A 100Hz Low-Pass 2 nd Order Sallen-and-Key Active Filter: A Design Proposal

Transcripción

1 A Hz Low-Pa nd Order Sallen-and-Key Active Filter: A Deign Propoal E. B. O. Roale and F. S. Ibarra Abtract Thi paper preent a deign methodology for developing a Butterworth type Hz low-pa econd order Sallen-and-Key active filter. The propoed deign method i intended to deign filtering ytem baed on commercial component. Since thee component have tolerance, a relative enitivity analyi i included in order to atify deign pecification. Experimental reult how a maximum relative error, ε r.%, at the cut-off frequency; the Op-Amp UA74 i ued. Keyword Active filter, Butterworth approach, frequency domain, electric characterization, teaching. I. INTRODUCCIÓN N FILTRO eléctrico e un circuito cuya función e Umodificar el epectro de frecuencia de una eñal de entrada conforme a determinada epecificacione. Un filtro paa baja e un circuito cuya función e rechazar aquella frecuencia mayore a una frecuencia definida, llamada frecuencia de corte. A diferencia de lo filtro contruido olo con componente paivo, lo filtro activo han mejorado la función de filtrado al proporcionar ganancia y mejorar la repueta en el dominio de la frecuencia, ademá de incrementar la caracterítica de etabilidad y acoplamiento. El circuito motrado en la Fig. a, e la topología báica Sallen-and-Key de egundo orden cuya repueta e del tipo paa baja []-[3]. En 955, R. P. Sallen y E. L. Key decribieron eto filtro, y por ea razón on generalmente conocido como filtro Sallen-and-Key. En el circuito motrado en la Fig. b, el bloque de ganancia k (motrado en la Fig. a ha ido utituido por una etapa de amplificación no inverora. La operación del filtro e puede decribir cualitativamente en tre rango definido de frecuencia: baja frecuencia, donde la reactancia capacitiva on muy alta, e decir C y C e deempeñan como circuito abierto y la eñal implemente e amplificada; para alta frecuencia, la reactancia debida a C y C on muy baja, conecuentemente eto elemento derivan la eñal de entrada a tierra (uele decire que la eñal e atenuada; 3 en frecuencia alrededor de la frecuencia de corte, donde la impedancia debido a C y C etá en el mimo orden que R y R, la atenuación de la eñal e de -3dB [3]. E. B. Ortega Roale, Centro de Invetigacione y Etudio Avanzado (CINVESTAV Unidad-Guadalajara, Zapopan, Jal., México, eortega@gdl.cinvetav.mx. F. Sandoval Ibarra, Centro de Invetigacione y Etudio Avanzado (CINVESTAV Unidad-Guadalajara, Zapopan, Jal., México, andoval@gdl.cinvetav.mx. El propóito de ete artículo e motrar un método que irva de guía para el dieño y contrucción de filtro electrónico analógico de egundo orden baado en la topología Sallen-and-Key, utilizando valore de reitore y capacitore comerciale, in menocabo de la exactitud en la repueta del filtro. El método etá baado en la búqueda de lo valore reitivo que má e acercan al valor ideal, en función de lo valore capacitivo. El artículo etá organizado de la iguiente manera: en la ección II e muetra un análii de la topología Sallen-and- Key, y en la ección III e muetran la implicacione al intetizarla con componente comerciale. Para ilutrar la metodología de dieño propueta, en la ección IV e dieña un filtro paa baja con frecuencia de corte f Hz. En la ección V e muetran reultado de la imulación y e analiza la repueta en el dominio de la frecuencia, la cual e contruye a partir de la medicione obtenida. En la ección VI e preenta el análii de enibilidad del filtro ante variacione de lo elemento paivo. La concluione del método de dieño propueto e preentan en la ección VII. II. ANÁLISIS DE LA ARUITECTURA SALLEN-AND-KEY La función de tranferencia H( en el dominio de Laplace, para el circuito motrado en la Fig. b, etá dada por []-[]: H( k + + donde e la frecuencia (angular de corte: CC RR ( y C R + + ( k CR C R (3 con e el factor de calidad del filtro. Aplicando el cambio de variable j e obtiene: H ( H ( j k j + j + o equivalentemente H( j k + j + ( (4 (5

2 Nótee que, cuando <<, (5 e reduce a k y el circuito deja paar la eñale, la cuale on amplificada por el factor k. Cuando, (5 e reduce a j k. Luego, cuando >>, (5 e reduce a j k ( /, y la eñale on atenuada por el cuadrado de la relación de frecuencia, donde a mayor frecuencia de operación, mayor erá la atenuación. Finalmente, a la alta frecuencia de operación, la atenuación incrementa debido al cuadrado de la relación /, por lo que ( decribe un filtro paa baja de egundo orden. Ahora bien, i lo valore de lo reitore y capacitore e eligen de forma tal que, entonce la repueta e del tipo Butterworth con factor de calidad.77 y ganancia k v i R R C a C k v o v i R R C b C 74 +5V R 3 R 4 Fig. Topología báica del filtro paa baja Sallen-and-Key (a, dieño con un amplificador operacional UA74 (b. III. SIMPLIFICACIONES Para encontrar lo valore óptimo del filtro tipo Sallenand-Key, con frecuencia de corte en Hz, primero e aborda el cálculo de k, el cual repreenta la ganancia de la etapa de amplificación. A muy baja frecuencia la ganancia etá dada por []: k 4 + (6 R3 R Si e eligen R 3 kω y R 4 33 kω, entonce k.33 y la repueta e cuai-butterworth []. Para el cálculo de lo valore capacitivo (C, y C y reitivo (R y R e abordan tre diferente implificacione [3]. A. Relacione de componente paivo. Si e atiface que R mr, R R, C C y C nc, de ( reulta que (7 RC n( + m + m( k Obérvee que la variable y etán correlacionada a travé de m y n, lo que no debe orprender pue tal correlación e tenía en ( y (3. Ahora bien, el dieño inicia etableciendo el valor de pero en bae a lo valore de m, n y k, con lo cual e puede eleccionar C y poteriormente calcular R en función del valor de. Nótee ademá que v o -5V (8 k m + + (9 donde la correlación entre m y n e evidente. B. Relación de componente paivo con k. Si R mr, R R, C C, C nc, y k, entonce, de ( e obtiene ( RC nm ( + ( El que k ea igual a ignifica que la repueta del filtro e aleja de la debida a la aproximación Butterworth, in embargo lo polo del itema iguen iendo complejo conjugado. Nuevamente e oberva en ( y ( que hay una correlación entre y. El dieño, en eta condición, inicia al elegir valore para m y n que cumplan el valor deeado de, y luego eleccionar C y poteriormente R. TABLA I VALORES RESISTIVOS CALCULADOS PARA UNA FRECUENCIA DE CORTE DE HZ, DEPENDIENDO DEL CAPACITOR SELECCIONADO Y SUS ERRORES RELATIVOS ASOCIADOS Valor comercial diponible C (µf R ideal (Ω Valor inmediato inferior de R (kω ε rel- (% Valor inmediato uperior de R (kω ε rel+ (% % 8 3.% % 3.% % 8 3.4% % % % % % % % 33 6.% % % % 8 3.% % 3.% % 8 3.4% % % % % % % % % % 33 6.% % % % 8 3.% % % % % % % % % % % %.8 3.% C. Relación de reitore, etableciendo capacitore iguale Si R mr, R R, y C C C, de ( reulta ( RC m

3 m + m( k (3 La razón para eleccionar lo capacitore de igual valor e que exite una gama muy limitada de valore para lo capacitore en comparación con lo valore reitivo. Al elegir un valor para C e procede a calcular el de R para una frecuencia epecífica. D. Componente paivo de igual valor Si C C C y R R R, entonce de ( /CR (4 /(3 k (5 Bajo eta condicione, nótee que y on variable de dieño independiente una de otra, y el dieño e implifica. Un inconveniente (menor que reulta e que k influye de manera importante en el valor de. Nótee que valore de k cercano a 3 reultan en una muy enible a variacione en lo valore de R 3 y R 4. Por ejemplo, al eleccionar k.9 reulta en una nominal de, y para valore que atifacen k 3 cauan inetabilidad en el filtro. IV. EJEMPLO DE APLICACIÓN En la Tabla I, la primera colua muetra lo diferente valore comerciale diponible de lo capacitore, la egunda colua muetra lo valore de R ideale calculado para una frecuencia de corte de Hz utilizando (4. En la colua 3 e muetran lo valore comerciale de R inferiore má próximo al valor ideal calculado, la colua 4 muetra el error relativo aociado al valor comercial inferior diponible. De manera análoga, la colua 5 muetra lo valore uperiore comercialmente diponible má próximo a lo idealmente calculado y, finalmente, en la colua 6 e muetran lo errore relativo correpondiente a lo valore comercialmente diponible uperiore a lo calculado. En la Fig. e muetran lo errore aboluto aociado a lo pare (capacitor-reitor que on uceptible a er eleccionado. Se oberva que al elegir lo valore de R y C, el menor error poible e de.55%, a una frecuencia f.6hz con un error relativo, ε r.6%. comerciale para lo componente paivo con una tolerancia de 5%; el op-amp uado e el UA74 y fue polarizado con una fuente bipolar (±5V. Por otro lado, en la vecindade de la frecuencia de corte, la impedancia de C and C etá en el mimo orden que R y R, la realimentación poitiva por medio de C proporciona una mejora del factor de calidad,, como e muetra en la Fig. 4, donde e oberva la ganancia del filtro como una función de la frecuencia, para diferente valore de. También, e debe recordar que el incremento en el ancho de banda e inveramente proporcional a la ganancia del amplificador, e decir al incrementar la ganancia, el ancho de banda e reduce, de tal manera que el producto gananciaancho de banda permanece contante. 6.% 4.%.%.% 8.% 6.% 4.%.%.%.55%.55%.55%.uF-5kOhm.5uF-kOhm. uf-68kohm. uf-68kohm.47 uf-33kohm.5 uf-7kohm.56 uf-7kohm.68 uf-kohm. uf-5kohm.5 uf-kohm. uf-68kohm. uf-68kohm.33 uf-47kohm.47 uf-33kohm.5 uf-7kohm.56 uf-7kohm.68 uf-kohm. uf-5kohm. uf-6.8kohm. uf-6.8kohm.33 uf-4.7kohm.47 uf-3.3kohm.56 uf-.7kohm. uf-.5kohm Fig. Errore relativo en la elección de capacitore y reitore. Ganancia (db Medición Simulación Frecuencia (Hz Fig. 3 Repueta en frecuencia del filtro en medición y en imulación. V. ANÁLISIS Para analizar el deempeño del filtro e realiza una imulación SPICE, en la cual e han elegido lo valore R33kΩ y C.47μF; el netlit del circuito e el propueto en []. En la Fig. 3 e oberva la repueta en frecuencia del filtro. Se oberva que en la imulación, la frecuencia de corte e f S 9Hz, mientra que frecuencia de corte medida e f M 98Hz con un error relativo, ε rel %. La medicione e realizaron a temperatura ambiente con un ocilocopio Agilent (DSO-X 33A; ete equipo cuenta con un generador de eñale programable y permite la adecuación de la medicione de manera automática. Se utilizaron valore Fig. 4 Ganancia del filtro en función de la frecuencia y diferente valore de.

4 VI. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Cuando e requiere comparar lo efecto de diferente parámetro en un itema, e debe uar la función enibilidad-relativa. La enibilidad-relativa de una función a un parámetro α evaluada en el punto de operación etá dada por [], [3], [4]: F % de cambio en F F / F F α Sα (6 % de cambio en α α / α α F donde el ubíndice ignifica que toda la funcione y lo parámetro aumen lo valore nominale de operación. La funcione de enibilidad-relativa on ideale para comparar parámetro, porque on funcione adimenionale. Para determinar la enibilidad del filtro activo Sallen-and- Key ante variacione de, conidéree el circuito de la Fig. b. De (6, la función enibilidad e: H( ( H( S H( NOP (7 Reolviendo la derivada parcial y utituyendo ( en (7, como e muetra en el Apéndice A, e obtiene la función enibilidad H( S (8 + + La repueta en frecuencia e obtiene utituyendo σ+j, donde σ, y dividiendo por para normalizar la frecuencia: j H( S j (9 ( j + j + H( j S ( j + La magnitud de la función enibilidad e H( j S + ( La Fig. 5 muetra la magnitud de la enibilidad del filtro de la Fig. b a diferente frecuencia normalizada (/ a diferente valore de. Se ditinguen do ecenario: cuando, en ete cao, la razón de cambio del filtro Sallen-and- Key de la Fig. b e igual a la razón de cambio de, e decir la magnitud de la función enibilidad e para cualquier valor de ; en contraparte, cuando, la magnitud de la enibilidad iempre e menor a. Sin embargo, la magnitud de la enibilidad e mayor cuando.77 (repueta Butterworth que para, lo que implica que para una mayor, la repueta del filtro e acercará a la repueta ideal del filtro paa baja. Por otra parte, para determinar la enibilidad ante variacione de lo componente paivo R, R y C, C, e aume una tolerancia del 5%. De (6, la función enibilidad de R, etá dada por: R RC R SR ( R R R C SR (3 / RC RC Al tener C la mima tolerancia, u función enibilidad e obtiene inmediatamente: S R SC (4 Debido a que la variacione de lo parámetro no on correlacionada, la variación total de ante variacione de R y C etá dada por: S S + S (5 RC, R C Lo cual e un parámetro poco deeable porque indica que cambia con mayor rapidez que lo cambio en R y C a una razón de :. E decir, cambia hata % cuando lo componente tienen una variación de 5%. H ( S o Fig. 5 Magnitud de la función enibilidad del Sallen-and- Key de la Fig. b. VII. CONCLUSIONES Se ha preentado un método para dieñar un filtro activo paa baja del tipo Sallen-and-Key de egundo orden, válido para un amplio rango de frecuencia. En la dicuione y cálculo previo, e aume un comportamiento ideal en el amplificador operacional debido a la baja frecuencia de corte (f Hz. Sin embargo, eta upoición no e válida para

5 toda la frecuencia. A alta frecuencia e debe coniderar que la impedancia de alida del amplificador, ya no e puramente reitiva, la reactancia paráita (capacitiva e inductiva en la alida del amplificador juegan un papel importante. Eta impedancia, incrementa a razón de db/dec en frecuencia arriba de MHz, y la función de tranferencia tranita a un filtro paa-alta de egundo orden. Por otro lado, del análii de enibilidad e puede concluir que lo errore debido a la variacione en lo componente e eperan variacione en la medicione menore o iguale al %, objetivo que e cumple. Finalmente, un punto de comparación para la enibilidad e el valor en la magnitud. La magnitude de enibilidade menore que indican que el deempeño del parámetro varía má lento que el itema mimo, lo cual e generalmente una buena ituación. Por lo contrario, la magnitude de enibilidade mayore que, indican que el parámetro cambia má rápido que el itema, lo cual e generalmente una ituación no deeada. Para la mayoría de la etructura de filtro útile, e epera que la enibilidade ean menore en magnitud que. APÉNDICE A Haciendo el cambio de variable u y v + / + (A Entonce, ( u ( v, y (A [3] Analyi of the Sallen-Key Arquitecture: Application Report, Texa Intrument, September [4] Karnava, W.J.; Sanchez, P.J.; Bahill, A.T., "Senitivity analye of continuou and dicrete ytem in the time and frequency domain," Sytem, Man and Cybernetic, IEEE Tranaction on, vol.3, no., pp.488-5, Mar/Apr 993 Edgardo Ortega received the B.S. and M.S. degree in electronic engineering from Univerity of Guadalajara, México, in 997 and 4, repectively. He i currently working toward the Ph.D. degree in the Centre of Reearch and Advanced Studie (CINVESTAV, Guadalajara, México. He wa a pecial tudent in 998 at Gettyburg College while working a an aitant profeor in Gettyburg, Pa, USA. He worked in the Univerity of Guadalajara a a profeor between 999 and. Hi reearch interet are in the area of analog and RF circuit deign for integrated communication ytem. Federico Sandoval-Ibarra wa born in San Lui Potoí, México. He received the B.E. degree in phyic electronic from Univeridad Autónoma de San Lui Potoí (UASLP in 988, Mexico, and the D. Sc. Degree in electronic from Intituto Nacionl de Atrofíica, Optica y Electrónica (INAOE, Puebla, México, en 998. From 99 to 996, he worked a a reearcher at the Microelectronic Laboratory at INAOE, where he developed wet-etching technique for deigning ilicon baed microenor. In 997, he wa at the Centro Nacional de Microelectrónica (CNM, Bellaterra, Spain, a a viiting reearcher being involved in the development of urface micromachining technique to deign a fully-integrated microphone. In 999, he joined the Cinvetav, Guadalajara Unit, Mexico. From to 6, he ha the coordinator of the Electronic Deign Group. Hi reearch area include ilicon-baed enor development, low-voltage low-power circuit deign, and mixed-mode circuit for both RFID application and multi-tandard communication. Por lo tanto, ( H ( H'( u uv vu v v (A3 Luego, utituyendo (A - (A en (A3 H'( K S Finalmente, utituyendo ( y (A4 en (7 H( 3 K + + K + + (A4 (A5 REFERENCIAS [] Wai-Kai Chen, Paive and Active Filter: Theory and Implementation, John Wiley & Son, USA, 986 [] F. Sandoval-Ibarra et al, Deign of nd order low-pa active filter by preerving the phyical meaning of deign variable, Revita Mexicana de Fíica, E 57 (, pp. -, México, June