UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA Nuevos algortmos y mejoras computaconales para problemas de flujos en redes Autor: Sedeño Noda, Antono A. Drector: Carlos González Martín Departamento de Estadístca, Investgacón Operatva y Cencas de la Computacón

2 A m Madre y a Carmen

3 Quero agradecer, en prmer lugar, al drector de esta memora, el doctor Carlos González, por haberme ntroducdo en este tema y por su apoyo constante en el proceso de creacón y de culmnacón de este trabajo. Tambén quero recordar los ánmos dados y las alegrías compartdas con los compañeros que han posbltado que la labor de esta memora haya resultado mucho más grata. Gracas a Mguel Ángel, Sergo, José Mguel, Marcos, Joaquín, Carmen Elvra y Davd. Quero dar las gracas a Carmen, por su compañía y alento en todo momento. Quero expresar m mayor agradecmento a m madre: ella es la razón de esta memora.

4 Índce Prólogo Capítulo. Problemas de Flujos en redes. Introduccón. Notacón y termnología 3. Representacones de una red 0.. Matrz de Incdenca Nodo-Arco.. Matrz de Adyacenca Nodo-Nodo..3 Lstas de Adyacenca 3. Problemas de flujos en redes y transformacones 3 3. Transformacones de la red Cambo de arcos no drgdos por arcos drgdos Elmnacón de cotas nferores dstntas de cero Inversón de arcos Elmnacón de las capacdades de los arcos Redes resduales 0 4. Complejdad computaconal 4. Dferentes meddas de la complejdad 4. Tamaño de un problema Complejdad del caso peor Notacón O grande Algortmos polnomales y exponencales Notacón Ω y Θ grande Recuento de operacones representatvas 8 5. Problema de flujo de coste mínmo Estructura básca y árboles generadores 3 5. Pseudo-códgo del Método Smplex para redes Obtencón de una estructura básca ncal Cálculo de los potencales de los nodos y los flujos de una 35 estructura básca 5.5 Determnacón del arco entrante Determnacón del arco salente Actualzacón de la estructura básca y de los potencales Termnacón del algortmo Complejdad del algortmo Problema de flujo máxmo 4 6. Algortmo de Ford y Fulerson Algortmo de camnos ncrementales mínmos Escalado en las capacdades y preflujo 5

5 Capítulo. Algortmos para el problema de flujo máxmo. Introduccón 59. Estudo algorítmco del problema de flujo máxmo: un análss 6 estadístco comparatvo. Descrpcón básca de los algortmos mplementados 63.. Estrategas para mejorar el comportamento en la práctca de los 67 algortmos.. Generadores de redes 68. El expermento 69.3 El dseño 70.4 Análss estadístco I 7.5 Análss estadístco II: Comparacón de medas 73.6 Análss estadístco de los algortmos ndvdualmente 78.7 Análss estadístco para las varables respuesta NSAT, SAT y 80 RET.8 Resumen de conclusones 8 3. Algortmo de dos fases escalado en las capacdades Explcacón del algortmo de dos fases escalado en las 85 capacdades 3. Un ejemplo Complejdad del algortmo de dos fases escalado en las 89 capacdades 3.4 Mejoras del algortmo en la práctca Resultados expermentales Algortmo de dos fases doblemente escalado en las 97 capacdades 4. Complejdad del algortmo de dos fases doblemente escalado en 00 las capacdades 4. Estudo computaconal 04 Capítulo 3. Problemas de bflujo máxmo. Introduccón 3. Prelmnares y formalzacón del problema 4 3. Formulacón equvalente del problema BFM 7 3. Cambo de varables alternatvo 3. Resolucón de Pa y Pb 4 4. Algortmo para obtener un bflujo máxmo 5 4. Un ejemplo 8 4. Complejdad del algortmo El problema de bflujo máxmo smétrco 3 6. Algortmo para obtener un bflujo máxmo smétrco Un ejemplo Complejdad del algortmo El problema de bflujo máxmo bobjetvo Resultados computaconales 43

6 Capítulo 4. Algortmos para el problema de flujo de coste mínmo bobjetvo. Introduccón 47. Prelmnares y formulacón del problema 49. Caracterzacón de solucones efcentes 5 3. Estudo para la dstanca lneal ponderada 5 3. Algortmo Un ejemplo Estudo para la dstanca del máxmo ponderada 6 4. Resolucón del problema P π 6 4. Algortmo para el problema P π Un ejemplo Algortmo para el problema FRB Complejdad teórca del algortmo Un ejemplo Resultados computaconales de los algortmos EEO y EEO Caso entero Obtencón de todas las solucones enteras que están sobre la 78 frontera efcente 6. Obtencón de los puntos enteros efcentes que no pertenecen a la 8 frontera efcente 6.3 Algortmo Complejdad teórca del algortmo Un ejemplo Resultados computaconales 94 Bblografía

7 Prólogo Desde una perspectva global, el concepto de red es de mportanca relevante en la concepcón y el desenvolvmento de multtud de aspectos vtales. La dea de red aparece en procesos naturales y trascende a fenómenos de índole organzatvo y económco, sustentando estructuras de relevanca decsva en las formas modernas de vvr. Es habtual que por las redes crculen flujos. Una red suele ser el soporte, físco o abstracto, por el que crcula uno o varos benes que, de forma general, son ofertados y demandados por algunos puntos localzados en la red. Las conexones en la msma, bajo factbldad del problema, aseguran la satsfaccón de los requermentos establecdos. El título flujos en redes consttuye un campo de trabajo centífco, nmerso en la Investgacón Operatva, que reúne a estudantes, practcantes e nvestgadores alrededor de una dscplna de contendo ntelectual con un amplo rango de aplcabldad. Como dscplna centífca aparece ntegrada en áreas como las Matemátcas Aplcadas, las Cencas de la Computacón, Ingenerías de las Comuncacones, Cencas de la Gestón, Cencas Económcas, Cencas Expermentales, etc.. La lteratura exstente recorre mles de aplcacones en campos como Químca, Físca, redes de computadores, Economía y Cencas de la Gestón, Ingenerías de Telecomuncacones y muchas otras ramas de la ngenerías, polítca y sstemas socales, planfcacón, sandad, etc. Los problemas de flujos en redes, a pesar de tener antecedentes hstórcos como el problema de los puentes de Köngsberg, tratado por Euler en el sglo XVIII, o problemas de flujos eléctrcos, analzados por Gustav Krchhoff en el sglo XIX,

8 son estudados como tales a partr de la década de los años cncuenta en el marco de la Investgacón Operatva. En conexón con el desarrollo de esta rama del saber, usando descubrmentos y avances propos del contexto donde aparecen y, sobre todo, en sntonía con los adelantos en la construccón y desarrollo de nuevos computadores electróncos, se ha ntensfcado de manera crecente el estudo de problemas de análss de redes, aportándose algortmos cada vez más efcentes desde el punto de vsta práctco y computaconal. Este estudo abre, de manera contnuada, nuevas perspectvas para el tratamento y resolucón de problemas más complejos. En este trabajo presentamos nuevos algortmos para algunos problemas de flujos en redes, hacendo énfass en los aspectos algorítmcos y proponendo mejoras computaconales, estos últmos en sus vertentes teórcas y práctcas. En el capítulo, comenzamos con una ntroduccón que muestra la mportanca de los problemas de flujos en redes. En este capítulo, ntroducmos los conceptos de grafos y redes necesaros para el desarrollo de la memora. A contnuacón, ntroducmos las dferentes meddas para estmar el comportamento computaconal teórco de un algortmo (cabe destacar entre ellas la notacón O grande y para estmar el comportamento práctco del msmo, como son el recuento de las operacones representatvas de un algortmo que permten estmar el denomnado tempo de CPU vrtual asocado. Segudamente, ntroducmos y formalzamos dos problemas esencales de optmzacón en redes: el problema de flujo de coste mínmo y el problema de flujo máxmo. Para el prmero descrbmos en detalle el Método Smplex para Redes, el cual será utlzado en el capítulo 4 de esta memora. Para el segundo, descrbmos los algortmos genércos que srven de base a los dstntos tpos de algortmos que se ntroducrán en los capítulos y 3. En el capítulo, centramos el estudo en el problema de flujo máxmo. La prmera parte de este capítulo está dedcada a estudar el comportamento práctco de un numeroso grupo de algortmos. Para ello, llevamos a cabo un análss estadístco comparatvo que nos permtrá responder a una sere de preguntas prevas al dseño del expermento. Este estudo es concluyente con respecto a los parámetros que nfluyen en el comportamento ndvdual de un

9 algortmo, pero además, permte obtener conclusones del comportamento de grupos de algortmos que tenen o usan herramentas comunes. Mucho de lo aprenddo en el anteror estudo, nos permte, a contnuacón, ntroducr un nuevo algortmo para el problema cuya complejdad del caso peor, para redes de capacdades pequeñas, es seguramente la de menor cota. Fnalmente, en este capítulo generalzamos el anteror algortmo y realzamos un estudo computaconal del msmo obtenendo el tempo de CPU vrtual, o lo que es lo msmo, la funcón de complejdad en la práctca. En el capítulo 3 nos dedcamos al problema de bflujo máxmo. Este problema consttuye para nosotros un prmer acercamento a los problemas de flujos múltples. La resolucón de este problema en su caso no drgdo es consecuenca del teorema de bflujo-máxmo corte-mínmo. En la lteratura dsponble, las demostracones de este teorema no son nada claras ya que la mayoría utlzan resultados no específcos de la optmzacón en redes. Por el contraro, en este capítulo demostramos de manera alternatva este teorema, utlzando la nomenclatura y herramentas propas de los problemas de flujos en redes. Esta demostracón permte, de manera drecta, obtener un algortmo actualzado que resulta efcente desde un punto de vsta computaconal. En adcón, el esfuerzo realzado en el anteror problema nos permte estudar y resolver el problema de bflujo máxmo smétrco. Fnalmente, en este capítulo caracterzamos las solucones del problema de bflujo máxmo bobjetvo, el cual es una generalzacón natural del problema de bflujo máxmo. Mostramos que las solucones efcentes de este últmo problema conssten en las solucones alternatvas óptmas del problema de bflujo máxmo. En el capítulo 4 nos ntroducmos en el campo de la optmzacón multobjetvo, consderando el problema de flujo de coste mínmo bobjetvo. Para este problema dstngumos los casos en las que las varables de flujos no están restrngdas a tomar valores enteros y en los que s lo están. Para el prmer caso proponemos dos algortmos dstntos que usan métrcas dferentes para caracterzar el conjunto efcente en el espaco objetvo. Según la nformacón dsponble, uno de ellos resulta ser, en la práctca, el más rápdo de los algortmos referencados en la lteratura exstente, al aprovechar la menor dmensón del espaco objetvo

10 frente a la dmensón del espaco de decsones. Realzamos un estudo computaconal que pone de manfesto lo comentado. Fnalmente, damos un algortmo para el caso entero. Este procedmento es uno de los pocos métodos exstentes (s no es el únco para resolver globalmente el problema. En base a este nuevo algortmo, realzamos un expermento computaconal en el que se observa que el número de solucones efcentes que no están sobre la frontera efcente es muy superor al conjunto de estas que pertenecen a dcha frontera. El trabajo se completa con una bblografía que referenca los trabajos que han servdo de base para confecconar la presente memora.

11 Capítulo Problemas de Flujos en Redes

12 . Introduccón El concepto de grafo resulta de la abstraccón de stuacones reales en las que aparecen certos lugares o puntos con conexones entre ellos. Por tanto, un grafo queda defndo por un conjunto de vértces o nodos y un conjunto de pares de esos vértces. Cuando los elementos de un grafo tenen asocados valores numércos o magntudes (pesos, dstancas, costos, capacdades, dsponbldades, ofertas, demandas, etc., aparece el concepto de red. Ejemplos reales de redes resultan cotdanos y son de una mportanca captal en el mundo actual: redes de comuncacones de todo tpo (terrestres, aéreas, telefóncas,..., de dstrbucón de benes (eléctrcas, de aguas, de gas,..., de organzacón y gestón (servcos, sandad, segurdad,..., etc.. Exsten muchas redes por las que crcula algún tpo de flujo y, por ello, muchos de los problemas de optmzacón nherentes son problemas de flujos en redes. Dado que esta memora está dedcada al estudo de problemas de flujos en redes, en el presente capítulo haremos una ntroduccón y un estudo básco de dchos problemas. En prncpo, nos centraremos en uno de los casos más generales conocdo como problema de flujo de coste mínmo y en el caso partcular del anteror denomnado problema de flujo máxmo. El problema de flujo de coste mínmo fue ntroducdo a prncpos de la década entre 950 y 960. En 957, Ford y Fulerson [9], desarrollan un algortmo prmal-dual para el problema de transporte capactado y más tarde, en 96, generalzan estas deas para resolver el problema de flujo de coste mínmo. Jewell [46], Ir [44] y Busaer y Gowen [5] desarrollan, ndependentemente, el algortmo de camnos mínmos sucesvos. Estos nvestgadores resuelven el problema de flujo de coste mínmo utlzando una secuenca de camnos mínmos con longtudes arbtraras en los arcos. Aproxmadamente, al msmo tempo y de forma ndependentemente, Mnty [58] y Fulerson [30] desarrollan el algortmo Out-of-Klter. Un poco más tarde, Klen [50] ntroduce el algortmo de cancelacón de cclos. Por otra parte,

13 Capítulo Bertseas y Tseng [] desarrollan en 988 el algortmo de relajacón, el cual es, junto con el Método Smplex para redes, uno de los algortmos más rápdos en la práctca para resolver el problema de flujo de coste mínmo. En 95, Dantzg [3] desarrolla el Método Smplex para redes para el problema de transporte sn capacdades medante una especalzacón de su Método Smplex. La forma actual del Método Smplex para redes es debda a las contrbucones de numerosos autores. Entre estos podemos destacar los trabajos de Johnson [48], Bazaraa, Jarvs y Sheral [0], Glover, Karney y Klngman [36], Mulvey [59], Bradley, Brown y Graves [3], Grgorads [4] y Chang y Chen [7]. En este capítulo descrbremos en detalle el Método Smplex para redes, debdo a que lo usamos como herramenta para los algortmos desarrollados en el capítulo 4. Hemos elegdo el Método Smplex para redes por dos razones. La prmera es que éste resuelve cualquer problema de flujos mentras que, por ejemplo, el método Out-of-Klter resuelve úncamente el problema de crculacón. La segunda razón es que estudos computaconales muestran que el Método Smplex para redes es substancalmente más rápdo que los métodos Prmal-Dual y Out-of-Klter (ver Glover et al. [36]. Por su parte, el problema de flujo máxmo es uno de los problemas de optmzacón en redes más extensamente estudado y tene numerosas aplcacones (ver, por ejemplo, Ahuja, Magnant y Orln [3]. Este problema fue ntroducdo por Fulerson y Dantzg en 955 y resuelto por vez prmera por Ford y Fulerson [8] con su conocdo algortmo de camnos ncrementales. Posterormente Dnc [5] en 970 ntroduce el concepto de redes de camnos mínmos, llamadas redes estratfcadas. En 97, Edmonds y Karp [6] sugeren dos mplementacones polnomales del algortmo de Ford y Fulerson. La prmera envía flujo a lo largo de camnos de mayor capacdad resdual, la segunda envía flujo a lo largo de camnos mínmos. Hasta este momento, todos los algortmos de flujo máxmo son algortmos de camnos ncrementales. En 974, Karzanov [49] ntroduce el concepto de preflujo que utlza sobre redes estratfcadas. A partr de entonces, numerosos autores han dseñado algortmos que, ncorporando nuevas e mportantes deas, Págna

14 Problemas de flujos en redes resuelven el problema ntentando mejorar la complejdad computaconal asocada. Los métodos más mportantes son debdos a Dnc [5], Edmonds y Karp [6], Karzanov [49], Malhotra, Kumar y Maheshwar [56], Gabow [3], Sleator y Tarjan [73], Goldberg[38], Goldberg y Tarjan[37], Cheryan y Maheshwar [9], Ahuja y Orln [], [5], [6] y Cheryan, Hagerup y Melhorn [8]. Entre los estudos globales de este problema podemos destacar los debdos a Ncoloso y Smeone [6], Fernandez-Baca y Martel [7] y el excelente texto de Ahuja, Magnant y Orln [4]. Exsten dversos estudos computaconales de los algortmos de flujo máxmo entre los que destacamos los debdos a Dergs y Meer [4] y a Ahuja et al. []. El trabajo que pretendemos desarrollar en este capítulo debe servr para sentar las bases del estudo de los problemas de flujos en redes. En la segunda seccón relaconaremos una sere de térmnos báscos sobre grafos y redes. En la tercera seccón abordaremos la notacón habtual de los problemas de flujos en redes, así como las transformacones posbles en dchas redes. En la cuarta seccón, daremos las nocones necesaras sobre las meddas utlzadas para estmar la bondad de un algortmo. En la qunta seccón, nos dedcamos al problema de flujo de coste mínmo, exponendo de manera exhaustva el Método Smplex para redes. Conclumos este capítulo con la sexta seccón, refréndonos al problema de flujo máxmo donde ntroducmos una sere de algortmos báscos necesaros para el desarrollo de esta memora.. Notacón y termnología En los grafos y las redes se dstnguen dos clases de elementos: los nodos, vértces o puntos y las conexones, ramas o unones. De las propedades o característcas asocadas a dchos elementos dervarán una sere de conceptos cuya relacón resumda aparece a contnuacón: Grafos drgdos: Dado un grafo G=(V,A, donde V es el conjunto de nodos, s los elementos de A son pares ordenados de nodos, dremos que G es un grafo drgdo y esos elementos serán Págna 3

15 Capítulo denomnados arcos. La Fgura. da un ejemplo de grafo drgdo. Para este grafo V={,,3,4,5,6} y A={(,, (,3, (,3, (,4, (3,6, (4,5, (4,6, (5,, (5,3, (5,6}. En general, denotaremos por n al número de nodos y por m al número de arcos de G Fgura.. Grafo drgdo Grafos no drgdos: Cuando en un grafo el conjunto de conexones está formado por pares no ordenados de nodos, tendremos un grafo no drgdo. Esos pares no ordenados se denomnarán arstas o arcos no drgdos del grafo (en este caso, las conexones de los grafos drgdos se entenderán que son arcos drgdos. La Fgura. da un ejemplo de grafo no drgdo Fgura.. Grafo no drgdo Por lo dcho anterormente, se entende fáclmente que, por extensón de las defncones ntroducdas, tene sentdo referrse a redes drgdas y no drgdas. En el resto de esta memora, asumremos que las redes ( en su caso, grafos que manejamos son drgdas, a no ser que explíctamente se ndque lo contraro. Cola y cabeza de un arco: Un arco drgdo (, tene dos puntos extremos, y j: será la cola del arco (, y j su cabeza. Dremos que el arco (, sale o emana del nodo y termna o llega en el nodo j. Tambén, dado (,, decmos que los nodos y j son adyacentes. Págna 4

16 Problemas de flujos en redes Grado de un nodo: el grado de entrada de un nodo,, concde con el número de arcos que llegan a este nodo y su grado de salda, + δ, concde con el número de arcos que salen de dcho nodo. El grado de un nodo, δ δ, concde con la suma del grado de entrada y de salda de dcho nodo. Por ejemplo, en la Fgura., para el nodo 5 se tene que δ 5 =, δ 5 = 3 y δ 4. Es fácl ver que la + 5 = suma de todos los grados de entrada de todos los nodos es gual a la suma de los grados de salda de todos los nodos y que ambas sumas concden con el número de arcos en la red. Lstas de Adyacenca: La lsta de arcos adyacentes de un nodo es el conjunto de arcos que salen de este nodo, es decr, A ( = {(, A : j V}. Dado cualquer nodo, defnmos su lsta de nodos predecesores y nodos sucesores medante los conjuntos Pr ed ( = { j V /( j, A} y Suc( = { j V /(, A}, respectvamente. Asumremos, sn pérdda de generaldad, que los arcos de la lsta de adyacenca A( de los arcos. Debemos notar que A( aparecen en orden crecente de los nodos cabeza A( y, por tanto, A( = m. + = δ Arcos múltples y lazos: Los arcos múltples son dos o más arcos con los msmos nodos colas y cabezas. Un lazo es un arco cuyo nodo cola concde con su nodo cabeza. Asumremos, salvo comentaro explícto, que los grafos que utlzamos no contenen n arcos múltples n lazos. Subgrafo: Un grafo G = ( V, A es un subgrafo de G=(V,A s V V y A A. Dremos que G = ( V, A es el subgrafo de G nducdo por V s A contene cada arco de A con ambos extremos en V. Un grafo G = ( V, A es un subgrafo generador de G=(V,A s V = V y A A. Cadena: Una cadena, en un grafo drgdo G=(V,A, es un subgrafo de G que consste de una secuenca de nodos y arcos, a,, a,..., r-, ar-, r satsfacendo que para todo decr, a = (, + A ó V a = ( +, A r y nnguno de los nodos aparece repetdo, es con r. La Fgura.3a lustra el concepto de + cadena en un grafo: Podemos dvdr los arcos de una cadena en dos grupos: arcos haca delante y arcos haca atrás. Un Págna 5

17 Capítulo arco (, de la cadena es haca delante s la cadena vsta al nodo prmero que al nodo j, y en otro caso, es un arco haca atrás. Por ejemplo, en la Fgura.3a, los arcos (, y (3,6 son haca delante y el arco (3, es haca atrás a b Fgura.3. Cadenas y camnos. Camno: Un camno es una versón orentada de una cadena en el sentdo que para cualquera dos nodos consecutvos y en el camno se tene que a + = (, + A. En otras palabras, un camno es una cadena sn arcos haca detrás. La Fgura.3b da un ejemplo de camno: ( Cclo: Un cclo es una cadena,,..., r-, r junto con el arco r, o,. Dcho de otro modo, un cclo es una cadena cerrada. La Fgura.4a lustra la dea de cclo: En un cclo tambén se puede hablar de arcos haca delante y arcos haca atrás, una vez defnda la orentacón del cclo. En la Fgura.4a, los arcos (3,5 y (7,3 son arcos haca atrás y el arco (7,5 es un arco haca delante. ( r Crcuto: un crcuto es un camno,,..., r-, r al que se añade el arco ( r,. Es decr, un crcuto es un camno cerrado. La.4b muestra el crcuto Grafo sn cclos y sn crcutos: Un grafo es acíclco s no contene cclos. Un grafo se dce sn crcutos s no contene crcutos. Un grafo acíclco es tambén sn crcutos pero no al revés. Págna 6

18 Problemas de flujos en redes a b Fgura.4. Cclos y crcutos. Conectvdad: Decmos que dos nodos y j están conectados s el grafo contene al menos una cadena desde el nodo al nodo j. Un grafo es conexo s todo par de nodos están conectados; en otro caso el grafo es no conexo. Llamaremos componentes conexas de un grafo no conexo a los subgrafos conexos de dcho grafo. Por ejemplo, el grafo mostrado en la Fgura.5a es conexo y el de la Fgura.5b es no conexo. Este últmo tene componentes conexas que conssten de los conjuntos de nodos {,,3} y{4} a b Fgura.5. Componentes conexas. Conectvdad fuerte: Un grafo conexo es fuertemente conexo s exste al menos un camno entre cualquer par de nodos del grafo. En la Fgura.5a la componente defnda por el conjunto de nodos {,,3} es fuertemente conexa, sn embargo el grafo no es fuertemente conexo debdo a que no contene camnos desde el nodo 4 al resto de los nodos. Corte: Un corte es una partcón del conjunto de nodos V en dos subconjuntos S y S = V S. Cada corte defne un conjunto de arcos con un extremo en S y otro extremo en S. Así, nos referremos a este conjunto de arcos como un corte y lo representaremos medante la notacón [ S, S]. La Fgura.6 lustra Págna 7

19 Capítulo un corte con S={,,3} y S ={4,5,6}. El conjunto de arcos del corte es [ S, S] ={(3,4,(3,5,(4,,(5,} Fgura.6. Corte. s-t corte: Un s-t corte se defne con respecto a dos nodos dstngudos s y t, y es un corte [ S, S] satsfacendo que s S y t S. Para el ejemplo anteror, s s= y t=6, el corte representado en la Fgura.6 es un s-t corte. Árbol: un árbol es un grafo conexo que no contene cclos. El concepto de árbol aparece en una gran varedad de algortmos de flujos en redes. Asumremos, las sguentes propedades elementales de los árboles: a Un árbol de n nodos contene exactamente n- arcos. b Un árbol tene al menos dos nodos hoja (nodos con grado c Cada dos nodos de un árbol están conectados por una únca cadena o camno. En la Fgura.7 se dan ejemplos de árboles. Bosque: Un grafo que no contene cclos es un bosque. Dcho de otra manera, un bosque es una coleccón de árboles. El grafo representado por los dos subgrafos de la Fgura.7 es un bosque. Subárbol: Un subgrafo conexo de un árbol es un subárbol. Árbol enrazado: Un árbol enrazado es un árbol con un nodo especal llamado raíz. Es lustratvo pensar en un árbol enrazado como uno que cuelga del nodo raíz. La Fgura.8 muestra un ejemplo de árbol enrazado, la raíz es el nodo. Págna 8

20 Problemas de flujos en redes Fgura.7. Árboles. En un árbol enrazado se suelen defnr relacones de precedenca. Por ejemplo, en la Fgura.8, el nodo 4 es el predecesor de los nodos 5 y 6, y el nodo es el predecesor de los nodos y 4. Cada nodo, excepto el nodo raíz, tene un únco predecesor. Utlzaremos para almacenar el predecesor de un nodo un índce de predecesor Pred(. S j= Pred(, dremos que el nodo j es el predecesor del nodo y este es un sucesor del nodo j Fgura.8. Árbol enrazado. Árbol drgdo salente: un árbol es un árbol drgdo salente enrazado en un nodo s s, medante un camno, se alcanza a todo nodo del árbol desde la raíz s. Árbol drgdo entrante: un árbol es un árbol drgdo entrante enrazado en un nodo s s a través de un camno se alcanza a s desde cualquer nodo del árbol. Árbol generador: un árbol T es un árbol generador del grafo G s, además, T es un subgrafo generador de G. Todo árbol generador de un grafo conexo G de n nodos tene (n- arcos. Págna 9

21 Capítulo Cclos fundamentales: Sea T un árbol generador del grafo G. La adcón a T de cualquer arco de G que no está en T crea, exactamente, un cclo. Denomnaremos a tal cclo, cclo fundamental de G con respecto al árbol T. Dado un grafo de m arcos y n nodos y un árbol generador T, se tenen m-n+ cclos fundamentales. Cortes fundamentales: Sea T un árbol generador del grafo G. S qutamos cualquer arco de T producmos un grafo no conexo formado por dos subárboles. Aquellos arcos cuyos extremos pertenecen a dferentes subárboles consttuyen un corte. Denomnaremos a tal corte, corte fundamental. Dado un árbol generador T, hay n- cortes fundamentales. Recorrdo en ampltud de un grafo (BFS: Dado un grafo G, esta operacón parte de un nodo, y vsta a todos sus vecnos contendos en la lsta de adyacenca Suc( almacenándolos en una cola. Posterormente toma como nuevo el prmer elemento de la cola y realza la msma operacón, hasta que todos los nodos del grafo resultan vstados o hasta que no se pueden vstar más. En el caso de utlzar la lsta de adyacenca Pred(, hablamos de BFS nverso. Recorrdo en profunddad de un grafo (DFS: Dado un grafo G, esta operacón parte de un nodo, y vsta a uno de sus vecnos j contendo en la lsta de adyacenca Suc(. Posterormente, se hace =j y realza la msma operacón. S un nodo no tene vecnos o s los tene pero han sdo vstados, el nodo vuelve a ser el vecno desde el que se alcanzó al propo y se sgue recorrendo su lsta de adyacenca en busca de un nodo no vstado. En el caso de utlzar la lsta de adyacenca Pred(, hablamos de DFS nverso.. Representacones de una red En general, la efcaca de los procedmentos desarrollados para resolver problemas sobre redes depende de la representacón computaconal de estas. Una representacón adecuada de la red mejora a menudo el tempo de ejecucón de un algortmo. En este Págna 0

22 Problemas de flujos en redes apartado veremos algunas maneras de representar una red. En dcha representacón se necestan almacenar dos tpos de nformacón: ( la topología de la red, es decr, la estructura de los nodos y arcos; y ( datos tales como costes, capacdades y ofertas/demandas asocados con los arcos y nodos de la red. Usualmente el esquema utlzado para representar la topología de la red sugere formas naturales para almacenar la nformacón asocada a los nodos y los arcos... Matrz de Incdenca Nodo-Arco La matrz de ncdenca Nodo-Arco almacena la red medante una matrz N de dmensón nxm, la cual contene una fla por cada nodo y una columna por cada arco. La columna correspondente al arco (, tene úncamente dos elementos dstntos de cero: tene un + en la fla correspondente al nodo y un en la fla correspondente al nodo j. De esta manera, la matrz de ncdenca N se defne de la manera sguente: N + = 0 S V es el nodo cola del arco S V es el nodo cabeza del arco a en otro caso a A A Se observa que de las nm entradas de la matrz, úncamente m de ellas son dstntas de cero. Debdo a esto, la representacón de la matrz de ncdenca es nefcente. Sn embargo, está representacón es mportante ya que contene la matrz de restrccones del problema fundamental de flujos en redes y porque se dervan varas propedades teórcas nteresantes... Matrz de Adyacenca Nodo-Nodo La matrz de adyacenca Nodo-Nodo almacena la red medante una matrz M de dmensón nxn que tene una fla y una columna para cada nodo. Cada elemento M es gual a s (, A, e gual a cero en otro caso, es decr: M s (, A = 0 en otro caso Págna

23 Capítulo S deseamos almacenar los costes y capacdades de los arcos, además de la topología de la red, podemos almacenar esta nformacón en dos matrces adconales de dmensón nxn. La matrz de adyacenca tene elementos, de los cuales úncamente m son dstntos de cero. Esta representacón es efcente en espaco sólo s la red es lo sufcentemente densa. Por otro lado, la smplcdad de esta representacón permte mplementar fáclmente determnados algortmos de resolucón de problemas sobre redes. n..3 Lstas de Adyacenca Esta representacón almacena la lsta de adyacenca de cada nodo medante una lsta enlazada. Una lsta enlazada es una coleccón de celdas, cada una contenendo uno o más campos. La lsta de adyacenca del nodo será una lsta enlazada contenendo + δ celdas, donde cada celda corresponde a un arco correspondente al arco (, A. La celda (, A tendrá tantos campos como cantdad de nformacón deseemos almacenar. Uno de los campos a almacenar es el nodo j. Otros dos campos podrían ser usados para almacenar el coste y la capacdad del arco. Cada celda contene un campo adconal, llamado enlace, el cual almacena la poscón de memora (puntero de la sguente celda en la lsta de adyacenca de este nodo. En el caso de que el sguente elemento de la lsta de adyacenca sea el vacío, el puntero contendrá el valor nulo. Esta representacón comprende n lstas enlazadas, una por cada nodo. De esta manera, necestamos un vector de punteros que enlacen con la prmera celda de cada lsta. La Fgura.9 lustra un ejemplo de esta representacón. j coste capacdad nulo nulo 3 nulo Fgura.9. Lsta de Adyacenca. Págna

24 Problemas de flujos en redes En muchos problemas de flujos en redes, cuando actualzamos alguna nformacón acerca de un arco (, tambén es necesaro actualzar la nformacón sobre el arco ( j,. Para realzar estas operacones efcentemente debemos conocer, sobre la lsta de adyacenca, dónde se encuentra el arco nverso ( j, de cada arco (,. Para ello, se defne un campo adconal nverso, que contene la poscón de memora que almacena la nformacón del arco nverso. Así, el nverso del arco (, apunta a la celda del a rco ( j, y al revés. 3. Problemas de flujos en redes y transformacones Consderemos una red drgda G=(V,A. Un flujo en G es un vector de varables x = { x } con un arco. Supongamos que cada arco coste c de m componentes, cada una asocada (, A tene asocado un que denota el coste por undad de flujo sobre el arco. Asumremos que el coste del flujo varía lnealmente con la cantdad de flujo. Asocaremos con cada arco (, A una capacdad que denota la máxma cantdad de flujo que puede soportar dcho arco y una cota nferor l debe pasar por el arco. Con cada nodo que denota la mínma cantdad de flujo que u V asocaremos un valor entero b que representa la dsponbldad de dcho nodo. S b >0, el nodo es un nodo oferta, s b <0, el nodo es un nodo demanda y s =0, el nodo es un nodo trasbordo. Las varables de decsón del problema son los flujos x b sobre cada arco flujo de coste mínmo tene la sguente formulacón: mnmzar Sujeto a x c x (, A x j j Suc ( j Pr ed ( = b, V (, A. El problema de (.a (.b l x u, (, A (.c Págna 3

25 Capítulo donde n b = 0. Llamaremos a (.b restrccones de conservacón de = flujo y a (.c restrccones de acotacón. Para garantzar optmaldad fnta, se asume que s entonces debe satsfacer: {,,..., (, } ( c... + c 0 ó, +, mn { u,..., u }, es un cclo en G,, < S no se cumple n n, a la vez, entonces, el planteamento del problema haría que, repetdamente, crcule flujo a lo largo de este cclo nfntas veces y, por tanto, se produzca la no acotacón del msmo. Del modelo de Flujo de Coste Mínmo dervan problemas mportantes de Análss de Redes como son el Problema de Flujo Máxmo, el problema de Transporte, el Problema de Asgnacón, el Problema de Camno Mínmo,... Tambén, la generalzacón o la amplacón de los térmnos que defnen el anteror problema posbltan la ntroduccón de problemas con flujos múltples, problemas de flujos multcrtero, problemas de flujos convexos, problemas de redes generalzadas, etc.. En la formulacón de los problemas de flujos en redes, podemos adoptar uno de dos modelos equvalentes: podemos defnr flujos sobre los arcos o flujos sobre camnos y cclos. Por ejemplo, la formulacón arco-flujo mostrada en la Fgura.0a envía 7 undades de flujo desde el nodo al nodo 6. En la Fgura.0b se muestra la equvalenca entre la formulacón camno-flujo y la de arco-flujo. En esta formulacón, se envían 4 undades de flujo a lo largo del camno --4-6, 3 undades de flujo a lo largo del camno y undades de flujo a lo largo del cclo Págna 4

26 Problemas de flujos en redes x j 4u u u a b Fgura.0. Formulacón arco-flujo vs. Camno-flujo Para establecer formalmente la equvalenca entre las dos maneras de expresar los flujos en una red, cambaremos la restrccón (.b por la sguente: x x j j Suc ( j Pr ed ( = b(, V (.b' n donde b ( = 0. Llamamos b ( al balance del nodo. El térmno = b ( representa la dferenca entre el flujo entrante y salente del nodo. S b (>0, decmos que el nodo es un nodo de exceso; s b (<0, decmos que el nodo es un nodo de défct y s b (=0, es un nodo balanceado. flujos En la formulacón arco-flujo, las varables de decsón son los x sobre los arcos (, A. La formulacón de camnos y cclos de flujo empeza numerando todos los camnos p entre cualquer par de nodos y todos los crcutos w de la red. Denotamos por P la coleccón de todos los camnos y por W la coleccón de todos los crcutos. Las varables de decsón, en la formulacón camno-flujo, son f( p (el flujo sobre el camno p y f(w (el flujo sobre el crcuto w. Defnmos esas varables para todo camno w W. p P y todo crcuto Debemos notar que los conjuntos de camnos y crcutos de flujo determnan flujos sobre arcos: el flujo es gual a la suma de los flujos f( p x sobre el arco (, A y f(w de todos los camnos p y Págna 5

27 Capítulo crcutos w que contenen a este arco. Para lustrar esta dea es necesaro ntroducr una notacón adconal: δ ( p es gual a s el arco (, manera smlar, esta contendo en el camno p e gual a 0 en otro caso. De δ ( w es gual a s el arco (, esta contendo en el cclo w e gual a 0 en otro caso. Entonces, p P x = δ ( p f( p + δ ( w f( w w W De esta forma, cada flujo sobre camnos y crcutos determna unívocamente flujos sobre arcos. Una pregunta oportuna es: podemos descomponer flujos sobre arcos en flujos sobre camnos y crcutos?. El sguente teorema nos sumnstra la respuesta. Teorema.. (Teorema de descomposcón del flujo. Todo flujo sobre camnos y crcutos puede ser representado unívocamente medante flujos no negatvos sobre arcos. Todo flujo no negatvo sobre arcos puede ser representado medante flujos sobre camnos y cclos (no necesaramente de manera únca utlzando las sguentes propedades. a Todo camno drgdo con flujo postvo conecta un nodo défct con un nodo de exceso. b Como máxmo n+m camnos y crcutos tenen flujo dstnto de cero; y de ellos a lo sumo m son crcutos que tenen un flujo dstnto de cero. (ver Ahuja et al.[4] En el caso de una crculacón, es decr, un flujo x para el que b (=0 para todo V, aplcando el teorema anteror tenemos que una crculacón se descompone en flujos a lo largo de un máxmo de m crcutos. A contnuacón ntroducmos el concepto de cclos ncrementales con respecto a un flujo x. Un cclo w (no necesaramente drgdo en G es llamado cclo ncremental con respecto al flujo x s, envando una cantdad de flujo postva f(w alrededor del msmo, el flujo permanece factble. Esta consderacón mplca ncrementar el flujo sobre los arcos haca delante en el cclo w y dsmnur el flujo sobre los correspondentes Págna 6

28 Problemas de flujos en redes arcos haca atrás. De esta manera, un cclo w es ncremental en G s x < para todos lo arcos (, haca delante y > 0 para todos u los arcos (, haca atrás. Necestamos extender la notacón x δ ( w para los cclos. Defnmos δ ( w gual a s el arco (, es un arco haca delante en el cclo w, gual a s es un arco haca atrás, e gual a 0 en otro caso. Defnmos el coste de un cclo ncremental w como c( w = c δ ( w, donde c es el coste untaro por undad de (, w flujo que atravesa dcho arco. Así, el coste de un cclo ncremental representa el cambo en el coste de la solucón factble s envamos una undad de flujo a lo largo del cclo. El coste de envar undades de flujo a lo largo del cclo w es c(wf(w. f( w Teorema.. (Teorema del cclo ncremental. Sean x y cualesquera dos solucones factbles de un problema de flujos en redes. Entonces x es gual a de m crcutos en G( 0 x 0 x más el flujo, como máxmo, a través 0 x. Además, el coste de x es gual al coste de más el coste de esos cclos ncrementales. (ver Ahuja et al.[4] 0 x 3. Transformacones de la red Frecuentemente se hace necesaro transformar las redes para smplfcarlas, para mostrar equvalenca entre dferentes problemas de redes o para representar un problema de redes en la forma estándar requerda por un determnado códgo. En este apartado descrbremos alguna de esas mportantes transformacones. 3.. Cambo de arcos no drgdos por arcos drgdos Algunas veces el problema de flujo de coste mínmo contene arcos no drgdos. Un arco no drgdo (, con coste 0 y c capacdad u permte envar flujo desde el nodo al nodo j y tambén desde el nodo j al nodo ; una undad en cualquer dreccón cuesta c y el flujo total esta acotado por u. Es decr, el modelo no drgdo tene como restrccón x j + x u y los térmnos c x + c x en la funcón objetvo. Ya que el coste 0, en la j c Págna 7

29 Capítulo solucón óptma una de las varables x y x será cero. En este caso dremos que la solucón es no solapada. En la subsguente dscusón nos referremos al arco no drgdo (, como {, j}. Asumremos que el flujo del arco en cualquer dreccón de {, j} j tene una cota nferor gual a cero; la transformacón que consderaremos no es válda s el flujo del arco tene una cota nferor dstnta de cero o el coste del arco es negatvo. Para transformar el arco no drgdo al caso drgdo, reemplazamos cada arco no drgdo {, j} por dos arcos drgdos, (, y ( j,, ambos con coste c y capacdad u. Para establecer el funconamento de esta transformacón, mostraremos que todo flujo no solapado en la red orgnal tene un flujo asocado en la red transformada con el msmo coste y al revés. S el arco no drgdo {, j} lleva α undades de flujo desde el nodo al j, en la red transformada x = α y x = 0. S el arco no drgdo {, lleva α j undades de flujo desde el nodo j al, en la red transformada y y x = α. Por otro lado, s x y x son los flujos sobre los arcos (, j ( j, en la red drgda, asocado con el arco { j} j x x j o j x j} x = 0 x es el flujo postvo, en la red no drgda. S x x j es postvo, el flujo desde el nodo al nodo j sobre el arco {, j} es gual a esta cantdad. S sobre el arco x j x es postvo, el flujo desde el nodo j al nodo {, j} es gual a esta cantdad. En cualquer caso, el flujo en la dreccón opuesta es cero (no solapado. S x x j = x j x es cero, el flujo sobre el arco {, j} es cero. 3.. Elmnacón de cotas nferores dstntas de cero S un arco (, tene una cota nferor l dstnta de cero sobre el flujo x, podemos reemplazar x por x + l en la formulacón del problema. Ahora las restrccones de acotacón se transforman en l x + l u o 0 x u l. Realzando esta susttucón en las restrccones de conservacón de flujo, dsmnumos b en undades e ncrementamos b en l undades. Esta susttucón j camba el valor de la funcón objetvo en un valor constante que l Págna 8

30 Problemas de flujos en redes podemos almacenar separadamente e gnorarlo en la resolucón del problema Inversón de arcos La transformacón de nversón de arcos es utlzada para elmnar arcos con coste negatvo. En esta transformacón reemplazamos la varable x por u x. Hacendo esto, susttumos el arco (,, que tene un coste asocado c, por el arco ( j, con un coste asocado c. La Fgura. muestra esta transformacón. Prmero envamos u undades de flujo sobre el arco, lo que dsmnuye b en u undades y aumenta b en u undades. La nueva varable x j de la capacdad completa de flujo. b mde la cantdad de flujo que podemos elmnar x b j u b-u j b+u j x j j j ( c,u (- c,u Fgura.. Inversón de arcos Elmnacón de las capacdades de los arcos S un arco (, tene una capacdad postva u, podemos elmnar la capacdad usando la transformacón sguente. Introducmos un nodo adconal de tal manera que las restrccones de capacdad del arco (, aparezcan como restrccones de conservacón de flujo del nuevo nodo. Supongamos que ntroducmos la varable de holgura y escrbmos la desgualdad como la gualdad x + s = u. Multplcando ambos lados por, obtenemos x s = u. Tratamos a esta gualdad como una restrccón más de conservacón de flujo. Esta manpulacón algebraca corresponde a la transformacón de la red mostrada en la Fgura.. s 0 -u b+u b b j b-u j x x s j j ( c,u ( c, (0, Fgura.. Elmnacón de capacdades. x u Págna 9

31 Capítulo Para ver la relacón entre los flujos de la red orgnal y transformada, realzamos las sguentes observacones. S flujo sobre el arco tene que (, es el en la red orgnal, en la red transformada se x = x y x j = u x. Podemos notar que ambos flujos x y x tenen el msmo coste. De la msma manera, transformada producen un flujo red orgnal. Además, ya que negatvos, tenemos que x x x y x, en la red x = x de msmo coste que en la + x j u y que x = x y j x j son no = x u. Así, el flujo satsface la capacdad del arco y la transformacón modela correctamente las capacdades de los arcos. x 3..5 Redes resduales En el dseño, desarrollo e mplementacón de algortmos de flujos en redes, a menudo es convenente medr el flujo no en térmnos absolutos sno en térmnos ncrementales con respecto a una solucón factble dada. Para ello ntroducmos el concepto de red resdual la cual funcona como una red de flujo remanente que puede llevar flujo adconal. El concepto de red resdual esta basado en la sguente dea ntutva. S se supone que el arco lleva x undades de flujo, entonces podemos envar undades de flujo adconal desde el nodo al nodo j. Debemos notar tambén que podemos envar nodo a través del arco undades de flujo desde el nodo j al (,, lo que cancelaría el flujo exstente sobre el arco. Además, envar una undad de flujo desde el nodo al nodo j sobre el arco (, ncrementa el coste del flujo en undades. Por el contraro, envando flujo desde el nodo j al nodo sobre el msmo arco dsmnuye el coste en x c undades. u (, x c Tenendo en cuenta esto, defnmos la red resdual con respecto al flujo x como sgue: Consderamos una red en la que reemplazamos cada arco (, en la red orgnal por dos arcos (, y ( j,. El arco (, tene un coste gual a c y una capacdad resdual r = u x y el arco ( j, tene un coste gual a - c y una capacdad resdual r j = x. La Fgura.3 lustra esta defncón. La red resdual contene úncamente arcos con capacdades resduales Págna 0

32 Problemas de flujos en redes postvas. Usaremos la notacón R = G( x para denotar la red resdual correspondente al flujo x. ( c,u j ( c,u-x (- c,x Fgura.3. Red Resdual j El concepto de red resdual puede mplcar la revsón de decsones prevas, ya que, pasar de un patrón de flujo a otro, mejorando la funcón objetvo, requere, a veces, la cancelacón de envíos de flujos anterores. 4. Complejdad computaconal Antes de plantear los dstntos problemas de flujos en redes, ntroducmos los conceptos necesaros para analzar la efcenca de un algortmo. Todos los algortmos que resuelven un determnado problema pueden no resultar guales porque, por ejemplo, alguno de ellos sea más rápdo que otros. Por lo tanto, nos hallamos en la necesdad de encontrar patrones que ndquen cuándo un algortmo es mejor que otro y por qué. Para ello ntroducremos el concepto de complejdad computaconal. De una forma poco precsa podemos decr que un algortmo es un conjunto de operacones detalladas y no ambguas, a ejecutar paso a paso, que conducen a la resolucón de un problema. Generalmente, estamos nteresados en encontrar el algortmo más efcente para resolver un problema. Usaremos el tempo empleado por el algortmo como medda de la efcenca del msmo, aunque en general deben tenerse en cuenta los recursos que emplea para obtener la solucón. Defnmos nstance al caso partcular de un problema con datos específcos para todos los parámetros del problema. Hemos de tener en cuenta que un algortmo podrá resolver rápdamente determnados casos partculares de un problema y tardar demasado en la resolucón de otros. Págna

33 Capítulo 4. Dferentes meddas de la complejdad Las dferentes nstruccones típcas de un algortmo son nstruccones de asgnacón, artmétcas y lógcas. El número total de las msmas resulta de la suma de todas las nstruccones defndas anterormente y determna el tempo requerdo en la ejecucón del algortmo. La lteratura especalzada tene, aceptados amplamente, tres enfoques báscos para la medda de la bondad de un algortmo: Análss empírco. El objetvo del análss empírco es estmar cómo funconan los algortmos en la práctca. En este análss es habtual desarrollar un programa de ordenador y medr la bondad del programa para dstntas clases de nstances. Análss caso-promedo. El objetvo del análss caso-promedo consste en estmar el número de pasos esperados que realza un algortmo. En este análss elegmos una dstrbucón de probabldad sobre los nstances y, usando algún análss estadístco, obtenemos el tempo asntótco de ejecucón para el algortmo. Análss del caso peor. El análss del caso peor sumnstra una cota superor del número de pasos que un algortmo realza para algún nstance. En este análss se cuenta el mayor número de pasos posbles necestados para la resolucón del problema. Cada una de estas tres meddas tenen sus ventajas e nconvenentes. El análss empírco tene algunas desventajas: el funconamento de un algortmo depende del lenguaje de programacón, complador y computador usado para las experencas computaconales, así como del programador que escrbó el programa; a menudo este tpo de análss consume mucho tempo; y 3 la comparacón de los algortmos es a menudo poco concluyente en el sentdo de que dferentes algortmos funconan mejor frente a dferentes clases de problemas y dferentes estudos computaconales establecen resultados contradctoros. El análss caso-promedo tene tambén desventajas: el análss depende crucalmente de la dstrbucón de probabldad Págna

34 Problemas de flujos en redes elegda para representar los problemas partculares y dferentes eleccones podrían conducr a dferentes consderacones de los mértos relatvos de los dferentes algortmos bajo consderacón; a menudo es dfícl determnar apropadamente la dstrbucón de probabldad de los problemas consderados en la práctca; y 3 el análss requere, a menudo, cálculos matemátcos complcados para evaluar los tpos más smples de algortmos, pudéndose complcar en grado sumo cuando los algortmos son complejos. Además, para realzar este tpo de análss, se necestan resolver un gran número de problemas partculares, pudendo suceder que el funconamento de un algortmo sea bueno salvo para contadas excepcones, en las que se comporta muy mal, contrbuyendo sgnfcatvamente al estudo estadístco. El análss del caso peor evta muchos de los anterores nconvenentes. Este análss es ndependente del entorno computaconal, es relatvamente fácl de realzar y es defntvo en el sentdo de que sumnstra conclusones que permten asegurar que un algortmo es mejor que otro para el problema peor posble que pudéramos encontrar. Pero el análss del caso peor no está exento de nconvenentes. Uno de sus mayores desventajas es que permte utlzar nstances patológcos para determnar la efcenca del algortmo, aún cuando estos puderan ser sumamente raros en la práctca. Por otro lado, este tpo de análss garantza una cota superor del número de pasos que puede realzar el algortmo pero esconde nformacón acerca de la resolucón de casos no tan extremos, es decr, un algortmo podría requerr para la resolucón de muchos de sus problemas un número de pasos muy nferor al determnado por el análss del caso peor. Para estmar la bondad de los dstntos algortmos, en este trabajo utlzaremos el análss del caso peor, aunque estamos convencdos de que un estudo expermental de los algortmos sumnstra nformacón mportante para guarnos en su utlzacón práctca, dependendo del nstance del problema que se ha de resolver. Págna 3

35 Capítulo 4. Tamaño de un problema Frecuentemente, el esfuerzo requerdo para resolver un problema varía desgualmente con su tamaño. Dado el tamaño de un dato cuyo valor es q, podemos realzar dos posbles hpótess: a asumr que el tamaño del dato es q, b asumr que el tamaño del dato es log(q. La prmera consderacón se conoce como crtero de coste unforme y consdera que el espaco requerdo para almacenar q es proporconal a su valor. La segunda, conocda como crtero de coste logarítmco, consdera que ya que la representacón bnara del valor q requere log( q bts, el espaco requerdo para almacenar q es proporconal a log(q. El tamaño de un problema de redes es una funcón de como ha sdo establecdo. Supongamos que especfcamos la red medante la representacón de lstas de adyacenca, la cual es la representacón más efcente en espaco que podemos usar. Entonces, el tamaño del problema es el número de bts empleados para almacenar estas lstas de adyacenca. Como en esta representacón se almacena un puntero para cada nodo y cada arco, y un elemento para cada valor del coste y capacdad del arco, se requeren, aproxmadamente, n log(n + m log(m + m log(c + m log(u bts para almacenar todos los datos del problema de flujo de coste mínmo, donde max { u /(, j A} y C = { c /(, A} U = max. En prncpo, podríamos representar el tempo de ejecucón de un algortmo como funcón del tamaño del problema, es decr, del número de bts necesaros para representar el nstance. Sn embargo, esto podría ser, nnecesaramente, noportuno. Expresaremos el tempo de ejecucón de un algortmo, de forma más smple y drecta, como una funcón de los parámetros de la red n, m, log(c y log(u. 4.3 Complejdad del caso peor El tempo de ejecucón de un algortmo depende de la naturaleza y tamaño de la entrada. Una funcón temporal de la complejdad de un algortmo es una funcón del tamaño del problema y especfca el tempo máxmo que se necesta para Págna 4