E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso PRUEBAS DE EVALUACIÓN. Prueba 19 de octubre OPCIÓN A. con su recta normal en el punto 0.

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1 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I Prueba 9 de octubre OPCIÓN A Escribe el código Matlab ara a) Reresetar la fució f cos e + co su recta ormal e el uto. e el itervalo, juto b) Obteer el valor aroimado de 9. co u oliomio de grado. Nota: Los cálculos de la recta tagete y del oliomio de Taylor se debe de realizar a mao usado Matlab como ua calculadora si utilizar el comado que da la derivada de ua fució o el oliomio de Taylor. (a) Como la derivada de la fució f f ' cos e + es - ù ú( e + ) + e ( û ) ( e + ) é ê cos se cos ë f ' La recta tagete es y La recta ormal es: y - El código Matlab es: -:.:; hold o lot(,.*cos()./(e(.^)+),'r') lot(,.5*) lot(,-*) hold off (b) Se cosidera f, a 9, 9.. El oliomio de Taylor será: () f f '9 ''9 f» T f ( 9) !! f» ( 9) ( 9) Sustituyedo 9., el valor aroimado edido es:

2 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I 9.» El valor que devuelve Matlab es.66 Cometarios solució Ver ejercicios de las rácticas y. Prueba 8 de octubre (a) Euciar la codició ecesaria de covergecia de series uméricas. Es suficiete esta codició ara asegurar la covergecia? Justificar la resuesta. (b) Determiar el carácter de la serie umérica siguiete: Euciar el criterio utilizado. å æ ö se ç çè ø + (c) Calcular la aroimació lieal de se(. ) dado ua cota del error cometido co dicha aroimació. (d) Obteer el oliomio de Taylor de grado e el uto de la fució f. + + ( )( ) Cometarios solució: El aartado a) es u resultado teórico elicado el día de octubre. Ejercicios similares al aartado b) se elicaro e clase el día 9 de octubre. El aartado c) es idético al rouesto úmero 4 del tema de fucioes de ua variable. Se hizo e clase el día de octubre. El aartado d) es idético al rouesto úmero realizado el día de octubre. El ejercicio 5 del tema de series uméricas y series de otecias (visto e clase el día de octubre) tambié ermitiría resolver este aartado. Pág.

3 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I (a) Dada la serie umérica åa es ecesario que se cumla lim a ara que dicha serie sea covergete. Esta codició es ecesaria ero o suficiete ya que la serie armóica es divergete y, si embargo, se verifica lim. (b) La serie se es de térmios ositivos. Alicado el criterio de comaració or aso al límite se deduce que es covergete ya que tiee el mismo carácter que la serie å ya que se cumle: æ ö se ç çè ø» + la serie å es covergete. (c) Cosiderado la aroimació lieal se tiee que () f ' f ' f '' t f T + R f ( ) + + R f ( ) + +!!! co t uto itermedio etre a y E este caso f se a., luego se( t) - se.. +!. co t uto itermedio etre y. Por lo tato, () t -se. se.». error..! co t uto itermedio etre y. (d) Para calcular el oliomio de Taylor de grado ( f ' f '' f T f !!! Debemos ecotrar la derivada eésima de f cueta que:. Teiedo e + + ( )( ) Pág.

4 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I A B f + A( + ) + B( + ) + + ( + )( + ) A- B luego f ( ) ( ) ( ) f ( ) Derivado: - - f ' f ' f '' f '' ( + ) - f ( + f -! + + -! + Por lo tato, Errores habituales -! é ê- + ë ( + + T é- + ù êë úû ù úû E el aartado d) o descomoer la fució e fraccioes simles. decir que el oliomio de Taylor es igual al último sumado de dicho oliomio. escribir el oliomio de Taylor si cosiderar e cada sumado la derivada e el uto (escriedo la derivada corresodiete resecto de ). Dada la fució f log( ) +. Se ide. Calcular la serie de otecias de esta fució e el uto a a artir del desarrollo de su fució derivada.. Obteer el camo de covergecia de la serie obteida e el aartado aterior. Euciar el Teorema de Abel.. Escribir el código Matlab ara reresetar la fució y los rimeros cico térmios o ulos de la serie de otecias. Pág. 4

5 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I 4. Calcular la suma de la siguiete serie: (- ) å Cometarios solució: El aartado a) es el ejercicio rouesto úmero 7b del tema de sucesioes y series uméricas. Los demás aartados so idéticos al ejercicio resuelto úmero 8 del mismo tema que se realizó e clase los días 4 y 6 de octubre. f + ' - - < + + (a) å å Itegrado térmio a térmio æ ö + log( + ) f ' d ò ò ç å - d çè ø + æ + ö æ ö d ( åç - - ) + C è ò ø å ç è + ø ( ) å æ + ö log C ç è + ø Para se tiee que logc luego C. Como al itegrar ua serie de otecias se coserva el radio de covergecia se tedrá que ( + ) (- ) æ + ö log å ç è + ø si. (b) Coocido el radio de covergecia de la serie de otecias (-) + å R, ara + obteer el camo de covergecia basta aalizar los utos etremos de dicho itervalo.. Esta serie es covergete or el criterio de Leibiz ya que se cumle a tiede a cero cuado tiede a ifiito y es + ua sucesió moótoa decreciete. Pág. 5

6 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I. Esta serie es covergete como se ha visto ara el uto aterior. El camo de covergecia es el itervalo é-, ù êë úû, es decir, (c) El código Matlab edido es: + log( + ) å (-) Î é-, ù + ê ë ú û -:.:; s; for :4 ss+((-)^)*.^(*+)/(+); ed lot(,log(+.^),,s) (d) Para obteer el valor de la serie basta teer e cueta que Errores habituales - (-) (-) (-) å å å log + - log + Derivar la fució escribiedo f ' e lugar de f '. + + No utilizar el desarrollo de la fució derivada ara obteer el de la fució f. Derivar ' ( ) f + - si darse cueta que es u roducto y escribir - f '' - + Prueba 6 de oviembre Dada la fució f cos( ), escribe el código Matlab ara. obteer ua cota suerior y ua cota iferior de la itegral ò f d utilizado sumas de Riema co ua artició regular de y subitervalos. Escribe las sumas de Riema utilizadas y justifica la resuesta. Pág. 6

7 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I. Obteer el valor medio de f e el itervalo é,ù êë úû.. Ecotrar el uto c que garatiza el Teorema del Valor Medio alicado a la fució f ( ) e el itervalo é, ù êë úû mostrado e ua figura la iterretació geométrica de este Teorema justificado la resuesta. Cometarios solució: Estos ejercicios so idéticos a los realizados e las rácticas de los días y 9 de oviembre. :.5:; filie('cos(.^)'); lot(,f()) % La fució es decreciete. % Ua cota suerior mediate sumas de Riema se obtiee % cosiderado el uto de cada subitervalo el vértice iferior ; ic/; ci:ic:(-ic); cotasusum(f(ci))*ic % Ua cota iferior mediate sumas de Riema se obtiee % cosiderado el uto de cada subitervalo el vértice suerior ; ic/; ciic:ic:; cotaifsum(f(ci))*ic % Valor medio de la fució e [, ] valorquad(f,,) % Cálculo del uto c edido csolve('cos(^).945','') % Otra osibilidad ara calcular el uto c Pág. 7

8 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I ecuaciostrcat('cos(^)',umstr(valor)) csolve(ecuacio) % El valor que buscamos es el segudo elemeto de c:.66 % Iterretació geométrica hold o alturaf(c()) lot([ ],[altura altura]) lot([c() c()],[ altura],'*') hold off Nota: E el caso de que la suma de Riema sea co subitervalos sólo habría que cambiar el valor de. Las sumas de Riema ara es æ ö i - cota Suerior cos å i ç çè ø æ ö æ i ö cota iferior cos å ç i ç çè ø çè ø Para justificar la resuesta de la iterretació geométrica ver los autes. Calcula las siguietes itegrales (a) ò ( ) arctg d + 5 (b) ò d Cometarios solució: E el fichero de actividades del tema de itegració de fucioes de ua variable, los ejercicios a) y c) rouestos el 4 de oviembre so similares. Aartado a) La rimitiva se obtiee itegrado or artes: - ( ) ï + 9 ò arctg( ) d arctg( ) ì ü ò u arctg du d ï + 9 í ï ý dv d v ï î ïþ Pág. 8

9 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I æ ö arctg( ) - d ò - ç è ø æ ö arctg( ) - arctg( ) ( ) ò - d - + arctg + C ç è ø 6 8 Aartado b) d d + d ò ò ò æ - ö log( ) + d log ( 4 ) arctg ò C æ ö ç çè ø - ç + çè ø Prueba de oviembre Se cosidera la fució f () t eriódica de eriodo defiida de la forma () f t siedo su serie de Fourier: ( ) ( ) ìï t - t t ï í ï t + t - t < ïî 6 å se (( -) t ). ( -) Solució Se ide: (a) Determiar la frecuecia agular y el eriodo de los rimeros armóicos o ulos. (b) Escribir el código Matlab ara reresetar la suma de los rimeros armóicos o ulos e el itervalo é-5,5ù êë úû juto co la gráfica de la fució. (a) Los rimeros armóicos o ulos so f t se t f t se t f t se t 9 5 () () () ( ) ( 5 ) El eriodo de f () t es y su frecuecia agular es El eriodo de f () t es y su frecuecia agular es Pág. 9

10 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I El eriodo de f () t es y su frecuecia agular es 5 5 (b) El código Matlab ara reresetar la suma es: lisace(-i,); lisace(,i); y*.*(i+); y*.*(i-); hold o for k-: +*k*i; lot(,y) +*k*i; lot(,y) ed hold o tlisace(-5*i,5*i); suma; for k: sumasuma+6/(i*(*k-)^)*si((*k-)*t); ed hold o lot(t,suma,'r') hold off Prueba de diciembre Se cosidera la fució 4 eriódica defiida de la forma ft () - t siedo t Î- é, ù ê ë ú û (a) Calcular la serie de esta fució idicado los valores de t ara los cuáles coverge a la fució ft. () Justifica la resuesta. (b) Obteer el coeficiete c de la serie comleja de Fourier. 4 (c) Calcular el valor de la serie umérica siguiete: å. ( ) - Cometarios solució: Este ejercicio es el rouesto úmero 9 del tema 4, Series de Fourier. Aartado a) Pág.

11 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I La fució es eriódica de eriodo T4 (). Al ser ft () - t ua fució ar e el itervalo [,], la serie de Fourier será de la forma: siedo ao St () +å a cos wt w () () cos o a T ò f t dt a ò f t wt dt Se tiee que t é t ù a f () t dt ( t) dt t o ò ò - - êë úût a f ( t) cos( wt) dt ( - t) cos ( wt) dt ò ò ì u t du dt ü - - ï se( wt í ) ï ý dv cos t ( wt) dt v ïî w ïþ t se ( wt) ò se wt ( - t) + dt w w t cos( wt) cos( ) -cos( ) -(- ) + ìï í ï 8 w w ïïïî t La serie de Fourier es si es ar si es imar 8 ætö S( t) + cos ç çè ø å - Por el teorema de Dirichlet, dado que la fució es cotiua e todo, se tiee que la serie de Fourier covergerá a la fució e todo. Error habitual Decir que: ò - tdt t -. El térmio de la izquierda de la igualdad rereseta u área, y su valor es 4, mietras que el térmio de la derecha de la igualdad es. Aartado b) Pág.

12 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I Tambié odría hacerse calculado la itegral Error habitual c a - ib æ t ö it 4 ( ) it it c t e - dt ( t) e - dt ( t) e - dt 4ò ç ò ò çè ø - - -iwt Calcular el coeficiete c f () t e dt ò de la forma - -iwt () c f t e dt ò or ser f ar. Es cierto que f es ar ero la fució itegrado comleto o, luego o uede calcularse itegrado úicamete e [,]. Aartado c) Para calcular el valor de la serie umérica, teemos e cueta que 8 f () S( ) + cos å ( -) å å ( - ) ( -) 8 å ( -) e el itervalo é, ù êë úû cosiderado ua suma de Riema regular eligiedo como uto de cada subitervalo el etremo suerior. (a) Calcular la itegral de la fució f (b) Si calcular su valor, ordear las siguietes itegrales justificado la resuesta: I 7 e ò 8 + d I ò 8 + d Pág.

13 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I I ò d I e 4 ò 8 + (c) Calcular el área de la regió laa D, ecerrada or las curvas de ecuacioes: variable y. y, (d) Calcular las rimitivas de las siguietes fucioes (d.) f 9-4 (d.) f d y itegrado e la variable y e la Cometarios solució: El aartado a) es idético al realizado e clase el día de oviembre. El aartado c) es el ejercicio rouesto úmero, realizado e clase el día de oviembre. El aartado d.) es el ejercicio rouesto e la hoja de rimitivas e la ágia 9 icluido e la hoja de actividades del día 8 de oviembre El aartado d.) es el ejercicio rouesto a de la hoja de rimitas de la ágia. Aartado a) Como la fució es itegrable, calcularemos la itegral mediate el límite de ua suma de Riema regular de subitervalos, cosiderado e cada subitervalo el uto ci el etremo suerior ò f d lim ç å f( c ) D i Se tedrá que æ ö ç çè ø i i f D c + i æ ö i æ + æ i ö ö æ iö å å + ç ç + ç è ç ø ç ç çè ø lim lim i i lim ç å ç i ç i å ç è ø è ø ç æ ö - + æ + -ö lim lim ç çè ø ç çè ø Por lo tato, utilizado la defiició, se tiee ò f d Pág.

14 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I Aartado b) Utilizado las roiedades de las itegrales se tiee que: I ya que la fució itegrado es imar e el itervalo simétrico de itegració [,]. Las demás itegrales so ositivas ya que se itegra fucioes ositivas e cada itervalo de itegració. e I d d I ò ò ya que e el itervalo [,], se cumle, e e e I d d I ò ò ya que la fució a itegrar es ositiva y el itervalo es mayor e el caso de la itegral I. Aartado c) Los utos de corte de las dos curvas, y, y, so (,) y (,) ya que y 4 y y y y y yy 8 8 y y Itegrado resecto a, el área ecerrada or las dos curvas es é ù / æ / ö ( ) área ò - - d ç è ø (-) êë úû - Itegrado resecto a y, el área ecerrada or las dos curvas es Pág. 4

15 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I é ù / æ / ö ( ) y y área y ( y ò ) dy ç è ø 6 6 êë úûy Aartado d.) y Para calcular 9 4d ò - hacemos el cambio set d cost d - set tdt - set tdt 4 ò ò ò cos cos cost 9æ setö 9 9 cos tdt dt t t set C ò ò ç çè ø 4 8 Deshaciedo el cambio: ò Teiedo e cueta que æ æ æ ö öö se tarcse 9 æ ö ç è ç è ø ø ç è ø ç çè ø d arcse C 4 4 set set cost set - se t odría escribirse tambié ò 9æ æö ö ç è è ç ø 9 ø d arcse C Aartado d.) Descomoiedo e fraccioes simles: se tiee que A -, f 7 B, C + - A B + C Por lo tato, d + d - + d + + ò ò ò 7 - log + 4ò d + ò d + æ ö ç + çè ø Pág. 5

16 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I 7 - log + log( + ) + arctg æ ö + C 4 ç çè ø Prueba de eero (a) De ua fució f ( y, ) se cooce que f ( a, b) (,4) tagete e P( a, b ) a la curva de ivel de f cosiderado z f ( a, b) (b) Si u f (, y) -. Calcular la recta. s s dode e set, y e cost, comrobar si se verifica la siguiete igualdad: (c) Dada la fució æ uö æ uö éæ -s uö æ ù uö e + + è ç ø çè y ø ê çè s ø çè t ø ú ë û f y, y+ y - y, se ide Determiar el cojuto de utos dode la fució es difereciable justificado la resuesta. Escribir la defiició de uto crítico y obteer y clasificar los utos críticos de la fució. (d) Determia qué variable sería la que debería aumetar ara coseguir mayor aumeto e el valor de f (, y) + y cuado y y. El aartado a) es la reguta del test de la ágia htt:// El aartado b) es u ejercicio hecho e clase el día de diciembre. El aartado c) es el ejercicio rouesto úmero 4 de la reguta, hecho e clase el día de diciembr (ver ágia del tema 5) El aartado d) es idético al ejercicio rouesto úmero 4 del tema 5 (ver ágia 8 del tema 5) Aartado b) Alicado la regla de la cadea u u u y u s u s e cost e se t s s y s y u u u y u s u s e se t e cost t t y t y Pág. 6

17 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I Sustituyedo e u u s t u s u s u s u s e cost e se t e se t e cost y y s s s s u u u u e cos t e se t e se t e cos t y y s u u e y Por lo tato, s u u u u e s t y Dada la siguiete fució: Se ide: f, y 4- y + - (a) Calcular y reresetar su domiio. (b) Escribir el código Matlab ara reresetar dicha fució e u etoro del uto P (, ) juto co su oliomio de Taylor de grado e dicho uto. (c) Calcular, utilizado la diferecial, u valor aroimado de f (.9,.). Aartado a) es la reguta del test de la ágia htt:// Aartado b) ver teoría ara calcular el oliomio de Taylor y la ráctica ara escribir el código Aartado c), ver ejercicio 8 rouesto del tema 5 resueltos e clase. Pág. 7

18 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I Halla el gradiete de f ( y, ) de ua fució difereciable e el uto P (-, ) sabiedo que, saliedo desde P, la direcció e la que más aumeta f ( y, ) es hacia el uto Q (-,) y que la razó de cambio saliedo hacia Q (, -) es -. Preguta del test de la ágia htt:// Eame Febrero Prueba Bloque Ejercicio : Se cosidera la fució f. Calcula ua estimació del + error de la aroimació de f ( ) or su oliomio de Taylor de grado e el uto a cuado erteece al itervalo. f e - e se Ejercicio. Ecotrar u ifiitésimo equivalete a la fució e. Escribir la defiició de ifiitésimo y de ifiitésimo equivalete. Ejercicio. Dada la fució f log( ) +. Se ide. Calcular la serie de otecias de esta fució e el uto a a artir del desarrollo de su fució derivada.. Obteer el camo de covergecia de la serie obteida e el aartado aterior. Euciar el Teorema de Abel.. Calcular la suma de la siguiete serie: Pág. 8

19 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I Prueba Bloque Ejercicio. (a) Calcular la rimitiva de f (b) Itegrado resecto a la variable y, calcular el área de la regió ecerrada or las curvas: y y ejercicio itegrado resecto a la variable.,. Reetir el Ejercicio. Calcular el valor medio de f 4 ( ) - - e el itervalo [,]. Ejercicio. Se cosidera la fució 4 eriódica defiida de la forma ft () - t siedo t Î- é, ù ê ë ú û (a) Calcular la serie de Fourier trigoométrica de esta fució idicado los valores de t ara los cuáles coverge a la fució ft. () Justifica la resuesta. (b) Obteer el coeficiete c de la serie comleja de Fourier. 4 (c) Calcular el valor de la serie umérica siguiete: å. ( ) - Prueba Bloque Ejercicio. La temeratura e cada uto de ua laca, que ocua el rectágulo é, 4ù é, ù ê ú ê ú,. E qué ë û ë û es el doble del iverso de la distacia al uto uto de la laca colocamos ua artícula ara que la direcció de efriamieto más ráida sea la del eje OX ositivo? f, y + y Ejercicio. Dada la fució æ ö a) Calcula u vector tagete e el uto,, a la curva C itersecció ç çè ø de la suerficie S gráfica de la fució z f (, y) y el lao vertical que cotiee al vector que ue el uto A (,, ) co el uto B (,, ). b) Calcula y rereseta la curva de ivel (, ) P (, ) u vector ormal a dicha curva. f y y calcula e el uto Pág. 9

20 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Curso 6 7 Grado Igeiería Mecáica Asigatura: Cálculo I Ejercicio. (a) Calcular el gradiete e el uto (,) de la fució z defiida imlícitamete como fució de e y mediate la ecuació y tg yz e z -. (b) Determia u vector ormal a la suerficie del aartado aterior e el uto P (,, ). (c) Justifica, a artir de la eresió coocida de u vector ormal ara fucioes elícitas, cómo obteer el vector ormal cuado la suerficie viee dada or ua ecuació imlícita. Seguimieto 4 Escribir el código Matlab ara realizar los siguietes ejercicios. Ejercicio. Se cosidera la fució f si ( + ) e +. Se ide escribir el código Matlab ara reresetar la fució f ( ) cosiderado 5 utos del itervalo é-, ù êë úû. Ejercicio. Reresetar las curvas, y t co t Î é, ù ê ë ú û se () t cos() t se () t cos() t, y co t Î é, ù ê ë ú û t, z se () t cos() t Ejercicio. Dada la serie S å +, se ide: 4 + (a) Calcular la suma aroimada de S cuado se cosidera la suma de los rimeros térmios. (b) Rereseta e ua figura los utos del lao ( a, ) y (,S ) ara,.., siedo a y suma arcial eésima. S, resectivamete, el térmio eésimo y la Ejercicio 4. Escribe ua fució Matlab que ermita calcular el valor c que garatiza el Teorema del Valor medio itegral. Esta fució deberá teer como arámetros de etrada la fució y el itervalo elegido. Teorema del Valor Medio. Si f es ua fució cotiua e [a,b] eiste u uto c comredido etre a y b de forma que ò f d f ( c)( b-a) b q Pág.