterval de cfiaza para la media de la variable Pes c cfiaza del 90%, 95% y 99% se btiee: IC(μ) al 90% IC(μ) al 95% IC(μ) al 99% [68,964; 75,406] [68,308; 76,0465] [67,0306;77,3368] Observams que segú aumeta el ivel de cfiaza, el iterval se hace más ampli t 48 t 48 t Est se justifica prque el ivel de cfiaza se utiliza e el pas ii), determiad ls valres de P K K = Es clar que si aumeta el ivel de cfiaza, la amplitud del iterval ( K, K ) será mayr, y pr tat tambié l será la del iterval de cfiaza (i csiderams u 00% de cfiaza, tedríams el iterval (, + )) K, K R, tales que ( ) Fijad u ivel de cfiaza, cóm pdems hacer que el iterval de cfiaza s dé ua ifrmació más precisa (sea más pequeñ)? Aumetad el tamañ de la muestra () Pr ejempl, supems que la muestra elegida para estudiar la variable Pes es de tamañ =00, y bteems el mism valr de =8086 9

10 Estadística Tema 7 Curs 006/07 i hallams el iterval de cfiaza para la desviació típica, bteems [7; 495] 4, que es u iterval más pequeñ que el bteid c =49 ([5; 680]), y s da ua ifrmació más precisa sbre ls valres etre ls que puede estar el verdader valr de la desviació típica 3 Qué ifrmació pdems extraer de u iterval de cfiaza? Hems vist que el pes medi está e el iterval [68,308; 76,0465] al 95% de cfiaza De ahí, c u ivel de cfiaza del 95%: pdems afirmar que el pes medi es mayr que 68 kg bie que es mer que 77 Kg (Cm μ [68,308; 76,0465], se tiee que 68 < 68,308 μ 76,0465 < 77), si embarg pdríams asegurar, al 95%, que el pes medi sea mayr que 69 kg, pues e el iterval de psibles valres del pes medi hay valres que s meres que 69 es aceptable super que el pes medi pueda ser 70 Kg (e geeral, cualquier valr del iterir del iterval) E geeral, si el IC(θ) al ivel de cfiaza (-) es (a,b), c ivel de cfiaza (-): se puede asegurar que θ>a, y que cualquier valr mer que a, se puede asegurar que θ<b, y que cualquier valr mayr que b, es aceptable super que θ=c, sied c (a,b) 7- Itervals de cfiaza para cmparar parámetrs de ds variables idepedietes c distribució rmal Cm ejempl, querems estudiar las diferecias etre chics y chicas de la EUI respect de las variables Pes y Estatura Para ell, csiderams ua muestra (grup M, curs 006/07), de tamañ =49, y detams las variables de la siguiete frma: P : pes de ls chics; P : pes de ls chicas; E : estatura de ls chics; E : estatura de las chicas e btiee ls siguietes dats: Medias P = 76 5kg P = 55 3kg E = m E = 63 4m Desviacies típicas = 6kg = 55 kg = 65 m = 659 m P P E E A partir del estudi de itervals de cfiaza, itetarems dar respuesta a pregutas cm: e puede afirmar que la diferecia etre ls pess medis es de más de 0 kg? e puede afirmar que la diferecia etre las estaturas medias es de mes de 0 cm? e puede afirmar que la variabilidad respect de la media de la variable Estatura es igual e ls chics que e las chicas? e puede afirmar que la variabilidad respect de la media de la variable Pes es igual e ls chics que e las chicas? E este apartad utilizarems la siguiete tació: y s va idepedietes c distribució rmal: N ( μ, σ ), N ( μ, σ ) (,, x ), (,, y ): mas de e x : tamañ de la muestra de y : tamañ de la muestra de 4 Para la χ 99, al 95%, se btiee us valres de K = 68, K = 3996 ustituyed e la expresió geeral del iterval de cfiaza, jut c =00 y = 8086, se btiee el iterval [7; 495] 0

11 Estadística Tema 7 Curs 006/07, : medias muestrales de e, : cuasivariazas muestrales de e Estudiarems ls siguietes itervals: IC( σ / σ ): Iterval de cfiaza para el cciete de variazas de va idepedietes c distribució rmal IC(μ μ ): Iterval de cfiaza para la diferecia de medias de va idepedietes c distribució rmal σ / σ IC( ): Iterval de cfiaza para el cciete de variazas de va idepedietes c distribució rmal Pivte: σ = = F σ σ σ,, (Ver Aex : Distribució F,m ( 5 )) ; σ / σ ): IC(, f / f/ P =, dde ( F, f /) = y P( F, f /) 0,4 0,3 0, 0, F m, f / x f -/ Criteri para decidir si se puede aceptar que las variazas s iguales (ivel -): / σ σ sería Pr tat, bservams si a partir de ls i las variazas fuera iguales, el valr de dats de la muestra el es u de ls psibles valres para dich cciete i está e el iterval, sigifica que ls dats de la muestra crrbra la supsició de que sea iguales Pr tat: i IC( i IC( σ / σ ), pdems aceptar que s iguales σ / σ ), pdems csiderar que s diferetes 5 F m, m, si χ, χ m y s va idepedietes

12 Estadística Tema 7 Curs 006/07 IC(μ μ ): Iterval de cfiaza para la diferecia de medias de va idepedietes c distribució rmal e puede super que σ = σ (igualdad de variazas): * ( ) ( μ μ ) Pivte: = ~t + - p + dde ( ) + ( ) p = ; + IC(μ μ ): ( ) ± t / p + P =, dde ( t + - t /) N se puede super que σ = σ (variazas distitas): Pivte: ( ) ( μ μ ) = t + * + aprximació de Welch: f = f ; dde el úmer de grads de libertad f viee dad pr la IC(μ μ ): ( ) ± t / + P =, dde ( tf t /) Criteri para decidir si se puede aceptar que las medias s iguales (cfiaza -): i las medias fuera iguales, el valr de μ μ sería 0 Pr tat, bservams si a partir de ls dats de la muestra el 0 es u de ls psibles valres para dicha diferecia i está e el iterval, sigifica que ls dats de la muestra crrbra la supsició de que sea iguales Pr tat: i 0 IC(μ μ ), pdems aceptar que s iguales i 0 IC(μ μ ), pdems csiderar que s diferetes

13 Estadística Tema 7 Curs 006/07 Cclusió: Para estudiar la igualdad de medias de ds va aleatrias idepedietes c distribució rmal, seguirems ls siguietes pass: a) Cmprbar que ambas variables sigue ua distribució rmal b) Estudiar si se puede super igualdad de variazas: hallar IC( σ / σ ) y estudiar si ctiee al c) Estudiar la igualdad de medias: hallar el IC(μ μ ) que crrespda y estudiar si ctiee al 0 Ejempl : Estudiams las diferecias etre chics y chicas de la EUI respect de la variable Pes (95% de cfiaza) a) Cmprbams que las variables P (pes de ls chics) y P (pes de las chicas), sigue ua distribució rmal C la pció Distributi Fittig de tatgraphics bteems: P : Apprximate P-Value = 0,4060 > 03 (aceptams que es rmal) P : Apprximate P-Value = 0,9088 > 03 (aceptams que es rmal) Lueg ambas variables puede csiderarse rmales b) Estudiams si las variazas se puede csiderar iguales (95% de cfiaza) Hallams el iterval de cfiaza al 95% para el cciete de variazas segú el métd habitual: σ i) El pivte es = = F, σ σ σ Csiderams F 38,, pues x =39 y =0 σ σ ii) Hallams, Para bteer, 9 K K R, tales que P( K F38,9 K ) = 095 K K, se puede usar las tablas 6 tatgraphics, buscad K, ( 38,9 ), ( 38,9 ) P F K = 005 P F K = 0975 K tales que E este cas, las tablas icluye el valr =38, pr l que utilizams tatg (Describe/Distributis/Prbability Distributis/Iverse CDF): Distributi: F (variace rati) (=38, m=9) CDF Dist 0,05 0, ,975 3,543 6 Ver e el Aex cóm buscar valres e las tablas de la F,m 3

14 Estadística Tema 7 Curs 006/07 Pr l que csiderams K = , K = 3543 iii) Despejams el cciete de variazas e la expresió Partims de K K K : * K K K σ σ σ σ σ σ ivertims K K iv) El iterval de cfiaza del cciete σ σ es, K K ustituyed ls valres de K, K, y ls de P = 6 kg y P = 55 kg, teems el iterval: (8,08) Cm (8,08), pdems csiderar iguales las variazas c) Cmparams las medias Hallams el iterval de cfiaza (95%) teied e cueta que pdems super igualdad de variazas i) E este cas el pivte es Hallams * ( ) ( μ μ ) = t f = = = ii) Pr la simetría de la t-tudet, hallams K R, tal que ( ) 095 f P K t K = e puede usar las tablas tatgraphics, buscad K tal que ( ) 0975 P t f f K = E este cas, i las tablas i tatgraphics admite el valr =3379, pr l que reddeams a =34 y utilizams tatg (Describe/Distributis/Prbability Distributis/Iverse CDF): Distributi: tudet's t (=34) CDF Dist 0,975,035 Pr l que csiderams K = 035 * iii) Despejams ( μ μ ) e la expresió K K, y bteems la expresió del iterval de cfiaza: ( ) ± K + ustituyed ls valres de K = 035, y ls de x =39, =0, P = 76 5kg, P = 55 3kg = 6 kg y = 55 kg, teems el iterval: (6,63) P P 4

15 Estadística Tema 7 Curs 006/07 Cm era de esperar, 0 (6,63), pdems csiderar iguales las medias Ua vez que teems ls itervals de la diferecia de medias y el cciete de variazas, sí pdems ctestar a las pregutas plateadas al pricipi: e puede afirmar que la diferecia etre ls pess medis es de más de 0 kg? C u 95% de cfiaza, se puede garatizar que la diferecia sea de más de 0 kg, pues el psible valr de dicha diferecia está e el iterval (6,63), que icluye valres meres a 0, pr l que dicha diferecia pdría ser mer que 0 í se puede garatizar que la diferecia del pes medi es mayr de 5 kg (5<6< μ μ ) e puede afirmar que la variabilidad respect de la media de la variable Pes es igual e ls chics que e las chicas? Cm se ha vist al hallar el iterval del cciete de variazas, se puede super iguales Además, cm IC( σ σ ) es (8,08), se tiee que σ σ > 8 >, y pr tat σ > σ Es decir, se puede asegurar, al 95% de cfiaza, que ls chics tiee ua mayr variabilidad e el pes que las chicas Ejempl : Estudiams las diferecias etre chics y chicas de la EUI respect de la variable Estatura (95% de cfiaza) a) Cmprbams que las variables E (estatura de ls chics) y E (estatura de las chicas), sigue ua distribució rmal C la pció Distributi Fittig de tatgraphics bteems: E : Apprximate P-Value = 0,63057 > 03 (aceptams que es rmal) E : Apprximate P-Value = 0,8536 > 03 (aceptams que es rmal) Lueg ambas variables puede csiderarse rmales b) Estudiams si las variazas se puede csiderar iguales (95% de cfiaza) Hallams el iterval de cfiaza al 95% para el cciete de variazas segú el métd habitual C tatgraphics se btiee: Rati f Variaces: [0,56645;,858] Cm [0,56645;,858], sí pdems csiderar iguales las variazas c) Cmparams las medias Hallams el iterval de cfiaza (95%) teied e cueta que sí pdems super igualdad de variazas 5

16 Estadística Tema 7 Curs 006/07 * ( ) ( μ μ ) i) E este cas el pivte es = ~ t + - dde p + p = ( ) + ( ) + 47 = = 0975, utilizams tatg (Describe/Distributis/Prbability Distributis/Iverse CDF): ii) Pr la simetría de la t-tudet, hallams K R, tal que P( K t K) Buscad K tal que P( t K) Distributi: tudet's t (=47) CDF Dist 0,975,074 Pr l que csiderams K = 074 iii) Despejams ( μ μ ) e la expresió iterval de cfiaza: * K K, y bteems la expresió del ( ) + ( ) ( ) ± K + +, ustituyed ls valres bteids e la muestra, se tiee: (39 ) 65 + (0 ) 659 ( ) ± , que s da el iterval: (76, 077) Cm era de esperar, 0 (76, 077), pdems csiderar iguales las medias Ua vez que teems ls itervals de la diferecia de medias y el cciete de variazas, sí pdems ctestar a las pregutas plateadas al pricipi: e puede afirmar que la diferecia etre las estaturas medias es de mes de 0 cm? C u 95% de cfiaza, se puede garatizar que la diferecia sea de mes de 0 cm, pues el psible valr de dicha diferecia está e el iterval (76, 077), que icluye valres mayres a 0, pr l que dicha diferecia pdría ser mayr que 0 (i hacems el iterval c u 89% de cfiaza, se btiee [676, 9957], y sí pdríams afirmar, c ese ivel de cfiaza, que la diferecia de las estaturas medias es de mes de 0 cm) Al 95% sí se puede garatizar que la diferecia de las estaturas medias es de más de 0 cm < 077 < ) (0<76< μ μ ) y de mes de cm ( μ μ e puede afirmar que la variabilidad respect de la media de la variable Estatura es igual e ls chics que e las chicas? Cm se ha vist al hallar el iterval del cciete de variazas, sí se puede super variazas iguales Es decir, se puede super que la estatura de ls chics tiee la misma variabilidad que la de las chicas, al mes se puede asegurar que sea distitas 6

17 Estadística Tema 7 Curs 006/ Iterval de cfiaza para la diferecia de medias de va c distribució rmal y muestras pareadas Ejempl: ) e quiere estudiar ls efects de ua dieta al cab de 6 meses; para ell se mide el pes de las persas ates de iiciar la dieta y el pes de esas mismas persas al cab de 6 meses de dieta E este cas, ambs pess s variables idepedietes, pues es clar que el pes al cab de 6 meses depederá del pes que se teía aterirmete ) e quiere cmparar la velcidad de ejecució de ds algritms e pdría hacer utilizad cada u de ls algritms sbre ds cjuts aleatris de prblemas idepedietes Per e ese cas, el experimet pdría verse afectad pr el tip de prblemas que haya sid elegids para cada algritm Est puede evitarse si a cada tip de prblema se le aplica u algritm y después el tr E este apartad, se estudia el cas e el que e s va tales que N ( μ, σ ), N ( μ, σ ), que represeta características diferetes de la misma pblació Para ctrastar sus diferecias, cviee tmar muestras pareadas: se btiee el valr de e sbre ls misms idividus de la pblació el tamañ de la muestra () es igual para e N, se defie la va diferecia D=, sigue u mdel de distribució rmal ( μd, σ D ) dde μd = μ μ D i = i i es ua mas de la variable diferecia D = D es la media muestral de D= ( D= ) Ejempl: D es la cuasivariaza muestral de D= (, pues hay idepedecia de las variables) + D : pes de ua persa ates de cmezar la dieta : pes de ua persa a ls 6 meses de cmezar la dieta D: diferecia de pes al cab de 6 meses de cmezar la dieta e tma ua muestra de 5 persas y se btiee ls siguietes dats: D C ess dats se btiee que: = 834, = , D = 9333, = trabajará sól c ls dats de la variable D D De hech, se 7

18 Estadística Tema 7 Curs 006/07 Para estudiar la diferecia de medias ( μ μ = μd), pdems hallar el iterval de cfiaza para μ D, es decir u iterval de cfiaza para la media de ua pblació rmal (ver 7) Teems: D μd Pivte: = t D ; IC(μ): D t / ± D t t, dde ( ) P = / Para decidir si se puede csiderar que las medias -): μ y i 0 IC(μ D ), pdría ser iguales i 0 IC(μ D ), pdems csiderar que s iguales μ s iguales (ivel de cfiaza E el ejempl, para u ivel de cfiaza del 95% se btiee el iterval [5769, ], pr l que pdems csiderar que s iguales, y hay ua diferecia de pes sigificativa ería crrect garatizar que se adelgaza 3 kg? que se adelgaza al mes kg? 8

19 Estadística Tema 7 Curs 006/ Itervals de cfiaza e pblacies rmales Cuad las variables que estudiams sigue ua distribució rmal, s ectrams c la dificultad de ccer cuál es la distribució del estimadr i embarg, cuad querems estimar la media de la pblació, pdems aplicar el Terema Cetral del Límite 3, que s permite aprximar la distribució de la media de la diferecia de medias pr ua distribució rmal E esta secció estudiarems cóm hallar ls itervals de cfiaza para: la media de ua variable la prprció de idividus de ua pblació que sigue determiada característica (es u cas particular de la media) la diferecia de medias de ds variables csiderad siempre que el tamañ de la muestra es suficietemete grade, de frma que estems e las cdicies e que se puede aplicar el Terema Cetral del Límite (E geeral, se trabajará c muestras de tamañ mayr igual a 00) NOTA: Para pblacies cualesquiera ( rmales) pdems hallar itervals de cfiaza para la variaza, i para cmparar variazas, ya que se tiee u pivte para estudiar la variaza c distribució ccida 73- Itervals de cfiaza para la media de ua variable E este apartad csiderams la va c media θ, y u tamañ de la muestra,, suficietemete grade IC(θ): Iterval de cfiaza para la media θ Pivte: = t ; IC(θ): ± t / t t, dde ( ) P = / Observació: El que el tamañ de la muestra sea suficietemete grade es imprtate para: pder aplicar el TCL, pder csiderar cm ua buea aprximació de la desviació típica de la pblació; pr ell, se aprxima la distribució del pivte pr ua t - Cuad >0, la t-tudet se aprxima pr la N(0,), pr l que tambié se pdría θ csiderar que = N(0,) 3 Tema 5, secció 54: ea,, vaiid (variables aleatrias idepedietes c idética distribució) i detams E( i )=μ y V( i )=σ, cuad +, se tiee que + + σ = N(, ) μ 9

20 Estadística Tema 7 Curs 006/07 Ejempl: Querems estudiar la media de la variable Librs académics leíds e u añ pr ls estudiates de la EUI Para ell, hallams u iterval de cfiaza al 95%, a partir de ls dats bteids e el = = = grup M (curs 006/07): 48; ; C la pció Distributi Fittig de tatgraphics, ctrastams si es rmal y bteems: Apprximate P-Value = 0,06957 < 03 ( pdems aceptar que es rmal) Pdems csiderar =48 cm suficietemete grade para utilizar el TCL y csiderar la θ aprximació: = t A partir de ella, bteems el iterval de cfiaza pr el métd habitual: Hallams K R, tal que P( K t K) IC(θ): 47 = 095 : K = 074 (vist ates) ± t / ± 074 IC = 39765; C ese resultad, al 95% de cfiaza, pdems: ( ) asegurar que ls estudiates de la EUI lee, e media, más de librs académics al añ, asegurar que ls estudiates de la EUI lee, e media, mes de 5 librs académics al añ, aceptar cm psible el que ls estudiates de la EUI lee, e media, 4 librs académics al añ 73 IC(p): Iterval de cfiaza para la prprció Ua situació muy cmú es querer bteer ifrmació sbre la prprció de ua pblació que verifica ua determiada característica Para ell, buscams u mdel matemátic aprpiad que s permitirá hallar u iterval de cfiaza utilizad ls resultads vists aterirmete L explicams c u ejempl upgams que querems hallar u iterval de cfiaza para la prprció de estudiates de la EUI a ls que las matemáticas les prvca sesacies egativas Csiderams dats bteids e diverss curss C ua muestra de tamañ =86, teems que hay 5 estudiates que teía sesacies que se puede csiderar egativas ate las matemáticas C ess dats, ua estimació putual de la prprció sería Para hallar u iterval de cfiaza, plateams el prblema de la siguiete frma: i) Defiims la va, que tma ls valres: si u estudiate tiee sesacies egativas ate las matemáticas 0 e cas ctrari ˆ 5 = = P ii) Csiderams que B(,p), sied p la prbabilidad de que u estudiate tega sesacies egativas ate las matemáticas, bie, sied p la prprció de estudiates c sesacies egativas ate las matemáticas 0

21 Estadística Tema 7 Curs 006/07 Cm querems hallar u iterval para p y E()= p, es equivalete a hallar el iterval para la media de la variable iii) Pr tat, teied e cueta l vist e 73 (iterval para la media de ua pblació p cualquiera), csiderams el pivte = t E este cas, se tiee que = Pˆ = r, sied r = + + el úmer de estudiates que tiee la característica estudiada (sesació egativa ate las matemáticas, e este cas) Además, pr ser B(,p), se tiee que V() = p(-p), y se puede cmprbar que = Pˆ( Pˆ) 7 Pr tat, sustituyed la expresió aterir e el pivte bteems 8 : * Pˆ p = t P ˆ ( P ˆ ) Cm cclusió, para hallar el iterval de cfiaza para la prprció de idividus de ua pblació que cumple determiada característica, elegims: * P ˆ - p Pivte: = t P ˆ ( - P ˆ ) ; IC(p): Pˆ ± t / P ˆ ( - P ˆ ) t t, dde ( ) P = / E el ejempl, para hallar u iterval al 95%: P K t K = P t K = K = Hallams K R, tal que ( ) ( ) (tatgraphics) ( ) 86 IC(p): ± 9887 IC( p) : ( 0487;0699) i 7 Cuad B(,p), se tiee que = i, pues la variable sól puede tmar ls valres 0 y Pr tat, se tiee Cm i i que la variaza muestral es V = = = = ( ) = Pˆ( Pˆ) que 8 P P * = ˆ( ˆ) Pˆ p Pˆ p P ˆ p P ˆ p = = = = ˆ ˆ ˆ ˆ P ( - P ) P ( - P ) = V, se tiee

22 Estadística Tema 7 Curs 006/07 C ese resultad, al 95% de cfiaza, pdems: asegurar que más del 48% de ls estudiates de la EUI tiee sesacies egativas ate las matemáticas, aceptar cm psible que /3 de ls estudiates de la EUI tiee sesacies egativas ate las matemáticas 733- Itervals de cfiaza para la diferecia de medias de ds variables E este apartad utilizarems la misma tació que e 7: y s va idepedietes, c E ( ) = μ, E ( ) = μ, V ( ) = σ, V ( ) = σ (,, x ), (,, y ): mas de e x : tamañ de la muestra de y : tamañ de la muestra de, : medias muestrales de e, : cuasivariazas muestrales de e Observació: Para tamañs muestrales suficietemete grades: e puede csiderar que, sigue distribucies rmales (TCL) i embarg, cm las pblacies s rmales, ls resultads para cmparar las variazas s válids Cm se puede asegurar ada sbre la igualdad de variazas, se utiliza cm pivte el cas más geeral vist e 7 (iterval para la diferecia de medias de pblacies rmales c variazas distitas), aprximad la distribució t f pr la N(0,) Pr tat: IC(μ μ ): Iterval de cfiaza para la diferecia de medias de va idepedietes Pivte: IC(μ μ ): * ( ) ( μ μ ) = N( 0, ) ; + ( ) z / ± +, dde ( ) Z z P / = Ejempl: Pdems estudiar si las uevas geeracies habla más tiemp pr teléf Ua aprximació, pdría ser cmparar el tiemp máxim e ua llamada de teléf e ds pblacies distitas Csiderams: : Tiemp máxim e ua llamada de teléf e alums de Estadística EUI (curs 004/05) : Tiemp máxim e ua llamada de teléf e alums de Estadística EUI (curs 006/07)

23 Estadística Tema 7 Curs 006/07 A partir de ls dats recgids e ls respectivs añs, se tiee: = 39 = 64 miuts = 4 3 = 49 = miuts = C la pció Distributi Fittig de tatgraphics bteems: miuts miuts : Apprximate P-Value = 0, < 03 ( pdems super que es rmal) : Apprximate P-Value = 0,06398 < 03 ( pdems super que es rmal) Csiderad que ls tamañs muestrales s suficietemete grades 9 pdems csiderar cm * ( ) ( μ μ) pivte: = N(0,), y a partir de él, bteer el iterval de cfiaza al 95% + m pr el métd habitual: Hallams K R, tal que P K N(0,) K = 095 P N(0,) K = 0975 K = 96 ( ) ( ) IC(μ μ ): ( ) ± z / + ( ) ± se btiee el iterval: ( 58, 437) C ese resultad, al 95% de cfiaza, pdems: asegurar que hay diferecias sigificativas etre ls tiemps medi de ls estudiates de el curs actual y ls de ds curss aterires: cm 0 ( 58, 437), puede csiderarse que las medias sea iguales asegurar que la diferecia de medias es egativa, pues tds ls valres del iterval de cfiaza l s Pr tat, si μ μ < 0, se tiee que μ < μ ; es decir, la media de ls estudiates del curs 006/07 se mayr que la de ls estudiates del curs 004/05 l que es idicativ de que las uevas geeracies está más tiemp clgadas al teléf 94- Errr abslut Tamañ de la muestra i se quiere dar ua estimació de u parámetr θ y se utiliza u estimadr ˆ θ, se demia errr abslut de la estimació a ˆ θ θ Cm se descce el valr exact de θ, se puede ccer el valr exact del errr, per sí pdems bteer ctas superires del mism c u determiad ivel de cfiaza Pr ejempl, e la deducció del iterval de cfiaza para la media, se tiee la expresió t μ t, 9 E geeral, para garatizar ua buea aprximació se ecesita u tamañ de la muestra mayr, preferiblemete mayr que 00 E este cas, hacems la supsició de que s suficietemete grades para utilizar dats de estudiates de la EUI 3

24 Estadística Tema 7 Curs 006/07 de dde se deduce que μ t, que s da ua cta del errr abslut de la estimació de la media Ejempls: ) E el ejempl del estudi de la prprció de estudiates de la EUI a ls que las matemáticas les prvca sesacies egativas, teems que: 5 la estimació putual de la prprció es P ˆ = = ˆ ˆ IC(p): ˆ P ( - P ) ( ) P ± t / ± 9887 IC( p) : 0487; ( ) E este cas, el errr abslut de la estimació sería P ˆ p y la cta superir del errr vedría dada pr: ˆ ˆ ˆ P ( - P ) ˆ ( ) P p t / 9887 ˆ P p P p e puede decir que el prcetaje de estudiates de la EUI a ls que las matemáticas les prvca sesacies egativas es del 593% c u errr máxim del ±06% (95% de cfiaza) ) E el ejempl del estudi del pes de ls estudiates de la EUI, si s cetrams e la desviació típica, teíams que: la estimació putual de la desviació típica era = kg IC( σ): ( ) ( ) σ = (5; 680) K K E este cas, el errr abslut de la estimació sería σ y la cta superir del errr vedría dada pr la máxima diferecia etre y ls extrems del iterval de cfiaza: ( ) ( ) σ máx, = máx{ , } K K σ e puede decir que la desviació típica del pes de ls estudiates de la EUI es de kg c u errr máxim de ±34 kg (95% de cfiaza) E geeral, la cta del errr depederá del tamañ de la muestra y pr ell tiee iterés estimar cuál es u tamañ de muestra adecuad para garatizar u errr mer a u ciert valr E el siguiete ejempl, se muestra cóm hacer esta estimació para las estimacies de la media 4

25 Estadística Tema 7 Curs 006/07 Ejempl: Querems bteer ua estimació del pes medi de ls estudiates de la EUI c u errr mer de kg (95%) Hallar el tamañ de la muestra ecesari para bteerla E este cas, el errr abslut de la estimació sería μ y la cta superir del errr vedría dada pr μ K, sied P( t ) 0975 K = C ls dats de la muestra bteida ( = 49, K = 0064, = ), teems que μ 3869, es decir hay u errr máxim de ±39 kg (95%) Para reducir el errr, buscams tal que Per hay que teer e cueta que tat K cm tambié depede de ( ( ) = ( ) i μ ) Pr ell, para estimar seguirems ls siguietes pass: μ K kg P t = K 0975 y i) upems que el valr de es fij, tmad cm tal el bteid e algua muestra E este cas = (bteid c la muestra de =49) μ 0, : ii) Hallams ua estimació de K supied que ( ) ( ) 09 P N ( 0, ) K = 75 K = 96 N iii) Hallams ua estimació de impied μ K kg E este cas, reslvems ( ) Pr ejempl =695 i hallams ua estimació del pes c ua muestra de tamañ mayr igual a 695 (700 pr ejempl) se garatizaría u errr mer de kg (95%) Observació: i el valr bteid para es mer que 0 (valr a partir del cual (0,) ), se μ puede bteer ua seguda estimació de K (K ) usad que t : P( t K ) =, y lueg ua seguda estimació de impied K errr t N 5