PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA

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1 TESIS PUCP Esta obra ha sdo publcada bajo la lcenca Creatve Commons Reconocmento-No comercal-compartr bajo la msma lcenca 2.5 Perú. Para ver una copa de dcha lcenca, vste

2 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA IMPLEMENTACIÓN DE ARQUITECTURAS PARA EL CÁLCULO DE FUNCIONES TRASCENDENTALES EMPLEANDO EL ALGORITMO CORDIC EN UN FPGA. Tess para Optar el Título de: INGENIERO ELECTRÓNICO Presentado por: CARLA PAOLA AGURTO RÍOS Lma Perú 26

3 RESUMEN Al mplementar un algortmo de procesamento dgtal de señales en hardware es muy común encontrarse con funcones matemátcas trascendentales las cuales, en prncpo, se pueden mplementar usando la sere de Taylor o dseñando un hardware específco para cada funcón. A fn de mejorar su rendmento se desarrolló el algortmo Coordenado Crcular, Hperbólco y Lneal (CORDIC), el cual reduce tanto el uso de compuertas lógcas como el número de teracones empleadas al mplementar una funcón trascendental. Con este trabajo se dseñaron dstntos tpos de arqutectura para mplementar este algortmo en el sstema CORDIC, las cuales son: Iteratva, Seral y Ppelne. Son parametrzables el tamaño de bus de datos (2, 6, 24 y 32 bts) y el modo de operacón del algortmo. De esta manera se puede escoger la arqutectura más Elmnado: S Elmnado: Sendo Elmnado: en Elmnado: en óptma según la funcón que se neceste mplementar. Ejemplos de estas aplcacones son: el dseño de fltros adaptatvos, FFT (Transformada Rápda de Fourer), redes neuronales, demoduladores, DCT (Transformada Rápda del Coseno), tratamento de mágenes, entre otros; de manera que estas aplcacones puedan funconar en tempo real.

4 El sstema dgtal descrto se mplementó en su totaldad usando el lenguaje de descrpcón de hardware VHDL y se smuló usando el programa QUARTUS II 5. de ALTERA CORPORATION.

5 A Dos que sempre me ayuda. A m famla que sempre me apoya. A ms amgos que sempre me anman. GRACIAS!!!

6 INTRODUCCIÓN Es muy común encontrarse con funcones trascendentales al mplementar en hardware un algortmo de procesamento dgtal de señales e mágenes, ya que esto mplca el desarrollo de un hardware específco para cada funcón utlzando algortmos teratvos cláscos como: el método de aproxmacón de Newton o el método de la sere de Taylor; métodos que son dfícles de mplementar en dspostvos electróncos debdo a la gran carga computaconal que generalmente exgen esa clase de algortmos por lo que resulta muy complcado su mplementacón físca. Han habdo ntentos extosos de optmzar estos algortmos como la transformada rápda de Fourer. En 959 se crea un algortmo llamado CORDIC, el cual se basa en rotacones y desplazamentos; estas operacones que presenta el algortmo son smples de mplementar, así msmo se pueden parametrzar en precsón delmtando el número de teracones y el tamaño del bus de datos de los vectores. Estas modfcacones son muy útles, debdo a que en certos casos los resultados de las operacones no requeren de la msma precsón. Es por ello que este algortmo mejora el rendmento del sstema a utlzar además de dsmnur el tempo de respuesta. El presente trabajo mplementa este algortmo en hardware en tres sstemas coordenados: Crcular, Hperbólco y Lneal, y con tres tpos de arqutecturas: Seral, Iteratvo y Ppelne que son parametrzables de acuerdo al tamaño del bus x

7 de datos entre los valores de 2, 6, 24 y 32 bts; además de poder escoger el tpo de funcón a realzar. La precsón obtenda de las operacones empleando el algortmo en sus dferentes arqutecturas fue comparado con los obtendos en MATLAB con lo que se defne el error relatvo del sstema. Para obtener un bajo error relatvo fue necesaro hacer un análss ndependente de cada arqutectura sobre el formato de bts que le fue asgnado a cada modo de operacón en cada bus de datos. Tambén se tuveron en cuenta factores de desbordamento al realzar las operacones. Para el sstema coordenado Hperbólco y Lneal fue necesaro, por su lmtado rango de convergenca, expandrlo utlzando métodos alternatvos propuestos por Hu [3]. Además se mplementó como casos partculares las funcones exponencal y logartmo natural en la arqutectura teratva. Es objetvo de este trabajo el proponer dferentes tpos de arqutectura, para dferentes tpos de buses de datos, de tal manera que se pueda escoger alguno de ellos en la mplementacón de otros algortmos, por tal motvo se expondrán dchos resultados en el Captulo 4. Estos resultados comprenden el número de compuertas lógcas utlzadas, la frecuenca máxma de operacón y el error relatvo de los resultados tomando como base de comparacón, los hallados con el programa MATLAB. x

8 CAPÍTULO DESARROLLO DEL ALGORITMO CORDIC

9 . DESCRIPCIÓN DEL ALGORITMO CORDIC El algortmo trgonométrco llamado CORDIC, basado en rotacones de vectores; fue desarrollado en 959 por Jack Volder [] como una solucón dgtal en tempo real a los problemas de navegacón; estas ncluían operacones trgonométrcas dervadas de la ecuacón de rotacón de vectores para el sstema crcular como son: seno, coseno, arco tangente, conversón de tpo de datos, etc. Años más tarde, en 97, Walter [2] generalzó el algortmo para operacones con funcones hperbólcas y las funcones obtendas para la ecuacón de rotacón en el sstema lneal; estas funcones ncluyen: multplcacón, dvsón en el sstema lneal, seno hperbólco, coseno hperbólco, arco tangente hperbólca, logartmo natural, exponencal, entre otros. Exsten 2 modos de operacón de este algortmo llamados ROTATION y VECTORING, el prmero tene como datos de entrada el valor del vector y el ángulo que debe rotarse, de donde se obtenen las funcones de tpo seno, coseno, seno hperbólco, coseno hperbólco, multplcacón y las dervadas de éstas, mentras que en el segundo se requeren como datos de entrada la magntud del vector y el argumento angular a ser rotado, de esta manera obtendremos las funcones del tpo arco tangente, dvsón y las dervadas de éstas. 2

10 .2 SISTEMAS UTILIZADOS EN EL ALGORITMO CORDIC El algortmo se mplementó en los 3 sstemas coordenados posbles: Crcular, Hperbólco y Lneal.2. SISTEMA COORDENADO CIRCULAR Este sstema es utlzado para realzar las sguentes operacones: seno, coseno, arco tangente, arco coseno, arco seno, vector magntud y transformacón de coordenadas polares a cartesanas y de cartesanas a polares. A contnuacón se muestra las ecuacones generales de rotacón para un vector (), cuyas coordenadas son representadas por las varables X e Y, y cuyo ángulo respecto a eje coordenado X, se encuentra en la varable Z. X Y Z = X.cos( α ) Y. sen( α ) = Z = Y.cos( α ) + X. sen( α ) α () Se dvde a las dos prmeras ecuacones por el coseno del msmo ángulo para expresar éstas en funcón de la tangente multplcada por un factor. X Y Z = cos( α ).( X = Z = cos( α ).( Y + X.tan( α )) α Y.tan( α )) (2) A su vez tan(α ) se la reemplaza por 2, esta potenca de 2 hace que la multplcacón se transforme en un desplazamento smple cuando se procesan los datos. Como la tangente de un ángulo puede ser negatva o postva 3

11 dependendo del cuadrante en que se encuentre el ángulo (I o IV), por ello se coloca la varable d como se muestra en (3) que puede tomar valores de o dependendo del modo de funconamento que está desarrollando el algortmo. X Y Z = X = Z d. Y.2 = Y + d. X.2 d.tan (2 ) (3) Como se puede observar en (3), no se consdera el factor del coseno multplcado en cada teracón. Tomando como referenca que la tan(α )=2 -, entonces el valor del coseno es como se muestra en la ecuacón. cos( α ) = (4) Esto se puede aprecar mejor gráfcamente (fgura.2), donde en cada rotacón el tamaño del vector varía a falta del factor coseno expuesto en (4). Estas teracones comprenden los sguentes valores:,,2,3.n, donde N es el número máxmo de teracones. Fgura.2 Trayectora de Rotacón para el sstema Crcular. 4

12 Por ello es necesaro consderar ese factor para todas las teracones realzadas cuando se procesa el algortmo..2.. MODO ROTATION PARA EL CORDIC CIRCULAR. En este modo se desea que el vector orgnal de entrada (X e Y ) rote un ángulo determnado, este valor de ángulo (Z ) tambén es un parámetro de entrada; y para completar ese gro se hacen pequeñas rotacones angulares hasta que se complete el ángulo de entrada Z. Dado que los ángulos están defndos como potencas de 2, el mayor ángulo a rotar será π/4 (45 ); es por eso que se debe de modfcar el sentdo de gro de la rotacón s es que al rotar el sstema se pasa del ángulo Z, hacendo que el nuevo ángulo grado sea π/8 (22.5 ). Este sentdo de gro lo defnrá la varable d menconada en (3), donde: S Z entonces d = caso contraro d = - (5) De esta manera según (5) se va obtenendo una mejor aproxmacón del ángulo, ya que dependendo de s el ángulo acumulado es negatvo o postvo, se podrá cambar de sentdo de rotacón. Después de la (n-)-ésma teracón con sus correspondentes gros, los valores fnales de X n, Y n y Z n quedan defndos como: X Y Z n n n = K.( X = K.( Y.cos( Z =.cos( Z ) Y. sen( Z ) + X. sen( Z )) )) (6) Vemos que el valor de Z n en (6) debe de tender a cero y que el valor de X n e Y n quedan multplcados por una constante K. Esta constante vene descrta por: 5

13 K = n= (7) Por los motvos expuestos anterormente, para obtener el resultado de la operacón se debe multplcar X n e Y n por un factor A n, el cual es la nversa de esta constante K, que es el producto de los cosenos consderados para cada teracón: A n = (8) K Y al multplcar a X n por el factor A n se obtene la magntud real de este vector, además, para efectos práctcos, se coloca Y = con lo que el vector de gro empeza en el eje x MODO VECTORING PARA EL CORDIC CIRCULAR. En este modo el vector tambén se rota, pero a dferenca del modo rotaton, el parámetro de entrada es la poscón del vector (X y Y ), ya que lo que se halla es el ángulo de dcho vector. Al gual que en el modo rotaton el d tambén queda defndo por una relacón, en este caso será de la sguente manera. S Y entonces d = - caso contraro d = (9) Después de realzar n teracones el valor fnal de X n, Y n y Z n queda defndo de la sguente forma: 6

14 X Y Z n n n = K. = = Z X 2 + tan + Y 2 Y ( X ) () Como se observa en la ecuacón (), para utlzar este modo es convenente que el ángulo ncal (Z ) sea cero para que el ángulo fnal acumulado en Z n sea el ángulo del vector de entrada. Se observa además que Y n debe tender a cero y que s se desea obtener la magntud del vector se tene que multplcar X n por la nversa del factor K al gual que en el modo rotaton..2.2 SISTEMA COORDENADO HIPERBÓLICO Las operacones de seno, coseno, arco tangente hperbólco y sus operacones nversas se obtenen a partr de este sstema. Además se puede obtener el valor de la exponencal, el logartmo natural y la raíz cuadrada. A contnuacón se muestra las ecuacones para este sstema en la (+)-ésma rotacón. X Y Z = X.cosh( α ) + Y. senh( α ) = Z = Y.cosh( α ) + X. senh( α ) α () Al gual que en el Sstema Coordenado Crcular, se factorza el cosh(α) y se reemplaza la tanh(α) por 2 -, quedando la ecuacón () defnda de la sguente manera. 7

15 X Y Z = X = Z d. Y.2 = Y + d. X.2 d.tanh (2 ) (2) Y el factor coseno hperbólco presente en cada teracón queda defndo en la sguente ecuacón. cosh( α ) = (3) 2 2 Estas rotacones se pueden aprecar mejor en la fgura.3, donde se observa ese cambo de magntud del vector al no tener en cuenta el factor del coseno hperbólco al mplementar el algortmo con la ecuacón 2. Fgura.3 Trayectora de rotacón en el Sstema Hperbólco. Según (2) se debe tener en cuenta que la prmera teracón debe darse con =, ya que con =, se hace que tanh - () sea nfnta. Además, para que el valor 8

16 obtendo con las teracones converjan, se necesta repetr certas teracones cuya forma se muestra a contnuacón: = 4, 3, 4,.. k, 3k+ En el caso del sentdo de las rotacones, dadas por d, se emplea, al gual que en el Sstema Coordenado Crcular, la ecuacón MODO ROTATION PARA EL CORDIC HIPERBÓLICO. Al gual que en el sstema coordenado crcular el vector de entrada tambén rotara con mcro rotacones angulares que estarán defndas en una tabla en la arqutectura. Después de realzar las n teracones, la ecuacón 2 queda defnda de la sguente forma: X Y Z n n n = K.( X = K.( Y.cosh( Z =.cosh( Z ) + Y. senh( Z ) + X. senh( Z )) )) (4) Donde K es el factor acumulado al factorzar el coseno hperbólco. Es por ello que al valor fnal de X n e Y n se le debe multplcar por A n,, la nversa del factor K, este valor se muestra en la ecuacón 5. Además Y debe ser cero para poder obtener el valor del coseno hperbólco y seno hperbólco para este modo. El preprocesamento es smlar al sstema coordenado crcular. A n = n= 2 (5) 9

17 MODO VECTORING PARA EL CORDIC HIPERBÓLICO. Para este modo, tomando la ecuacón 9 para defnr el valor de d, y después de realzar las teracones con la ecuacón 2 se obtenen las sguentes ecuacones. X Y Z n n n = A. = = Z n X 2 + tanh + Y 2 Y ( X ) (6) En este modo tambén se toman las msmas consderacones que en el sstema coordenado crcular, ya que para hallar arco tangente hperbólca se debe poner el valor de entrada Z =..2.3 SISTEMA COORDENADO LINEAL Las operacones multplcacón y dvsón se obtenen empleando el Sstema Coordenado Lneal. La ecuacón 7 muestra las rotacones en este sstema. Se puede observar que la varable X se mantene constante, por lo cual ndca que las úncas varables que se modfcan en las rotacones son Y y Z. X Y Z = X = Z = Y + X. tan( α ) (7) α Reemplazando tan(α) por una potenca de 2 - se obtene a partr de (7):

18 X Y Z = X = Z = Y + d * X * 2 d * (2 ) (8) En la fgura.4 se puede aprecar cómo se realzan estas rotacones, y en comparacón con los otros dos sstemas, el vector conserva su valor en eje x (ecuacón 8), por lo que no se necesta multplcar a las señales ncales por un factor adconal, porque la rotacón en el sstema lneal mplca un cambo en la magntud del vector producto de la tangente. Fgura.4 Trayectora de Rotacón del Sstema Lneal Para realzar estas teracones tomará los sguentes valores. =,,2,3 N, donde N pertenece a los enteros postvos.

19 .2.3. MODO ROTATION PARA EL CORDIC LINEAL. Para este modo, los datos de entrada son los dos operandos de la multplcacón, los cuales estarán ncalmente en la varables X y Z (ecuacón 9). Después de realzar n teracones en las varables X, Y y Z se obtenen: Xn = X Yn = Y o Zn = o + X o. Z o (9) Por lo que Y debe ser cero al nco, y con solo la respuesta de la multplcacón de los dos factores restantes se obtene en la varable Y. Se debe de tener en cuenta que en este modo, la varable que se va comparando es Z y una tabla de valores debe ser construda para satsfacer los casos deseados MODO VECTORING PARA EL CORDIC LINEAL. En este modo, los datos de entrada son los factores de la dvsón los cuales ngresan por las varables X e Y. Después de n teracones el resultado de dcha dvsón se obtene en la varable Z (ecuacón 2). Xn = X Yn = Zn = Z o o + Y o / X o (2) Como se explcó anterormente, en este modo el algortmo CORDIC, compara la varable Y, hasta obtener cero. Es por eso que el valor obtendo en la dvsón se 2

20 obtendrá en la varable Z, pero para ello ncalmente la varable Z debe tener como valor de entrada. Otra consderacón a tener en cuenta es que es necesaro comprobar el sgno del resultado de la dvsón para poder hacer el post procesamento, o s los datos ngresados son de dferente sgno, hacer que el dato que contene el sgno, que posterormente defnrá s el resultado es postvo o negatvo, ngrese por la varable Y. Fnalmente, debdo a que en la dvsón el resultado tendrá un rango muy amplo, con tendenca al nfnto según sea el valor del dvdendo, será necesaro lmtarlo de la manera más óptma. 3

21 CAPÍTULO 2 ANÁLISIS DEL FORMATO NUMÉRICO PARA CADA SISTEMA

22 El algortmo CORDIC posee lmtacones debdo a que es una aproxmacón de las funcones trascendentales con las que se desea trabajar, es por eso que este capítulo se subdvde en 2 tpos de análss; en el prmero defnmos el rango básco de convergenca y se plantea un método para expandrlo, y en el segundo se analza el formato numérco en cada caso según las recomendacones obtendas en el prmero. 2. ANÁLISIS DEL RANGO DE CONVERGENCIA PARA CADA SISTEMA. Dado que se mplementan dferentes funcones para cada sstema, se hace un análss por separado de cada uno de ellos. 2.. ANÁLISIS DEL RANGO DE CONVERGENCIA PARA EL CORDIC CIRCULAR. Es necesaro analzar el rango de convergenca propo de la mplementacón del algortmo en el sstema crcular, ya que este nos ndca los máxmos valores que se puede obtener con esta forma básca de mplementacón. Para obtener el rango utlzamos la ecuacón 2, en la que asummos que el sentdo de gro de todos los ángulos defndos por la expresón atan(2 - ) es para el msmo lado. En este caso, como se ndcó en el captulo anteror, las rotacones empezarán desde = hasta el número máxmo de teracones defndas. n θ mac = tan (2 ) (2) = 5

23 Consderando que n es 6 y reemplazando este valor en (2), el máxmo ángulo acumulado hallado es: 6 = 2.74rad. (22) Dado que en este rango se contemplan los valores de [-π /2 π /2], es decr que las rotacones se ejecutan en el I y IV cuadrante, no es necesaro expandr el rango, ya que las funcones trgonométrcas son smétrcas y con dentdades trgonométrcas se puede obtener el valor para cualquer ángulo con un pre procesamento en los datos de entrada ANÁLISIS DEL RANGO DE CONVERGENCIA PARA EL CORDIC HIPERBÓLICO. El algortmo CORDIC para este sstema, descrto en las ecuacones anterores, es smlar al CORDIC crcular. Ambos reemplazan sus tangentes por desplazamentos de bts. Pero mentras que en el sstema Coordenado Crcular las teracones comenzan de, en el hperbólco comenzan de. Entonces el rango básco del valor de convergenca para n teracones vene dado por la ecuacón 23. n n θ mac = tanh (2 ) + tanh (2 ) (23) = Tomando como máxmo número de teracones 6 y consderando que las ecuacones 4 y 3 se repten (ver capítulo ), el máxmo ángulo hperbólco acumulado es: 6

24 Zn θ max.82rad. Como se puede observar con el valor máxmo de θ, el valor de la tangente hperbólca es.8694 (ver Fgura 2.). Este valor tende cuando el argumento tende al nfnto, y s se desea mayor precsón se debe expandr el rango, para de esta manera llegar a valores cercanos a. y x - Fgura 2. Tangente Hperbólca Una estratega para soluconar el problema del rango de convergenca es utlzar dentdades matemátcas en el pre procesamento de los valores de las entradas, sn embargo este va a ser dferente para cada funcón, lo cual dfculta la mplementacón de un hardware unfcado para el CORDIC hperbólco. Además del ncremento en el uso de recursos lógcos y el tempo de procesamento. Actualmente exsten 2 métodos alternatvos para expandr el rango de convergenca propuestos por Hu [3], el cual propone teracones adconales en la mplementacón del algortmo. 7

25 El prmer método reemplaza la tangente hperbólca por la expresón en (24) para las teracones adconales, donde. tanh( 2 α ) = 2 (24) Al consderar teracones adconales el θ max se ncrementa, con lo cual se obtene un mayor rango de convergenca, esto se puede aprecar en la tabla 2.. En (25) se muestra como hallar este θ max, donde M es el máxmo numero de teracones adconales y N es el máxmo número de teracones normales. 2 n θ = tanh ( 2 ) + (tanh (2 ) + tanh (2 )) (25) mac = M n = En el segundo método, la tangente hperbólca se reemplaza por otra expresón (26) para los valores de. tanh( + 2 α ) = 2 (26) Con este reemplazo, el rango de convergenca aumenta, con lo que para hallar esos valores utlzamos la ecuacón n θ mac = tanh ( 2 ) + (tanh (2 ) + tanh (2 )) (27) = M n = En la tabla 2., se muestra θ max hallado para cada método según el número de teracones adconales. 8

26 - θ max Ec.25 θ max Ec Tabla 2. θ max obtendo con el nuevo rango de convergenca El método empleado en este trabajo es el prmero, porque mplca menos recursos lógcos que el segundo; y además para los valores que se van a mplementar en la tabla de datos para el tamaño de buses propuestos, no aporta más benefcos que el prmer método. Fnalmente la ecuacón para cada rotacón para la parte de expansón queda defnda de esta manera: X Y Z = X = Y = Z d. Y.( 2 + d. X d.( 2 * tanh 2 2 ) ) ( 2 2 ) (28) 2..3 ANÁLISIS DEL RANGO DE CONVERGENCIA PARA EL CORDIC LINEAL. El algortmo para este caso presenta un lmtado rango de convergenca, debdo a que con este sstema se mplementa las funcones multplcacón y dvsón; y 9

27 ambas tenden al nfnto. Por tal motvo, es necesaro defnr un límte en el rango para ambas funcones. En el análss del rango básco de convergenca se utlza la sguente ecuacón. n θ mac = (2 ) (28) = Asumendo que el valor máxmo de teracones es 6, el θ max en (28) es aproxmadamente 2; con este valor solo podemos representar, en el caso de la dvsón, resultados que se encuentran en el rango <-2 2>, es por ello que en este caso es necesaro la expansón. En el caso de la multplcacón, dado que se van a realzar las teracones hasta que el valor en la varable Z sea cero, y Z es un operando de la multplcacón. La operacón está restrngda para multplcacones de un número por valores menores que 2, por lo que se requere una expansón. Para expandr el rango de convergenca para el CORDIC en el sstema lneal es necesaro añadr algunas teracones. El método propuesto por Hu [3], añade a los índces de las teracones los valores negatvos, al gual que en el CORDIC hperbólco, de tal manera que toma los valores M, -M+,, N. En este caso, la expansón tene la msma estructura que en las teracones normales, pero el cambo radca en que el desplazamento va a ser para la zquerda, ya que las teracones adconales son potencas de 2 postvas. 2

28 2.2 ANÁLISIS DEL FORMATO NUMÉRICO PARA EL SISTEMA CIRCULAR. En este análss, es necesaro consderar que el tamaño del bus de datos tanto para la entrada como para la salda son guales. Además se toma en consderacón para el análss los 4 tpos de buses propuestos, los cuales son 2, 6, 24 y 32 bts. Debdo a que el resultado es dferente para cada modo de procesamento, es necesaro analzar por separado cada uno de ellos. Tambén es mportante tener en cuenta que como X e Y realzan operacones entre ellas, se consdera que ambas varables tengan el msmo formato MODO ROTATION PARA EL CORDIC CIRCULAR. En este modo las ecuacones después de n teracones se muestran en (6), en donde para obtener las funcones trgonométrcas del coseno y seno se hace que la entrada de Y =, X = An y Z =θ, donde θ es el ángulo a rotar. Además que el ángulo de entrada (Z ) tene valores entre -π/2 y π/2, y en las saldas el resultado que se obtene en X n e Y n será el valor del coseno y seno del ángulo de entrada, por lo cual estos valores están en el rango de [- ]. Tomando estas consderacones, se realza el sguente análss para hallar el formato numérco necesaro para cada bus de datos. 2

29 2.2.. CASO 2 BITS Por lo descrto anterormente se determna que es necesaro por lo menos 2 bts enteros (ncluyendo el bt de sgno) para representar los valores tanto de las entradas (Z ) como las saldas (X e Y ). Por otro lado encontramos que para la entrada en X = A n obtendremos el valor de.67253, el cual no afecta al formato establecdo. Fnalmente el formato para cada varable es: X = [2 ] Y = [2 ] Z = [2 ] Para este formato en Z encontramos que el número de teracones necesaras es (ver tabla 2.2). Valor Valor DB FB F Tabla 2.2 Valores de la tabla de datos para 2 bts. Con los valores obtendos se halla que θmax = , el cual es mayor que π/2 (.578rad.) por lo que se comprueba que para esos valores se cubre el ángulo requerdo. Este algortmo se ha mplementado en MATLAB para el formato establecdo y se comprobó que nngún valor ntermedo, en la peor condcón (=), excede lo establecdo [2 ]. 22

30 CASO 6 BITS Al gual que para 2 bts, se realzó el análss del formato numérco posble para las varables y se halló que 2 bts de parte entera son necesaros para representar los valores de los resultados como las varables de entrada. Además se encontró que son necesaras 5 teracones (ver tabla 2.3) en donde el θ max obtendo es Con este valor se cubre todo el rango de ángulos pre establecdos como entrada. Fnalmente los formatos para las 3 varables son: X = [6 4] Y = [6 4] Z = [6 4] Valor Valor DAC FAE 3 7F FF Tabla 2.3 Valores de la tabla de datos para 6 bts. Se comprueba en MATLAB que nngún valor ntermedo en X, Y y Z sobrepasa el formato numérco establecdo [6 4]. 23

31 CASO 24 BITS Para este caso, tambén se observa que serán necesaros 2 bts enteros, debdo a las condcones ncales, ya que tanto el ángulo como las funcones se encuentran dentro del rango establecdo para los posbles valores en este formato. Por esta razón se halló que para el caso de 24 bts el número de teracones posbles es 23 (ver tabla 2.4); pero al hacer un balance entre precsón y recursos de hardware solo se utlzan 6 teracones como máxmo en la arqutectura nterna. Con este número de teracones el θmax obtendo es Fnalmente los formatos establecdos para las 3 varables son: X = [24 22] Y = [24 22] Z = [24 22] En la tabla 2.4 se muestran los valores que toma la tabla de datos que se procesa con la varable Z. Valor Valor Valor 3243F DAC FADBB 8 3 7F56F FEAB FFD FFFB FFF 5 8 Tabla 2.4 Valores de la tabla de datos para 24 bts. Se comprueba en MATLAB que para el formato [24 22] no se encontraron valores ntermedos en las varables que no cumplan lo establecdo. 24

32 CASO 32 BITS Tambén para este caso se utlzarán 2 bts para la parte entera, con este formato se halló que el número de teracones posbles es 3 (ver tabla 2.5). Al gual que para 24 bts solo se utlzan las prmeras 6 teracones. Fnalmente los formatos para cada varable quedan defndos de la sguente manera. X = [32 3] Y = [32 3] Z = [32 3] Valor Valor Valor Valor 3243F6A9 8 3FFFEB DAC675 9 FFFFD FADBAFD F56EA FEAB FFD55C FFFAAB FFF Tabla 2.5 Valores de la tabla de datos para 32 bts. Se comprueba en MATLAB que para el formato [32 3] no se encontraron valores ntermedos en las varables que no cumplan lo establecdo MODO VECTORING PARA EL CORDIC CIRCULAR. Para este modo, es necesaro analzar la funcón arco tangente que se obtene en (). Debdo a la naturaleza de la tangente, cuyo resultado abarca los valores en el rango de los números reales, es necesaro que el formato para cada bus de 25

33 datos cubra el mayor rango posble para el ángulo de salda. Al gual que en el modo rotaton, hay certo factores que se tenen que consderar para determnar el formato a elegr. El prmero es que X =, para que el argumento de la arco tangente sea Y. Además se tene que hacer que Z = para que en Z n se obtenga el valor del ángulo hallado. En los 4 tpos de bus de datos propuestos, la varable Z tendrá 2 bts de parte entera, ya que el rango del ángulo es de [-π/2 π /2]. De esta manera se analzó el formato para la varable Y en cada caso CASO 2 BITS Para este caso se consderó un formato ncal de 3 bts de parte entera, es decr [2 9] para la varable Y, con estos valores se obtene el sguente rango de valores en Y de [ ], aplcando la funcón arco tangente a estos valores se obtene que el rango de salda para los ángulos es de [-.47π.47π]. Debdo a que el formato es el msmo para Z, por que los ángulos se encuentran en el msmo rango ([-π /2 π /2]), se utlza la msma tabla de datos (ver tabla 2.2) para las teracones. Se comparó con el programa MATLAB s exstía algún valor ntermedo que no cumpla con el formato de Y; en este análss se halló que para el máxmo valor negatvo del rango de Y = - 4 se ncrementa en una undad su valor al sumarse en la varable X=-(-4) en la teracón, por lo que se requere de bt adconal tanto para X como para Y en la arqutectura nterna, ya que estas varables deben de tener el msmo formato, porque realzan operacones conjuntamente, quedando como formato para las varables X e Y en la arqutectura nterna [3 9]. 26

34 Fnalmente, los formatos defndos para las 3 varables son: X = [2 9] Y = [2 9] Z = [2 ] CASO 6 BITS Para este caso, se ncrementa bt más en la parte entera por que al tener más bts podemos ncrementar el rango del argumento sn reducr los bts para la parte decmal. Entonces el formato para 6 bts para las varables X e Y es [6 2]. Con este formato utlzado se puede alcanzar valores en el sguente rango: [ ]. Y el ángulo obtendo se encuentra aproxmadamente en el rango de [-.455π.455π]. Al gual que para 2 bts tambén se analzó en MATLAB s algún valor ntermedo no cumplía con el formato, y se halló que en la teracón se ncrementaba X en undad para el máxmo argumento negatvo por lo que se requere aumentar bt más a la parte entera en la arqutectura nterna. Fnalmente, los formatos defndos para las 3 varables son: X = [6 2] Y = [6 2] Z = [6 4] CASO 24 BITS Para este caso, se ncrementa bt más en la parte entera, en comparacón con el caso anteror; ya que al aumentar el número de bts en el bus de datos, debemos aumentar tambén el rango del argumento; por que de esta manera se obtene un mayor rango de valores sn perder precsón en los resultados. Es por eso que X e Y tene como formato [24 9], con este formato se pueden alcanzar valores en el 27

35 rango de [ ], con los cuales se obtene valores para los ángulos en un rango de [-.48π.48π]. Por lo que se explcó en los casos anterores se le aumentó bt más en la parte entera en la arqutectura nterna CASO 32 BITS En este caso tambén se ncrementará bt más en la parte entera, de tal manera que se puede expandr el rango de convergenca para esta funcón. De esta manera con el formato [32 26] se obtene que el argumento abarca valores en el rango de [ ], con estos valores se obtenen ángulos entre los rangos [-.489π.489π]; como se puede observar los valores son muy cercanos a [-.5π.5π]. Analzando en el MATLAB, tambén se observa que es necesaro ncrementar bt más en la arqutectura nterna para evtar el desbordamento al realzar las operacones entre las varables X e Y en cada teracón. 2.3 ANÁLISIS DEL FORMATO PARA EL SISTEMA HIPERBÓLICO. Para este análss, tambén se consderó que el tamaño del bus de datos tanto para entrada como para la salda sean guales y que se analza el formato numérco para cada uno de los 4 tpos de bus de datos ndependentemente. 28

36 2.3. MODO ROTATION PARA EL CORDIC HIPERBÓLICO. Las funcones obtendas en este modo son seno hperbólco y coseno hperbólco, por lo cual el formato de Z es fjado al nco; mentras que con el valor máxmo de Z se halla el formato para las otras varables. Además se consdera que X = A n (para el caso del sstema hperbólco), por lo que se halla el valor An en cada caso según el número de teracones adconales y normales que se mplementan. De esta manera se puede comprobar s es que no exste nngún desborde y s se puede representar el valor de X, Y y Z con el formato establecdo CASO 2 BITS En este caso, el formato escogdo para Z es [2 ]. Observando que Z se encuentra en el rango de valores de [ ]. Para defnr el número de teracones adconales a utlzar, es necesaro tener en cuenta el máxmo valor que puede tomar Z, ya que el algortmo busca que Z sea cero. Para 2 bts, Z tomará como valor máxmo -2, por lo que según la tabla 2., es necesaro una teracón adconal con lo que se cubre este valor. Y en el caso del formato de X e Y se hallan los valores que toman las funcones mplementadas seno y coseno hperbólco para Z= -2. Snh(-2) = Cosh(-2) = Tomando en consderacón el valor del coseno hperbólco, que es el de mayor valor, se observa que son necesaros 3 bts de parte entera para cubrr todo el 29

37 rango de valores posbles en la entrada. Además se comprueba que no hay desborde en esas varables hallando A n = y X = para el total del número de teracones halladas con el formato de Z. Al gual que para el Sstema Crcular se ejecutó el algortmo en MATLAB y no se encontró nngún desborde en los valores ntermedos. Fnalmente los formatos para las varables son: X = [2 9] Y = [2 9] Z = [2 ] A contnuacón se muestra la tabla de teracones que se usarán en este modo para este bus de datos. I Valor Valor 3E Tabla 2.6 Valores de la tabla de datos para 2 bts CASO 6 BITS El formato escogdo para Z es [6 3] en este caso. Con este formato establecdo se observó que Z se encuentra en el rango de valores de [ ]. Para esos valores se halla que para el valor máxmo de Z= - 4, el número de teracones adconales es 3 para cubrr ese valor (ver tabla 2.); además con el máxmo valor de Z, X e Y quedan defndas con los sguentes valores. 3

38 Snh(-4) = Cosh(-4) = Tomando en consderacón el valor del resultado para el coseno hperbólco, se halla que son necesaros 6 bts de parte entera para cubrr todo el rango de valores posbles en la entrada, por lo tanto X e Y = [6 ]. Además se comprueba que no hay desborde para el valor ncal de X, hallando que A n = x -2 y X = para el total del número de teracones establecdas para ese formato. Al gual que para los casos anterores se probó el algortmo en MATLAB y no se encontró nngún desborde en los valores ntermedos. Fnalmente los formatos para las varables son: X = [6 ] Y = [6 ] Z = [6 3] A contnuacón se muestra la tabla de teracones que se usarán en la arqutectura de este modo para este tpo de bus de dato. I Valor Valor -2 36F B F C Tabla 2.7 Valores de la tabla de datos para 6bts. 3

39 Se analzó para el formato de Z =[6 2] pero se perde mucha precsón en los bts de la parte decmal, por lo que se optó por el anteror CASO 24 BITS Para 24 bts el formato escogdo para Z es [24 2]. En este caso se observa que Z se encuentra en el rango de valores de [ ]. Consderando que el valor máxmo a representar es 8, se observó que son necesaras 5 teracones adconales (ver tabla 2.). Para ese msmo valor de Z se halla que X e Y quedan defndas con los sguentes valores. Snh(-8) = Cosh(-8) = Tomando en consderacón el valor del coseno hperbólco se halla que son necesaros 2 bts de parte entera para cubrr todo el rango de valores posbles en la entrada, por lo tanto X e Y =[24 2]. Además se comprueba a que no hay desborde en esas varables hallando A n =4.3525x -3 y X = para el total del número de teracones que se muestran en la tabla 2.8. Tambén para este caso se probó el algortmo en MATLAB y se encontró que para la teracón el valor de X e Y sobrepasan el formato establecdo (X= e Y= ) por lo que se requere aumentar a X e Y en un bt más en la parte entera. Por lo tanto el formato de X e Y para la arqutectura nterna es [25 2]. Fnalmente los formatos para las varables son: X = [24 2] Y = [24 2] Z = [24 2] 32

40 Se analzó para el formato de Z =[24 9] pero se necestan todo los bts como parte entera sendo nefcente para este dseño. A contnuacón se muestra la tabla de teracones que se mplementa en la arqutectura. I Valor Valor -4 26CE B78CE 9 8-5AA6 4 F C9F C B B Tabla 2.8 Valores de la tabla de datos para 24bts CASO 32 BITS Para 32 bts el formato escogdo para Z es [32 27]. Con este formato establecdo se observó que Z se encuentra en el rango de valores de [ ]. Tomando en cuenta que el máxmo valor de Z es -6, la tabla 2. nos ndca que son necesaras 8 teracones adconales. Además para ese msmo valor se encuentra que X e Y toman los sguentes valores. Snh(-6) = x 6 Cosh(-6) = x 6 33

41 Consderando el valor del coseno hperbólco, como en los demás casos, se halla que son necesaros 24 bts de parte entera para cubrr todo el rango de valores posbles en la entrada, por lo tanto X e Y = [32 8]. Además se comprobó que con ese formato se puede representar el valor ncal X, hallando que A n =2.7737x -6 y X = x 5 para el total del número de teracones. Al ejecutar el algortmo en MATLAB se encontró que para la teracón el valor de X e Y sobrepasan el formato establecdo (X = 2.32x 6 e Y = 2.32x 6 ) por lo que se debe aumentar a X e Y en 2 bts mas en la parte entera para corregr esto. Este cambo se hace nternamente, por lo tanto el formato de X e Y para la arqutectura nterna es [34 8]. Fnalmente los formatos para las varables son: X = [32 8] Y = [32 8] Z = [32 27] A contnuacón se muestra la tabla de teracones que se usaran en este modo para 32 bts. Valor Valor -7 BB8BAC F285B 6 2AB -5 62A4FE E DBC AD5BD 7C89CAC FA9F B5DF AC4 6 8 Tabla 2.9 Valores de la tabla de datos para 32bts. 34

42 Se analzó para el formato de Z =[32 26] pero son necesaros 47 bts de parte entera y esto es mposble. No se opto por hacer [32 28], ya que este formato no presenta gananca en rango respecto a la de 24 bts MODO VECTORING PARA EL CORDIC HIPERBÓLICO. Debdo a que la funcón obtenda con este método es la arco tangente hperbólco, cuyo argumento vara en el rango de <-, > y dado que el valor del argumento depende tanto de la varable X e Y (ver ecuacón 5), los valores que tomaran esas varables serán: X = e Y = <-, >, por lo que es necesaro aprovechar la máxma cantdad de bts de la parte fracconara, y que X e Y tengan el msmo formato ya que estos realzan operacones conjuntamente; es por ello que la parte entera para cada bus de datos en este modo será de 2 bts. Para hallar el formato de Z será necesaro calcular el valor de la arco tangente hperbólca para cada caso y encontrar el número de teracones adconales para hacer corresponder su valor en la varable Z CASO 2 BITS El formato para X e Y es de [2 ] en ambos casos, con lo que para el formato de Z es necesaro consderar lo sguente: El valor máxmo de Y que se obtene con este formato ( bts de parte fracconara) es , la arco tangente hperbólca de este valor será θ = Debdo a que con este valor no se puede alcanzar con las teracones normales como en el caso del modo rotaton se hará uso de la expansón descrta en el capítulo ; de la tabla 2. se 35

43 encuentra que el número de teracones necesaras es 3; con estas teracones el θ max = Para representar el ángulo para Y max será necesaro 3 bts de parte entera. Sn embargo, analzando los valores obtendos en todas las teracones en MATLAB, hallamos que para una teracón ntermeda el valor obtendo para Z es 4.4, por lo que será necesaro extender un bt más en la parte entera de Z. Este cambo se hará en la mplementacón de la arqutectura nterna. Entonces, el formato para Z es de [2 9] y en el bus nterno es de [3 9]. Fnalmente los formatos para las 3 varables son: X = [2 ] Y = [2 ] Z = [2 9] Con este formato la tabla de teracones para Z se muestra en la sguente tabla. Valor I Valor -2 36F 4 2-2B5 5 F Tabla 2. Valores de la tabla de datos para 2bts CASO 6 BITS El formato para la entrada X e Y es [6 4], y para hallar el formato de Z es necesaro consderar que el valor máxmo que se obtene con este formato (4 bts de parte fracconara) es , la arco tangente hperbólca para ese valor es θ = Para este caso el número de teracones necesaras adconales es 4 (ver tabla 2.); ya que con este valor se obtene un 36

44 θ max = 7.23 aproxmadamente. Con estos valores se calculó que son necesaros 4 bts para cubrr ambos casos. Por lo que el formato de Z es: [6 2]. Fnalmente los formatos para las 3 varables son: X = [6 4] Y = [6 4] Z = [6 2] En este caso, no se presenta desborde después de analzar los resultados con el programa MATLAB. Valor I Valor B AA 7 2 F9 8 8CA Tabla 2. Valores para la tabla de datos de 6bts CASO 24 BITS Para este caso, el formato para la entrada X e Y es [24 22] y para hallar el formato de Z es necesaro consderar que el valor máxmo que se obtene con este formato (22 bts de parte fracconara) es , la arco tangente hperbólca para ese valor es θ = De la tabla 2., se halló que el número de teracones adconales necesaras es 5. Con estas teracones se obtene que el θ max = , además se observó que solo se requeren 4 bts de parte entera pero con MATLAB, se halló que para una teracón ntermeda el valor que se acumula requere 5 bts de la parte entera. Por lo tanto la arqutectura de la 37

45 parte nterna tene un formato para Z = [24 9]. Fnalmente los formatos para las 3 varables son: X = [24 22] Y = [24 22] Z = [24 2] Con este formato la tabla de teracones para Z se muestra en la sguente tabla. Para este caso, el número de teracones normales posbles es 2, pero dado que el número máxmo establecdo de teracones normales es 6, solo se consdera hasta este valor. Valor I Valor -4 26CE B78CE 9 8-5AA6 4 F C9F C B B Tabla 2.2 Valores para la tabla de datos de 24bts CASO 32 BITS El formato para la entrada X e Y es [32 3] y para hallar el formato de Z se consderó que el valor máxmo que se obtene con este formato (3 bts de parte fracconara) es , el arco tangente hperbólco para ese valor es θ = De la tabla 2., se halló que el número de teracones 38

46 adconales necesaras es 6. Con estas teracones se obtene que el θ max = 2.36 aproxmadamente. Con estos valores se observó que solo se necestan 5 bts de parte entera por lo que el formato de Z será [32 27]. Fnalmente los formatos para las 3 varables son: X = [32 3] Y = [32 3] Z = [32 27] Con este formato la tabla de teracones para Z se muestra en la tabla 2.3. Para este caso, el número de teracones normales posbles es 27; pero al gual que para 24 bts solo se consdera hasta 6. Valor I Valor -5 62A4FE 6 2AB E DBC AD5BD 2 7C89CAC 464FA9F B5DF AC Tabla 2.3 Valores para la tabla de datos de 32bts. 2.4 ANÁLISIS DEL FORMATO NÚMERICO PARA EL SISTEMA LINEAL. Para este análss, es necesaro consderar que debdo a la lmtacón del algortmo solo se puede obtener multplcacones y dvsones en un rango muy 39

47 pequeño. Al gual que en el sstema hperbólco es necesaro una expansón como se explcó anterormente, la cual nos permte expandr el rango a medda que aumentemos el tamaño de los buses de datos. Tanto para el caso de la multplcacón y la dvsón se escogó un óptmo formato. Además de consderar que el sgno de la dvsón dependerá del valor que tenga la varable Y para el caso de la dvsón. A contnuacón se analzará para cada bus de datos por separado MODO ROTATION PARA EL CORDIC LINEAL. Como se observa en la ecuacón 9, en este modo es necesaro que la varable Y sea ; de esta manera se podrá obtener el valor de la multplcacón entre X y Z en la varable Y. Al gual que en los sstemas anterores se analzará el formato con cada tpo de bus. Es necesaro que Z tenga el msmo formato que las varables X e Y, ya que el valor que se desea obtener, es la multplcacón de las varables ncales X y Z. A contnuacón se analza para cada tamaño de bus de datos CASO 2 BITS En este caso, se parte de un formato ncal [2 ] para las varables X, Y y Z. Al multplcar 2 señales con el msmo formato se obtene una respuesta con un formato de [24 2], pero al nco se especfcó que como salda debemos tener una señal de gual cantdad de bts que la señal de entrada; el formato de salda de la señal será de [2 8], ya que se tene que conservar la parte entera. Es por 4

48 eso, que para obtener esa repuesta se necesta que a los datos de entrada se le asgne 2 bts más en la parte entera en la arqutectura nterna y no perder precsón en la parte fracconara. Con el formato de entrada defndo se obtene valores en el rango [-2.99], el máxmo número obtendo para la multplcacón será -4, por lo que se necesta de 2 teracones adconales (ver tabla 2.4). Las teracones normales quedan defndas por el mínmo valor que se pueda obtener con el formato nterno [4 ]. Por lo cual la tabla de datos para las teracones necesaras en este caso es: Valor Valor Tabla 3.3 Valores para la tabla de datos de 32bts CASO 6 BITS Para el caso de 6 bts, se ampla el rango de entrada utlzando el formato de las varables [6 3]. De esta manera, al multplcar las varables X y Z con ese formato se obtene una respuesta de [32 26], pero ya que solo se utlzan 3 bts, la respuesta de salda en la varables X, Y y Z tene el formato [6 ]. Por lo que se observó que es necesaro agregar 3 bts más de parte entera en la arqutectura nterna para procesar los datos correctamente, quedando el formato [9 3] en la arqutectura nterna para esas varables. 4

49 Para determnar el número de teracones adconales, es necesaro saber que el máxmo número obtendo con ese formato [ ] en la multplcacón será -6. Entonces se necesta 4 teracones adconales (ver tabla 2.5) y dado que el formato es [9 3], el número máxmo de teracones normales es 4. Fnalmente la tabla de datos para 6 bts queda defnda con los sguentes valores para las teracones. Valor Valor Tabla 2.5 Valores para la tabla de datos de 6bts CASO 24 BITS Para este caso, se le agrega un bt más en la parte entera para amplar el rango de entrada, obtenéndose con esto el formato [24 2] para las varables de entrada. Al gual que los casos anterores al multplcar las entradas con ese formato se obtene un salda con el formato [48 4]. Lmtando esta salda a 24 bts, el formato queda defndo por [24 6], es por ello que nternamente se tene que agregar 4 bt más en la parte entera; por lo cual el formato queda defndo en [28 6] para la arqutectura nterna. 42

50 El número de teracones adconales es defndo por el máxmo valor que se obtene con el formato [ ] para la multplcacón, el cual es 64. Para ello se encontró que son necesaras 6 teracones adconales, y como máxmo 2 teracones normales (ver tabla 2.6), pero al gual que en los sstemas coordenados anterores, el número de teracones normales esta lmtado a 6, quedando defndas en la sguente tabla. Valor Valor Tabla 2.6 Valores para la tabla de datos de 24 bts CASO 32 BITS Para 32 bts tambén se sgue el msmo procedmento, se ampla el rango de valores enteros por lo que el formato de entrada queda defndo en [32 27]. Al multplcar señales del msmo formato se obtene una respuesta con el sguente formato [64 54]. Como se observa se necestan bts de parte entera, por lo cual 43

51 se tene que agregar en la arqutectura nterna 5 bt más para obtener la salda en el formato deseado. Con el formato de entrada defndo se obtenen valores en el rango de [ ], sendo el máxmo valor consegudo en la multplcacón de X y Z es 256. Para este valor se necestan 8 teracones adconales, y el máxmo número de teracones normales es 27, pero al gual que los casos anterores este valor se lmta a 6 teracones. A contnuacón se presenta la tabla de datos para 32 bts. I Valor Valor Tabla 2.7 Valores para la tabla de datos de 32 bts MODO VECTORING PARA EL CORDIC LINEAL. En el modo vectorng, la funcón mplementada es la dvsón. Como se observó en (2), la operacón de dvsón depende del valor que tengan las varables X e Y en la entrada, mentras que la salda está defnda en la varable Z. La consderacón 44

52 que se debe tener para este caso es que Z = con lo que se obtene el resultado real en la varable Z. En el caso de la dvsón los datos de entrada deben estar lmtados en el dvdendo (ver Capítulo ), ya que al ser este un valor muy pequeño, el resultado será muy grande, y no se puede representar con el tamaño del bus de datos desgnado. Es por eso que se hace un balance entre la salda y la entrada. A contnuacón se analza cada caso por separado CASO 2 BITS Al gual que el modo rotaton los datos ncales de entrada X e Y tendrán el formato [2 ]. Mentras que el dato de salda queda fjado en [2 6], para que tenga 6 bts de parte fracconal y 6 bts de parte entera. Este formato se utlza en la varable Z; de esta manera se obtene un rango más amplo, hasta valores menores que 64. Por lo cual Y puede tomar todos los valores de entrada mentras que X toma valores mayores que.99/64 ([ ]). Con estos valores se observó que para representar valores de hasta 64, se necestan 5 teracones adconales y 7 teracones normales. I Valor Valor Tabla 2.8 Valores para la tabla de datos de 2 bts. 45

53 CASO 6 BITS El rango de entrada tambén se ampla en bt más para este caso, sendo el formato de entrada [6 3] para las varables X e Y; y para el resultado se defne el formato de [6 8] para la varable Z. Con este formato se obtene como valor máxmo 256, dando como rango posble para el dvdendo valores entre [ ]. Con el formato establecdo para Z se halla que se necestan 6 teracones adconales, y además se utlza 9 teracones normales. En la tabla 2.9 se muestra los valores para la tabla de datos para el caso de 6 bts. Valor Valor Tabla 2.9 Valores para la tabla de datos de 6 bts CASO 24 BITS En este caso se partó de que el formato de entrada para las varables X e Y es [24 2], y que el formato de salda para Z es [24 2]. De esta manera el máxmo valor que se obtene como resultado es 24, quedando lmtado el rango de entrada para X en [ ]. Para representar esto valores de la dvsón se 46

54 tene que añadr teracones en la expansón y 3 teracones normales, cuyos valores se muestran en la tabla 2.2. Valor Valor Tabla 2.2 Valores para la tabla de datos de 24 bts CASO 32 BITS Para este caso de 32 bts, tamben le agregamos bt más a la parte entera, con ello se obtene un formato de [32 27] para las varables X e Y; y para el formato de salda se obtene [32 6]. Con este formato de salda se obtuvo una respuesta de hasta 65536, con lo cual la entrada X queda lmtada al rango [ ]. Como se observa el rango se ampla bastante, pero a costa de más teracones, ya que para lograr obtener valores en ese rango se necestan 4 teracones adconales más 6 teracones normales. Esto se puede aprecar en la tabla 2.2 que muestra los valores para la tabla de datos en 32 bts. 47

55 I Valor I Valor Tabla 2.2 Valores para la tabla de datos de 32 bts. Como se puede observar para amplar el rango de convergenca, es necesaro ncrementar los recursos lógcos y agregar más teracones, lo que ncrementa el tempo de procesamento. 48

56 CAPÍTULO 3 IMPLEMENTACIÓN DEL ALGORITMO CORDIC PARA CADA SISTEMA

57 Para la mplementacón de las arqutecturas se tuvo en cuenta las sguentes consderacones de dseño: el ancho de palabra de los datos de entrada (vector (X, Y ) y el ángulo Z ), la funcón que se desea desarrollar y la arqutectura que se va a utlzar (seral, teratva, ppelne), así como ajustar los datos de entrada y salda al algortmo con el cual se va a trabajar. Con ello, el sstema va a constar de cnco partes prncpales (ver fgura 3.): señales de entrada que son las señales de datos y control con las cuales se va a trabajar, bloque de pre procesamento que se encarga de acomodar las señales de datos de entrada para que sean compatbles con el bloque de procesamento, bloque de procesamento del algortmo CORDIC en el cual se desarrolla la operacón deseada, bloque de post procesamento que ajusta el tamaño de palabra de los resultados y estos puedan ser leído externamente y fnalmente las señales de salda que muestran los resultados e ndca cuando estos están lstos para ser leídos. X_ X_n Y_ PRE PROCESAMIENTO POST Y_n Z_ PROCESAMIENTO DEL ALGORITMO PROCESAMIENTO Z_n INICIO CORDIC CLOCK doneq RESET Parámetros: Funcón Ancho de palabra Tpo de Arqutectura Fgura 3. Dagrama de bloques general de la mplementacón del CORDIC Un crtero mportante en la mplementacón del programa es el factor de precsón de datos para cada sstema [4]. Este factor, conocdo como rule of thumb, 5

58 expresa lo sguente: S n bts se desean con precsón a la salda, los regstros nternos deben tener log2(n) bts de guarda en los bts de menor poscón (LSB) [4]. Esta consderacón, aunque arbtrara, ha sdo probada que trabaja muy ben para este caso. Otra consderacón a tener en cuenta, es el análss hecho en el capítulo 2, ya que este nos ndca el número de teracones necesaras según el tamaño del bus. A contnuacón se analza cada sstema por separado. 3. ARQUITECTURAS PARA EL SISTEMA CIRCULAR Las arqutecturas presentes en este análss mplementan el algortmo CORDIC Crcular representado en la ecuacón 6. Se emplearon regstros, desplazadores y sumadores/restadores del tamaño hallado en el análss anteror (ver capítulo 2). Los 3 tpos de arqutectura mplementados son: Iteratva, Seral y Ppelne. Antes de descrbr cada tpo de arqutectura, es necesaro defnr la nomenclatura que es usada en el dagrama de bloques. n= número de bts entrada/salda. N= número de teracones normales. ng= log2(n), número de bts de guarda. nz= número de bts en la arqutectura nterna para la varable Z nr n+ng, número de bts en la arqutectura nterna para las varables X e Y. 52

59 3.. ARQUITECTURA ITERATIVA En la arqutectura teratva fue necesaro defnr una máquna de estados (ver fgura 3.2); en la cual se observa que posee 2 estados de procesamento. S, defndo como estado ncal, esta a la espera que se actve en alta la señal de nco (s). Este pulso en alta ndca al sstema que los datos de entrada están lstos para su captura colocando la señal s_xyz= y luego pasa al estado sguente. En el estado S2, se realza el procesamento de las señales con la ejecucón del algortmo para la obtencón de las funcones escogdas al nco. S S? E_X, E_Y, E_Z s_xyz S2 s_xyz mode d not (nbtsz) d Y(nbtsxy) = N + done Fgura 3.2 Dagrama de estados de la arqutectura Iteratva La máquna de estados maneja las operacones lógcas y artmétcas que se realzan en esta arqutectura (fgura 3.3), donde se permte el ngreso de los datos 53

60 ncales (X, Y, Z ) s la señal s_xyz=, caso contraro entran los datos realmentados. Dependendo del modo de operacón en que se encuentre el algortmo, se escoge el valor de la varable d, ya sea con el sgno de la varable Z s el modo es Rotaton (5), o con el sgno de la varable Y s el modo es Vectorng (9). Fnalmente s el valor del número de teracones defndo por n (, 5 o 6) llega al valor deseado, se regresa al estado ncal; sno se ncrementa el número de teracones y se realza el procedmento para la sguente rotacón. Fgura 3.3 Arqutectura Iteratva del CORDIC Crcular Los regstros utlzados son de nr bts para la señales X e Y, ya que se necesta, para el modo rotaton, añadr un bt mas a la parte entera (ver capítulo 2); mentras que para Z, el regstro utlzado es de n bts. En la operacón de suma y/o resta con el regstro Z se utlzó una tabla de datos que tene la forma atan(2 - ), la cual contene los valores de las tablas 2.2, 2.3, 2.4 y

61 A contnuacón se muestra el dagrama de tempo para el caso del modo rotaton para 2 bts, en el que se observa que el tempo de procesamento para obtener los resultados después de actvar la señal s, depende del número de teracones. Fgura 3.4 Dagrama de tempo para 2 bts en modo Vectorng. Se observa que el tempo de obtencón de datos valdos desde que se presona la tecla de nco es de cclos de reloj. Esto se debe a que cada teracón toma un cclo de reloj para ejecutarse. Por tal motvo, el resultado para 6, 24 y 32 bts es 5, 6 y 6 cclos de reloj respectvamente para ambos modos de procesamento ARQUITECTURA SERIAL Al gual que en la arqutectura Iteratva, se mplementa una máquna de estados (ver fgura 3.5). En este caso se utlza 3 estados, ya que los datos de entrada ngresados seralmente necestan un estado más para poder ser almacenados. Al gual que el caso anteror, en el estado S se espera que se actve la señal s para ncar la ejecucón del algortmo. En el estado S2 los datos de entrada se cargan seralmente, por lo que se utlza un contador para controlar que todos los 55

62 bts del dato se carguen correctamente. En el estado S3 se realza el procesamento de los datos para ello se usan 2 contadores, uno que ndca el tamaño del bus (señal p ), el msmo que se utlzo para S2, y el otro q verfque el número de teracones realzadas (señal ). S S? enable enable_z S2 data d_zq, e _ z q e_d p=n? S3 e_d sgno p=nr? d_z, e_zq p=nr? p=p+ = N? d_zq e_d e_zq = +, done Fgura 3.5 Dagrama de estados de la Arqutectura seral. La arqutectura seral (ver fgura 3.6) manejada por la máquna de estados descrta anterormente cuenta con un regstro de datos de entrada seral y salda 56

63 seral/paralela, además de utlzar multplexores, ya que dependendo del estado en que se encuentre, se escoge entre 2 tpos de entrada: el ncal o el realmentado. datax datay nr nr MUX MUX q q p DFFE e DFFE e d d e_d e_d data sgno sgno data Shft n X(nr-) y(nr-) Shft n nr bts ter nr bts ter MUX MUX X() x_desp sg_x (p-) >nr sg_y y_desp y() sumx_a sumx_b sumy_a sumy_b SERIAL ADD/SUB SERIAL ADD/SUB sumx_s d sumy_s Sg_z Sg_y modeq p dataz MUX data sg_z q p FF d Shft n Z(nz) E nz bts Z() sumz_a sumz_b SERIAL ADD/SUB sumz_s e e_d sgno d_zq d FF q MUX nz e e_zq ROM e_ Fgura 3.6 Dagrama de bloques de la Arqutectura Seral. Los multplexores srven para que al desplazarse los datos en las teracones se utlcen los msmos regstros para guardar la nformacón. Otra característca de esta arqutectura es que los datos deben estar sncronzados, por lo cual se 57

64 utlzan flp flops adconales que capturan el sgno del dato procesado en cada teracón, sn que este sea modfcado en el proceso. Tenendo en cuenta que Z tene menos bts que X e Y, es necesaro una señal que avse el termno de procesamento de toda la nformacón en cada teracón; es por ello que se utlza un flp flop como el habltador del regstro Z (ver fgura 3.6). Con este tpo de arqutectura se obtuvo el sguente resultado como se muestra en el dagrama de tempos (fgura 3.7). Fgura 3.7 Dagrama de tempo para 6 bts en el modo Vectorng. Se observa en el dagrama de tempos que la duracón en cargar el dato ncal es de 2 cclos de reloj, ya que debe cargarse los nr bts de datos de las varables X e Y como se observa en el estado 2 (ver fgura 3.6); mentras que la duracón en ejecutar las operacones de cada teracón es de (nr) x (N) cclos de reloj, donde N es el número de teracones, para este caso es 3 cclos de reloj. Fnalmente para los casos de 2, 24 y 32 se obtene como tempo de procesamento 76, 476 y 62 cclos de reloj respectvamente para ambos modos de procesamento. 58

65 3..3 ARQUITECTURA PIPELINE Este tpo de arqutectura no necesta de máquna de estados, ya que contene todo los regstros, sumadores y demás componentes de hardware necesaros para el procesamento en cada teracón (ver fgura 3.8). Fgura 3.8 Dagrama de bloques de la Arqutectura Ppelne En este caso no son necesaros multplexores para el desplazamento de las varables X e Y, ya que se asgna el dato desplazado como operando de sumador/restador. Así msmo los resultados de la smulacón de esta arqutectura se muestran en el sguente dagrama de tempos. Se puede observar que el resultado se obtene después de cclos de reloj, al gual que en la arqutectura teratva (ver fgura 3.9), pero para este tpo de arqutectura se obtene un nuevo resultado de operacón en el sguente cclo de reloj. 59

66 Fgura 3.9 Dagrama de tempo para 2 bts en modo Vectorng. 3.2 ARQUITECTURAS PARA EL CORDIC HIPERBÓLICO. Debdo a que en este sstema se mplementan las arqutecturas con expansón de rango de convergenca, y estas mplcan un cambo en la ejecucón de las ecuacones, se dvde el procesamento del algortmo en 2 etapas. En la prmera etapa se mplementa la expansón del algortmo para valores de, donde la ecuacón que se tene que mplementar (28) se dvde en 2 operacones consecutvas como se observa en la fgura 3.; y en la segunda etapa se mplementa las operacones para las teracones normales. Para este sstema tambén se consdera los bts de guarda [4] y el análss hecho en el capítulo 2. Las arqutecturas mplementadas son las msmas que para el CORDIC Crcular y la nomenclatura usada se defne a contnuacón. n= número de bts entrada/salda. N= número de teracones normales. M=número de teracones adconales. 6

67 ng= log2(n), número de bts de guarda. nz= número de bts en la arqutectura nterna para Z. nr n+ng, número de bts en la aqutectura nterna para X e Y ARQUITECTURA ITERATIVA. En este dseño es necesaro ncorporar un estado más en la máquna de estados de los que usa el CORDIC Crcular, ya que en este estado adconal se controla el procesamento para las teracones adconales. El estado para controlar la expansón es S2, mentras que en el estado S3 se controla las teracones normales tenendo en cuenta que se repten las teracones 4 y 3 (ver capítulo ). En el dagrama de bloques (fgura 3.) se observa en la parte superor la mplementacón para la expansón. Esta necesta 2 multplexores, 2 regstros, 4 sumadores y 2 desplazadores. Esta parte es la más crítca en el dseño, ya que añade un consderable retardo, el cual reduce la frecuenca de operacón. En la parte de nferor del dagrama de bloques se mplementan las teracones >, esta mplementacón es clásca y se encuentra en varos trabajos y documentos [5]. 6

68 S E_mode L dt Et Lj qt S? qt? dt Et qt E E_Xp E_Yp E_Zp S2 s_xyzp E_Xp E_Zp s_xyz E_Yp t = 3? dt Et qt t t + Et E dt mode? dp Yp(9) dp not(zp(5)) 2 cout_ j? Ej E_X E_Z E_Y S3 E_X E_Y E_Z s_xyz mode? d Y(9) d not(z(5)) cout_? 2 Fgura 3. Dagrama de estados de la Arqutectura Iteratva Hperbólca. 62

69 nr n X_ Y_ n nr n n Z_ s_xyzp nr nr nr bts 2 -j-2 dp +/- nr bts -j -2 2 n n bts n n s_xyzp LUT Tanh - (-2 -j-2 ) dp +/- +/- d dp +/- +/- s_xyz s_xyz nr bts nr bts n n bts n LUT2 Tanh - (2 -t ) -t /- d n +/- d +/- n Zn Xn Yn Fgura 3. Dagrama de bloques de la Arqutectura Iteratva Hperbólco. En la fgura 3.2 se muestra el dagrama de tempos para el caso de 2 bts para el modo vectorng. En este caso, el tempo de procesamento total es de 2 cclos de reloj, esto se debe a que aparte de las teracones normales (9) y la repetcón de la cuarta teracón, se añade 2 teracones adconales más (ver tabla 2.). Fnalmente el tempo de procesamento para la obtencón del resultado es M++N+v cclos de reloj, donde v es el número de teracones repetdas ( o 2). 63

70 Fgura 3.2 Dagrama de tempo para 2 bts en modo Rotaton ARQUITECTURA SERIAL Para este tpo de arqutectura se debe tener en cuenta retrasar los datos cuando se realza la parte de la expansón del rango de convergenca. Como se puede aprecar en la fgura 3.3 se le agrega la parte de expansón a la arqutectura seral del CORDIC Crcular. En este dagrama de estados se observan 4 estados, a dferenca de la arqutectura Iteratva, se le agrega un estado más (S2) para la carga ncal de las varables. En el dagrama de bloques mostrado en la fgura 3.4, se observa que para el desplazamento de datos se utlza un regstro de desplazamento con 2 multplexores; uno de los multplexores es para las teracones adconales y el otro es para las teracones normales; de esta manera se reduce el número de regstros desplazadores. 64

71 Fgura 3.3 Dagrama de bloques del CORDIC Hperbólco. 65

72 X_ n data p e_d sgn Shft n X(nr-) nr bts X() M+2(LSB) N(LSB) j +/- seral p<=(nr--a) d c exp +/- seral +/- seral p<=(nr--b) d d p<=(nr--a) +/- seral +/- seral exp d d Y_ n e_d data sgn N(LSB) M+2(LSB) y(nr-) nr bts Shft n p<=(nr--b) y() +/- seral d c p Z_ p data Shft n Z(5) E n bts Z() sg_z +/- seral d e_d d_zq sgn exp e_zq LUT (N+M+ values) Fgura 3.4 Dagrama de bloques del CORDIC Hperbólco. Como para el caso de la expansón se realzan 2 operacones de suma/resta consecutvas se colocó flp flops después de la prmera operacón para poder sncronzar los datos. Esta operacón extra que se realza se consdera en el estado S3, ya que aporta un cclo más de retardo en comparacón con la etapa 66

73 que ejecuta las teracones normales. A contnuacón se muestra el dagrama de tempos para una operacón en el modo rotaton de 2 bts de bus de datos. Fgura 3.5 Dagrama de tempos del CORDIC Hperbólco. El resultado para esta operacón se obtene después de 29 cclos de reloj. Esto se debe a que se demora 6 cclos de reloj en el estado S2, 7 cclos de reloj para la teracón adconal y x6 cclos de reloj para S3 (ver tabla 2.6). Fnalmente el resultado para cada operacón toma M.(nr+)+(N+v +).(nr) cclos de reloj, donde v es el número de teracones que se repten ARQUITECTURA PIPELINE Al gual que para el caso del CORDIC Crcular se mplementa el hardware necesaro para cada operacón. Como se observa en la fgura 3.6, para el caso de la expansón se mplemento regstros para cada una de las 2 operacones que se menconan anterormente; es por eso que para la varable Z es necesaro retrasar un cclo más de reloj para la sncronzacón de las varables. Estos cambos se hacen para evtar retardos en el procesamento, es por ello que según los parámetros descrtos anterormente se tene 2(M+)+N etapas. 67

74 Para obtener un resultado en esta arqutectura es necesaro esperar un retardo ncal de 2(M+)+N cclos de reloj. Esto se observa en la fgura 3.7, en la que para el caso de 24 bts en el modo vectorng son necesaros 28 cclos de reloj. n X_ n Y_ n Z_ STAGE M s nr bts s nr bts s n bts 2 -(M +2) nr bts +/- +/- nr bts nr bts 2 -(M +2) nr bts dp_(m+2) n bts Tanh - (-2- M-2 ) -/+ +/ STAGE 2-2 nr bts nr bts +/- +/- 2-2 d n bts nr bts nr bts nr bts nr bts n bts Tanh - (-2-2 ) -/+ +/- +/- +/- STAGE nr bts nr bts /- +/- d d n bts +/ Tanh - (2 - )... STAGE N nr bts 2 -N nr bts dn n bts Tanh - (2 -N ) 2 -N +/- +/- +/- nr bts nr bts nbts n n n Xn Yn Zn Fgura 3.6 Dagrama de bloques del CORDIC Hperbólco. 68

75 Fgura 3.7 Dagrama de tempos para 24 bts modo Vectorng. 3.3 ARQUITECTURAS PARA EL CORDIC LINEAL Tamben en este caso se mplemento los tres tpos de arqutectura menconados prevamente. Como se puede aprecar en la fguras sguentes exste un gran parecdo a la mplementacón del CORDIC Crcular, esto se debe a la gran smltud que tene tanto lo que corresponde a las teracones normales como a las teracones adconales. A contnuacón se explca el desarrollo para las 3 arqutecturas ARQUITECTURA ITERATIVA Debdo a la expansón del rango de convergenca para este sstema, se añadó un estado más en comparacón con el sstema crcular. Como se puede aprecar en el dagrama de estados (ver fgura 3.8), en el estado S se espera que actve en alta la señal nco s para poder pasar al sguente estado. En el estado S2 las operacones realzadas son la de expansón, y como se ndcó anterormente, se le 69

76 ndca al regstro de desplazamento utlzado, medante la señal dreccón, que el desplazamento es para la zquerda. Para que ocurra el cambo del estado de S2 a S3, el contador de teracones adconales debe llegar a su fn. En el estado S3, se realzan las teracones normales y el procedmento segudo es báscamente el msmo que en el sstema crcular, solo que en este caso la varable X no se modfca. Fgura 3.8 Dagrama de estados para la arqutectura Iteratva. 7

77 En la fgura 3.9 vemos el dagrama de bloques propuesto para la arqutectura teratva, el procedmento que se sgue es muy parecdo a los dos sstemas anterores. Se dvdó en un bloque la expansón, mentras que el otro bloque se desarrolla las teracones normales. X_ n Y_ n nr n n Z_ s_xyzp s_xyzp n LUT nr bts 2 -M nr bts nz bts n n 2 -M dp +/- +/- dp s_xyz s_xyz LUT2 2 -N nr bts n nz bts n 2 -N n d n +/- +/- d Xn Yn Zn Fgura 3.9 Dagrama de bloques para la arqutectura Iteratva. Fgura 3.2 Dagrama de tempos para 2 bts en el modo Vectorng. 7

78 En el dagrama de tempo se observa que son necesaros 2 cclos de reloj para obtener la respuesta en este modo, esto se debe a que se utlzan 7 teracones normales y 4 teracones adconales. Es por ello que una operacón con esta arqutectura demanda M+N cclos de reloj para la obtencón del resultado ARQUITECTURA SERIAL Para el caso de la arqutectura seral, el dseño mplca otro estado más, en el cual se cargan los datos seralmente. Entonces el prmer estado S, está a la espera de la señal nco s para pasar al estado S2 y cargar los datos ncales seralmente. Las operacones para ejecutar las teracones normales y adconales se realzan en el estado S3 y S4 respectvamente (ver fgura 3.2). En el dagrama de bloques se observa que se dvden en 2 etapas el procesamento. Esta mplementacón es muy parecda en ambos casos. El tempo de procesamento para obtener un resultado es de (M+N+).nr cclos de reloj (ver tabla 3.3), es por eso que para el caso de la fgura 3.23 el resultado se obtene después de 247 cclos de reloj. 72

79 Fgura 3.22 Dagrama de estados para la arqutectura Seral. 73

80 Fgura 3.2 Dagrama de bloques para la arqutectura Seral. Fgura 3.23 Dagrama de tempo de 2 bts para el modo Rotaton. 74

81 3.3.3 ARQUITECTURA PIPELINE En esta arqutectura no es necesaro máquna de estados, se puede aprecar que se utlza un regstro para cada operacón de teracón. La mplementacón es la msma tanto para la expansón como para el rango normal, la únca dferenca es que en el prmero los datos se desplazan haca la zquerda, mentras que en el segundo los datos se desplazan a la derecha. Se observa además que solo se utlzó un regstro para la varable X, ya que es necesaro guardar el valor ncal de dcha varable. En el dagrama de tempos (ver fgura 3.25) se muestra que los resultados para el caso de 2 bts para el modo rotaton se obtene después de cclos de reloj. Este tempo se debe a que se procesan 7 teracones normales y 4 teracones adconales (ver tabla 2.8). Fnalmente para cada caso el resultado se obtene después de M+N cclos de reloj. Fgura 3.24 Dagrama de bloques para la arqutectura Ppelne. 75

82 Fgura 3.25 Dagrama de tempo de 2 bts para el modo Vectorng. 76

83 CAPÍTULO 4 RESULTADOS Y ERROR RELATIVO

84 4. RESULTADOS DE LA IMPLEMENTACIÓN EN EL FPGA El rendmento de las arqutecturas mplementadas (ver capítulo 3) se realzó para tres famlas de FPGAs (STRATIX, STRATIX II, CYCLONE) y empleando el complador del programa QUARTUS II v. 5. ambos del fabrcante Altera. Se recopló la frecuenca máxma de operacón (Fmax), el uso de elementos lógcos (LEs) y el porcentaje que ocupa la mplementacón en el dspostvo para cada caso a partr de los tamaños de palabras (N Bts) vstos (2, 6, 24 y 32 bts). 4.. RESULTADOS PARA EL CORDIC CIRCULAR. En el modo vectorng la funcón mplementada es el arco tangente mentras que en el modo rotaton se mplementan las funcones seno y coseno. Vendo el tpo de arqutectura (ver tabla 4. y 4.2), el ppelne posee Fmax de más del doble del teratvo y mayores al seral, pero ocupa más LEs que el teratvo y el seral, sendo este últmo el de menor ocupacón de recursos. Según el número de Bts, los mejores resultados se obtenen cuando el número de bts es pequeño con la desventaja del decamento en la precsón del resultado (ver capítulo 3). En el dspostvo de la famla Stratx II se tenen las más altas Fmax y la menor ocupacón de LEs. 78

85 STRATIX CYCLONE STRATIX II EPSF484C5 EPC4F324C6 EP2S5F484C3 TIPO N BITS Fmax LEs %LEs Fmax LEs % LEs Fmax LEs % LEs ITERATIVO SERIAL PIPELINE % % /52 % % % /64 % % % /89 2% % % /3 3% % % /64 <% % % /78 % % % /2 % % % /27 % % % /497 4% % % /924 7% % % /39 % % % /799 4% Tabla 4. Resultados para el modo Vectorng- CORDIC Crcular. STRATIX CYCLONE STRATIX II EPSF484C5 EPC4F324C6 EP2S5F484C3 TIPO N BITS Fmax LEs %LES Fmax LEs %LES Fmax LEs %LES % % /5 % % % /62 % % % /87 2% % % / 3% % % /64 <% % % /77 % % % / % % % /26 % % % /475 4% % % /896 7% % % /36 % % % /769 4% ITERATIVO SERIAL PIPELINE Tabla 4.2 Resultados para el modo Rotaton- CORDIC Crcular RESULTADOS PARA EL CORDIC HIPERBÓLICO. 79

86 Los resultados obtendos para cada modo de procesamento se muestran en las tablas 4.3 y 4.4. STRATIX CYCLONE STRATIX II EPSF484C5 EPC4F324C6 EP2S5F484C3 TIPO N BITS Fmax LEs %LES Fmax LEs %LES Fmax LEs %LES % % /99 2% % % /23 2% % % /72 4% % % /22 5% % % /77 % % % /89 % % % /5 % % % 3. 34/39 2% % % /75 6% % % /24 % % % /2335 9% % * *26% /324 26% ITERATIVO SERIAL PIPELINE Tabla 4.3 Resultados para el modo Vectorng- CORDIC Hperbólco. STRATIX CYCLONE STRATIX II EPSF484C5 EPC4F324C6 EP2S5F484C3 TIPO N BITS Fmax LEs %LES Fmax LEs %LES Fmax LEs %LES % % /98 2% % % /27 3% % % /76 4% % % 2. 79/228 6% % % /76 % % % /92 % % % /7 % % % /44 2% % % /66 5% % % /28 % % % /2389 9% % * *3% /3795 3% ITERATIVO SERIAL PIPELINE Tabla 4.4 Resultados para el modo Rotaton- CORDIC Hperbólco. 8

87 * Para el caso de 32 bts en ambos modos de procesamento (ver * en tablas 4.3 y 4.4) se utlzó otro dspostvo de CYCLONE-EPC2F324C6, ya que debdo a el gran uso de recursos de hardware que se utlzan para este tpo de arqutectura, no se puede mplementar en el dspostvo desgnado al nco. En este sstema la funcón mplementada para el modo vectorng es la funcón arco tangente hperbólco y para el modo rotaton las funcones seno y coseno hperbólco. Al gual que para el CORDIC Crcular las Fmax más altas se obtenen con la famla Stratx II; además podemos aprecar que debdo a la expansón se ncrementa el usos de LEs en comparacón con el caso anteror sn embargo la Fmax no dsmnuye, ya que el procesamento se separó en 2 etapas. Se observa que la Arqutectura Seral presenta un balance entre los LEs usados y la Fmax obtenda respecto a las otras 2 arqutecturas pero como se observo anterormente (capítulo 3) el resultado se obtene en un tempo mucho mayor que los otros casos RESULTADOS PARA EL CORDIC LINEAL. Las funcones mplementadas para este caso son la funcón dvsón para el modo vectorng y la funcón multplcacón para el modo rotaton. Los resultados de la complacón se muestran en las tablas 4.5 y 4.6. Se observa que para el caso del modo vectorng (tabla 4.5), cuya funcón mplementada es la dvsón, se utlza el doble de elementos lógcos que para la mplementacón de la funcón multplcacón, esto se debe a que se ejecutan más teracones que el prmero 8

88 (ver tabla 2.2). En la arqutectura ppelne se presentan las más altas Fmax en comparacón con los otros sstemas llegando a los KHz para 2 bts en la Stratx II. Para el caso de la multplcacón, modo rotaton, se obtene un mejor rendmento en cuanto a LEs utlzados y Fmax obtenda. Tambén se observa que para el dspostvo de CYCLONE se utlza menos de la mtad de %Les. en el caso extremo (32bts modo vectorng). STRATIX CYCLONE STRATIX II EPSF484C5 EPC4F324C6 EP2S5F484C3 TIPO N BITS Fmax LEs %LES Fmax Les %LES Fmax Les %LES ITERATIVO SERIAL PIPELINE % % /86 % % % / % % % /6 2% % % /23 3% % % /74 <% % % /9 % % % /25 % % % /6 2% % % / 2% % % /345 4% % % /79 7% % % /2 3% Tabla 4.5 Resultados para el modo Vectorng- CORDIC Lneal. STRATIX CYCLONE STRATIX II EPSF484C5 EPC4F324C6 EP2S5F484C3 TIPO N BITS Fmax LEs %LES Fmax LEs %LES Fmax Les %LES ITERATIVO SERI AL % % /85 % % % / % % % /56 2% % % /26 3% % % /7 <% % % /87 % 82

89 PIPELINE % % /4 % % % /43 2% % % /284 2% % % /589 4% % % /23 8% % % /328 % Tabla 4.6 Resultados de smulacón para el modo Rotaton- CORDIC Lneal. 4.2 ERROR RELATIVO PARA CADA SISTEMA. Se defnó el error relatvo para cada sstema (29) como los valores obtendos en las smulacones hechas en QUARTUS II 5. que se contrasta con los valores obtendos en MATLAB. Es decr, los datos de entrada en la smulacón son transformados según el formato que les corresponde (ver capítulo 2) en MATLAB y son procesados con la funcón que se desea comparar. Por otro lado los valores de los resultados obtendos en la smulacón para la funcón mplementada son transformados según su formato de salda con el msmo programa y son comparados en la fórmula de error relatvo, sendo el valor deal, el hallado con el programa MATLAB. ValorIdeal ValorCORDIC Error Re latvo = (29) ValorIdeal 4.2. ERROR RELATIVO PARA EL CORDIC CIRCULAR 83

90 Para este caso se halló el error relatvo para las funcones seno, coseno y arco tangente. a b c d Fgura 4. Error Relatvo para la funcón Arco Tangente a) 2, b) 6, c) 24 y d) 32 bts Como se puede observar, se apreca una dsmnucón de error al aumentar el ancho del bus de datos. Otro detalle que se observa en el caso del arco tangente es que presenta un error relatvo alto para valores cercanos a cero. Esto se debe a que los bts asgnados para la parte fracconal no son los necesaros para obtener una buena precsón en cuanto a resultados muy pequeños. Además se 84

91 observa que no es aprecable la dferenca entre el error relatvo para los valores hallados cuando el bus de datos es 24 bts y cuando es 32 bts, sn embargo el valor del error dsmnuye para valores cercanos, esto se debe al ncremento de bts de parte fracconal para el caso de 32 bts. a b c d Fgura 4.2 Error Relatvo para la funcón Coseno a) 2, b) 6, c) 24 y d) 32 bts Como se puede aprecar, el error aumenta en los extremos de las msmas, esto se debe a que el coseno para los ángulos cercanos a + π/2 es cero. 85

92 a b c d Fgura 4.3 Error Relatvo para la funcón Seno a) 2, b) 6, c) 24 y d) 32 bts ERROR RELATIVO PARA EL CORDIC HIPERBÓLICO. A contnuacón se presenta los gráfcos de error relatvo de las funcones seno hperbólco, coseno hperbólco y arco tangente hperbólco. Como se ndco anterormente, el error relatvo aumenta para resultados cuyos valores son muy pequeños como en el caso del arco tangente hperbólco, esto tambén se puede aprecar en las otras dos funcones. Se observa además que para el caso de 32 bts el error para valores pequeños aumenta en gran cantdad en comparacón con el otro rango de valores mplementado. Esto se debe a que solo se utlzó 8 86

93 bts de partes fracconal para aumentar el rango de convergenca; sn embargo en los resultados se observa una muy buena aproxmacón en los resultados. a b c d Fgura 4.4 Error Relatvo para la funcón Arco Tangente Hperbólco a) 2, b) 6, c) 24 y d) 32 bts a b 87

94 c d Fgura 4.5 Error Relatvo para la funcón Coseno Hperbólco a) 2, b) 6, c) 24 y d) 32 bts a b c d 88

95 Fgura 4.6 Error Relatvo para la funcón Seno Hperbólco a) 2, b) 6, c) 24 y d) 32 bts 4.2. ERROR RELATIVO DEL CORDIC LINEAL. Para este caso se presentan las gráfcas de error relatvo para las funcones multplcacón y dvsón. La lnealdad que se observa en las fguras es propo de las funcones. El error relatvo obtendo es muy bajo pero a costa de más hardware; además se observa que para el caso de la multplcacón en 32 bts se presenta el error relatvo varando en un rango mayor esto se debe a que se perde parte fracconal (ver capítulo 2). a b 89

96 c d Fgura 4.6 Error Relatvo para la funcón Dvsón a) 2, b) 6, c) 24 y d) 32 bts a b c d Fgura 4.8 Error Relatvo para la funcón Multplcacón. 9