UNIDAD 4 Modelos Probabilísticos Variable Discreta TEORÍA. Mg.Ing. Susana Vanlesberg Profesor Titular
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- Patricia Carla Fuentes Valdéz
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1 Uversdad Nacoal del Ltoral Facultad de Igeería y Cecas Hídrcas ESTADÍSTICA Igeerías: Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura TEORÍA Mg.Ig. Susaa Valesberg Profesor Ttular UNIDAD 4 Modelos Probablístcos Varable Dscreta Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL Pág.
2 La alcacó de la teoría de robabldad e stuacoes reales, cocretas, ue reseta ua regulardad e el desarrollo, ha orgado ua sere de modelos ue ermte resolver esas stuacoes. Los geeros realza suuestos resecto del roblema a resolver, esto los lleva a descrcoes aálogas y a formas matemátcamete guales a las de los modelos robablístcos. E este caítulo o sólo se reseta los modelos más usados e la ráctca, so ue també se brda alguas ocoes de los mecasmos or los cuales se ha orgado cada dstrbucó. Esto últmo es de suma mortaca ara u geero, ya ue la esteca de tales mecasmos uede descrbr ua stuacó físca de su terés, y ésta es ua razó más mortate ue la buea aromacó matemátca de algú modelo. MODELOS DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Cuado e el desarrollo de los modelos se mecoe ruebas, éstas se referrá a observacoes sstemátcas de algú feómeo atural. Modelo Beroull Tal vez la stuacó más comú ue se reseta es auella e la ue los resultados de los eermetos uede seararse e dos categorías mutuamete ecluyetes: éto o fracaso; or eemlo llueve o o, mdo o o mdo, está cotamado o o, etc. Puede etoces defrse la varable aleatora de to Beroull y asgársele valores (arbtraros ero muy ráctcos) a los evetos ates mecoados: 0 fracaso éto La fucó de robabldad de es smlemete:, f() (), 0 robabldad de éto. Esta fucó deberá cumlr co las codcoes de ua fucó de robabldad: 0 f( ) +(- ) +- Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL Pág.
3 Las característcas de este modelo: E ( ) f ( ) 0 ( ) () 0 V() _ ( - E() ) f( ) (- )+(- ). (0 - ) (- )+(- ). (- )(+- ) V() (- ) (3) Modelo Bomal Se realza ua sere de ruebas de to Beroull cuyos resultados so mutuamete deedetes y s la robabldad de éto ermaece varable e todas ellas se orga u uevo modelo deomado BINOMIAL. Para determar la dstrbucó corresodete se aalza el úmero total de étos e ruebas Beroull cada ua co robabldad favorable gual a. Se cosdera or eemlo 3 ruebas y se aalzará las robabldades de éto: - Ngú éto: 0 0 ; 0 ; 0 ; ( - ) 3 - U éto: ; 0 ; 0 ; ó 0 ; ; 0 ; ó 0 ; 0 ; cada secueca es u eveto, ue etre sí so mutuamete ecluyetes cuya robabldad es : ( - ) ; de esta maera la robabldad de u éto es : 3 ( - ) - Dos étos: Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL Pág. 3
4 ; ; 0 ; ó ; 0 ; ; ó 0 ; ; ; uevamete cada secueca es u eveto ue es ecluyete de los restates: ( - ) y el total : 3 ( - ) - Tres étos: 3 ; ; ; ; ; 3 Esto ermte geeralzar y obteer la fucó de robabldad de este modelo: P(X ) (- ) - coefcet e bomal!!( - )! (4) El coefcete bomal tee e cueta el úmero de formas e ue eactamete étos se resete e ruebas. Los arámetros de este modelo so y ; etero y u úmero comreddo etre 0 y. El modelo se deoma BINOMIAL orue uede cosderarse como el desarrollo del bomo ( + ). La fucó debe cumlr las codcoes de ua fucó de robabldad: f( ) - 0!!( - )! -! 0! 0 +!! ( -)! !! 0! 0 + ( -)! ( -)! (+ ) Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL Pág. 4
5 La fucó de dstrbucó uede obteerse alcado la defcó: F() P(X ) f( ) (5) Característcas del modelo E(X) 0 f( )! !( 0)!!! ( - )! !! ( - )! 0 ( - )! 0 + ( - )! ( ( - ) ) (+ ) - E() (6) Var(X) E[X - E(X) ] E( X ) - E (X) - E( X ) 0 ya ue el rmer termo es cero la suma se toma desde Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL Pág. 5
6 ( - )!! ( - )! - - ( - )! ( - )! ( - )! - - hacedo +, ara, 0,,!( - )!!( +) ( - ( - )! )!( +)( )! ( - +) -- El dotermo dela suma es ; se aalza el º, ya - ( - )! ( - )!( - ) ue!( - - )! ( - )! ( - -( sacado factor comu ( - ), se cosgue - ))! hacedo k +, k varía de 0 a - co lo cual - 0 k - k k -- k E( X ] [( - )+] - + Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL Pág. 6
7 Var(X) (7) Estos msmos resultados odría haberse obtedo de forma mucho más seclla or cosderar a la varable aleatora X como la suma de varables deedetes détcamete dstrbudas como Beroull, cuya eseraza es y varaza *: E(X) E( + Var(X) ) E( ) E( ) Var( ) (- ) La dstrbucó Bomal ha sdo tabulada, tato su fucó de cuatía como la de dstrbucó. Para el caso de la fucó masa este valores hasta 0.5. E caso de ecestarse > 0.5, se debería latear el roblema cambado el suceso e estudo or su cotraro y teer cudado e la terretacó de los resultados. També e los software ue osee fórmulas estadístcas y e los esecífcos se uede ecotrar los valores de esta dstrbucó ara cualuer valor de. Fgura Nº - Dstrbucó Bomal ara dsttos valores de y Eemlo Cada muestra de agua tee ua robabldad del 0% de coteer u cotamate orgáco artcular. Asumr ue las muestras so deedetes co resecto a la reseca del cotamate. Ecotrar la robabldad de ue e las rómas 8 muestras, eactamete cotega el cotamate y el valor medo de muestras cotamadas. Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL Pág. 7
8 Solucó: La varable será: X " úmero de muestras ue cotee el cotamate" X ~ B(8; 0,) 8 6 P( X ) E( X ) Modelo Geométrco Cotuado co el msmo esuema de ruebas reetdas de to Beroull, uede teresar coocer e ue rueba ocurrrá el rmer éto. Las ruebas so reetdas, deedetes, co dos osbles resultados: ocurreca o o del eveto e estudo, co robabldad favorable costate; se derva el modelo corresodete a la varable N: úmero de ruebas hasta ue ocurre el rmer éto. Este rmer éto se roducrá sí y sólo sí e las ruebas aterores o se roduo, lo cual ocurre co robabldad gual a ( - ). Luego su fucó de robabldad es: P(N ) f()(- ) - co,,3... (8) Este modelo se deoma GEOMÉTRICO de arámetro. La fucó acumulatva se obtee a artr de la fucó ateror: F () () (- ) - (- ) - (- ) - (- ) - (- ) - desarrollo de la suma de ua rogresó geométrca Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL Pág. 8
9 F( ) -(- ) (9) Esto msmo se uede obteer al cosderar la robabldad de ue N smlemete como la robabldad ue esta al meos ua ocurreca e N ruebas: P(N < )- P(o haya ocurrecas P (N )- e ruebas) F( ) -(- ) La gráfca de la fucó de cuatía: Fgura Nº -Fucó del modelo Geométrco Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL Pág. 9
10 Característcas E (N) - (- ) - (- ) (- ) + (- )+ 3(- ) + 4(- ) (- ) E (N) (0) Este resultado sgfca ue el úmero romedo de ruebas hasta ue ocurre el rmer éto es la versa de la robabldad de ocurreca del eveto. Esto se asoca al coceto de eríodo de retoro, sumamete utlzado e geería. Var(N) E ( N ) - E (N) (- ) - - (- ) [ 3 (- ) - - ] [ 3 (- ) - - ] [ - ( ) - ] - ( ) + Var(N) (+-) Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL 0 Pág.
11 - Var(N) () El térmo eríodo de retoro es muchas veces mal terretado ya ue se cree ue asará 00 años etre ocurrecas de valores de ua varable de terés suerores a u valor crítco; e realdad la robabldad de ue se roduzca u valor mayor al crítco ermaece varable y e este caso gual a 0.0 ara cualuer año, deedetemete de lo ue ocurró e años aterores, se está hablado de valor romedo. Eemlo Cuál sería la robabldad de ue ua crecda co eríodo de retoro 0 años ocurra ates o durate el décmo año e la cudad de Sata Fe. sedo T / / T / 0 luego P ( X 0 ) - ( - 0. ) 0 65% F(0) - ( - ) 0 Modelo Posso Cosderado las codcoes ue caracterza al modelo Bomal, es ecesaro aalzar ue sucede co la dstrbucó de la varable s el úmero de ruebas se cremeta y la robabldad de éto se hace cada vez más eueña. S se cremeta y se hace eueña, ero el úmero romedo de evetos e el tervalo total ermaece costate e gual a. deomado a esta costate λ y cosderado la fucó masa de robabldad de e el límte, esto es co 0 y y λ. a artr de la fucó del modelo Bomal: Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL Pág.
12 Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL Pág. f )! ( )! ))( ( )...( )( (! )! (!! )!!(! ) ( La eresó etre corchetes tee térmos e el umerador y térmos e el deomador, y ara u sufcetemete grade, este térmo es gual a : / co lo cual ueda or evaluar la eresó ( - λ/ ) ue cuado es gual a la costate e -λ, esto ermte eresar a la fucó de robabldad del modelo de Posso de la sguete forma:! e f() P (X ) - () λ arámetro del modelo. Esta fucó deberá cumlr co la codcó ara ser ua fucó de robabldad:
13 0 - e! e - 0 [ ] 0!!!! 0 [ ] e 0!!!! e -.e e - + e 0 Característcas E(X) 0 e -! - - e (-)! - - e (-)! E(X) (3) Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL 3 Pág.
14 Var(X) E( X ) - E (X) E( X ) 0 e - [! [ - - e ( -)! 0 ] - - e ] ( -)! s y - y+, luego [ y0 y (y+) e y! - ] [ y0 y - y e + y! y0 - y e ] y! y0 y - y e E(Y) y! y0 - y e y! luego E( X ) ( +) + Var(X) + - Var(X) (4) Geeralmete este modelo se vcula a auellos evetos ue ocurre e ua udad de temo, luego el eríodo de temo e el ue se realza el aálss costtuye ua secueca de ruebas deedetes cada ua co dstrbucó Bomal. S se tomara ara el aálss u tervalo de temo gual al doble o al trle del cal el arámetro es també gual al doble, al trle, etc., marcado esto la deedeca del temo de este modelo y or ello vculado a los rocesos estocástcos. Se etede or Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL 4 Pág.
15 rocesos estocástcos a auellos e los ue teresa la secueca e el temo de ocurreca de evetos. Dado u tervalo de úmeros reales, asumedo ue ocurre al azar e todo el tervalo valores de ua varable aleatora; s el tervalo se uede dvdr e subtervalos de eueña logtud tal ue: () la robabldad de ue más de ua ocurreca e u subtervalo es cero, () la robabldad de ua ocurreca e u subtervalo es la msma ara todos los subtervalos y roorcoal a la logtud del subtervalo, y (3) el coteo e cada subtervalo es deedete de otros subtervalos, Etoces el eermeto aleatoro se deoma u roceso de Posso. Fgura Nº 3 - Dstrbucó de Posso ara dsttos valores del arámetro Eemlo E certa regó se sabe ue e u determado mes del año ocurre, e romedo, 3 tormetas cuya rectacó suera los 50 mm. Determe la robabldad de ue e u determado mes e esta zoa ocurra meos de 5 tormetas de este to. Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL 5 Pág.
16 3 P( 5) e 3! Modelo Hergeométrco Este modelo surge cuado se realza u muestreo s reoscó de ua oblacó fta y co sus elemetos clasfcados e dos categorías. S N es el total de elemetos de los cuales hay k de ua categoría y N-k de otra, al realzar ua etraccó de elemetos, s reoscó, cada etraccó ue se realce osterormete es deedete del resultado de la etraccó ateror co lo cual va cambado la robabldad de éto. Para dervar la fucó corresodete a la varable aleatora : úmero de étos o elemetos erteecetes a la categoría ue se estuda, e ua etraccó, se deberá cosderar todas las maeras osbles o combacoes, de etraer elemetos de la categoría deseada, de los etraídos y los restates ue erteezca a la otra categoría. El total de casos se obtee de las combacoes del total N etraídos de a. Luego la fucó de robabldad ara este modelo es: k N - k P (X ) f() - N (5) Característcas Para obteer las característcas es osble decr ue la varable aleatora X es la suma de varables como e el caso Bomal, ero co la dfereca ue auí las so deedetes. Como ara sumar las eserazas o se ecesta ue las varables aleatoras sea deedetes es osble obteer la eseraza de la sguete forma: E(X) E( )+ E( )+...+E( ) dode e cada E( ) la robabldad de e la ésma rueba es k/n, s o se sabe ue ha ocurrdo e ruebas aterores o osterores, luego: Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL 6 Pág.
17 k N E(X) (6) La varaza: N - Var(X) * * * (7) N - N - sedo el factor de correccó or muestreo s reoscó y oblacó fta. N - Cuado 0. 05la dstrbucó Hergeométrca se aroma a la Bomal. N Fgura Nº 4 - Dstrbucó Hergeométrca ara dsttos valores de N, y K Eemlo U euo cluye cco geeros ambetales y ueve agrmesores. S se elge al azar cco rofesoales y se les asga u royecto, cuál es la robabldad de ue el euo del royecto cluya eactamete a dos geeros ambetales?. Solucó: X: "úmero de g. ambetales cludos e el royecto". P(Ig. Amb.) 5/4 P(Agrm.) 9/4 Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL 7 Pág.
18 P(X ) P(X ) 0,4 Igeerías Recursos Hídrcos-Ambetal-Agrmesura- FICH-UNL 8 Pág.
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1.3. Longitud de arco.
.. Logtud de arco. Defcó. Sea C ua curva suave defda paramétrcamete por la fucó vectoral f : R R / f () t = ( f() t, f() t,, f ( t) ) e el espaco R, co t [ a, b], que se recorre exactamete ua vez cuado
2.5. Área de una superficie.
.5. Área de ua superfce. Sea g ua fucó co prmeras dervadas parcales cotuas, tal que z g( x y), 0 e toda la regó D del plao xy. Sea S la parte de la gráfca de g cuya proyeccó e el plao xy es como se lustra
ANÁLISIS ESTADÍSTICO DEL CONTROL DE CALIDAD EN LAS EMPRESAS
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10 Un trabajador cobra por horas según el siguiente baremo:
Udad REPASO DE ESTADÍSTICA! 0 U trabajador cobra or horas segú el sguete baremo: Hora ormal (lues a veres):.000 tas. Hora etra (lues a veres): e.000 tas. Hora etra de semaa:.00 tas. Sabedo que etre semaa
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7. Muestreo con probabilidades desiguales.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA EMPRESA TEMA 5: ANÁLISIS CONJUNTO DE VARIABLES ALEATORIAS DISTRIBUCIÓN DE AGREGADOS 5..- Dstrbucoes -dmesoales. Aálss margal y codcoado 5..- Varables aleatoras depedetes. Propedades
2. Censura y truncamiento
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