Tema 2. PROBABILIDAD.

Transcripción

1 Tema 2. PROBABILIDAD Itrduccó. Feómes determstas: sempre que se realza baj las msmas cdces se btee ls msm resultads. Sltar u dad... se cae. Hrar del AVE Feómes aleatrs: es psble predecr el resultad (certdumbre) Resultad del dad. Hrar de autbuses EMT... E, pr ejempl. Prbabldad medda de la psbldad de que se dé u resultad determad Hstórcamete surgó el estud de la prbabldad a partr del estud de juegs de azar Espac muestral y espac de sucess. Expermet aleatr: es psble predecr el resultad per se cce tds ls psbles resultads; el expermet se puede repetr tdas las veces que se desee. EJ: trar u dad, sacar ua carta de ua baraja españla Espac muestral ascad a u expermet aleatr es el cjut de tds ls psbles resultads del expermet (llamads sucess elemetales). Se deta pr E. Suces cmpuest es el frmad pr vars sucess elemetales. Es u subcjut de E. Suces segur es el suces que se verfca sempre. Se deta pr E. Suces mpsble es el que se verfca uca. Se deta pr. Espac de sucess es el cjut frmad pr tds ls sucess cmpuests clud el suces mpsble. Se deta pr P(E). S E tee elemets P(E) tee 2. Observacó: sucess cjuts, e csecueca las peraces c cjuts (uó, terseccó, cmplemetacó, clusó, etc) puede trasladarse a este espac. Operaces c sucess (álgebra de sucess): EJ. A: salr r, B: salr fgura Sea A,B P(E): A B, suces uó de A y B se verfca cuad curre A, B ambs a la vez. A B, suces terseccó de A y B se verfca cuad curre al temp A y B. A, suces ctrar de A se verfca cuad l hace A.

2 Leyes de De Mrga: A B = A B y A B = A B. A B, suces dfereca se verfca cuad curre A per B ( A B ). Ds sucess A y B s sucess cmpatbles s A B =. EJ: que l dga ells Que haga Prblema. Ests ccepts se puede geeralzar para cualquer subcjut de P(E): Decms que Ω P(E) es ua σ-álgebra de sucess s verfca:. Ω. 2. S A Ω, etces A Ω. 3. S { A } Ω, N, etces A Ω. N EJ: Trar u dad, Ω= {, {2,4,6},{,3,5},E={,2,3,4,5,6}}.

3 2.3.- Defcó axmátca de prbabldad. Csecuecas. EJ: Expermet: elegr al azar a u alum del SM22 y hacerle ua preguta del cuestar del prmer día. Cuál sería la prbabldad de que fuera chca? Cuál sería la prbabldad de que sus padres fuera ls ds de Madrd? Cuál es la prbabldad de que se haya leíd al mes u lbr? Cuál es la prbabldad de que haya vst al mes ua película? Cuál sería la prbabldad de que haya aprbad más de dez asgaturas el añ pasad? Dóde buscams esa frmacó? Frecuecas relatvas Sea Ω P(E) ua σ-álgebra de sucess. Decms que la aplcacó prbabldad s verfca ls sguetes axmas: P : Ω R es ua. P ( A) 0, A Ω 2. P ( E) = 3. S { A } Ω, I, s sucess cmpatbles ds a ds ( A A j =, j ), etces P A = P( A ). I A la tera (E, Ω, P), se le dema espac prbablístc. Prblema 2 Prpedades: I A B P( A) P( B) ( P(sacar 2) P(sacar PAR) ) 0 P ( A) ( pues td suces está clud e E y su prbabldad será ) P( A) = P( A) (pues A A = E, y la suma de sus prbabldades da ) (P(sacar PAR)=-P(sacar mpar)) P( ) = 0 P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) P(sacar múltpl de 2 múltpl de 3) P A A... A ) = P( A ) + P( A ) P( A ) P( A A ) + + ( 2 2 j j P( A Aj A )... + ( ) P( A... A ) j S el dad hubera estad trucad (la prbabldad es gual e tds ls cass), ls cálculs s más seclls: basta ctar. Regla de Laplace:

4 Sea E = A A2... A, sed ls A sucess elemetales e cmpatbles ds a ds. Supgams además que P( A) = P( A2) =... = P( A ) = (Sucess equprbables). Etces, s B = A A2... A, c se tee que : P( B) = P( A) + P( A2 ) P( A ) =. També se euca cm: Númer de cass favrables al suces B P( B ) = Númer de cass psbles S l hubera sabd el Caballer de Mere más le hubera vald. Repas de cmbatra. Prcp de adcó: Dads ds cjuts A y B fts dsjuts, A c elemets y B c m elemets, el úmer de frmas dsttas de elegr u elemet de algu de ls ds cjuts es +m. S A B =, etces A B = A + B. Ej: Sacams ua carta, que salga r espadas. Prcp de clusó-exclusó: E geeral A B = A + B A B. Ej: Sacams ua carta, que salga r fgura. Prcp de multplcacó: Dads A y B cjuts fts vacís, A c elemets y B c m elemets, etces el úmer de elemets de su prduct cartesa A B = {( a, b), a A, b B} es m. Ej: Eleccó de u meú. Númer de psbles elecces s hay 4 psbles prmers, 3 seguds y 5 pstres. Selecces sbre cjuts Dad u cjut A de elemets, de cuátas frmas dsttas se puede seleccar r elemets de A? Hay que teer e cueta: S el tamañ de la seleccó ccde c el úmer de elemets (r=) S hay que teer e cueta el rde de ls elemets. S se permte repetces de elemets.

5 Dstgums: Varaces (r<, mprta el rde, se repte elemets) V,r s el úmer de grups rdeads de r elemets dstts que se puede frmar c elemets. V,r = (-) (-2)... (-r+) Ej: palabras de cc letras e las que se repta gua (26 palabras e el alfabet) (V 26,5 = ) Permutaces (r =, mprta el rde, se repte elemets) P s el úmer de las dsttas frmas de rdear elemets. P =! Ej: psbles frmas de rdear las vcales ( 5! ) Cmbaces (r<, mprta el rde, se repte elemets) C,r s el úmer de grups de r elemets dstts que se puede frmar c elemets. C,r = V, r P r = ( )( 2)...( r + ) r! =! = r!( r)! r Ej: cass psbles al repartr 4 cartas de ua baraja de 40. (9390) Cass psbles de que te tque 4 reyes (jugad al mus) C 8,4 =70 P(tque 4 reyes)= per a veces pasa. Varaces c repetcó (mprta el rde, hay repetcó, puede cambar ls elemets) VR,r s el úmer de grups rdeads de r elemets que se puede frmar c elemets, que puede repetrse. V,r = r Ej: matrículas dsttas que sól tega ls dígts 5,7,9. (VR 3,4 =8) Permutaces c repetcó (mprta el rde, hay repetcó, sempre ls msms elemets) r, r2,..., r P s el úmer de las dsttas frmas de rdear elemets, de frma que el prmer se repte r veces, el segud r 2 veces,... y el -ésm r veces, y se verfca que r r + + r =

6 r, r2,..., r P =! r! r!... r! 2 2,2,2,2,,, Ej: psbles palabras c las letras de ESTADÍSTICA. ( P = ) 5,2,2,, ABRACADABRA: ( P = 8360) Cmbaces c repetcó ( mprta el rde, hay repetcó, puede cambar ls elemets) CR,r s el úmer de grups de r elemets que se puede frmar c elemets, que puede repetrse. CR,r = + r = r ( + r )! r!( )! 9 9! Ej: resultads psbles al trar 4 dads guales. (CR 6,4 = = = !5! r P, (es equvalete a + r. Es el prblema de meter r blas guales e cajas dsttas. La dea es teer r elemets guales (b) y (-) elemets guales (C) (que represeta la separacó etre las cajas ). S querems meter 6 blas guales e 4 cajas: bbcbccbbb represeta que hay 2 blas e la ª caja, bla e la 2ª, 0 blas e la 3ª y 3 blas e la 4ª. bcbcbcbbb represeta que hay bla e la ª caja, bla e la 2ª, bla e la 3ª y 3 blas e la 4ª. Olmpadas 2004, atletsm, prueba de ls 500 metrs. Hay 36 cmpetdres y la fal la dsputa 2 atletas.. Númer de psbles fales dsttas C 36,2 = Ccds ls 2 falstas:. a. Númer de psbles resultads dstts P 2 = b. Númer de psbles dstrbuces de medallas V 2,3 =320 Etre ls cmpetdres hay 0 eurpes, 4 afrcas, 7 amercas y 5 asátcs. 3. Númer de psbles fales e las que haya 4 eurpes, 4 afrcas y 4 amercas = Númer de psbles dstrbuces de medallas e las que haya al mes eurpes. 3! + 3! = S sól teems e cueta el ctete del que s ls cmpetdres y se sabe que e la fal hay 4 eurpes, 5 afrcas y 3 amercas: )

7 2! 4!5!3! 4,5,3 5. Númer de psbles resultads dstts. P 2 = = Númer de psbles dstrbuces de medallas VR 3,3 =27 CR Númer de psbles pdum dstts 3,3 = = 0 Prblemas: Hacer 3,8,9 dejar para después y que vaya tetad 7, Prbabldad cdcada. Estams jugad a trar 2 dads y sumar la putuacó. Cuál es la prbabldad de bteer 2?, y 2?, y 7? Per s u dad se tra ates y sale, cuál es ahra la prbabldad de bteer 2?, y 2?, y 7? La frmacó de l que ha sald e el prmer dad cdca la prbabldad del resultad fal. E el expermet de elegr al azar a ua persa de la clase y pregutar ua prbabldad de alg de l pregutad e el cuestar: cóm se calcularía la prbabldad de que habed elegd ua chca haya leíd más de u lbr? y de que habed sd chc haya leíd 0 más lbrs?

8 Se llama prbabldad de B cdcada pr A a la prbabldad de que curra "B" P B A y, s P( A ) > 0, verfca que: sabed que ha currd "A". Se deta pr ( ) P( B A) P( B A) = P( A) De l aterr se deduce que P( B A) = P( A) P( B A). Prpedades: La prbabldad cdcada tee las msmas prbabldades que cualquer prbabldad. Sea A, B y C sucess tales que P(C)>0. 0 PAC ( / ) PA ( ) = PA ( ) PA ( BC / ) = PAC ( / ) + PBC ( / ) PA ( BC / ) A B C P( A/ C) P( B/ C) Observacó: Para dstgur P(A/B) de P(A B): - P(A/B) cuad B ya ha sucedd ( hay certdumbre sbre s curre B ) - P(A B) cuad B puede currr, se sabe a prr. - C P(A/B), ls cass psbles s ls favrables a B, y ls cass favrables ls de A B. - C P(A B), ls cass psbles s tds ls del expermet y ls cass favrables ls de A B. Ejempls: Expermet de trar ds dads y sumar la putuacó. Hallar las sguetes prbabldades: - bteer al mes u 6: /36 - bteer ua suma de 0: 3/36 - sabed que ha sald u 6, bteer ua suma de 0: / - bteer ua suma de 0 y que e u dad haya sald u 6: 2/36 - sabed que suma 0, que e u dad haya sald u 6: 2/3 Ejercc: Expresar las sguetes prbabldades de frma adecuada (cdcada, terseccó de sucess, ): a) etre ls alums matrculads e Estadístca que ha estudad la asgatura, la prbabldad de aprbar es del 80%; b) la prbabldad de ectrar a u alum matrculad e Estadístca que haya estudad y haya aprbad Estadístca es del 30% c) s ls dats muestra que el 80% de ls alums matrculads e estadístca ha aprbad qué ccluses pdems sacar, que tds ha estudad que aprbar depede de estudar?

9 2.5.- Idepedeca de sucess. Traspa depedeca. (Operacó, hay u 99% de prbabldades de éxt. Esperams a que ua vaya mal y pedms que s pere medatamete después... hay más prbabldad de éxt?) Se dce que A y B s depedetes s P( A B) P( A) =. (El que haya currd B fluye e la prbabldad de que curra A.) Terema. A y B s depedetes P( A B) = P( A) P( B). E geeral, { A A },, s sucess depedetes s, para tda subcleccó { A,, A } se verfca que P( A A ) = P( A ) P( A ). Ejempl: Se tra ds dads, u azul y tr rj. A: la suma es par /2 B: salr par e el dad rj /2 C: bteer ua suma de 0: 3/36 D: bteer al mes u : /36 A y B s depedetes: P(A/B)=9/8=/2=P(A). P(A B)=9/36=/4=/2*/2 A y C s depedetes: P(A/C)=. P(A C)=3/36 /2*3/36. A y B s depedetes? s cmpatbles? C y D s depedetes? s cmpatbles? Observacó: S A y B s depedetes, també l s AyB, AyB, AyB. S A y B s depedetes (c prbabldad ula), puede ser cmpatbles. S s cmpatbles puede ser depedetes. Prblema 5 Aplcacó: Se tee u crcut c 3 cmpetes depedetes, cuya prbabldad de fucar es de Calcular la prbabldad de que la señal llegue al fal del crcut e cada cas: Las cmpetes se clca e sere: (0.95) 3 = Las cmpetes se clca e paralel: P(F F2 F3)= P(F)+ P(F2 )+ P(F3) - P(F F2 ) - P(F F3 ) - P(F3 F2 ) + P(F F2 F3) = 3*0.95 3*(0.95) 2 + (0.95) 3 =

10 Sugerr que haga Prblema Terema de la Prbabldad Ttal. Terema de Bayes. Ejempl: Ua empresa tee 25% de rdeadres de marca y 75% clócs. Se estma que la prbabldad de que se estrpee ates de u añ u rdeadr de marca es del 5% y la de que se estrpee u rdeadr clóc del 0%. Elegd u rdeadr al azar, cuál es la prbabldad de que se estrpee ates de u añ? 0.* *0.25= ( 8.75%) Terema de la Prbabldad Ttal. Sea A,..., A = A. sucess cmpatbles ds a ds ( = = E A A, j j ), y tales que Sea B P(E) u suces cualquera, etces: ( ) P( B A ) P( A) P B =. = E las hpótess aterres: sabed que u rdeadr se ha estrpead ates de u añ, cuál es la prbabldad de que sea de marca? P(M/E)=P(M E)/P(E)=P(E/M)P(M)/P(E)=0.05*0.25/ =0.4 (4%) Terema de Bayes. E las hpótess del terema aterr, para cada {, 2,..., } se verfca:

11 ( B) P A = = ( ) P( A ) P B A ( ) ( ) P B A P A L set per escrb est e 2009 y he vst que se me lvdó per el ejempl segur que ectrás algu suerte!!