Método de Ziegler - Nichols basado en la respuesta al escalón.

Transcripción

1 em. Ajuste e Controlores PID EORÍA DE CONROL Introuón En este tem se esren lgunos métoos e etermnón los vlores e los rámetros e un ontrolor PID que son l gnn rooronl ( ), el temo e ón ervtvo ( ) o el temo e ón ntegrl ( ). A este roeso e seleón e los rámetros el ontrolor, r que uml ls esefones e oerón, se le onoe omo juste o entonón el ontrolor. Este juste se he on el ojetvo que el sstem ontrolo uml on ls esefones e resuest trnstor y e esto estonro que se requern. Exsten versos métoos r juste e ontrolores que feren en funón l onomento que se requeren sore l nám el roeso ontrolr. Cuno se onoe un moelo mtemáto el roeso, entones se ueen lr métoos nlítos r etermnr los rámetros el ontrolor. Pero s el roeso es muy omlejo, suele ser fíl l otenón e un moelo mtemáto, en uyo so no es osle l utlzón e un métoo nlíto e álulo e los rámetros el ontrolor PID y se ee reurrr roementos exermentles r el juste. Los roementos onvenonles nlítos, or lo generl están restrngos roeso que se omortn omo sstems lneles, e un entr y un sl, e nvrntes en el temo. Métoos e Zegler - Nhols Zegler y Nhols sugreron os roementos r sntonzr ontrolores PlD sánose resetvmente en l resuest exermentl un eslón e entr, o en se l vlor e que roue un estl mrgnl mente el sólo uso e l ón e ontrol rooronl. Los roementos e Zegler-Nhols, que se resentn ontnuón, son muy onvenentes uno no se onoe un moelo mtemáto e l lnt; nturlmente, estos roementos tmén se ueen lr l seño e sstems on moelos mtemátos onoos. Métoo e Zegler - Nhols so en l resuest l eslón. El rmer métoo rouesto or Zegler y Nhols está so en ls rterísts e l resuest trnstor e un lnt nte un entr eslón untro en lzo erto. Est resuest se uee rterzr or os rámetros ( y ), omo se muestr en l fgur. Pr otener el vlor e estos Ret tngente rámetros rmero se etermn el unto one l enente e l resuest eslón tene su vlor máxmo (unto e nflexón), y luego se uj l tngente en este unto. En l nterseón entre est tngente y l ooren e ss otenemos el rámetro, y e l nterseón on l oren otenemos el rámetro. L funón e trnsferen e un roeso on un resuest el to mostro en l fgur se uee roxmr or l funón: Y e Ls U Ls s s Prteno e est roxmón Zegler y Nhols sugreron Resuest l eslón Punto e nflexón

2 eorí e Control exresr los rámetros, y el ontrolor PID, retmente en funón e los rámetros y, e uero on los vlores que reen en l tl sguente. Prámetros e ontrolores PID según métoo e l resuest l eslón e Zegler - Nhols Controlor P PI PID.9 3 L. L 3.4L Estos vlores r los rámetros el ontrolor ermten otener un ontrol que regul en form estle y on un uen velo e resuest l roeso ontrolr. Sn emrgo omo estos vlores se otenen rteno e l roxmón ntes menon y el roeso rel no orresone extmente ese moelo entones generlmente es onvenente relzr luego un juste fno. Con esto se us mejorr l estl reltv que se true en el umento el mrgen e fse y gnn. Métoo e Zegler - Nhols so en l resuest freuenl. Este métoo se s tmén en un rterzón muy smle e l nám el roeso. El seño está so en el onomento e un unto el lugr e trnsferen e l lnt, el unto one el lugr e trnsferen se nterset on el eje rel negtvo. Este unto es rterzo or os rámetros: l gnn rít ( ) y el eroo ríto ( ). Punto Críto El roemento r otener los rámetros y es el sguente: Se nuln ls gnns e l rte ntegrl y ervtv el ontrolor (, ). Se somete l sstem l freuen que roue un resuest en lzo erto on un ángulo e fse e 8º, est freuen será l freuen rít que es el nverso el eríoo ríto. Se nrement l gnn rooronl el ontrolor ese ero hst el vlor ríto, r el ul l sl emez exhr oslones sostens. S l sl no resent oslones sostens ul se el vlor e, entones no se uee lr este métoo. El métoo seño or Zegler y Nhols onue fórmuls smles r otener los rámetros el ontrolor, en térmnos e l gnn rt y el eroo ríto, omo se uee ver en l tl sguente. L tl tmén muestr un estmón el eroo e l nám omnnte ( ) el sstem en lzo erro. Prámetros e ontrolores PID según métoo e l resuest freuenl e Zegler - Nhols Controlor P Pl PID Jen-Frnços DULHOSE

3 em. Ajuste e Controlores PID 3 Ejero Se tene un roeso on l sguente funón e trnsferen: G s s.s.5s.s.6s.75s 3 4.6s.s Determne los vlores requeros r ontrolr el sstem on un ontrolor PI y PID utlzno los métoos e Zegler y Nhols. Métoo e Zegler Nhols so en l resuest l eslón L resuest el sstem nte un eslón untro uee verse en l fgur: En est fgur se ueen mer los vlores sguentes:. y.6 Con estos vlores el métoo e que se een esoger los vlores e gnn el ontrolor según l tl, y estos vlores son: Pr un ontrolor P: 9.9 Pr un ontrolor PI:. 8. y 3.48; 7.8 Pr un ontrolor PID:..9;.3; 34.6 y ; 5.93 Métoo e Zegler Nhols so en l resuest freuenl Se ee en este so otener el vlor e y el sstem e lzo erto que se muestr en l fgur. Y r ello se tom: H s Esuel e Ingenerí Meán - ULA

4 4 eorí e Control Luego el sstem e lzo erto en este so será: G s H s s.s.5s.s Pr lulr l freuen rít, s se onoe l euón se uee her on el grm e Boe, que se muestr en l sguente fgur: Boe Dgrm Gm = 8.6 B (t 9.8 r/s), Pm = -8 eg (t r/s) -5 Mgntue (B) Phse (eg) Frequeny (r/s) Este grm muestr que se otene un ángulo e fse e -8 r un freuen rít on lo ul t.63 Cuno no se onoe el moelo el sstem este vlor se uee otener someteno el sstem físo un entr snusol y umentno l freuen hst otener un esfse e -8, ls sguentes fgurs muestrn el resulto e l smulón el sstem r vlores e freuen e, y PHI.4 PHI Resuest el sstem on / Resuest el sstem on / PHI Resuest el sstem on / Jen-Frnços DULHOSE

5 em. Ajuste e Controlores PID 5 Se oserv en ls fgurs que en el so e el esfse es e -8, ues el máxmo e l resuest (líne roj) one on el mínmo e l entr (líne zul). Pr otener l gnn rít, s se onoe el moelo mtemáto se uee her utlzno los grms e Boe o e Nyqust. L fgur sguente muestr los grms e Nyqust r el sstem on un gnn rooronl gul y 5. 8 Nyqust Dgrms From: U() Nyqust Dgrms From: U() Imgnry Axs o: Y() - Imgnry Axs o: Y() Rel Axs Rel Axs Pr Pr 5 Ls fgurs muestrn que l gnn rít est lreeor e 5 ues r este vlor el grm s or el unto -,, estno el sstem en el límte e l estl. L sguente fgur muestr el grm e Boe, en este so r un gnn rooronl gul 5. 5 Boe Dgrm Gm =.63 B (t 9.8 r/s), Pm =.8 eg (t 9.45 r/s) Mgntue (B) Phse (eg) Frequeny (r/s) Se oserv en el grm e Boe que el Mrgen e Gnn (.63) y e fse (.8) se ern ero, o se que 5 es un vlor erno l gnn rt. Se uee ser más reso y usr un vlor más erno l ríto, ontnuón se muestr el grm r un gnn rooronl gul 6.879, one el mrgen e gnn smnuy.46e-5. Esuel e Ingenerí Meán - ULA

6 6 eorí e Control 5 Boe Dgrm Gm =.46e-5 B (t 9.8 r/s), Pm = -.6 eg (t 9.8 r/s) Mgntue (B) Phse (eg) Frequeny (r/s) En el so en que no se onozn los moelos mtemátos se uee otener el vlor e l gnn rít someteno el sstem en lzo erro un entr en eslón y umentno el vlor e hst que el sstem omene resentr oslones sostens. Se resent ontnuón ls gráfs e l resuest el sstem r vlores e y Oserve que los os roementos son en este so equvlentes. Con estos vlores se us en l tl los vlores r ls gnns el ontrolor otenénose los sguentes: Pr un ontrolor P:.5.5 Pr un ontrolor PI:.4 y.8.5; Pr un ontrolor PID.5.5,.5.35; 47.6 y..8; Osérvese que los vlores no son éntos en los os métoos, esto es eo que son fruto e roxmones stnts, y se trt en too so e un roxmón en one se uee relzr osterormente un juste más fno. Sn emrgo l mgntu e los vlores es reltvmente róxm en los os sos. Jen-Frnços DULHOSE

7 em. Ajuste e Controlores PID 7 Métoos or sgnón e Polos Domnntes Los métoos e Zegler y Nhols sutos en l seón nteror están sos en el onomento e un solo unto sore el lugr e trnsferen el roeso en lzo erto. Est seón resent un métoo e álulo que us os untos o más sore el lugr e trnsferen. El métoo está so en un smle sgnón e los olos omnntes e un sstem en lzo erro rtr e l funón e trnsferen en lzo erto. Polos Domnntes Consere el sstem mostro en l fgur, one es l funón e trnsferen el roeso y es l funón e trnsferen el ontrolor. L funón e trnsferen el sstem en lzo erro ( ) está or: G s H s G s G s H s Muhs e ls roees e los sstems en lzo erro ueen ser eus rtr e los olos y eros e, estos últmos son tmén los eros e. Los olos en lzo erro se ueen otener rtr e l ríz e l sguente euón: G s H s Im L uón en el lno mgnro e los olos y eros e un sstem en lzo erro uee vrr onserlemente on reseto l lzo erto. Muhos lzos e retrolmentón smle, tenrán un onfgurón el to mostro en l fgur sguente, one ls rnles rterísts e l resuest están s or un r e olos omlejos, y, enomnos olos omnntes. L resuest es tmén nfluen or Re los otros olos y los eros y, resetvmente. mén ueen exstr otros olos y eros lejos el orgen. Los olos y eros uys rtes reles son muho más equeñs que l rte rel e los olos omnntes, tenen equeñ nfluen en l resuest trnstor, or lo ul este efeto uee esrerse. Control PI El métoo e seño or sgnón e olos omnntes será lo rmero un ontrol PI. Dos olos en lzo erro se ueen esefr en este so, y que un ontrolor PI tene os rámetros justles. Con el ontrolor PI o or l euón: H s s Done es l gnn rooronl y es l gnn ntegrl. Los rámetros y serán etermnos e tl form que el sstem en lzo erro teng los olos omnntes en y, tenremos entones: P P Esto ml que: G P P G P P Esuel e Ingenerí Meán - ULA

8 8 eorí e Control L euón nteror es lnel en y. Est tene un soluón s y l soluón en este so es: A B P A B B A B Done: A ReGP B ImGP El rámetro uee ser vsto omo un rámetro que ermte etermnr l velo e resuest el sstem e lzo erro oteno. Pr vlores equeños e se otene un sstem lento, y r vlores ltos se otene un sstem ráo. S l nám e un roeso es e rmer oren, el sstem en lzo erro tene solmente os olos y or lo tnto el rámetro uee ser elego rtrrmente. Pr sstems e oren elevo, en lzo erro se tenrá un número elevo e olos, ero se esogerán e tl form que os sen omnntes. Pr otener un sstem estle on olos no omnntes sore el eje rel, estos olos eerán ser e rte rel más equeños que. L onón r otener os olos omnntes es que ee ser esogo sufentemente equeño. El límte sueror e uee ser etermno usno l onón e que el olo más lejo sore el eje rel se enuentre en el lno mgnro en. Pr un roeso estle, l funón es ostv y es equeño r un equeño. Entones result que l gnn rooronl es negtv r un equeño. Y omo es normlmente esele otener ls gnns el ontrolor ostvs, un límte nferor r el rámetro e seño se uee otener e l onón. El vlor e orresone en este so un ontrol ntegrl uro. Un lterntv r elegr, so en los olos omnntes, es seleonr un que genere el vlor máxmo e l gnn ntegrl. Los vlores otenos en este so serán muy ernos los otenos r l onón e olos omnntes. Control PD El métoo e seño or sgnón e olos omnntes uee ser lo l ontrol PD. L funón e trnsferen e este ontrolor es: H s s Y e gul form que r el so el ontrol PI se requere que el sstem en lzo erro teng olos en y. Con álulos nálogos l so el ontrolor PI los rámetros el ontrolor se ueen otener mente ls exresones: P A A B B B A B El vlor el rámetro e seño ee ser quí ún myor que r el ontrolor PI. Puénose estmr su vlor nferor mente l exresón. El vlor e orresone en este so un ontrol ervtvo uro. Un vlor rzonle r este rámetro es esoger el que rooron el myor vlor r l gnn rooronl. Jen-Frnços DULHOSE

9 Esuel e Ingenerí Meán - ULA 9 em. Ajuste e Controlores PID Control PID Con un ontrol PID, es osle osonr tres olos en lzo erro. D l funón e trnsferen el ontrolor PID omo: s s s H Done es l gnn rooronl., es l gnn r el térmno ntegrl, y es l gnn r el térmno ervtvo. Dos olos en lzo erro serán osonos e uero l euón oten r el ontrol PI. Y se sume que on esto el rolem e seño el ontrolor PI está resuelto, es er, que se onoen los vlores e y. El vlor e l funón e trnsferen el ontrolor en es: H Suoneno que l funón e trnsferen tene el msmo vlor que l funón e trnsferen r el ontrolor PI, se tene: Por lo tnto se tene que: Así, se otene un fml e gnns, on os rámetros,, r un ontrolor PID, lo ul gener un sstem e lzo erro on olos en y. El rámetro será hor etermno e mner que el sstem e lzo erro tmén teng un olo en. Con esto se otene: G Introueno ls exresones e y se otene: G De quí, s, se otene: G G Con est euón que efn un fml e ontrolores PID on un rámetro e seño ( ), on los ules se otene un sstem e lzo erro on tres olos omnntes uos en y. Vlores equeños e rouen un sstem on velo e resuest lent y vlores grnes e rouen un sstem on velo e resuest rá.

10 eorí e Control Métoo roxmo r esgnr olos omnntes El sguente métoo estm los olos omnntes rtr el onomento e lgunos untos el lugr e trnsferen el sstem e lzo erto. Los olos en lzo erro están os or l sguente euón rteríst: s Se relz un esrrollo e ylor lreeor e. Done: Desreno los térmnos e oren myor o gul os en : Con esto los rámetros y e los olos omnntes quen estleos. S l erv es roxm or un feren fnt entre os untos ernos en l urv e Nyqust se uee otener l sguente exresón r etermnr el vlor el rámetro : A ontnuón, se suone que l freuen ese () e los olos omnntes es y se otene l sguente relón: Introueno un ontrolor en el lzo, los olos omnntes ueen ser movos ls osones eses. El orresonente rolem e seño uee ser exreso en térmnos e l freuen () y el oefente e mortgumento () e los olos omnntes. Pr relzr el seño, se sume que los vlores e l funón e trnsferen en lzo erto r os freuens róxms, y, son onoos, esto es: G G mén se sume que ls freuens y son erns l freuen e rue on el eje rel. El seño no está restrngo un estrutur el ontrolor en rtulr, y ulquer ontrolor on l menos os rámetros justles uee ser entono. Pr el so e un ontrolor PID l funón e trnsferen es: H s s s Se sume que exste un relón entre el temo e ón ntegrl ( ) y el temo e ón ervtvo ( ): ˆ Por lo ul l exresón r l funón e trnsferen el ontrolor se uee exresr omo: H s s s Este ontrolor tene os rámetros justles: l gnn, l ul mueve el lugr e trnsferen (urv e Nyqust) en form rl on reseto l orgen, y l onstnte e temo, rovo l torsón e este msmo lugr. Jen-Frnços DULHOSE

11 Esuel e Ingenerí Meán - ULA em. Ajuste e Controlores PID El rolem e seño es hor etermnr un ontrolor tl que l funón e trnsferen el sstem omenso teng vlores reestleos en ls os freuens esogs y, es er: H G H G Susttuyeno los vlores e y r un e ls freuens se otene: El oefente e mortgumento está o or: Igulno est exresón on l rmer que efne el térmno result: ˆ Susttuyeno los vlores e: Esto : Ests onones etermnn los rámetros y el ontrolor PID. De l rmer euón result un relón e seguno oren r, e l ul se otene.

12 Jen-Frnços DULHOSE eorí e Control L gnn se uee otener e l segun euón.