Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes: = 11 0 Solución: x = 4, y = 7. = 0 Solución: x = 5

Transcripción

1 Unidd. Deerminnes Memáis II Resuelve Págin Deerminnes de orden Resuelve los siguienes sisems lul el deerminne de d mriz de oeiienes: ) * ) * ) * d) * e) * ) * ) Soluión:, ) Soluión: λ, λ ) Soluión:, d) Sisem inomile e) Soluión: λ, λ ) Soluión:,

2 Unidd. Deerminnes Memáis II Deerminnes de orden dos Págin Siendo A un mriz, jusii si ls siguienes irmiones son verdders o lss: ) Pr que A es neesrio que sus uro elemenos sen. ) Si los dos elemenos de l segund olumn de A son, enones A. ) Si ls dos ils de A oiniden, enones A. d) Si e) Si m n d ) Flso,, enones, enones m n d.. ) Verddero, orque en los dos sumndos del deerminne ree lgún elemeno de l segund il. ) Verddero, A A d d) Verddero, d ( d ) ( ) d m m e) Verddero, m n ( m n) n n Clul el vlor de los siguienes deerminnes di or qué son ero lgunos de ellos: ) ) ) d) e) ) ) ) ), orque iene un olumn de eros. d), orque iene sus dos ils igules. e), orque sus ils son roorionles: (. ª) (.ª) ), orque sus dos olumns son roorionles: (.ª) () (.ª)

3 Unidd. Deerminnes Memáis II l Sen A n m A. Clul: ) n l ) n l m m ) l m () n l m n l m l m ) () n n l m l m ) A () n n n n l m d) ( ) () () l m l m n ) A d) n l m

4 Unidd. Deerminnes Memáis II Deerminnes de orden res Págin Clul los siguienes deerminnes: ) ) ) ) Hll el vlor de esos deerminnes: ) ) ) ) Págin Ddos los deerminnes A B C jusii si ls siguienes irmiones son verdders o lss: ) A orque su erer olumn es sum de ls dos rimers. ) B orque su erer olumn es diereni de ls dos rimers. ) C orque su erer olumn es roduo de ls dos rimers. ) Verddero or l roiedd de los deerminnes. Si un mriz iene un líne que es ominión linel de ls demás rlels, enones su deerminne es ero. ) Verddero or l roiedd de los deerminnes. Si un mriz iene un líne que es ominión linel de ls demás rlels, enones su deerminne es ero. ) Flso, orque el roduo de dos línes no es un ominión linel de ells. Jusii, sin desrrollr, ess igulddes: ) ) ) ) Tiene un il de eros (roiedd ). ) L.ª il es roorionl l.ª: (.ª) () (.ª) (roiedd ) ) L.ª il es ominión linel de ls dos rimers: (.ª) (.ª) (.ª) (roiedd )

5 Unidd. Deerminnes Memáis II Siendo que z, lul sin desrrollr los siguienes deerminnes: ) z z ) / ) z z z ) z z z ) / z ) z z z z

6 Unidd. Deerminnes Memáis II Deerminnes de orden ulquier Págin Verddero o lso? En un mriz A,, sus elemenos son números osiivos. Enones: ) En el desrrollo de A h! sumndos, odos osiivos. ) En el desrrollo de A h sumndos osiivos negivos. ) A es, on seguridd, un número osiivo. d) A A. ) Flso, h sumndos que orresonden ermuiones imres, or lo no son negivos. ) Verddero, orque odemos onseguir ods ls ermuiones mindo un vez or d sumndo dos elemenos enre sí, es deir, sndo de ermuión r imr. Luego l mid de ls ermuiones son res l mid imres, or no, h sumndos osiivos negivos. ) Flso, los sumndos on signo menos ueden sumr un número mor que los sumndos on signo negivo. d) Verddero, orque usndo l roiedd : Si mulilimos or el mismo número odos los elemenos de un líne (il o olumn) de un mriz udrd, su deerminne qued mulilido or ese número. A () A A ) Cuános sumndos iene el desrrollo del deerminne ij de orden? ) Comrue que el roduo es uno de ellos. Qué signo le orresonde? ) Tiene! sumndos ) Es uno de los sumndos, orque en él ree un elemeno de d il uno de d olumn. Pr ver el signo que le orresonde, ordenmos los ino ores or los índies de sus ils: Los índies de ls olumns son (,,,, ), que es un ermuión de (,,,, ). Conmos sus inversiones: esá en inversión on esá en inversión on esá en inversión on En ol h inversiones, imr. Le orresonde el signo. Clul el vlor de los siguienes deerminnes: ) ) ) d) e) ) ), orque l úlim olumn es nueve vees l segund., orque l erer il es F F F F.

7 Unidd. Deerminnes Memáis II ) d) e) En d il en d olumn solo h un elemeno disino de ero. Por no, de los! sumndos solo uno de ellos es disino de ero (ues en los resnes h lgún or ): () Vemos qué signo le orresonde. Se r del roduo. Los índies de ls olumns son (,,, ), que es un ermuión de (,,, ). Al onr sus inversiones, vemos que esá en inversión on. En ol h inversiones, r. Le orresonde signo, es deir, mniene el mismo vlor. El únio sumndo que no iene ningún ero es: Los índies de ls olumns son (,,, ), que iene inversiones, luego:, orque l rimer il es el dole de l ur. Jusii que l regl de Srrus r el álulo de deerminnes de orden se jus l deiniión generl de deerminne. Sí, orque: En d roduo h un or de d il uno de d olumn. Esán odos los osiles roduos on un or de d il uno de d olumn. L mid de los sumndos ienen signo, l or mid signo. Comromos que los signos orresonden l ridd de l ermuión: r: signo r: signo r: signo imr: signo imr: signo imr: signo

8 Unidd. Deerminnes Memáis II Menor omlemenrio djuno Págin Hll dos menores de orden dos oros dos menores de orden res de l mriz M. M Menores de orden dos; or ejemlo: M, Menores de orden res; or ejemlo: M, Hll el menor omlemenrio el djuno de los elemenos,. A α ; A () ( ) α () α ; A () ( ) α α ; A () ( ) α

9 Unidd. Deerminnes Memáis II Desrrollo de un deerminne or los elemenos de un líne Págin Clul el siguiene deerminne lindo l regl de Srrus desrrollándolo or d un de sus ils d un de sus olumns: Comrue que se oiene el mismo resuldo en los siee sos. Alindo l regl de Srrus: () () () () Desrrollndo or l.ª il: ( ) () () Desrrollndo or l.ª il: () Desrrollndo or l.ª il: Desrrollndo or l.ª olumn: ( ) Desrrollndo or l.ª olumn: () Desrrollndo or l.ª olumn: () ()

10 Unidd. Deerminnes Memáis II Dd es mriz: ) Hll l sum de los roduos de d elemeno de l.ª il or el orresondiene djuno de l.ª il. ) Hll l sum de los roduos de d elemeno de l.ª olumn or el djuno de los orresondienes elemenos de l.ª olumn. ) Jusii or qué los dos resuldos neriores son ero. ) A A A () ) A A A () () () ) Por l roiedd. Clul los siguienes deerminnes: ) ) ) d) ) () () Desrrollndo or l. olumn. ) () () Desrrollndo or l. il. Tmién odrímos her oservdo que l. olumn es igul l sum de ls ors res;, or no, el deerminne vle ero. ) () () () () Desrrollndo or l. il. d) () () Desrrollndo or l. olumn.

11 Unidd. Deerminnes Memáis II Méodo r lulr deerminnes de orden ulquier Págin Clul los siguienes deerminnes: ) ) ) d) ) olumns (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) () () Desrrollndo or l.ª il. ) olumns (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) () () Desrrollndo or l.ª il. ) ils (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ils (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) d) ils (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) olumns (.ª) (.ª) () (.ª) (.ª)

12 Unidd. Deerminnes Memáis II El rngo de un mriz rir de sus menores Págin Clul el rngo de ls siguienes mries: A B C D A Tommos el menor de orden :. Ls dos rimers ils son linelmene indeendienes. L.ª il es l sum de ls dos rimers, l.ª il es l sum de l.ª l.ª rn (A ). B Tommos el menor de orden :. Ls dos rimers ils son linelmene indeendienes. Tommos menores de orden : Ls rimers ils son linelmene indeendienes. Tommos menores de orden : rn (B ). C Tommos el menor de orden :. Ls dos rimers ils son linelmene indeendienes. Como,, enones rn (C ). D Tommos el menor de orden :. Ls dos rimers ils son linelmene indeendienes. Como l.ª il es l sum de ls dos rimers, enones rn (D ).

13 Unidd. Deerminnes Memáis II Oro méodo r onseguir l invers de un mriz Págin Clul l invers de d un de ls siguienes mries: A B e o Clulmos l invers de l mriz A: A eise A α ij Adj (A ) (Adj (A )) A A (Adj (A )) A Clulmos l invers de l mriz B: B eise B α ij Adj (B ) (Adj (B )) B B (Adj (B )) B e e e e o o o o Clul l invers de ess mries: A B Clulmos l invers de l mriz A: A eise A α ij Adj (A ) (Adj (A )) A A (Adj (A )) A Clulmos l invers de l mriz B: B eise B α ij Adj (B ) (Adj (B )) B B (Adj (B )) B

14 Unidd. Deerminnes Memáis II Ejeriios rolems resuelos Págin. Cálulo de un deerminne de orden Hzlo ú. Clul el vlor de ese deerminne en unión del rámero : Summos ls ils.ª,.ª.ª l.ª: (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) El vlor del úlimo deerminne es igul l roduo de los elemenos de l digonl rinil, or orresonder un mriz ringulr.. Proieddes de los deerminnes Hzlo ú. Si q r z, lul el vlor de esos deerminnes sin desrrollrlos: ) q q z r z r ) q r q z ) q q z r z r (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) q z r z q z r z (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) q r z ) q r q z q r q z q r q z (*) q r z (**) q r z (*).ª olumn.ª. (**) Permumos l.ª olumn or l.ª luego, l.ª olumn or l.ª.

15 Unidd. Deerminnes Memáis II. Resolver un euión Hzlo ú. Comrue, sin lulr el vlor del deerminne, que l siguiene euión iene res soluiones: Es euión es de grdo, iene omo máimo soluiones iene un número imr de soluiones reles. olumns (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ( )( ) olumns (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ( )( ) Es euión iene l menos dos soluiones, or no iene res soluiones. Págin. Demosrr un iguldd Hzlo ú. Demuesr que eise un mriz udrd A, de orden, siméri on A que verii: A e o e o A e o e oe o e o e o l, l, l A l l l m l A e o

16 Unidd. Deerminnes Memáis II. Esudio del rngo de un mriz que deende de un rámero Hzlo ú. Esudi el rngo de ls siguienes mries según los vlores del rámero : ) M ) N ) El menor ormdo or ls res rimers olumns es: Si rn (M ) Si rn (M ) <, orque l.ª l.ª olumns son roorionles. Pr : M Tods ls olumns son ororionles, luego rn (M ) ) rn (M ) Si rn (M ) Si rn (M ) Págin. Proieddes de los deerminnes rngo de un mriz Hzlo ú. Si A B son dos mries udrds de orden, les que rn (A) rn (B), uál de ls siguienes irmiones es siemre verdder?: ) rn (A B ) ) rn (A B ) ) rn (A B ) > ) Fls, orque A B iene dimensión, no iene ils ni olumns. ) Verdder, orque A B iene dimensión. ) Fls: A e o rn (A ) B e o rn (B ) A B e o e o e o rn (A B )

17 Unidd. Deerminnes Memáis II. Cálulo de l mriz invers Hzlo ú. Dd es mriz: A ) Hll los vlores de r los ules A es regulr. ) Pr, hll l mriz invers de A. ) A, A es regulr r. ) : A A A

18 Unidd. Deerminnes Memáis II Ejeriios rolems guidos Págin. Proieddes de los deerminnes Si, son ls olumns.ª,.ª.ª de un mriz udrd de orden l que, lulr: ) ) ) ) () ) () ). Resolver un euión on un deerminne Esudir, según los vlores de, el número de soluiones reles que iene l siguiene euión: ( ) ( ) ( )( ) Si Si > ( ), no iene soluión ( ), Si < ( ), no iene soluión ( ),. Deerminr los elemenos de un mriz Dds ls siguienes mries: A e o B e o deerminr los vlores de, de modo que B AB BA. B e oe o e oe o e o e o,,

19 Unidd. Deerminnes Memáis II. Rngo de un mriz que deende de dos rámeros Esudir el rngo de es mriz: B rn (B ) Si rn (B ) Si rn (B ) Si rn (B ). Resolver un euión mriil Dd l mriz A m m : ) Clulr los vlores de m r los que A iene invers. ) Pr m, lulr l mriz X que verii XA X A. ) m m m m m m m, m Si m m A iene invers. ) XA X A X (A I ) A X A (A I ) Pr omror que ese so es válido, vemos si (A I ) eise. A I A I, luego iene invers. (A I ) X

20 Unidd. Deerminnes Memáis II Ejeriios rolems rouesos Págin Pr rir Deerminnes. Proieddes Resuelve ls siguienes euiones: ) ) ) d) ) ), ), d),, Hll el vlor de los siguienes deerminnes de orden : ) ) ) () () () Desrrollmos or l.ª olumn. ) ils (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) () () El deerminne se nul, ueso que iene dos ils igules.

21 Unidd. Deerminnes Memáis II Clul el vlor de los siguienes deerminnes: ) ) ) d) ) ) ) d) Si m n q, uál es el vlor de d uno de los siguienes deerminnes? Jusii ls resuess: ) m n q n q ) q m n ) n q m d) q m n e) m nm / mq ) m m ) ) m n q () m n q n q m n q () m () q () m n () m n q n q ) n q m () n m () m n () q q d) q m n () m () q () m n () q n m n q e) nm / () m mq m m m n m n q q ) m m, ues ls dos olumns son roorionles. () Si un il le summos or mulilid or un número, el deerminne no vrí. () El deerminne de un mriz oinide on el de su rsues. () Si mimos de orden dos ils o dos olumns, el deerminne mi de signo. () Si mulilimos un il o un olumn or un número, el deerminne qued mulilido or ese número.

22 Unidd. Deerminnes Memáis II Susiue los unos susensivos or los números deudos r que se veriiquen ls siguienes igulddes: ) ) ) ) Siendo que z ) ), lul el vlor de los siguienes deerminnes: ) / / z/ z z z () () / / z/ / / z/ / / z/ z ) z z z () Desomonemos el deerminne en sum de dos. () Smos or omún de l.ª il. El. deerminne es, ues ls dos rimers ils son roorionles. ) z z z ) olumns (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) () Smos or omún de l.ª olumn. z z z (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ils () z z z z z () z (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ils () Smos or omún el de l.ª il. z Siendo que uilizndo ls roieddes de los deerminnes, lul: ) El deerminne de l mriz ) L soluión es. ) )

23 Unidd. Deerminnes Memáis II ) ) ( ) ) Resuelve l euión A siendo A. ) Pr, oén el deerminne de l mriz A. ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ( ), ) A A Rngo de un mriz Hll el rngo de ess mries: ) A ) B ) C d) D ) A Tommos un menor de orden disino de ero: Ls dos úlims ils son linelmene indeendienes. rn (A ) Vemos si l. il deende linelmene de ls dos úlims: L. il deende linelmene de ls dos úlims.

24 Unidd. Deerminnes Memáis II Vemos si l. il deende de ls dos úlims:. Por no, rn (A). ) B Tommos un menor de orden disino de ero: Ls dos rimers olumns son linelmene indeendienes. Luego, rn (B ). Vemos si l. olumn deende linelmene de ls dos rimers:. Por no, rn (B ). ) C Clulmos C : C ils (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) () ( ) rn (C ) () Desrrollmos or l. olumn. d) D Tommos un menor de orden disino de ero: Ls dos rimers ils son linelmene indeendienes. Vemos si l. il deende linelmene de ls dos rimers: L.ª il deende linelmene de ls ors dos. Por no, rn (D )

25 Unidd. Deerminnes Memáis II Esudi el rngo de ls siguienes mries según el vlor del rámero que ree en ells: ) A ) B ) C d) D ) A Si Como A Si A rn (A ) rn (A ) ) B Oservmos que ( ) rn (B ) Si B rn (B ) Si B rn (B ) Si B rn (B ) ) C ± ± ± Oservmos que rn (C ) Por no: Si C rn (C ) Si C rn (C ) Si C rn (C ) d) D Si D Si D rn (D ) rn (D ) Si D rn (D )

26 Unidd. Deerminnes Memáis II Págin Hll los vlores del rámero m r los que el rngo de A m m m m m m m m m m m m m m m m m ( m m) m m m m m m m ( m m) m m ( m m) m m ( m m) (m m) m, m Si m o m, enones rn (A ) < es menor que. Esudi el rngo de ess mries según el vlor del rámero : ) A ) Si A Si rn (A ) Si rn (A ) ) B ) B Si ls uro ils son roorionles rn (B ) Si rn (B ) ) C e o Si, qued: C e o rn (C ) Si, qued: C e o rn (C ) Si rn (C ) ) C e o d) D e o d) D e o Si D Si D e o rn (D ) e o Ls dos ils no son roorionles rn (D ) Si rn (D )

27 Unidd. Deerminnes Memáis II Esudi el rngo de l mriz M según los vlores de. ) M ) M ) M ) M ( ) rn (M ) < Tommos un menor de orden : rn (M ), r ulquier. ) M, Si rn (M ) Tommos un menor de orden : Si rn (M ) Si rn (M ) ) M, Como se nuln en unos disinos, enemos que rn (M ), r ulquier.

28 Unidd. Deerminnes Memáis II Esudi el rngo de ls siguienes mries según los vlores del rámero : ) A ) B ) C d) D ) A Tommos un menor de orden :, luego rn (A ).,, Solo se nuln los dos menores de orden si. Si rn (A ) Si rn (A ) ) B Tommos un menor de orden :, luego rn (B )., Si rn (B ) Si rn (B ) Si rn (B ) ) C Tommos un menor de orden :, luego rn (C ).,, Si rn (C ) Si rn (C )

29 Unidd. Deerminnes Memáis II d) D Tommos un menor de orden :,, luego rn (D )., Si rn (D ) Si rn (D ) Mriz invers Hll l mriz invers de ls siguienes mries: ) M e ) N e o o ) M l mriz M iene invers. L lulmos: α ij Adj (M ) (Adj (M )) M M (Adj (M )) e o e o e o e o M M e / o es l mriz invers. ) N l mriz N iene invers. L lulmos: α ij Adj (N ) (Adj (N )) N N (Adj (N )) e o e o e o e o N N / e o es l mriz invers. / /

30 Unidd. Deerminnes Memáis II ) Clul l invers de d un de ls siguienes mries: A B ) Resuelve ls euiones AX B XB A siendo A B ls mries del rdo nerior. ) A Eise A α ij Adj (A ) (Adj (A )) A A (Adj (A )) A B Eise B α ij Adj (B ) (Adj (B )) B B (Adj (B )) / / B ) AX B A AX A B X A B X A B XB A XBB AB X AB X AB / / / / Clul l invers de es mriz: A A

31 Unidd. Deerminnes Memáis II Dd l mriz A, hll: ) Los vlores de r los que l mriz A osee invers. ) L invers de A r. ) El vlor de Á r que l mriz A eng deerminne. ), ) A osee invers si. A ) Suonemos : A A A A Dd l mriz A : ) Clul A (I A ). ) Jusii si eisen ls mries inverss de A I A. ) Pr qué vlor de se verii A I A? ) A (I A ) ) A (I A ) I A I A ienen invers d un es l invers de l or. A I A (I A ) A ) Hll los vlores del rámero r los ules ls mries A B no son regulres lul: ) A si. ) B si. A B ) A ± ± ± A no es inverile r ni r.

32 Unidd. Deerminnes Memáis II Clulmos A r : A A α ij Adj (A ) (Adj (A )) A (Adj (A)) A A ) B B no es inverile r ni r. Clulmos B r : B B α ij Adj (B ) (Adj (B )) B (Adj (B)) B B Euiones mriiles Dd A e o, hll X l que AXA e o. AXA e o X A e o A Clulmos A : e o e o e o e o A X e oe oe o e o Dds ls mries A e o B e o, enuenr l mriz X l que AXB e o. AXB e o X A e ob Clulmos A : e o e o e o e o A

33 Unidd. Deerminnes Memáis II Clulmos B : e o e o e o e o e o B X e oe oe o e o Resuelve l euión AXB C siendo: A e o B e o C e AXB C A A X B B A C B X A C B Clulmos A B ( A B eisen A B ): o α ij Adj (A ) (Adj (A )) A (Adj (A)) A e o e o A α ij Adj (B ) (Adj (B )) B (Adj (B)) B e o e o e o e o B Por no: X A C B e o e o e o e o e o e o Dds ls mries: A e o B e o C e o D hll l mriz X que verii (AB C )X D. (AB C )X D (AB C ) (AB C )X (AB C ) D X (AB C ) D Se E AB C e o e o e o e o e o Clulmos E ( E eise E ): α ij Adj (E ) (Adj (E )) E (Adj (E)) E e o e o e o e o E Por no: X (AB C ) D E D / e oe o e o /

34 Unidd. Deerminnes Memáis II Hll X l que AX B, siendo: AX B X A B A B Clulmos A ( A eise A ): α ij Adj (A ) (Adj (A )) A (Adj (A)) A A Por no: / / X / / / / Págin Dds ls siguienes mries: A m B ) Pr qué vlores de m eise A? ) Pr m, hll l mriz X l que XA B C. m ) A m Eise A si m. ) XA B C XA C B X (C B )A / e o C e o C B e o e o e o X (C B )A e o / e o

35 Unidd. Deerminnes Memáis II Sen ls mries A e o B. ) Deermin r qué vlores de l mriz AB iene invers. ) Resuelve l euión ABX I r, donde I es l mriz unidd de orden. ) AB e o e o Eise (AB ) si ) ABX I X (AB ) AB e o e o / e o X / / e o e o Pr resolver Resuelve ls euiones siguienes: ) ) ) d) () () ) ± () Desrrollmos or l.ª olumn. () Son deerminnes de mries ringulres. ) ils (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ( )( ) (Suonemos que ).

36 Unidd. Deerminnes Memáis II ) ( ) () () ils (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) () () ( ) () Summos l.ª olumn ls demás. () Smos ( ) or omún de l.ª olumn. () Desrrollmos or l.ª olumn. () Desrrollmos or l.ª il. d) ( ) () () ( )( ) ( )( ) () Summos l.ª olumn l.ª. () Desrrollmos or l.ª olumn. Esudi el rngo de ls siguienes mries según los vlores del rámero que onienen: ) A ) B ) C d) D ) A ils (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) () () () Desrrollmos or l.ª olumn. () Desrrollmos or l.ª olumn. Si A rn (A ) Si A rn (A )

37 Unidd. Deerminnes Memáis II ) Hemos Si B rn (B ) Si rn (B ) Por no, rn (B ) r ulquier vlor de. ) Hemos Si C rn (C ) Si C rn (C ) Si rn (C ) d) D () ( ) ( )( ) () Smos ( ) or omún de l.ª olumn. Si D rn (D ) Si D rn (D ) Si D rn (D ) Si rn (D )

38 Unidd. Deerminnes Memáis II Clul el rngo de ess mries en unión del rámero : ) A ) B ) C ) A Si A rn (A ) Si A rn (A ) Si A rn (A ) Si rn (A ) ) B B ( ) Si B rn (B ) Si B rn (B ) Si B rn (B ) Si, rn (B ) ) C ( ) Si C rn (C ) Si rn (C )

39 Unidd. Deerminnes Memáis II Comrue lindo ls roieddes de los deerminnes. ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) Dd l mriz A : ) Resuelve l euión A. ) Clul el rngo de l mriz A según los vlores de. ), ) Si rn (A ) Si rn (A ) Si rn (A )

40 Unidd. Deerminnes Memáis II Dd es mriz de orden n : A n lul el deerminne de A, A A. A A A ) Esudi r qué vlores de iene invers es mriz: A ) Hll l invers de A siemre que se osile. ) Eise A si. ) ( ) ( )/ / / / Dd l mriz A : ) Enuenr l eresión generl de A n donde n es un número nurl ulquier. ) Rzon que A n iene invers r ulquier n lul dih mriz invers. ) A A A A A n n ) n A n iene invers. n n

41 Unidd. Deerminnes Memáis II Hll, en unión de, el vlor de esos deerminnes: A A A () () ils (.ª) (.ª) (.ª) () ( ) ( ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ( ) ( ) () Summos l.ª olumn ls demás. () Smos ( ) or omún, de l.ª olumn. () Desrrollmos or l.ª olumn. A ils (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) () ( ) ( ) () Desrrollmos or l.ª olumn () Es el deerminne de un mriz ringulr. () Prue, sin desrrollrlos, que el vlor de los siguienes deerminnes es : ) ) z z / / / z ) ils (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ues ls dos úlims ils son roorionles., z z z z z () ) () z z / / / z () Smos or omún, en l.ª,.ª.ª olumns. z () L.ª.ª ils son roorinles (z.ª.ª).

42 Unidd. Deerminnes Memáis II Págin Consider l mriz A, donde, son no nulos. ) Deermin el número de olumns de A que son linelmene indeendienes. ) Clul el rngo de A. A Pero Por no:, ues son no nulos. ) H dos olumns en l mriz A que son linelmene indeendienes. ) rn (A ). Esudi el rngo de l siguiene mriz r los disinos vlores de, : M () () () M ( ) () Summos l.ª il l.ª () Smos ( ) or omún de l.ª il. () Ls dos rimers ils son roorionles. Luego, rn (M ). Tenemos que: Por no: Si rn (M ) En oro so rn (M ) Esudi el rngo de es mriz: os sen A sen os A os sen sen os () os sen os sen sen os () Desrrollmos el deerminne or l.ª il o or l.ª olumn. Por no, omo A, enemos que rn (A ).

43 Unidd. Deerminnes Memáis II Cuesiones eóris Verddero o lso? Jusii ls resuess on ejemlos. ) Si, son ls olumns.ª,.ª.ª de un mriz udrd de orden l que, enones: i) ii) iii) iv) ) Si B es un mriz udrd de orden uo deerminne vle, enones: i) B ii) B iii) B / ) L úni soluión de es. d) L mriz invers de l mriz A es: A, e) Si A es un mriz udrd l que A A I, enones A es inverile A I A. ) Si A B son dos mries regulres que veriin que AXB A B, enones X A B. ) i) Verddero: ( ) ii) Flso: iii) Flso: iv) Verddero: ( )( ) ) i) Flso: B B ii) Verddero: B B B B B iii) Verddero: B B B B B ) Flso: Ls soluiones son:, B

44 Unidd. Deerminnes Memáis II d) Verddero: A / ( ) / / / e) Verddero: A A I A A I A(A I) I A(I A ) I Luego A es inverile on A I A. ) Verddero: AXB A B X A (A B )B (I A B )B B A Prue que el deerminne de un mriz ulquier de orden es igul que el de su rsues. Si A, enones A. Alindo l deiniión de deerminne, oenemos que A A. Lo vemos: A A Luego A A. Srís deir uál de esos dos roduos uede ormr re del desrrollo de un deerminne de orden?: ) ) Solo odrí ser ), ueso que en d roduo h de reer un or de d il uno de d olumn. Si A es un mriz udrd de orden, uedes ser el vlor de A A A A sin onoer los elemenos de l mriz? El resuldo es, ues enemos un roduo de los elemenos de un il (l.ª) or los djunos de or (l.ª). Si l mriz A m n iene rngo, qué rngo endrá l mriz B m n? m n Oservmos que l.ª il de B (l que hemos ñdido reseo A ), es ominión linel de ls dos rimers (se oiene resndo l.ª menos l.ª). Por no, B endrá el mismo rngo que A, es deir, rn (B ). Dds ls mries A B de orden on A B, lul A, B A (AB ). A A () () () B A B A B A () () A ( AB ) AB A B A B B () El deerminne de l invers de un mriz es el inverso del deerminne de l mriz. () Tenemos en uen que A B A B. () El deerminne de un mriz oinide on el de su rsues.

45 Unidd. Deerminnes Memáis II ) Deine qué se llm rngo de un mriz. ) Indi, rzonndo l resues, uáles de ls siguienes irmiones son iers: i) rn (A) rn (A) (A es l mriz oues de A). ii) rn (A) rn (A ) (A es l mriz rsues de A). iii) rn (A B ) rn (A) rn (B ) iv) rn (A ) [rn (A)] v) rn (A) rn (A ) si A iene invers (A es l mriz invers de A). ) El rngo de un mriz es el número de ils (o de olumns) linelmene indeendienes. Tmién odemos deinirlo omo el máimo orden de sus menores no nulos. ) i) Verdder. El heho de mir de signo los elemenos de A, solo erá l signo de los menores; ero el máimo orden de los menores no nulos (el rngo) no se ve inluido. ii) Verdder. El número de ils el número de olumns linelmene indeendienes es el mismo. En A solo hemos mido ils or olumns. iii) Fls. Por ejemlo: A e o B e o A B e o rn (A ) rn (B ) (ues A B ) rn (A B ). iv) Fls. Por ejemlo, si A es un mriz de orden on rn (A ), A mién será de orden ; luego rn (A ), [rn (A )] (si A es de orden no uede ener rngo ). v) Si A es un mriz udrd de orden n, eise su invers, enones A ( A ). Luego rn (A ) rn (A ) n. Por no, l iguldd es verdder. Se A un mriz udrd l que A A. Demuesr que de (A) o de (A). A A A A A A A A A A ( A ) A A (Hemos enido en uen que A B A B ). Esrie dos mries A B de orden les que: ) de (A B ) de (A) de (B ) ) de (A B) de (A) de (B ) ) Por ejemlo: A e o; B ; A B e o e o A ; B ; A B A B ) Por ejemlo: A e o; B e o; A B e o A ; B ; A B A B

46 Unidd. Deerminnes Memáis II Pr roundizr Demuesr, sin desrrollr el deerminne, que: ( ) olumns (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) () ( ) ( ) () Smos ( ) or omún de l.ª de l.ª olumn. () Desrrollmos or l.ª il. Demuesr, sin desrrollr, que ( )( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). En el segundo miemro, mulili divide l.ª il or ; l.ª, or, l.ª, or. Prue que ( )( )( ). Ese deerminne se llm de Vndermonde. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) Págin Deermin ls mries udrds de orden uos elemenos sen números eneros, on deerminne igul, les que su invers oinid on su rsues. Hz A A I A. H soluiones. Si A e d o, enones A m. Si A d A, h de ser: A A d d I e o m e o d d d d * d d Como,, d son eneros, enemos solo uro soluiones: e o; e o; e o; e o

47 Unidd. Deerminnes Memáis II Esrie un mriz on ils olumns, que eng elemenos nulos l que ninguno de sus menores de orden se nulo. Por ejemlo: Y que:,,. Demosrión de que A B A B r deerminnes de orden : AB e o () () () () ) Comrue que los deerminnes () () son mos ero. ) En () en () s or omún los elemenos ij. Llegrás A B, omo se querí demosrr. ) () () ) () A () A Por no, qued: AB A A A ( ) A A B Consider l mriz A. ) Hll l mriz (A ij ). ) Prue que A (A ij ) A A ) Qué relión h enre A (A ij )? ) A A A A A A A A A A. A (A ij )

48 Unidd. Deerminnes Memáis II ) A A (A ij ) A A A ) (A ij ) () A Se A un mriz udrd de orden on A. Bus l relión que eise enre A (A ij ). Pr ello, en en uen el rdo ) del rolem nerior que A B A B. Semos que el deerminne de un mriz oinide on el de su rsues: A ij A ji Por or re, enemos que (suonemos que eise A ): A Tmién semos que: ( ) A A A A ji e o ji Aji A A A A A I A A I A A Uniendo ls dos igulddes oenids, enemos que: Aij Aij A (A de orden ) A A Si A es un mriz udrd de orden n, d el vlor de (A ij ) en unión de A. Con el mismo rzonmieno que hemos seguido en el ejeriio nerior, llegmos que si A es n n: A A A A n A ij A A ij n

49 Unidd. Deerminnes Memáis II Auoevluión Págin Hll el vlor de que he que l mriz A no se regulr. A A no es regulr r. Clul el vlor de ese deerminne, dndo el resuldo orizdo: A ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Dds ls siguienes mries: A () B () ) Clul el deerminne de l mriz A () oén el vlor de r que ese deerminne vlg. ) Demuesr que l mriz B () no iene invers r ningún vlor de. ) A () A () A () A () ) B, luego B no iene invers.

50 Unidd. Deerminnes Memáis II ) Esudi el rngo de M según los vlores de. M ) Hll M en el so,. ) Vemos r qué vlores de el deerminne de M se he ero: M ( )( ) Si, M Si, M Por lo no: Si, rn (M ) Si, rn (M ) Si, rn (M ) * Si, rn (M ) ) Pr, M M Adj (M ) M Así, M / / / / Si,, son los veores olumn de un mriz l que, lul: ) ) ) ) ) )

51 Unidd. Deerminnes Memáis II Esudi el rngo de N según los vlores del rámero : N Busmos los vlores que nulen el deerminne ormdo or ls res rimers ils ls res rimers olumns: Si N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ls res rimers ils son igules l.ª son eros rn (N ) Si N Busmos lgún menor de orden disino de ero: () rn (N ) () Smos omo or omún de l.ª olumn. Si rn (N ) Consider l mriz A. ) Deermin r qué vlores de l mriz A es regulr. ) Pr, hll l mriz X que verii AXA B siendo B. ) ( ), A iene invers si. ) AXA B X A BA A X / / / X / / / / / / / / / / / / / / /