LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax + bx + c = 0 se aalzó el sgo del dscrmate b - ac y su relacó co las solucoes S el dscrmate era egatvo se djo que la ecuacó o teía raíces reales so que las raíces era magaras o complejas Vamos ahora a estudar los úmeros complejos que os dará la dea completa de la solucó de la ecuacó de segudo grado y ua extesó de los cojutos umércos Realzaremos lo que se llama la defcó axomátca del cojuto de los úmeros complejos Seccó Defcó y operacoes e el cojuto de los úmeros complejos Defcó Llamamos cojuto de los úmeros complejos y lo deotamos co la letra al cojuto de a, b e el cual defmos las sguetes operacoes: los pares de úmeros reales ( Suma ( a, b + ( c, d = ( a + c, b + d Multplcacó ( a, b ( c, d = ( ac - bd, ad + bc E el úmero complejo ( a, b llamaremos a a la parte real y a b la parte magara Note que la suma y producto de pares o está defda e Dos propedades que cumple los pares de úmeros reales y que se matee para los complejos so: Igualdad (, (, a b = c d Û a = c Ù b = d Multplcacó por u escalar a( a, b = ( a a, a b dode a Î Ejemplo Dados (, y ( 0, - 3, hallar: a (, + ( 0, - 3 = ( + 0, + (- 3 = (, - b (, ( 0, - 3 = ( (0 -(-3, ( - 3 + (0 = ( 3, - 6 c (,( 0, -3 - ( -, = ( 3, - 6 + (, - = ( 5, - 8
Como los úmeros complejos so pares de úmeros reales podemos efectuar ua represetacó de los msmos medate el plao (Gráfca E esta represetacó se le dce eje real (Re al eje de las x y eje magaro (Im al eje de las y Gráfca : Represetacó del úmero complejo ( a, b Podemos cosderar que los úmeros reales está cotedos e los úmeros complejos puesto que e el plao a,0 cocde co el úmero real a De este modo teemos a = ( a,0 el úmero complejo ( cuado a Î Los úmeros complejos de la forma (0, b so llamados magaros puros Vamos a demostrar la propedad de la multplcacó por u escalar a Î : ( a, b = ( a, b a a a Para eso escrbmos el úmero real a e la forma ( a,0 y aplcamos la defcó de multplcacó: ( a, b = (,0( a, b = ( a - 0 b, b + 0 a = ( a, b a a a a a a Deotaremos el úmero complejo (0, co la letra y lo llamaremos udad magara Es fácl demostrar que = - ( = = = - + = - = - (0, (0,(0, 0(0 (, 0( (0 (, 0 Ahora estamos e codcoes de resolver la seclla ecuacó x + = 0 x + = 0 Þ x = - Þ x = Þ x = ± Forma bómca de u úmero complejo Sea z = ( a, b u úmero complejo Etoces podemos escrbrlo e la forma: z = ( a, b = ( a,0 + (0, b = a (,0 + b (0, Pero como (,0 = y (0, =, etoces ( a, b = a + b E este caso a + b se llama forma bómca o boma del úmero complejo
Suma y multplcacó de úmeros complejos e la forma bómca ( a + b + ( c + d = ( a + c + ( b + d, puesto que a, b, c, d so todos úmeros reales ( a b( c d ac ad bc bd ( ac bd ( ad bc + + = + + + = - + + porque = - Ahora observe que los resultados so los msmos que las defcoes de suma y producto dados al co; por lo que la realzacó de las operacoes de suma y multplcacó co úmeros complejos se puede realzar e la forma de pares o e la forma bómca, co la vetaja a favor de la forma bómca que se trabaja co las reglas del álgebra y o es ecesaro memorzar ada uevo Ejemplo S z = (3, y z = (, -, halle z + z y zz ( ( z + z = (3, + (, - = 3 + + - = 7 + z z = (3, (, - = (3 + ( - = - 3 + 8 - = ( + + (- 3 + 8 = + 5 Cojugado de u úmero complejo S z = x + y es u úmero complejo llamaremos cojugado del úmero z, al úmero z = x - y, es decr, al úmero complejo que tee la msma parte real que z pero la parte magara de sgo opuesto Ejemplo S z = 3 +, etoces z = 3 - y s z = 3 -, etoces z = 3 + Módulo y argumeto de u úmero complejo Sea z = ( a, b = a + b u úmero complejo cualquera Llamaremos módulo del úmero complejo z, al úmero real dado por a + b y lo deotaremos por z El módulo se terpreta como la dstaca al orge del úmero z (Gráfca Por otra parte, llamaremos argumeto del úmero complejo z = a + b, al águlo compreddo etre el eje x y el rado vector que determa a z El argumeto de z se deota por arg( z y se calcula medate la expresó: æ arg( z arcta b ö = ç è a ø Gráfca : Módulo y argumeto de u úmero complejo 3
Propedad: z z = z Demostracó: ( ( z z = ( a + b( a - b = a - ab+ ab- y = = a + b + - ab+ ab = a + b + 0= a + b = z Dvsó de úmeros complejos La dvsó de úmeros complejos se realza medate la multplcacó y dvsó por el cojugado del deomador: z a + b a+ b c- d ac+ bd+ (- ad+ bc ac+ bd+ (- ad+ bc = = = = + + - + z c d c d c d c d z z Ejemplo Dados z = - 3 y z = - +, halle: (a z y (b z (a Como z = - + etoces z = -- (b Para hallar z z multplcamos y dvdmos por el cojugado z z - 3-3 - - ( -3 ( - - = = = z - + - + - - (- + ( -- - - + 3 + 6-8 - 8 = = = - - (- + ( 5 5 5 Raíces complejas de la ecuacó de segudo grado S el dscrmate de la ecuacó ax + bx + c = 0 es egatvo, debe sustturse el sgo egatvo por y de esa forma se obtee las raíces complejas de la ecuacó Ejemplo Resolver la ecuacó x - x + 6 = 0 Aplcado la fórmula de la ecuacó cuadrátca: -(- ± (- - ((6 ± - ± -0 x = = = ( Se puede ver que el dscrmate es - 0 lo cual puede escrbrse como 0 Por lo tato: ± - 0 ± 0 ± 5 x = = = = ± 5 Así, las raíces complejas de la ecuacó so: x = - 5 y x = + 5
Ejerccos de la Seccó Dados los úmeros complejos z = (3, y w = (-, -, halle: (a z + w, (b z w, (c 3z - w, (d (-,0w, (e (0, - z Muestre que (0,0 es el elemeto eutro para la suma de úmeros complejos 3 Muestre que (,0 es el elemeto eutro para la multplcacó de úmeros complejos Calcule: (a 3, (b, (c 5, (d, (e 5 Calcule: (a, (b +, (c +, (d 3 + 6 Dado el úmero complejo ( x, y halle el par ( u, v tal que ( x, y( u, v = (,0 Al par se le llama verso multplcatvo de ( x, y Cocluya que el par ( u, v es úco y que el (0,0 o tee verso multplcatvo 7 Verfque que z = z 8 Verfque que uv y uv so cojugados 9 Calcule: (a 3 + 3, (b - - 3 - - 0 Resuelva la ecuacó (- + z = 3 + Halle z tal que ( + ( + = + z Calcule y represete e el plao complejo los úmeros z = x + y, tales que: (a z = 5, (b z 5 3 Calcule y represete e el plao complejo los úmeros z = x + y tales que: (a z - 5, (b z - z +, (c z + z = z Resuelva la ecuacó cuadrátca x + 3x + 3 = 0 5 Resuelva la ecuacó cuadrátca x + x + 5 = 0 6 Resuelva la ecuacó cuadrátca x + 3x + 8 = 0 7 Resuelva la ecuacó x + 3x + 36 = 0 5
Seccó Forma trgoométrca o polar de u úmero complejo La forma trgoométrca de u úmero complejo se establece observado el trágulo amarllo de la Fgura 3: E este caso se tee que r = z = ( x, y y que Gráfca 3: Forma trgoométrca de u úmero complejo - æ y ö q = arg( z = ta ç è x ø Luego: ì y sq = Þ y = r sq ï r í ï x cosq = x r cos ïî r Þ = q Por lo tato: z = ( x, y = x + y = r cosq + r s q = r(cosq + s q Ésta es la llamada forma trgoométrca o polar del úmero complejo, la cual está e térmos del módulo y el argumeto Se deota comúmete por z = r csq Ejemplo: Halle la forma trgoométrca de z = - Hallemos r = ( + (- = y - æ - ö p q = ta ç = - è ø Note que q está e el cuarto cuadrate Por lo tato: æ æ p ö æ p öö æ æ p ö æ p öö æ p ö z = - = ç cosç - + s - = ç cos - s = cs è è ø è øø è è ø è øø è ø 6
Multplcacó de úmeros complejos e su forma trgoométrca Sea u = r csa y v s cs = b, etoces u v = ( rs cs( a + b E otros térmos: ( ( cos( a b s( a b uv = rs + + + Demostracó: u v = r csa s cs b = ( rs ( csa csa ( rs( cosa s a ( cosb sb = + + ( rs ( cosa cosb cosa sb sa cosb sa sb = + + + ( rs ( cosa cosb sa s b (cosa sb sa cos b ( rs ( cos( a b s( a b = - + + = + + + = ( rs cs( a + b Por lo tato, la multplcacó de dos úmeros complejos e su forma trgoométrca da como resultado u úmero complejo cuyo módulo es gual al producto de sus módulos y cuyo argumeto es gual a la suma de los argumetos æ p ö Ejemplo Sea u = cs ç è ø æ æ p ö æ p öö æ p ö y v = 3ç cosç - se = 3cs - è è ø è øø è ø Etoces u v ( = 6 cs(0 = 6 cos(0 + s(0 = 6 Fórmula de Movre Empleado el resultado del Ejercco 3b de esta seccó, z = r cs( q, y tomado r =, teemos: ( Esta expresó es la llamada fórmula de Movre cosq + sq = cos( q + s( q Forma expoecal de u úmero complejo Vamos a asumr que se sgue cumpledo, como e los úmeros reales, los coceptos de fucó, dervadas, seres, etc Vamos a demostrar la fórmula de Euler: e q = cosq + sq Empleemos el desarrollo e sere de potecas de la fucó cuado la varable x es u úmero complejo z e x x = å, supoedo que sea váldo para = 0! e z 3 z z z z z å = = + + + + + +!!! 3!! = 0 7
S tomamos z = q, os queda: 3 q ( q ( q ( q ( q ( q e = å = + + + + + +!!! 3!! = 0 3 5 q q 3 q q 5 q = + + + + + +!! 3!! 5! 3 5 q q q q q = + - - + + +!! 3!! 5! Agrupado tedremos: æ ö æ 3 5 ö q q q q q q e = ç - + + + ç - + + è!! ø è! 3! 5! ø q Estos so los desarrollos de cosq y sq respectvamete Así que e = cosq + sq Sea z = r(cosq + s q u úmero complejo dode r es su módulo y q su argumeto Etoces medate el empleo de la fórmula de Euler se obtee: q z = r(cosq + s q = r e Esta expresó es la llamada forma expoecal del úmero complejo Note que la forma expoecal es equvalete a la trgoométrca pues depede de los msmos elemetos: módulo y argumeto del úmero complejo z Esta forma es muy cómoda pues podemos efectuar la multplcacó, dvsó y potecacó empleado las leyes del álgebra Multplcacó y dvsó de úmeros complejos e su forma expoecal Sea u = re a y v = se b Etoces: ( u v = re se = rs e a b ( a + b a u re æ r ö = = b ç v se e è s ø ( a-b Ejemplo: Sea u = 6e p y v = 3e p p Etoces u v = 8e = 6 y u (0 e v = = Ejerccos de la Seccó Represete: (a e la forma trgoométrca el úmero complejo - 3 + 3 (b e la forma bómca el úmero complejo ( cos - s p p Represete: (a e la forma trgoométrca el úmero complejo - - 8
æ æ p ö æ p öö (b e la forma bómca el úmero complejo ç cosç + s 3 3 è è ø è øø 3 Multplcado el msmo úmero complejo veces, efectúe y emplee detdades trgoométrcas para comprobar que s z = r (cosq + s q, z = r (cosq + s q,, z = r (cosq + s q etoces (a z = r ( cos( q + s( q (b z = r ( cos( q + s( q (c z z z = ( r r r cs ( + + + q q q Exteda el resultado a las potecas eteras egatvas Calcule: -- 3, (b 7 ( + (a ( 9 5 Dados u = + y v = -, emplee la forma expoecal para hallar: (a uv, (b u v 6 Dados u = + y v = - 3, emplee la forma expoecal para hallar: (a uv, (b u v 7 Halle 8 Halle ( 3 + (- + 3 8 ( + 9 (-- 6 9
Seccó 3 Raíces -ésmas de u úmero complejo E la forma bómca de u úmero complejo la represetacó es úca, metras que e la forma trgoométrca o expoecal u msmo úmero complejo tee ftas represetacoes dferetes, ( q k z = r e + p co k Î Para cada valor de k habrá ua represetacó dferete del úmero complejo z Defamos la radcacó como la operacó versa de la potecacó, esto es: z w z w = Û = q Supógase que w = re es u úmero complejo de módulo r y argumeto q y que complejo de módulo s y argumeto f Etoces z = w equvale a: f z = se u úmero f q ( q + kp z = s e = re = r e = w De esta maera: ( s = r ( f = q + kp Por lo tato, f z = se dode s = r y + k f = q p, co k =,, K, Estas so las fórmulas para hallar las raíces -ésmas de cualquer úmero complejo Compruebe que para todo otro valor de k, co k Î, se obtee las msmas raíces que para k = 0,, K, - Ejemplo Hallar + + = e p Por lo tato s = = y p + kp f =, co k = 0, Etoces: p Para k = 0, teemos 8 z = e Para k =, teemos z 9 8 = e p El logartmo de u úmero complejo Al gual que para los reales, vamos a defr el logartmo de u úmero complejo como la operacó versa de la expoecal, esto es: Supógase que z z = log w Û e = w q w = re es u úmero complejo de módulo r y argumeto q, etoces: 0
z ( q + kp e = r e = w Û z = r + + k l ( q p Ejemplo Sea = e (0 Por tato log ( = l( + ( kp = kp, co k Î Ejerccos de la Seccó 3 Halle las raíces cuadradas de - y verfque que so y - Halle las raíces cúbcas de 3 Halle las raíces cúbcas de - Halle las raíces cuadradas del úmero + 3 y expréselas e la forma bómca 5 Halle las raíces cúbcas del úmero -- 3 y expréselas e la forma bómca 6 Halle las raíces cuadradas de - - y represételas e el plao complejo 7 Muestre que log( - = p 8 Halle: (a log( e, (b log(, (c log( - e 9 Muestre que log( - = l - p
Respuestas Seccó a (, -, b (5, -, c (3,, d (,, e (, -6 æ x - y ö u, v = ç, è x + y x + y ø 6 ( 9 a 3 + - 3 + 9 0 3 a ( x - + y 5, círculo de rado 5 cetrado e (,0 y su teror 5 - ± 7 ±, ± 3 Seccó a æ 3p ö 3 csç è ø 5 a, b 7 0 3 e - Seccó 3 3 3 ± 5 0 6 p p p 9 9 9 e, e, e 8 a + kp, c - p Tomado de http://temasmatematcosuadeseduco