Introducción a Matrices y Determinantes.

Transcripción

1 Sexto eonomí. Mtemát III Introduón Mtres y Determnntes. Ls mtres y los determnntes son herrments del álger ue fltn el ordenmento de dtos y su mnejo. El ojetvo de ntrodur el urso on este tem tene un ráter nstrumentl. Es der, onoer ls mtres omo entes mtemátos y ser relzr oerones áss on ells es de muh utldd los efetos del resto de l temát del urso. smsmo se verán lguns lones de mtres rolems de ontexto rel. Defnón: Un mtrz es un funón del to mxn : I R sendo {, j, N / m, j n} m, n El domno uede ser uluer onjunto no vío; en generl r nosotros es el onjunto R de los Números Reles. Ejemlo: Se I, {,,,,,,,,,} y un mtrz x odrí estr defnd rtr de l sguente orresonden: I m, n,,,,,, π - / Not: d rel mgen del elemento,j lo denomnremos y l mtrz resultnte l notremos. Oservón: Es ostumre dsoner los elementos en form retngulr:... m... m n n... mn Donde "m" reresent el número de fls y "n" reresent el número de olumns. Sendo sí en el ejemlo nteror l mtrz uedrí reresentd de l sguente mner: X π / / Menos formlmente, odemos ensr en un mtrz omo un tl retngulr de números reles dsuestos en fls y olumns Not: l onjunto de tods ls mtres de orden mxn on elementos reles se lo reresent omo M mxn Mrelo Cmrotte

2 Sexto eonomí. Mtemát III os de Mtres Se denomn MRIZ NUL l ue tene todos sus elementos gul ero. Ejemlo: M X mtrz nul de dmensón X Se denomn MRIZ FIL l mtrz ue tene únmente un fl. Ejemlo: W X π mtrz fl de dmensón X Se Se denomn MRIZ COLUMN l mtrz ue tene únmente un olumn. Ejemlo: C X mtrz olumn de dmensón X d Se denomn MRIZ CUDRD l mtrz ue tene gul número de fls ue de olumns., Ejemlo: F X π mtrz udrd de orden Not: Llmmos dgonl rnl de un mtrz udrd los elementos tles ue mtrz F l dgonl rnl está formd or, y j, en el so de l e Llmmos MRIZ RINGULR SUPERIOR l mtrz udrd uyos elementos ue están or dejo de l dgonl rnl son nulos. f Llmmos MRIZ RINGULR INFERIOR l mtrz udrd uyos elementos ue están or enm de l dgonl rnl son nulos. Ejemlo: X RINGULR INFERIOR B X RINGULR SUPERIOR 8 9 g Se denomn MRIZ IDENIDD I, l mtrz udrd en l ul los elementos studos en l dgonl rnl son gules uno y el resto son nulos. Cundo se mortnte her énfss en el l dmensón, esrremos I n r desgnr l mtrz dentdd de orden n. Ejemlo: I mtrz dentdd de orden Mrelo Cmrotte

3 Sexto eonomí. Mtemát III Álger de mtres Iguldd de mtres: Oservemos ue or ser funones, dos mtres mxn y B m xn son gules s sus domnos y odomnos son gules, y ls mágenes de los elementos de un son resetvmente gules ls mágenes de los elementos de l otr. Esto ml: mxn B m' xn' m m, n n,...,m ; j,,...,n, sendo los elementos de mxn y los elementos de B m xn. Es der, dos mtres son gules s tenen l msm dmensón y sus elementos resetvos son gules Produto or un número rel. S M mxn y β R, defnmos β. M mxn, sendo β.,...,m j,...,n. dho número rel se lo suele llmr eslr. Ejemlo: e / e / Proeddes: Sendo α y β números reles y y B mtres de... α. β. α. β. α β. α β... α. α α v. B.. B n m; ods ells se de deduen en form nmedt de ls roeddes de l estrutur de los números reles y sus oerones. Sum de mtres. Se onsder el onjunto M mxn de ls mtres reles de dmensón defnmos l sum de dos mtres de gul dmensón de l form sguente: S,B, defnmos B s M mxn m n m fls y n olumns, ± sendo s ± on,..., my j... n Ejemlo: e e e Proeddes de l sum y dferen:. sotv ± B ± C ± B ± C. Conmuttv ± B B ±. Exsten del neutro l mtrz nul v. Exsten del ouesto en el so de su ouesto es ntent ests demostrones. Mrelo Cmrotte

4 Sexto eonomí. Mtemát III Mrelo Cmrotte Ejeros:. Clul, y r ue se uml l sguente guldd:. S y B Hllr un mtrz X ue verfue l euón B. X.. Determn ls mtres X ey sendo ue: 8 Y X Y X Produto de mtres Sendo ls mtres mxn M nx jk M B, se defne el roduto C.B on nx k M C sendo h n k k k n nk h hk h on,..., j,...,m Ejemlo: 9 9 Oservones: Se desrende de l defnón de roduto de mtres ue r oder multlr dos mtres deen ondr el número de olumns de l rmer on el número de fls de l segund, esto nos d omo resultdo un nuev mtrz de gul ntdd de fls ue l rmer e gul ntdd de olumns ue l segund. Es der, nx mx nxm C B Proeddes:. sotv C..B B.C.. Dstrutv C..B C B. Intent relzr ests demostrones.

5 Sexto eonomí. Mtemát III Ejeros:. S y B lul s es osle. B y B. onden?. Ídem nteror r y B. Clul todos los rodutos osles entre ls mtres v. Clul C y B y v. Determn los vlores de y r ue on Conseuens de l defnón nteror El roduto de mtres no es onmuttvo. Podrís der or ué? El roduto de mtres uede dr l mtrz nul unue est no se uno de los ftores. Podrís dr un ejemlo de esto? En el so de ls mtres udrds odemos oservr ue l msm mtrz I funon omo neutro de l multlón, es der ue:.i I. r tods ls mtres de M nxn. Defnón: Dds ls mtres udrds y B s se verf ue de l mtrz y se not..b B. I demos ue B es l INVERS S l mtrz tene nvers dremos ue es nvertle. Oservón: NO tod mtrz udrd tene nvers. Puedes ensr en un ejemlo de esto? rsosón de mtres Dd un mtrz mxn llmmos mtrz trsuest de notmos ntermr ls fls or ls olumns. l mtrz ue se otene l Ejemlo: entones Oservón: S es un mtrz de dmensón n m entones será de dmensón m n Mrelo Cmrotte

6 Sexto eonomí. Mtemát III Proeddes: sendo k R on y B mtres de n m.. B B. k. k. Not: rtr de l defnón de mtrz trsuest surgen ls mtres smétrs y ntsmétrs:. MRIZ SIMÉRIC: mtrz ue onde on su trsuest, es der Ejemlo:. MRIZ NISIMÉRIC : mtrz uy trsuest onde on su ouest, es der Ejemlo: Mrelo Cmrotte

7 Sexto eonomí. Mtemát III lones de mtres Ls mtres se usn r resolver múltles tos de rolems dentro de ls ens soles, ngenerí y otrs áres. En est oortundd veremos dos tos de lones de mtres: en redes de omunón y en rolems de trnsón. Ejemlo Consder un red de utro omutdors onetds omo nd l fgur. Ls flehs ndn ué omutdor tene eso ul. Por ejemlo l omutdor tene eso l, ero l no uede eder l, en mo l y l tenen eso mutuo. rtr de est nformón odemos rer un mtrz sod est red. eso desde omutdor H omutdor d d Un nd ue hy eso dreto y un ue no hy eso dreto, sumremos ue ls máuns no tenen eso sí msms trvés de l red s ueremos ver s l máun ede l oservmos l segund fl y l últm olumn y veremos un. Llmmos l mtrz un mtrz de omunón. hor en, estndo en l red, ls omutdors ueden onetrse otrs de mner dret o or ntermedo de otrs, sí l omutdor, or ejemlo, uede tener eso l dretmente o trvés de. Se uede demostrr ue l mtrz nos nd l ntdd de mners en ls ue un omutdor uede tener eso otr trvés de un ntermedro. H d Desde d S oservmos l fgur vemos ue l omutdor uede eder l on un ntermedro de dos forms dstnts:. onet on ue onet on. onet on d ue onet on S oservmos, es un veremos ue el elemento En resumen, l mtrz reresent el eso dreto de un máun otr y l mtrz reresent el eso ví un ntermedro. Se uede demostrr ue de l msm form reresent el eso on tres ntermedros y sí suesvmente. Ejero: Ind de uánts mners uede l máun eder l d usndo lo sumo tres ntermedros. Mrelo Cmrotte

8 Sexto eonomí. Ejemlo Mtemát III Puede resultr útl r un goerno reder mos olonles, or neesddes de lnfón, de olíts de urnzón o soles. mén ls emress ueden neestr este to de nformón r lnfr sus nversones o estrtegs de merdo. Suongmos ue un regón tene un olón de mllones de htntes de los ules mllones vven en uddes, 8 mllones vven en zon suurn y mllones vven en zon rurl. summos ue el udro ontnuón desre l mgrón nul estmd de est olón: Desde Cuddes Z. Suurn Áre Rurl Cuddes % % % Z. Suurn 8 % % % Áre Rurl % 8 % % Podemos entones onstrur dos mtres P y : L mtrz P ue reresent l lolzón orgnl de los mllones de htntes, exresd en mllones. Cudd Suurn Rurl P 8 Y l mtrz sod l tl nteror: Cudd Suurn Rurl Cudd,,, Suurn 8,,, Rurl,,, 8 Est últm es llmd mtrz de trnsón y desre justmente l trnsón de un ondón otr. Se uede entones demostrr ue s multlmos Px otenemos un nuev mtrz de ué dmensón?, ue reresent l dstruón de l olón l fnlzr el ño: Px,, 9,,,,,, 9, 9, 9,, Relzlmultlón y oservueresulteste vetor Se uede oservr ue el rmer elemento del vetor está omuesto or, ue es el % de mllones ue ermnee en ls uddes, más el 8% de 8 ue s de ls zons suurns ls uddes,, más el % de,9 ue s del áre rurl ls uddes, de est mner otenemos el número de mllones de ersons ue hy en ls uddes l fnlzr el ño. sí tmén on l zon suurn y on el áre rurl, segundo y terer elemento del vetor resetvmente. S summos ue l mtrz de trnsón tmén rede l mgrón r el ño sguente, se uede otener l olón estmd luego de dos ños. Esto dedo ue l tener el vetor resultnte de l olón r el rmer ño, éste se multl or y sí otenemos el vetor resultnte de l dstruón de l olón r el segundo ño. Otr mner de her esto msmo es multlr el vetor orgnl de dstruón de olón P or l mtrz. Oservándose ue se uede reder l olón r l ntdd de ños ue uermos, elevndo l mtrz de trnsón l exonente orresondente y multlndo el vetor P or l mtrz resultnte. Ejero: Con los dtos nterores lul l dstruón estmd de olón luego de sdos ños. Mrelo Cmrotte

9 Sexto eonomí. Mtemát III Funón determnnte Se un mtrz udrd de orden n, llmmos determnnte de l msm y lo notremos det, o l número rel ue se otene de l sguente mner: S n det S n det S n det S n lo lulremos tenendo en uent ls sguentes defnones: Defnón: Menor omlementro Dd un mtrz de orden n, llmmos menor omlementro del elemento de l msm lo notremos α l determnnte de l mtrz ue se otene luego de surmr en l mtrz l fl y l olumn j. Defnón: djunto Dd un mtrz de orden n, llmmos djunto del elemento de l msm lo notremos l roduto ue surge luego de multlr el menor omlementro del elemento or elevdo l sum de los suíndes. j. α Es der Proedd de Lle: El vlor del determnnte de un mtrz de orden n es gul l sum de n térmnos, d uno de los ules son los n elementos de un líne uluer multldos or sus djuntos resetvos. Ejemlo determnnte de un mtrz de orden : det Mrelo Cmrotte

10 Sexto eonomí. Mtemát III PROPIEDDES DE LOS DEERMINNES Se uluer mtrz de n n y k un número rel uluer.. S ontene un fl o olumn de eros, entones det.. S multlmos todos los elementos de un líne de l mtrz or un número rel k el determnnte de ued multldo or ese número. Corolro: n k k Intent demostrrlo lndo l roedd nteror. S ermutmos dos línes rlels de l mtrz, su determnnte m de sgno Ejemlo: - fl fl -/ - -/ - - ' Clul det y det '. S un líne de un mtrz se le sum otr líne rlel multld or un número, el determnnte no m. Ejemlo: - xflfl - ' Oserv ue l fl dos de se otene rtr de relzr l oerón ndd sore l fleh. Clul det y det '. El determnnte se nul s dos fls o dos olumns son gules. Demo: S se nverten ls dos fls o olumns ue son gules entones det '. det det or roedd II det Q.E.D. det det Mrelo Cmrotte

11 Sexto eonomí. Mtemát III. S un mtrz udrd tene dos fls rooronles su determnnte es ero. Intent demostrrlo lndo ls roeddes nterores. 8. S y B son mtres udrds del msmo tmño, entones: det.b det.det B No se demostrrá en este urso eorem: det. Un mtrz udrd es nvertle s y solo s Demo: S es nvertle, entones I - de modo ue detidetdet -. Por tnto, det. Q.E.D Corolro: S es nvertle, entones det. det Mrelo Cmrotte

12 Sexto eonomí. Rertdo de ejeros. Mtemát III. Dds ls mtres: /. B / / 8 C / Relzr ls sguentes oerones: Hllr: B -B.C B Hllr l mtrz X tl ue: XB. Hllr el det C. Es C un mtrz nvertle? d Hllr l mtrz Z tl ue: ZC -. Hllr l mtrz X, Y o Z según orresond..xb YB t Z - B. Verddero o flso on justfón o ontrejemlo..bb. r tod y B mtres udrds de gul dmensón I r tod mtrz de n or n. Se un mtrz udrd de orden n, tl ue, todos los elementos de un de sus fls son eros. Entones el determnnte de es ero. d det det t r tod mtrz udrd de orden. e Sendo y B dos mtres de mxn se umle ue : B B. Clul los sguentes determnntes: x - y y - x. Hllr x R, tl ue: x x x x x x. Clulr los sguentes determnntes: Mrelo Cmrotte

13 Sexto eonomí. Mtemát III Mrelo Cmrotte / / / 8 8. Se hllr: α,, α,, y det. 8. Clul lndo roeddes: d