Fluo de Poteca DC co odelacó de Icertdumres Aplcado al Caso Chleo Resume Rodrgo Palma B. rodpalma@cec.uchle.cl Chrsta Jeldres H. celdres@cec.uchle.cl Area de Eergía Departameto de Igeería Eléctrca Uversdad de Chle Este traao preseta u método para la corporacó de certdumres, asocadas a geeracó y cosumos, e el cálculo de fluos de poteca (FP). El modelo permte smular la operacó aual de u sstema eléctrco s la ecesdad de calcular múltples FP. El sstema es modelado a través de u FP leal (DC). El sstema de ecuacoes es solucoado aplcado drectamete la teoría de sstemas leales dfusos. Los resultados so comparados co ua metodología tradcoal asada e u aálss cremetal. El uso de este tpo de modelos permte aarcar prolemas de plafcacó e sstemas eléctrcos compettvos, evtado smular cetos de escearos e la predccó de la demada. Por últmo se aplca amos modelos al caso del Sstema Itercoectado Cetral Chleo, e u sstema reducdo de 69 arras.. Itroduccó Para poder modelar la certdumre este alguos métodos e los cuales se destaca: los modelos proalístcos y la represetacó dfusa. E la actualdad se ha aerto u amplo estudo para poder aplcar los coutos dfusos al modelameto de certdumre. Esto afecta tamé a los sstemas eléctrcos de poteca (SEP), ya que e u fluo de poteca (FP) la geeracó o carga e ua certa arra puede teer u certo rago de varacó, sedo u valor de ellos el que presete ua mayor posldad de ocurreca. E la plafcacó de SEP es mportate poder oteer ua represetacó apromada del comportameto del sstema. Por lo cual la smulacó es muy mportate para poder ecotrar posles requermetos. Ua uea apromacó del comportameto del sstema esta dada por el modelo DC de fluo de poteca (FDC), es decr u modelo P-. El modelo tradcoal utlzado para resolver u FDC e [][], utlza u modelo cremetal el que traaa co apromacoes sore los úmeros dfusos que represeta poteca eta, metras que el modelo propuesto traaa drectamete co los valores de los úmeros dfusos. Los uevos requermetos para el modelo será prcpalmete la represetacó dfusa de los úmeros, la cual tee que ser tragular, además o es ecesara la esteca de ua ase de datos co las estadístcas de las potecas etas por arra, so su respectva declaracó lgüístca.. Coceptos Báscos de Lógca Dfusa Los coutos tradcoales solamete os permte modelar co varales determístcas y co precsó. Co los coutos de los úmeros tradcoales (eteros, reales, aros, etc.) podemos estalecer relacoes del tpo s o o, meor que o mayor que, además la lógca covecoal agrega relacoes del tpo verdadero o falso. La ecesdad de poder modelar decsoes como el razoameto humao hzo surgr los coutos dfusos [7]. Los úmeros dfusos permte modelar o represetar certdumres asocadas a parámetros y varales de u sstema eléctrco. U couto dfuso se caracterza por ua fucó de memresía (fm) (), defda etre [0,], la cual relacoa cada elemeto co su grado de posldad X = ( ) [7].. Teoría de coutos Dfusos (TCD) versus Teoría de Proaldades (TP) Es claro que la proaldad asocada a u eveto determado está represetado por la tegral de ua fucó de proaldad (fpro) detro del tervalo de terés. etras que e ua fm, el grado de ocurreca del eveto queda refleado e el ee de la ordeada por su grado de posldad. La semeaza etre la fm y fpro es clara, dedo a que amas represeta posles evetos. Es mportate señalar que ua fpro dee cumplr que: fpro ()d = () - -
Esto represeta que la proaldad de que ocurra uo de los evetos e todo el tervalo real es, o sea, alguo de ellos ocurrrá. X ( ) X ( ) Lo cual o se cumple para ua fm, auque esta se ecuetre ormalzada, por eemplo ua represetacó tragular como la de la fgura 4. Teemos: (4 ) ( )d = =.5 () Dedo a que la fm tee asocado los grados de posldad e el ee de la ordeada, es decr, esta represetacó os permte saer a smple vsta el vel de ocurreca de u eveto de termado. A grades rasgos podemos ecotrar alguas dferecas etre la TCD y TP, s e amas so muy ocupadas e la modelacó de certdumre [6][7]: a. La TP, e geeral, traaa sore evetos ya ocurrdos los que determa ua certa dstrucó, metras que la TCD utlza ua represetacó dfusa e los datos de etrada y los resultados otedos tedrá corporados el vel de certdumre, dado por su declaracó lgüístca (DLg), eplcado e 4.. La TP esta asada e evetos aleatoros, metras que la TCD esta asada e los coceptos depedetes de su DLg. c. E TP, la compledad de la matemátca troduce smplfcacoes, lo que afecta a sus modelos.. Represetacó de Números Dfusos La represetacó más usada de úmeros dfusos es la tragular (fg. (a)) y la trapezodal (fg. ()): X a. c a c d (a) () Fg. X Otra forma de represetar los úmeros dfusos tragulares es de acuerdo al segmeto de recta crecete y el segmeto decrecete de recta de acuerdo a lo mostrado e la fgura. Fg. Esta otacó cumple las sguetes defcoes [3]: Sea f e f dos úmeros dfusos, etoces a) f = f ss X( ) = X ( ), X( ) = X ( ) ) f + f = (X( ) + X ( ), X( ) + X ( )) (3) (kx, kx ) k 0 c) kf = (kx, kx )) k < 0 Eemplos de represetacó de úmeros dfusos: Sea el úmero dfuso segú fg. f=(,3,4,7), su represetacó queda: 3 4 7 Fg. 3 Sea el sguete úmero dfuso co represetacó segú fg. f=(+,4-), etoces su represetacó queda: 4 Fg. 4.3 Algera de Números Dfusos Sea f =(a,,c,d) y f =(a,,c,d), dos úmeros dfusos co represetacó trapezodal y k u úmero real, etoces: f +f =(a+a,+,c+c,d+d) - -
f -f =(a-d,-c,c-,d-a) kf =(ka,k,kc,kd), para k>0. kf =(kd,kc,k,ka), para k<0. (4) Las operacoes algeraca so aplcales de gual medda para ua represetacó tragular..4 Desdfusó Este varas formas para poder etraer la formacó de u úmero dfuso, las cuales depede de la aplcacó: método de las alturas, promedo de los supremos y cetro de gravedad. La técca más utlzada es la del cetro de gravedad (CDG). La desdfusó por CDG, aplcada a u couto dfuso F cotuo, queda defda como [7]: CDG (F) = ()d ()d 3. odelo del Fluo de Poteca DC El FP costtuye ua herrameta fudametal e el aálss de la operacó de u sstema eléctrco de poteca. Esta herrameta se utlza como módulo e prolemas de plafcacó. Aprovechado el dascoplameto atural estete etre el modelo P- y Q-V, e este traao se propoe hacer uso de la apromacó del modelo de FP e cotua (FDC). E el FDC, la operacó estacoara de la red es modelada a través del sguete sstema leal de ecuacoes [5]: [ ] = [ B] [ P]? (5) dode represeta el vector de águlos de fase de los voltaes, P vector de potecas etas por arra. Los elemetos de la matrz B será : = = k=, s k (6) dode correspode a la reactaca de líea etre los odos y k. Dedo a la lealdad del FDC, se puede oservar que se cumple: [ ] = [ B] [ P]? (7) Asmsmo, la epresó para el fluo de poteca etre los odos y k se aproma por la epresó leal e la ecuacó (8) [5]: P = (? k ) (8)? 3. etodología Tradcoal La solucó tradcoal propuesta para el modelo dfuso de fluo de poteca e cotua DC, utlza u método cremetal []. Este desarrollo calcula el fluo de poteca e u puto y luego las varacoes de acuerdo a las ecuacoes matrcales: [? ] = [ B] [ P] [ ] = [ A][ P] P (9) E este método, se otee ua descrpcó dfusa de los águlos y poteca e las arras, usado el modelo cremetal. Para ello deemos segur lo sguetes pasos: a. Ecotrar el puto medo de las potecas etas tomado sus respectvas fucoes de posldad. Este puto puede correspoder e la represetacó trapezodal, al promedo de los putos medos del úmero dfuso. E fgura () correspode a (a++c+d)/4 Para el vector de yeccoes resultate, se calcula u FDC determístco co las ecuacóes (5) y (8). Esto os permte ecotrar P d y d (dode el suídce d sgfca determístco).. Ecotrar las varacoes de P co respecto a los putos determístcos otedos aterormete. c. Como cosecueca del modelo leal utlzado, las varacoes puede ser otedas co uevos cálculos del modelo DC (eqs. (9)). Las varacoes de yeccoes etas so calculadas e fucó de los etremos de los úmeros dfusos. E fg. () correspode a los putos a y d. 3. etodología Propuesta - 3 -
La solucó plateada e este documeto sugere oteer resultados traaado drectamete co álgera de úmeros dfusos y o co apromacoes o lealzacoes e la otecó de la represetacó dfusa. Es por eso que para resolver el prolema del sstema leal dfuso se utlzó la metodología geeral propuesta e [3]. Así os permte traaar co los valores de las geeracoes y cargas e u sstema del tpo: [ B ][ ] = [ ] (0) F P F dode F represeta el vector dfuso de varales de águlos de voltae, P F es el vector dfuso de las yeccoes o retros, B represeta la matrz del sstema especfcado e (5), co coefcetes costates. El sstema de la eq. (0) queda: + + + + L+ + L+ + L+ () dode es el úmero de varales dfusas del sstema. Para resolver el prolema se propoe ua represetacó tragular de los úmeros dfusos, como las mostradas e las fg. y 4. Además para el sstema leal de la ecuacó () y la represetacó de úmeros dfusos ecesara, se cumple las sguetes propedades [3]: = = = = = = () S e partcular para u valor >0, para <<, se cumple lo sguete: = =, (3) Ocupado las propedades de las ecuacoes (3) y (4) se tee la sguete descomposcó [3]: + +. +.+.+ +. + +.+. +.+ +. + + +.. + L+ ( ) + L+ ( ) + L+. + L+ ( ) + L+.. ( ) + L+ + L+ + L+ + +... +..+ ( ) +.+ ( ) ( ) + +. + ( ) = p +.+ ( ) = p ( ) ( ) ( ) (4) La característca de esta descomposcó es que os permte teer ua matrz W tal que todas sus compoetes sea postvos, es decr: dode: W = ( W = ( ), ), Co esto el sstema queda reducdo a: [ ] [ ] W = S P S (6) [ ] =, [ P ] S S (5) p p = p p Por esto la matrz W os queda de la forma: R C W = (8) C R (7) dode R cotee los coefcete postvos del sstema leal orgal, o sea los elemetos de la dagoal de B, y la matrz C cotee los valores egatvos poderado por del sstema leal orgal, o sea los elemetos que está fuera de la dagoal prcpal. - 4 -
Por lo dcho aterormete se puede coclur que: [ B] [ R] [ C] = (9) Para oteer el valor eta de poteca e ua arra se utlzará la epresó sguete: PF.eto. = (PF.G. PF.L. ) () El sstema de la ecuacó (6) puede ser resulto co álgera covecoal, oteedo la represetacó de los águlos de voltaes correspodete a su recta de suda y aada. P F.G. () Falmete este dos alteratvas de solucó para oteer los fluos por líeas, oteedo prmeramete los águlos de voltaes: P F.L. Fg. 5 a) Resta Dfusa Cosste e smplemete, dada la sguete epresó: P = ( F Fk ) (0) e realzar la resta dfusa de los águlos, lo que agrega mayor certdumre a los resultados. ) ímos y ámos de águlos de voltaes Cosste e realzar la resta de los águlos de voltaes, pero etre mámos, medos y mímos de la represetacó e cada arra. Esto es aplcale supoedo ua depedeca etre las varales del modelo. Este la posldad de ecotrar ua solucó termeda etre amas alteratvas, especalmete para alguos casos como se eplca e los resultados. 4. Represetacó cargas y geeracoes La forma comú de represetar u úmero dfuso es por su DLg, esta represeta el grado de coocmeto que teemos sore la poteca e algua arra determada, por eemplo de acuerdo a la fgura (a) la declaracó sería su valor es más o meos. E la fgura () puede ser la poteca o está fuera del rago a-d W, pero poslemete está etre -c. E el prolema a resolver es muy mportate poder coocer la represetacó dfusa de las cargas y geeracoes, es decr, coocer su declaracó lgüístca [4] e ua arra determada u oteerla co datos estadístcos de las potecas e algua arra determada. dode el suídce F dca que es ua represetacó tragular dfusa, el suídce G dca que es geeracó y L dca que es de carga. 5. Aplcacó al Caso Chleo Amos modelos se aplcara al caso Chleo e su sstema reducdo a 69 arras, como se muestra e el aeo. La arra de refereca aparece detro de u crculo, y correspode a la arra Atuco_3.8. Se preseta tres tpos de resultados: modelo leal co resta dfusa, modelo leal mímosmámos y modelo cremetal. Para todos ellos se preseta las mayores certdumres e los fluos por líeas. a) odelo Leal co Resta Dfusa Rago [W] 40,00 0,00 00,00 80,00 60,00 40,00 0,00 0,00 Tr_Talt5Pap0 Rago de Icetrdumres - ayores Icertdumres - % - odelo Leal LHuaSVc LHuaSVc BBCaut0 LSVvCoce B0Pm0 CptoDalmagro Fg. 6 Resultados del odelo Leal co resta Dfusa V0BB0 Cardcpto0 Líea o Trasformador L_PapDAlmag0 LSauzRgua THualpe TCoce0 TAJahuea Tem0Val0-5 -
Rago de Icertdumres [W] ) odelo Leal -a Rago de Icertdumres - ayores Icertdumres - % - odelo Leal -a 4,00,00 0,00 8,00 6,00 4,00,00 0,00 TEqNehueco Cardoate0 Guaco038 CptoDalmagro Cardcpto0 LSPLasVegas0 LQuSLu TQullota BBCaut0 L_PapDAlmag0 Tr_Talt5Pap0 LTorAt TEl_Toro LEsTe0 LChaEsp0 Líea o Trasformador Fg. 7 Resultados del odelo Leal -a c) odelo Icremetal Se puede oservar que etre las arras BusarAu y Busar se puso ua líea de reactaca pequeña (0.0008 pu), los otros valores de reactaca so.0 pu. E este caso se otees los sguetes fluos: Name c c Pa P Pc Le X Pequeño BusarA Busar Le u Busar Busar Le Busar 3 Busar Le3 Busar3 Au Busar 7. Coclusoes -8347,77-3,33 83, 0 43,33 86,66-6,66-3,33-0 -03,34-56,67-0 La vetaa del algortmo propuesto es que os permte traaar drectamete co la represetacó de los úmeros dfusos, y o co varacoes smultaeas e todas las arras. Rago [W] 00 80 60 40 0 00 80 60 40 0 0 Rago Icertdumre, odelo Icremetal, ayores Icertdumres, %, odelo Icremetal TAtuco TAJahuea TAJahuea TAcoa TAcoa LAcCharr LTruAt LAJahAc500 LTruCharr LCharrAt LCharrAt LAJahAc500a LPolQu LAcCharr Líea o Trasformador LLVlQu Las represetacoes dfusas cercaas a la arra de refereca se otee co u meor grado de certdumre que las leaas a ella, esto se oserva e la tala 5 dode los fluos por las líeas 5 y 6 tee u amplo rago de posldades. La represetacó tragular posee u úco valor co posldad, el cual es el valor medo. Para el valor medo de los resultados del algortmo leal, se otee los msmos valores del modelo determístco. Fg. 8 Resultados del odelo Icremetal 6. Restrccoes del odelo Cosderado el sstema de la sguete fgura: Como resultado de amos algortmos es posle oteer los límtes mámos y mímos de los fluos por líeas, y a la vez los valores co mayor grado de posldad, pero o es claro saer que cual codcó de geeracó produo dchos límtes. Las aplcacoes del modelo os permte represetar certdumre e las geeracoes y cargas e u sstema eléctrco determado. De esta maera podemos represetar e ua smulacó lo que tradcoalmete se hace e cetos de casos determístcos. Referecas []. rada V., atos., Sarava J.: Fuzzy Load Flo - Ne Algorthms Icorporatg Ucerta Geerato ad Load Represetato. Proceedgs of the 0th Poer Computato Coferece. Agosto 990. - 6 -
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Sstema Itercoectado Cetal Chleo, 69 Barras Aeos - 8 -