Tema 8. CONTRASTES PARAMÉTRICOS.

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1 Objetvs Ccepts: Tema 8. CONTRASTES PARAMÉTRICOS. Cmpreder el métd geeral del ctraste de hpótess para bteer frmacó a partr de ua muestra y tmar decses. Cmpreder el sgfcad del p-valr de u ctraste. Saber hacer: Dada ua stuacó e la que se quere estudar la versmltud de ua afrmacó a partr de ls dats de ua muestra: Platear el ctraste elged adecuadamete las hpótess Elegr el pvte adecuad (ctrastes paramétrcs) el test adecuad (ctrastes paramétrcs) Hallar el p-valr del ctraste ( pr l mes s es mayr mer del vel de sgfcacó α elegd) Tmar ua decsó a partr de ls resultads bteds y el vel de sgfcacó α elegd be a partr del valr del pvte (s está e la regó crítca) be a partr del p-valr (s es mayr mer que α) NOTA ( ) Prblemas de exámees (web): Ctrastes Paramétrcs: SIN: Febrer 6: Prblema 3 Ju 6: Prblema 3 d) Septembre 6: Prblema 3 b) Septembre 5: Prblema 3 a) Febrer 4: Prblema 3 Ju 4: Prblema 3 a) b) Febrer 3: Prblema 3 Ju 3. Prblema 3 CON: Febrer 6 Parcal: (mdels A y B) 7. a. Febrer 6: Mdel A 3 Ju 6: g) h) Septembre 6: Mdels A y B f) Febrer 5: Ds prmers prblemas Septembre 5: g) Ctrastes paramétrcs: SIN: Febrer 6: Prblema 4 d) Ju 6: Prblema 3 c) Febrer 5: Prblema 3 a) Ju 5: Prblema c) Septembre 4: Prblema 3:.. Septembre 3: Prblema c) E este curs habrá que saber platear y reslver ctrastes para estudar: Meda, varaza, dfereca de medas y ccete de varazas, de pblaces rmales Meda, prprcó y dfereca de medas, de pblaces cualesquera Mdel de dstrbucó de v.a. dscretas y ctuas

2 8..- Itrduccó. Tps de ctrastes. E el tema 7 (tervals de cfaza) cmetams alguas de las ccluses que se pdía deducr de ls resultads bteds, y que s pdía ayudar a tmar decses. E este tema, verems tra técca, el ctraste de hpótess, que també se utlzará para tmar decses ( sacar ccluses) a partr de ls resultads de ua muestra. Prmer presetams la metdlgía geeral de ls ctrastes de hpótess y, psterrmete, su aplcacó para: bteer frmacó relatva a ls parámetrs de ua varable (ctrastes paramétrcs) y para estudar el tp de mdel que sgue ua determada varable (ctrastes paramétrcs) Elemets de u ctraste Pretedems cstrur u mdel matemátc que s permta, a partr de ls dats de ua muestra: decdr s ua determada hpótess sbre ua pblacó es rechazable, medr el vel de cfaza c el que aceptams rechazams dcha hpótess Plateamet del prblema. Hpótess ula e hpótess alteratva. Para platear u prblema de ctraste de hpótess hems de determar ds hpótess: Hpótess ula (H ): Es la hpótess que matedrems a ser que ls dats muestre de frma evdete su falsedad. (Prcp de la presucó de ceca: tda persa es cete metras que se demuestre l ctrar.) Hpótess alteratva (H ): Es la hpótess que refleja la stuacó que s haría rechazar la hpótess ula. Para rechazar H frete a H ha de haber ua fuerte evdeca estadístca (a partr de ls dats de la muestra). Ejempls: ) Decdr la ceca culpabldad de ua persa e u estad e dde sgue el prcp de presucó de ceca. Cm se quere evtar cdear a ua persa cete, sól se hará cuad haya ua fuerte evdeca de su culpabldad, cuad esté demstrada ésta. E cas de duda, se prmará la ceca frete a la culpabldad. Pr tat, e la termlgía prpuesta sería: H : Icete H : Culpable ) Decdr s u alum sabe la asgatura de Estadístca, y pr tat aprueba suspede la asgatura.

3 Desde el put de vsta del prfesrad, u estudate sabe la asgatura metras demuestre l ctrar; es decr, el exame ha de presetar pruebas sufcetes de que cce la asgatura. E geeral, e cas de duda de falta de dats, se prmará el suspes frete al aprbad. Pr tat, e la termlgía prpuesta sería: H : El estudate NO sabela asgatura ( Suspes) H : El estudate SI sabela asgatura( Aprbad) 3) Decdr s ls vertds de ua fábrca está afectad el ecsstema de u rí. Se sabe que el ecsstema de determada za de u rí se matee estable sempre que la temperatura del agua sea ferr a 8 C. Ua ascacó eclgsta de la za tee sspechas de que ls vertds de ua fábrca está afectad a la temperatura del agua y, ate sus deucas, el ayutamet decde estudar el tema a partr de ls dats de la temperatura del agua e ls últms meses. Para tmar ua decsó, la empresa prpe el sguete ctraste de hpótess, sed T la temperatura meda del agua e esa za del rí. H : Ls vertds NO afecta al ecsstema T H : Ls vertds SI afecta al ecsstema ( 8) ( T > 8) C ese plateamet, se ccluría que la empresa afecta el ecsstema a ser que haya ua fuerte evdeca de que la temperatura es superr a 8 C. S embarg, la ascacó eclgsta está de acuerd c ese plateamet y defede que la que tee que demstrar su ceca es la empresa y prpe este tr: H : Ls vertds SI afecta al ecsstema T H : Ls vertds NO afecta al ecsstema ( 8) ( T < 8) C este tr plateamet, se ccluría que la empresa afecta el ecsstema cuad haya ua fuerte evdeca de que así sea, es decr que esté estadístcamete justfcad que la temperatura es ferr a 8 C. Observacó: La metdlgía del ctraste de hpótess: N srve para demstrar H. Srve para decr que, a partr de ls dats de la muestra: puede rechazarse H es aceptable super que H es certa Srve para demstrar H, e el setd de que, a partr de ls dats de la muestra, hay ua fuerte evdeca de que H es certa e cmparacó c H. 3

4 8... Errres. Cuad trabajams c el métd del ctraste de hpótess pdems cmeter ds tps de errres: Rechazar H N rechazar H H certa Errr de tp I Decsó crrecta H certa Decsó crrecta Errr de tp II Ejempls: ) Decdr la ceca culpabldad de ua persa e u estad e dde sgue el prcp de presucó de ceca. Rechazar H N rechazar H H H : Icete : Culpable H certa H certa Errr de tp I: Se cdea a ua persa que es cete Se cdea a ua persa que es culpable Se absuelve a ua persa que es cete Errr de tp II: Se absuelve a ua persa que es culpable ) Decdr s u alum sabe la asgatura de Estadístca, y pr tat aprueba suspede la asgatura. H H : N sabela asgatura : Sí sabela asgatura H certa H certa Rechazar H N rechazar H Errr de tp I: Se aprueba a u estudate que NO sabe la asgatura Se aprueba a u estudate que sí sabe la asgatura Se suspede a u estudate que sabe la asgatura Errr de tp II: Se suspede a u estudate que SÍ sabe la asgatura 4

5 3) Decdr s ls vertds de ua fábrca está afectad el ecsstema de u rí. C el ctraste de hpótess prpuest pr la empresa: Rechazar H N rechazar H H H : NO se afecta el ecsstema : SI se afecta el ecsstema H certa H certa Errr de tp I: Se culpa a la empresa cuad e verdad está afectad al ecsstema Se culpa a la empresa pues sí está afectad al ecsstema Se exculpa a la empresa pues está afectad al ecsstema Errr de tp II: Se exculpa a la empresa cuad e verdad SÍ está afectad al ecsstema Nvel de sgfcacó de u ctraste. Pteca de u ctraste. Se defe: Nvel de sgfcacó del ctraste: α = P (errr de tp I) = P ( rechazar H / H certa) Pteca del ctraste: -β, sed β = P (errr de tp II) = P ( rechazar H / H certa) Observacó: L deal sería mmzar α y β. Per est puede hacerse smultáeamete pues s se varía el crter de rechaz para dsmur α etces aumeta β, y vceversa. La úca frma de dsmur ambs a la vez es cremetar el tamañ de la muestra. S u exame es muy exgete se dsmuye α = P (errr de tp I), es decr la prbabldad de que apruebe u alum que sabe; s embarg, aumeta β, la prbabldad de suspeder a u estudate que sí sabe la asgatura. Pr el ctrar, s el exame es pc exgete, dsmuye la prbabldad de suspeder a u estudate que sí sabe la asgatura (β), per aumeta α, la prbabldad de aprbar a estudates que sabe l sufcete. Para dsmur ls ds, se puede cremetar el tamañ de la muestra (pregutar muchas csas, para teer muchs dats sbre l que sabe sí sabe el estudate). E geeral, pr el carácter cservadr de la metdlgía del ctraste de hpótess, se fja u vel de sgfcacó α que asegure u errr de tp I admsble (haced míma la prbabldad de cdear a u cete ). De etre ls ctrastes c u msm vel de sgfcacó, será preferble el ctraste c mayr pteca. E el ejempl del ecsstema del rí, el plateamet de la empresa pretede mmzar la psbldad de ser declarada culpable cuad e verdad está afectad al ecsstema. Pr el ctrar, el plateamet de ls eclgstas El estud de la pteca se escapa de ls bjetvs de este curs. Ls ctrastes que presetams cumple la cdcó mecada: s ls de mayr pteca para u msm vel de sgfcacó. 5

6 H : Ls vertds SI afecta al ecsstema T H : Ls vertds NO afecta al ecsstema ( 8) ( T < 8) pretede mmzar la psbldad de que la empresa sea exculpada cuad e verdad sí esté afectad al ecsstema Metdlgía geeral de u ctraste Pdems dstgur las sguetes etapas para realzar u ctraste de hpótess: ) Plateamet: se defe las hpótess H y H. ) Elegr u estadístc ( ) cm medda de dscrepaca etre ls dats muestrales y la hpótess H, cmprbad que se cumple las cdces ecesaras. ) Decdr el crter para rechazar H. v) Calcular el valr que tma decsó. a partr de ls dats de la muestra y aplcar el crter de Veams c u ejempl e qué csste cada ua de ellas. Ejempl: E geeral, ls prfesres s quejams much del redmet de uestrs estudates y a l mejr sempre c razó. Algus csdera que u redmet razable e ua geería es aprbar el 6% de las asgaturas matrculadas pr curs. U prfesr muy ptmsta respect al redmet de sus estudates de la EUI, afrma que a partr del º curs, ese redmet es clus mayr. Sus cmpañers le tacha de lus per él se empeña e demstrarl utlzad la técca del ctraste de hpótess. ) Plateamet: se defe las hpótess H y H. Cm se quere ver s hay evdeca estadstca teer la segurdad de que es certa la afrmacó del prfesr ptmsta, segú l explcad e 8., harems el sguete plateamet: H : μ = 6 H : μ > 6 sed μ la meda del prcetaje de asgaturas aprbadas respect al úmer de asgaturas matrculadas. C este plateamet, csderams cm hpótess ula (H ) la pcó más cservadra ( hay u redmet extrardar e uestrs estudates) y cm hpótess alteratva (H ) la pcó de la se quere teer certeza pruebas estadístcamete sgfcatvas. 6

7 ) Elegr u estadístc ( ) cm medda de dscrepaca etre ls dats muestrales y la hpótess H, cmprbad que se cumple las cdces ecesaras. La decsó se tmará a partr de ls dats bteds e ua muestra y ecestams teer algua herrameta que s permta medr s ess dats apya más a ua hpótess a tra, sempre teded e cueta que favrecerems a H metras se demuestre que H es más versíml. E este cas, la herrameta de medda será u estadístc ( pvte cm l demams e el tema 7), que s servrá para medr: s ls dats de la muestra apya que H es certa, s da más credbldad a H. Es l que demams medda de dscrepaca. Al gual que e tema 7, este estadístc depede de ls dats de la muestra y tedrá ua dstrbucó de prbabldad ccda. Para que est se dé y su aplcacó sea crrecta, habrá que cmprbar que se cumple alguas cdces ecesaras: que N(μ,σ) para estudar medas y varazas de pblaces para cualquer tamañ de la muestra, que el tamañ de la muestra sea sufcetemete grade para estudar y cmparar medas de pblaces cualesquera, dstgur etre varables dscretas y ctuas, y alguas tras cdces e el cas de ctrastes sbre el mdel de dstrbucó. E el ejempl, la hpótess es relatva a la meda de ua varable (prcetaje de asgaturas aprbadas respect al úmer de asgaturas matrculadas) y e el tema aterr vms que para estudarla se utlza el estadístc: μ = ~ t S/ Es es cert sempre que la varable sga ua dstrbucó rmal que el tamañ de la muestra sea sufcetemete grade. E este cas, se puede super que sgue ua dstrbucó rmal (aprxímate p-value:.6993, para la muestra bteda c ls estudates del SM del curs 6/7). Cm la pcó que vams a favrecer a prr es H, y querems medr la dscrepaca etre la muestra y H, se trabajará c el estadístc baj el supuest de que H es certa. Se tee que: = 6 ~ t S/ E este cas, s H es certa ( μ = 6 ) el valr que tme a partr de ls dats de la muestra ha de estar etr al (se supe que el valr bted e la muestra para será cerca a 6). 7

8 Pr el ctrar, s el valr que tma es much mayr que, tedrá más credbldad H (pues sgfca que el valr bted e la muestra para es bastate mayr que 6). t Valres de favrables a H : μ=6 Valres de favrables a H : μ>6 K ) Decdr el crter para rechazar H. Ua vez que ya teems ua medda de dscrepaca s plateams las sguetes pregutas: Cóm valrams s es much mayr que cer? Cuád será sufcetemete grade para afrmar que H es más versíml que H? C qué crter hallams el valr de K a partr del cual rechazams H frete a H? Para determar el crter c el que rechazarems H : se fja u vel de sgfcacó α (ctrlad y mmzad la prbabldad del errr de tp I) e fucó de él se determa qué valres del estadístc s favrables a rechazar H y cuáles. = P ( tme valres favrables a H / Cm α = P (errr de tp I) = = P ( rechazar H / H certa)= sgue u mdel de dstrbucó que supe H certa) E uestr ejempl: α = P ( > K / Rechazams H Valres "favrables" a H 6 = ~ t S/ Defcó y dstrbucó del pvte suped certa H: μ= 6 ). S fjams u vel de sgfcacó α=.5, tedríams que hallar el valr de K tal que t K P ( > ) =.5 8

9 Valres de favrables a H t Valres de favrables a H t > K ) = α =.5 P ( K Pr tat, u crter de rechaz será el sguete: Sed x el valr de a partr de ls dats de la muestra y P ( > Rechazams H s x K N Rechazams H s x < K t K > ) =.5: ) Calcular el valr de a partr de la muestra y aplcar el crter de decsó. A partr de ls valres bteds e la muestra (grup SM, curs 6/6): x Hallams x : x = = =. 93 s/. 937 / 49 P t48 > K =.5 K =.6773 Hallams K: ( ) Statgraphcs Cm x > K, rechazams H. Pr tat, hay evdeca estadístca (α=.5) de que H es certa. t Valres de favrables a H Valres de favrables a H α =.5 K =.6773 x =.93 E el ctext del prblema: pdems asegurar (α=.5) que el prcetaje de asgaturas que aprueba ls estudates de la EUI respect al úmer de asgaturas matrculadas es mayr que el 6%. 9

10 Observacó: Otra frma de saber s el valr x bted e la muestra está e la regó favrable a H e la p= P t4 8 > x. regó favrable a H, sería calcular la prbabldad ( ) S p < α=.5, sgfca que el valr a H (Rechazams H ) S p > α=.5, sgfca que el valr a H (N rechazams H ) x bted e la muestra está e la regó favrable x bted e la muestra está e la regó favrable t Valres de favrables a H Valres de favrables a H α =.5 ( 48 x ) p= P t > E este cas ( x ) ( ) p= P t > = P t >.9 = 7 <.5. Pr tat, rechazams H Statgraphcs x =.93 E adelate, a esta prbabldad p, la demarems p-valr del ctraste. Ccer el p-valr de u ctraste tee la vetaja de que s da más frmacó. Puede terpretarse cm la prbabldad del equvcars s rechazams H a partr de ls dats bteds e la muestra. Pr tat: cuat más pequeñ sea, rechazarems H c mayr segurdad (ls dats de la muestra s más favrables a H ) cuat mayr sea, aceptarems H c mayr cfaza, (ls dats de la muestra s más favrables a H ) Ls paquetes estadístcs suele dar ls resultads de ls ctrastes de hpótess e fucó del p- valr. Pr ejempl, para ls dats de este ejempl, Statgraphcs s da la sguete frmacó: Hypthess Tests fr AprbaMatrcula t-test Null hypthess: mea = 6, Alteratve: greater tha Cmputed t statstc =,93 (Valr de P-Value =,797 x ) Reject the ull hypthess fr alpha =,5.

11 The StatAdvsr [ ]Sce the P-value fr ths test s less tha,5, we ca reject the ull hypthess at the 95,% cfdece level Crters de rechaz. Geeralzams ahra ls crters de rechaz, para td tp de ctrastes Crter de la regó crítca Hems vst que para determar ls crters de rechaz s basarems e la defcó del vel de sgfcacó: = P ( α = P ( rechazar H / H certa) = tme valres favrables a H / sgue u mdel de dstrbucó que supe H certa) Demarems regó crítca (RC) a aquells valres de vel de sgfcacó α (errr de tp I). c ls que rechazaríams H c u El crter de rechaz será: Rechazams H cuad x RC. N rechazams H cuad x RC. sed x es el valr del estadístc a partr de ls dats de la muestra. E fucó de la hpótess alteratva elegda, la regó crítca será dferete: Hpótess alteratva Regó crítca RC: (K,+ ) H : θ > θ sed P K > H α certa = RC: (-, K) H : θ < θ sed P K < = α H certa

12 H : θ θ RC: (-, K ) (K,+ ) sed < K α P = H certa > K α P = H certa E geeral, para facltar ls cálculs y teer ua defcó clara del estadístc y de su mdel de dstrbucó, H se suele elegr del tp θ=θ, hpótess smple (el parámetr sól tma u valr) 3. Pr tra parte, H suele ser ua hpótess cmpuesta (el parámetr puede tmar más de u valr): θ>θ, θ<θ, θ θ El p-valr de u ctraste. Crter de rechaz a hems vst que p-valr de u ctraste puede terpretarse cm la prbabldad del equvcars s rechazams H a partr de ls dats bteds e la muestra. Es decr, el p-valr es la prbabldad de cmeter u errr de tp I a partr de ua muestra ccreta, pr l que vee a ser u vel de sgfcacó. La defcó rgursa del p-valr de u ctraste es: el mím vel de sgfcacó para el que se rechazaría H c ls dats de ua muestra ccreta. E el ejempl del redmet de ls estudates de geería (prcetaje de asgaturas aprbadas H : μ = 6 respect al úmer de asgaturas matrculadas), c el ctraste, segú eljams u H : μ > 6 vel de sgfcacó u tr la decsó puede cambar: t α =.5 Rechaz H α =.3 Rechaz H p =.7 s fjams α=.5, se tee que p =.7 < α, lueg se rechaza H. s fjams α=.3, se tee que p =.7 < α, també se rechaza H. s fjams α=., se tee que.7 pues el valr de x cae detr de la regó que csderams favrable a H. x α =. Aceptams H p = > α, y e este cas pdems rechazar H, 3 També s basams e el prcp de smplcdad cetífca: sól abadarems u mdel smple a favr de tr más cmplej cuad la evdeca de este últm sea fuerte. Además, se puede demstrar que de esta frma se btee ls crters de rechaz que ptmza la pteca del ctraste para el valr de sgfcacó α elegd.

13 El valr α = p =.7, sería el vel de sgfcacó frtera para rechazar aceptar H c ls dats bteds e esa muestra. Cálcul del p-valr: Depederá de la hpótess alteratva elegda: Hpótess alteratva ( x es el valr del estadístc p-valr a partr de ls dats de la muestra) p= P > x H : θ>θ H certa H : θ<θ p P = < x H certa H : θ θ p= P > x H certa ó p= P < x H certa 3

14 Crters de decsó e fucó del p-valr: S hems fjad u vel de sgfcacó α para el ctraste (α = P(errr de tp I)): Rechazams H cuad p-valr < α. N rechazams H cuad p-valr > α. S hems fjad u vel de sgfcacó α para el ctraste: Rechazams H cuad p-valr <.. N rechazams H cuad p-valr >.3. L pesams c cudad cuad.< p-valr <.3. Ejempl: Sgued c el ejempl del redmet de ls estudates de geería (prcetaje de asgaturas aprbadas respect al úmer de asgaturas matrculadas), uestr prfesr ptmsta quere justfcar estadístcamete que el redmet de ls estudates de la EUI se puede super mayr gual al 7% de las asgaturas matrculadas. ) Para ell, platea el sguete ctraste: H : μ 7 H : μ < 7 sed μ la meda del prcetaje de asgaturas aprbadas respect al úmer de asgaturas matrculadas. C este plateamet, csdera cm hpótess ula (H ) su prpa hpótess y cm hpótess alteratva (H ) la pcó ctrara. Es decr, él segurá mateed su pó de que el redmet pdría superse mayr gual al 7% sempre que haya ua fuerte evdeca estadístca a favr de que dch redmet es mer del 7%. ) El estadístc elegd es μ ~ t S/ =. pues es u ctraste relatv a la meda de ua pblacó rmal. ) Crter de rechaz: Regó crítca: Cm la hpótess alteratva es del tp H : μ < 7, la regó crítca es del tp RC: (-, K), sed P K < = α H certa. Para facltar ls cálculs, supems que H es ua hpótess smple ( H : μ = 7 7 H es certa, = ~ t. S/ ). Pr tat, s 4

15 S fjams u vel de sgfcacó α=.5, el crter sería: Rechazams H s x RC ( x < K ), sed P( t < K) =.5 x Hallams x : x = = =. 455 s/. 937 / 49 P t48 < K =.5 K =.6773 RC: (,.6773). Hallams K: ( ) Statgraphcs Cm x =. 455 RC, rechazams H. RC: Valres de favrables a H α =.5 t Valres de favrables a H K =.6773 x =.455 Crter del p-valr: Cm e este cas la hpótess alteratva es del tp H : μ < 7, se tee que: p valr = P < x H certa Pr tat, p valr P ( t x ) Hallams = <. x : x x = = =. 455 s/. 937 / 49 p= P t48 <.455 = Hallams el p-valr: ( ) Statgraphcs Valres de favrables a H α =.5 p = Valres de favrables a H t x =.455 A partr de ese valr, utlzams ls crters de decsó vsts aterrmete: S fjams u vel de sgfcacó α=.5, teems que p > α, lueg rechazams H. S fjams u vel de sgfcacó teems que p >.3, lueg rechazams H. 5

16 Cclusó: Pr tat, tat pr u crter cm pr tr, el resultad es clar y pdems rechazar H. Es decr, es aceptable super que el redmet de ls estudates de la EUI es del 7% (prcetaje de asgaturas aprbadas respect de las matrculadas), pues hay evdeca estadístca de que la meda sea mer que Ctrastes paramétrcs Pblaces rmales y para la meda e pblaces rmales. Para cada cas, se elge el msm estadístc pvte que para hallar el terval de cfaza y se sgue el métd explcad aterrmete (c crter de rechaz del p-valr) El cas partcular de la prprcó. El mdel matemátc para estudar la prprcó es el msm que se ha vst e el tema 7 (7.3.). S embarg, e el cas de u ctraste de hpótess para la prprcó, c H : p=p, se tma P ˆ - p cm estadístc = p (- p ) N(, ). Est es prque, s supems certa H : p=p, se tee que V( ) = p( p), pues B(, p). Es decr, ccems el valr de la varaza y es ecesar utlzar la cuasvaraza muestral. De esta frma, se puede aplcar drectamete el Terema Cetral del Límte y aprxmams derectamete pr ua N(,). Pr tat, la úca cdcó que hems de pedr es que el tamañ de la muestra sea sufcetemete grade. Ejempl: U de ls factres del baj redmet académc es ua predspscó emtva haca las materas que se estuda. Nuestra expereca s hacía estmar que, más mes, la mtad de ls estudates teía ua acttud egatva ate las matemátcas. Per ate ls resultads de ls últms añs, algus prfesres querems estudar s hay evdeca estadístca para afrmar que más del 5% de ls estudates de la EUI tee sesaces egatvas ate las matemátcas. Usarems para ell la técca del ctraste de hpótess (α=.5). ) Plateamet: se defe las hpótess H y H. Nuestra hpótess es que más del 5% de ls estudates de la EUI tee sesaces egatvas ate las matemátcas. Cm querems ver s hay evdeca teer la segurdad de que es certa, segú l explcad ates, hacems el sguete plateamet: H : p = 5. H : p > 5. sed p la prprcó de estudates de la EUI c sesaces egatvas ate las matemátcas. 6

17 C este plateamet, csderams cm hpótess ula (H ) la pcó más cservadra ( hay cambs sgfcatvs e ls últms añs) y cm hpótess alteratva (H ) la pcó de la querems teer certeza ates de afrmarla categórcamete tmar algua decsó pertete. ) Eleccó del estadístc, y cmprbacó de las cdces: E este cas, la hpótess es relatva a la prprcó de dvdus de ua pblacó (estudates de la EUI) que cumple ua determada característca (tee sesaces egatvas ate las matemátcas). Suped u tamañ de la muestra sufcetemete grade, elegms el estadístc: ) Elegr crter de rechaz: P ˆ - p N(, ) = p (- p ) Utlzarems el del p-valr. Cm la hpótess alteratva es del tp H : p> 5., se tee que: p valr = P > x H certa Pr tat, s H es certa (p=.5): = P ˆ ( -. 5 ) N(, ) p valr = P ( N (,) > x ) v) Calcular el valr de a partr de la muestra y aplcar el crter de decsó: Csderams la msma muestra que e el tema 7. C tamañ =86, teems que hay 5 estudates que teía sesaces que se puede csderar egatvas ate las matemátcas. C ess dats, ua estmacó putual de la prprcó sería Hallams x : x ˆ 5 = = P. = = ( - 5. ) 86 p= P N(,) >.749 = P N(,) <.749 =.958 =.4. Hallams el p-valr: ( ) ( ) Utlzams ls crters de decsó vsts aterrmete: S fjams u vel de sgfcacó α=.5, teems: p=.4 < α, lueg rechazams H. tablas aprx 7

18 Pr tat, de este estud se deduce que hay evdeca estadístca (α=.5) de que la prprcó de estudates de la EUI c sesaces egatvas ate las matemátcas es mayr del 5% Relacó etre ctrastes blaterales e tervals de cfaza. Pr la metdlgía seguda para cstrur tervals de cfaza y ls crters de rechaz de u H : θ = θ ctraste, se verfca que s u ctraste es del tp:, etces s equvaletes: H: θ θ Rechazar H c vel de sgfcacó α θ IC(θ) c vel de cfaza -α N rechazar H c vel de sgfcacó α θ IC(θ) c vel de cfaza -α L justfcams e el cas del estud de la meda de ua pblacó (las deas s las msmas): μ Elegms el estadístc = ~ t. S/ N rechazams H c vel de sgfcacó α cuad x cae e la regó favrable a H, es decr, K< x < K, sed K tal que Pt ( < α K) = y Pt ( > α K) = : t α α α Valres de favrables a H K K Valres de favrables a H Valres de favrables a H x μ s s Teems pr tat K< x < K K< < K x K < μ < x+ K, que es la expresó del s/ despejad μ terval de cfaza para la meda. Es decr, μ IC( μ) c vel de cfaza -α. E este tp de ctrastes, demads blaterales, pdems utlzar el terval de cfaza para tmar la decsó. Ejempl: E el tema 7 estudams las dferecas de la varable Estatura etre chcs (E ) y chcas (E ) de la EUI a partr de tervals de cfaza (95% de cfaza). Cmparams ahra las medas y varazas utlzad ctrastes de hpótess blaterales y llegarems a resultads détcs. Para ell, també teems que segur ls pass prpuests e el tema 7: a) Cmprbar que ambas varables sgue dstrbuces rmales. a se vó e el tema 7 que l era. 8

19 b) Estudams s las varazas se puede csderar guales (α=.5). ) Plateams el ctraste: σ H : σ σ H : σ H : σ = H : σ σ σ = ) Elegms el estadístc Cuad H es certa ( H σ σ = S S = (váld pues las pblaces s rmales) σ F, σ : ), se tee S S S = = F,. S ) Elegms cm crter de rechaz el de la regó crítca. 4 Cm es blateral ( H σ σ : ) la regó crítca es de la frma: < K RC: (-, K ) (K,+ ) sed P = H certa α > K α P =. H certa y v) Calcular el valr de a partr de la muestra y aplcar el crter de decsó: Cm x =39 y =, buscams K y K tales que: P ( F 38,9 < K) =.5 y P( K ) y bteems K =,447, K = 3,543 (Statgrapchcs). F > =. 38,9.5 s 39. Teems que x = = =.99. Cm: s K =,447 < x =.99 < K = 3,543 F 38,9 N rechazams H, y pdems super que las varazas s guales. K =.4 x =.99 K = 3.5 S hallams el terval de cfaza para el ccete de varazas, hems de despejar la expresó K S btee u terval: S < < K σ σ σ σ de, sed K y K ls msms que hems bted ates. Se 4 Se recmeda usar este crter para la cmparacó de varazas, sbre td cuad la decsó que querems tmar sea sól s se puede csderar guales, y ecestams ls matces que aprta el p-valr. 9

20 S S S S.99.99, =, K K Susttums 3,543,447 c dats de la muestra = [,56645;,858] Cm [,56645;,858], llegams a la msma cclusó que c el ctraste. c) Cmparams las medas. Para estudar s las medas s guales medate u ctraste: ) Plateams el ctraste: H : μ = μ H : μ μ = H: μ μ H: μ μ ( ) ( μ μ ) ( ) Elegms el estadístc = ~ t + - c ) S + ( ) S S p = + S p + pues las varazas se puede super guales y las pblaces s rmales. ( ) Cuad H es certa ( H : μ μ = ), se tee: = ~ t +- S p + ) Elegms cm crter de rechaz el p-valr. Cm es blateral ( : ) el p-valr se defe: H μ μ p= P > x H certa ó p P = < x H certa E este cas, pr l vst e ), será p = P( t + > x ) ó p = ( t + < ) P x. v) Calcular el valr de a partr de la muestra y aplcar el crter de decsó: Cm x =39 y =, será = t > p= P t < x. p P( 47 x ) ó ( 47 ) t 47 Calculams x ( x y) = = S p + ( ) = = 76. ( 39 ) ( ) p x > p x 9 = >, y el p-valr es p P( t > ) Cm 7. 6 = =.65 Statgraphcs Pr tat, cm p <.5=α, rechazams H, y cclums que hay evdeca estadístca de que las medas s dferetes.

21 Cuad hcms el terval, btuvms (.76,.77), que ctee a, pr l que pdems csderar guales las medas. E el tema 7 s pregutábams: Se puede afrmar que la dfereca etre las estaturas medas es de mes de cm? C u 95% de cfaza, se puede garatzar que la dfereca sea de mes de cm, pues el psble valr de dcha dfereca está e el terval (.76,.77), que cluye valres mayres a, pr l que dcha dfereca pdría ser mayr que. Cóm se estuda es medate ctraste de hpótess? De frma aálga a l aterr, tedríams que estudar: a) Nrmaldad de las varables (ya hech) b) Igualdad de las varazas (ya hech) c) Cmparacó de medas: ) Plateams el ctraste: H : μ μ H : μ μ < ( ) ( μ μ ) ( ) Elegms el estadístc = ~ t + - c ) S + ( ) S S p = + S p + pues las varazas se puede super guales y las pblaces s rmales. Cuad H es certa ( H : μ μ = ) 5 ( ), se tee: = ~ t +- S p + ) Elegms cm crter de rechaz el p-valr. Cm : < el p-valr se defe H μ μ p = P < E este cas, pr l vst e ), será p = ( t + < ) v) Calcular el valr de Cm x =39 y =, será = P ( t47 < ) P x. x H certa. a partr de la muestra y aplcar el crter de decsó: p x. Teems que ( x y) ( ) x = = = S p + ( ). ( ) p= P t47 <.66 =.57.5=α. Pr tat: ( ) 5 Csderams H cm hpótess smple para que esté claramete defd.

22 De frma estrcta, p>α, y rechazams H. S embarg, vems que p α, pr l que estams just e límte etre la regó de rechaz de aceptacó de H. E ests cass, (.<p<.3) la decsó depede del aalsta, que tedrá que teer e cueta ls resgs de cada decsó pdrá platearse tmar uevas muestras c u tamañ mayr para gaar e precsó.

23 8.6.- Ctrastes NO paramétrcs. Este apartad cerra l que vams a ver e este curs relatv a la fereca estadístca, cuy bjetv es estudar es algua característca de ua pblacó determada y ectrar u mdel prbablístc para ella a partr de us dats ccrets. Hasta ahra hems vst cóm bteer frmacó sbre ls parámetrs (θ) del msm, medate: estmacó putual (tema 6), estmacó pr terval (tema 7) y ctraste de hpótess paramétrcs (tema 8). Ahra vams a ver algus métds de ctraste para bteer, a partr de ls dats de la muestra, frmacó acerca del prp mdel. De hech, ya ls hems utlzad e ls temas 4 y 5 cuad ajustábams ua varable estadístca a u mdel teórc, y e ls temas 7 y 8 para verfcar la hpótess de rmaldad. El métd utlzad es aálg al de ls ctrastes paramétrcs: ) Plateamet La hpótess es relatva al mdel de dstrbucó que sgue ua v.a. y, pr tat, el plateamet es de la frma: H : F H: / F, dde F es el mdel de dstrbucó que querems cmprbar que sgue. ) Eleccó de u estadístc D cm medda de dscrepaca y cmprbacó de las cdces de aplcacó. Ls estadístcs utlzads será dferetes e fucó del tp de varable a estudar. Ls verems e cada cas. Ls detarems pr D. ) Eleccó del crter de rechaz S aálgs a ls vsts para ctrastes paramétrcs: Regó crítca: Fjad α, buscams u valr K R, tal que P D > K = α H certa La regó crítca RC es el terval ( K,+ ) D Valres de D favrables a H RC: Valres de D favrables a rechazar H S detams pr d el valr de D bted a partr de la muestra: aceptarems H s d RC (d<k). rechazarems H s d RC (d>k). 3

24 Crter del P-valr: E este cas: D p= P D > d H certa Sed d el valr de D bted a partr de la muestra. p-valr Se decde segú ls crters habtuales del p-valr. d v) Calcular el valr de D a partr de la muestra y aplcar el crter de decsó. Hasta ahra, cuad hems ajustad dats a u mdel de prbabldad, l hems hech utlzad Statgraphcs, saltáds el pas ) y dejad que el prgrama aplcara autmátcamete el ctraste e el pas v). Pr ejempl, e el tema 4, para estudar qué mdel de prbabldad pdría segur la varable : Númer de llamadas daras que se hace pr teléf móvl, dms ls sguetes pass: ) Plateamet A partr de la defcó de la varable (úmer de éxts e u terval ), la represetacó gráfca de ls dats y ls valres de la meda y la varaza, ferms que puede tratarse de u mdel de Pss. a partr de la fereca paramétrca, supems que el valr del parámetr puede ser λ=.5 (la meda). Pr tat, uestra hpótess es que ~ P(.5). Cm ctraste l plateams: H : P( 5. ) H : P( 5. ) / E prcp, aceptams cm bue el mdel prpuest a ser que ls dats de la muestra dque l ctrar. ) Ns l saltams. ) Eleccó del crter de rechaz Cm crter de rechaz prpíams el del p-valr: Ctrastes paramétrcs c Statgraphcs (Dstrbut Fttg): p-valr >.3 para aceptar la hpótess (cuat mayr sea, c más cfaza se acepta el mdel prpuest) C ese crter, s teresa teer cfaza e que el mdel es el adecuad y sms más exgetes c H, aceptad el mdel sól cuad la prbabldad de equvcars s l rechazams (p-valr) es sufcetemete alt (.3). 4

25 v) Calcular el valr de D a partr de la muestra y aplcar el crter de decsó. Al utlzar la pcó Dstrbut Fttg de Statgraphcs, bteíams: Gdess-f-Ft Tests fr Llamadas daras Ftted Pss dstrbut: mea =,564 Ch-Square Test Ch-Square =,55538 wth d.f. P-Value =, El valr de D a partr de la muestra es Ch-Square =, A partr de él, Statgraphcs calcula el p- valr y pdems aplcar el crter de decsó: Cm el p-valr= >.3, aceptams la hpótess de que sgue ua dstrbucó de Pss ( rechazams H ). L que vams a ver e este apartad es el pas ), es decr qué estadístc D elegms cm medda de dscrepaca, qué cdces le pedms para que sea váld y qué dstrbucó sgue cuad H es certa, de frma que pdams hallar el p-valr la regó crítca. Veams a ctuacó ls ds tps de estadístcs más utlzads Test de la χ. Este métd: se utlza para v.a. dscretas (auque també es váld para v.a. ctuas) requere que 3 (sed el tamañ de la muestra) requere ua agrupacó c determadas cdces La medda de dscrepaca D mde la dfereca etre: la frecueca esperada (suped certa H ) y la frecueca bteda e la muestra para ls valres que puede tmar la v.a. Se defe: D = k ( - p) p =, sed: k: úmer de valres dstts que puede tmar la varable ( úmer de clases e que hems agrupad ls valres que puede tmar la varable). p : prbabldad del valr (clase) -ésm suped certa H : F. : tamañ de la muestra p : frecueca esperada del valr (clase) -ésm suped certa H : F : frecueca bteda e la muestra del valr (clase) -ésm. Suped que H es certa, y cuad se verfca que 3 y p 5, para td, se tee que: D χ k r sed r el úmer de parámetrs estmads a partr de la muestra. 5

26 Ejempl : E el curs 6/7 se pregutó a estudates de la EUI sbre el úmer de llamadas efectuadas e u f de semaa, y se quere estudar s la varable : úmer de llamadas realzadas pr el móvl e u f de semaa sgue també ua dstrbucó de Pss. ) Plateamet La defcó de la varable (úmer de éxts-llamadas e u terval-f de semaa ) s hace pesar que puede segur u mdel de Pss. S embarg, la represetacó gráfca de las frecuecas, y el valr de la varaza (3.3) much mayr que el de la meda (4.55), s hace dudar de que la hpótess sea certa. Plateams el ctraste para salr de dudas. frequecy Llamadas e f de semaa El valr de la meda muestral es Para facltar la búsqueda e las tablas de las que dspems, plateams la hpótess c λ=4.6: H : P( 46. ) H : P( 46. ) / ) Eleccó de u estadístc D cm medda de dscrepaca y cmprbacó de las cdces de aplcacó. Cm la varable es dscreta y 3, el cas es prpc para utlzar el test de la Ch-cuadrad. ) Eleccó del crter de rechaz Fjams α =.5 y estudarems ls ds crters de rechaz: regó crítca y p-valr. (Cm la gráfca y ls valres de la varaza s hace descfar de la hpótess, elegms u vel de sgcacó más exgete para aceptar que sgue u mdel de Pss.) v) Calcular el valr de D a partr de la muestra y aplcar el crter de decsó. A partr de ls dats de la muestra, cstrums la tabla de frecuecas ( ) y de frecuecas esperadas (p ). Para hallar las frecuecas esperadas, hems de bteer ls valres p (prbabldad de cada valr clase suped H certa). Cm H : P( λ ), para calcular dchas prbabldades hems de teer u valr para λ. Para ell, estmams λ (que es el estmadr tat pr el métd de ls mmets cm pr máxma versmltud). 6

27 E este cas = y para facltar la búsqueda e las tablas de las que dspems, csderams λ=4.6 ( 6 ). Las frecuecas esperadas se calcula cm p = 47 p (=47 es el tamañ de la muestra, que puede bteerse sumad tdas las frecuecas). Teems la sguete tabla, e dde teems que clur tds ls valres que la varable puede tmar, auque ls haya tmad e la muestra ( 7 ): Valres : Frecueca p: Prbabldad p: Frecueca H certa esperada,,4747,46,74,63 4, ,63 7, ,875 8,85 5 5,76 8, 6 6,37 5,839 7,849 3,993 8,58,4346 9,85,3395 5,43,67,65,355,45,5 3,7,39 4,,94 5,,47 = E rj hems señalad ls valres cuya frecueca esperada (p ) es mer que 5, y hems de cstrur ua ueva tabla e dde agrupems ls valres de frma que se cumpla la cdcó: p 5, para td, que es ecesara para asegurar que el estadístc D sgue ua dstrbucó Ch-Cuadrad. Agrupams adecuadamete ls dats y bteems ua ueva tabla. E la últma cluma, e k ( - p) azul, hems calculad el valr del estadístc D = y bteems d= = p D χ Ahra, ya se verfca las cdces e las que k r. E este cas: k=6, pues es el úmer de clases e las que falmete agrupams r=, pues hems bted de la muestra ua estmacó del parámetr λ (u parámetr). Pr tat, s H es certa, se tee que D χ 4. D 6 Otra frma de calcular p es utlzar la fórmula de la prbabldad de ua dstrbucó de Pss: p = P( = x ) = e. x! 7 E este cas, la prbabldad de ls valres >5 es práctcamete ula, pr l que ls teems e cueta. x λ λ 7

28 Clases Frecueca Prbabldad Frecueca d esperada [,3) 3,66 7,64 3, ,63 7,6657, ,875 8,85, ,76 8,,94 6 6,37 5,839,6 [7,f),95 9,5,444 d= 6,6599 Crter regó crítca: Cm α=.5, buscams u valr K R, tal que ( χ ) P D K > = P 4 > K =. 5 K = H certa Cm d= > K=5.3853, rechazams H. Crter del p-valr: TABLAS Calculams el p-valr, segú su defcó: p= P D > d P ( H ) certa = χ > =.56 Cm p=.56<.5, rechazams H. Statgraphcs Cclusó: N puede csderarse que el úmer de llamadas pr el móvl e u f de semaa sga ua dstrbucó de Pss c λ=4.6. Cmetars al ejempl: A partr de las tablas, també pdems bteer frmacó sbre el p-valr: buscams e las tablas ls valres etre ls que esté el valr bted d, y calculams la prbabldad que deja a su derecha (las tablas da el valr que deja a su zquerda). El p-valr estará cmpredd etre dchas prbabldades. -p d=

29 E este cas:. < p <.5. E geeral, esa frmacó es sufcete para tmar la decsó. ( χ ).5 p= P( χ 4 > d) ( χ ) P > = P 4 > = < d < Observacó: S la v.a. es ctua teems muchas frmas dsttas de agrupar e tervals, y se btedría para cada cas u p-valr dstt. Pr ell, el test de la χ se utlza para v.a. dscretas y para las v.a. ctuas se utlzará el que vems a ctuacó Test de Klmgrv-Smrv. Este métd: es váld úcamete para v.a. ctuas admte tamañs de la muestra pequeñs. E este cas la medda de dscrepaca D mde la dfereca etre: la fucó de dstrbucó esperada (F, fucó de dstrbucó del mdel a ctrastar) y la fucó de dstrbucó empírca (F, fucó de dstrbucó bteda a partr de la muestra). y se defe cm D = max F ( x) F ( x). x El estadístc Para hallar el valr de D tee ua dstrbucó ccda que está tabulada (ver tablas). D a apartr de ls dats de ua muestra, segurems ls sguetes pass: (a) Se rdea ls valres de la muestra de mer a mayr: x x... x (b) Se halla F, la fucó de dstrbucó empírca, asgad a cada valr de la muestra le asga la msma prbabldad : 9

30 x< x x x< x x x< x3 F ( x) = x x< x x x (c) Se halla F, la fucó de dstrbucó esperada, que es la fucó de dstrbucó del mdel a ctrastar. F ( ) x F ( x ) F ( x ) F ( x ) F ( x ) F ( x ) (d) Se calcula D = max F( x) F ( x) x Para calcularl, se tee e cueta que al ser F ua fucó escalada, sól hay prbabldad e ls puts de salt, pr l que la dfereca máxma se ecuetra e ls extrems de ls escales: Ejempl: D = max D ( x ), sed D( x) = max { F( x ) F( x ), F ( x ) F ( x ) } = max ( ), ( ) F x F x. Se ha recgd dats sbre el temp que tarda ls estudates e llegar a la EUI y se quere ctrastar s puede superse que dcha varable sgue u mdel expecal, de meda 6 muts. ) Plateamet x x H : exp( / 6) : exp( / 6) H / ) Eleccó de u estadístc D cm medda de dscrepaca y cmprbacó de las cdces de aplcacó. Cm el mdel que se quere ctrastar es ctu, utlzams el test de Klmgrv-Smrf (K-S), y su estadístc: D = max F ( x) F ( x ). x 3

31 ) Eleccó del crter de rechaz Fjams α =. y estudarems ls ds crters de rechaz: regó crítca y p-valr. v) Calcular el valr de D a partr de la muestra y aplcar el crter de decsó. Segums ls sguetes pass: (a) Se rdea ls valres de la muestra de mer a mayr: x x... x E este ejempl csderams u amuestra de sól 7 dats (para facltar la cmpresó del métd): [45, 3, 7, 5, 9, 6, 5]. Ordeads: [5, 3, 45, 6, 7, 9, 5]. (b) Se halla F, la fucó de dstrbucó empírca asgad a cada valr de la muestra le asga la msma prbabldad = : 7 x < 5 5 x < x < x < 6 7 F ( x) = 4 6 x < x < x < 5 7 x 5 (c) Se halla F, la fucó de dstrbucó esperada, que e este cas es la fucó de dstrbucó de la exp(/6). La desdad de la exp(/6) es ( ) 6 - x / f(x) = / 6 e, s x>, y la fucó de dstrbucó: dx s x < s x < s x x x x = = = x - x / - x / 6 + ( 6) dx e 6 / e dx s x F( ) f(x)dx F ( ) x F ( x ) 3

32 (d) Se calcula el valr del estadístc D = max D ( x ). Para ell: D( x) = max { F( x ) F( x ), F ( x ) F ( x ) } = max ( ), ( ) F x F x. Para el cálcul pdems apyars e la sguete tabla: x F(x ) F ( x ) - x / 6 F(x ) = e.. = F ( ) x d ( x ). = = = =.48 = =.35 = =.7 = =.65 = = d = max d( x ) =.55 Para tmar la decsó: Crter regó crítca: Cm α=., buscams u valr K R, tal que P D K > = P( D7 > K) =. K =.385 H certa Cm d=.55 < K=.385, rechazams H. Crter del p-valr: TABLAS -p d=.55 3

33 H certa E la tabla vems que -p<.8, es decr p>., es decr p>α=. y rechazams H. Calculams el p-valr, segú su defcó: p= P D> d = P( D >.55) Cclusó: Cm rechazams H, pdems super que la varable puede segur u mdel expecal. Observacó. Cóm hace Statgraphcs este test? S utlzams Statgraphcs (Dstrbut Fttg) y seleccams el mdel expecal, el prgrama hace el test K-S realzad ls cálculs c la estmacó del parámetr a partr de ls dats de la muestra. E este cas, cm la meda muestral es , ls realza para β=/ Ls resultads s: Estmated Klmgrv statstc DPLUS =,748 Estmated Klmgrv statstc DMINUS =,5455 Estmated verall statstc DN =,5455 ( d max d ( x ) ) Apprxmate P-Value =,75675 (p-valr). = Puede verse que s muy smlares a ls bteds a ma c β=/6. La decsó sería la msma. Ahra be, quées s ls estadístcs DPLUS DMINUS? El algrtm que utlza Statgraphcs ptmza el úmer de peraces que tee que realzar teed e cueta que sempre se va a verfcar que F ( x ) < F ( x ) x F(x ) x / 6 F(x ) = e F ( x ) F ( x ) DMINUS=.55 DPLUS=.738 DN=.55 33

34 Pr tat el valr egatv c mayr valr abslut vedrá de ua peracó del tp F x ), y el valr pstv c mayr valr abslut vedrá de ua peracó del tp ( ) F x. (y btee DMINUS, e valr abslut) y etre ls valres pstvs de la cluma ( ) F x A la hra de buscar el máxm, buscará sól etre ls valres egatvs de la cluma F x ) btee DPLUS, també e valr abslut). El máxm de ls ds será DN. De esta frma, se ahrra bastates cmparaces. ( ( (y 34