UNIDAD VII. LA HIPÉRBOLA. DEFINICIÓN: L Hipérol es el onjunto de puntos en el plno u difereni de sus distnis dos puntos fijos en el mismo plno, llmdos foos, es onstnte e igul. 7.1 Euión en form omún o nóni de l hipérol. 7.1.1 Elementos: En l gráfi dd ontinuión Fig. 1 es posile enontrr los elementos siguientes: C Centro. V Vérties. F Foos. Asíntots rets que se ortn en el entro CV Semieje rel trnsverso CB Semieje imginrio onjugdo CF Semieje fol. Fig. 1. Convenionlmente se utilizn los suíndies 1 pr los elementos que se lolizn jo l izquierd del entro pr los que están rri l dereh del entro. 1
Relión mtemáti entre,. Es posile ompror geométrimente que l distni del entro ulquier de los foos es etmente igul l distni de un vértie ulquier de los etremos del eje imginrio Fig. Fig. De l figur nterior se puede ver que: 7.1.. Euiones de l hipérol uo entro está en el origen A Eje rel prlelo l eje X. En l gráfi Fig. 3 se puede oservr que: d 1 PF1 d PF, de donde, por l fórmul de distni entre dos puntos: PF 1 0 PF 0 PF 1 PF De l definiión de l hipérol se tiene que d d, sustituendo: 1
3 Fig. 3, despejndo l primer ríz: ; elevndo l udrdo mos miemros: ; desrrollndo:, desrrollndo: ; despejndo:
, reduiendo:, dividiendo por mos miemros: ; elevndo nuevmente l udrdo: ; desrrollndo: ] [ ; envindo términos en e l ldo izquierdo: ; reduiendo términos semejntes: ; ftorizndo: ; por l relión entre, : ; sustituendo: ; dividiendo todo por ²²: ; simplifindo: 1 B Eje rel prlelo l eje Y. De form similr es posile llegr l euión undo el eje rel es vertil prlelo l eje Y se dej omo ejeriio l lumno. En este so l euión resultnte deerá ser: 1
Euiones de ls síntots: De l figur 1, se oserv que ls síntots, demás de psr por el origen, psn por los vérties del retángulo formdo por ls distnis entre los vérties ls distnis entre los etremos del eje imginrio, dos de estos vérties son los que tienen oordends,,. Ddo que se onoen dos puntos por donde ps l síntot, se puede utilizr 1 l euión dos puntos vist en l unidd II: 1 1. Sustituendo ls oordends del entro 0, 0, del vértie,, se tiene: 0 0 0, simplifindo: 0 Pr l otr síntot, ls oordends que se vn sustituir en l euión son ls del entro 0, 0 ls del otro vértie,, por lo que se tiene: 0 0 0, simplifindo: 0 Eentriidd: L eentriidd, l igul que en l elipse, represent l relión entre ls distnis de foo foo de vértie vértie, esto es: e. Ahor ien, por l relión entre,, se oserv que es mor que que, por lo tnto l eentriidd en l hipérol siempre es mor que l unidd: e > 1 Ldo Reto: Tmién en l hipérol se pueden lulr ls longitudes de los ldos retos, pr lo ul se utiliz l mism euión que en l elipse: 1 LR EJEMPLO 1.7 5
Hllr l euión de l hipérol onentro en el origen, eje rel prlelo l eje 0, uno de uos vérties está en 3, 0 uno de sus foos en 5, 0. Determinr, demás, ls oordends de los etremos del eje imginrio ls euiones de sus síntots. Fig. Pr omenzr, l oservr l figur, l distni CV1 3 es igul l vlor de, l distni CF 5, que equivle l vlor de. hiendo uso de l relión entre, se tiene: 5 3 5 9 16 16 Ddo que los vérties los foos están sore el eje X, el eje rel es horizontl l euión orrespondiente: 6
1 Sustituendo los vlores de : 3 1 L euión pedid es, por tnto: 9 16 1 Pr los etremos del eje imginrio, es neesrio vnzr desde el entro de mner perpendiulr l eje rel, un distni igul, tnto en un sentido omo en otro, on lo ul se lleg los puntos B 1 0, B 0,. Ls euiones de ls síntots se otienen prtir de ls euiones orrespondientes l eje rel horizontl, esto es:, sustituendo los vlores de, se otiene: 3 3 ; que igulndo ero ordenndo quedn: 3 0 3 0. EJEMPLO.7 Hllr l euión de l hipérol on entro en el origen, eje rel prlelo l eje Y, si uno de sus foos está en 0, 10 uno de los etremos del eje imginrio es el punto 8, 0. Dr tmién ls oordends de sus vérties, el vlor de su eentriidd l longitud de su ldo reto. Como se puede oservr en l figur 5, ls distnis CV1 CB1 equivlen los vlores de, respetivmente, ddo que el eje rel es vertil, l euión orrespondiente es: 7
1 Pero no se tiene el vlor de, por lo que utilizndo l relión entre, :, de donde:, sustituendo efetundo operiones: 10 8 100 6 36 6 Sustituendo los vlores de : 6 8 1 36 6 1, que es l euión pedid. Figur 5. 8
Pr l eentriidd: e 10 e, simplifindo: 6 5 eentriidd vle, 5 3 3. 5 e. Nótese que unque en este so l 3 Pr el ldo reto: 8 LR 6 LR 6 LR 3. Sustituendo vlores: Ejeriios: 7.1 Enontrr l epresión mtemáti pr l euión de l hipérol que tiene su entro en el origen su eje mor es prlelo l eje 0 eje vertil. 7. Los foos los vérties de un hipérol son los puntos: F5, 0, F -5, 0, V 1, 0 V -, 0, respetivmente. Determine l euión de l hipérol. Diujr su gráfi e indir ls síntots. 7.3 Utilizndo un proedimiento similr l del prtdo 7.1., demuestr que ls euiones de ls síntots de un hipérol, uo eje rel es vertil, son:,. 7. Dd l hipérol u euión viene dd por: 7 9 63. Determine: oordends de los foos, de los vérties, euiones de ls síntots. Tre l gráfi. 7.1.3. Euión de l hipérol uo entro no está en el origen El proedimiento lgerio pr l deduión de ls euiones de l hipérol on entro en ulquier punto fuer del origen es similr l relizdo nteriormente pr undo el entro está en el origen se dej l estudinte omo ejeriio. Ls euiones orrespondientes ls dos posiles situiones del eje rel horizontl o vertil son: h k 1 Eje Rel horizontl prlelo l eje X. 9
k h 1 Eje Rel vertil prlelo l eje Y. De igul modo, es posile demostrr que ls euiones de ls síntots pr los dos sos itdos rri son: k k ± ± h h Eje Rel horizontl prlelo l eje X. Eje Rel vertil prlelo l eje Y. Ls fórmuls pr el álulo de l eentriidd el ldo reto son ls misms que ls usds nteriormente. EJEMPLO 3.7 El entro de un hipérol est en 3,, su distni fol es de 10 uniddes uno de los vérties es el punto 1,. Hllr su euión determinr ls oordends de los foos de los etremos del eje imginrio, sí omo ls euiones de sus síntots. En l gráfi de l Figur 6, se oserv que l distni CV es igul, en tnto que l distni fol es igul 10, esto es 10, por lo tnto 5. de l relión entre, se lul el vlor de : 5 5 16 9 9 3 5 3 5 9 16 16 Como el eje rel dee psr por el entro, los vérties los foos, por inspeión de l gráfi se oserv que diho eje es horizontl, por lo que l euión es: h k 1 3 1 3, sustituendo vlores se otiene: 3, efetundo operiones: 10
3 16 9 1, que es l euión soliitd. Fig. 6 Pr los foos, si prtir del entro se vnz el vlor de l izquierd l dereh respetivmente, se otienen los puntos F 1 8, F,. Pr los etremos del eje imginrio hor se vnz el vlor de desde el entro, perpendiulrmente l eje rel, en este so hi jo hi rri oteniéndose B 1 3, 1 B 3, 5. Finlmente, ls euiones de ls síntots son: k ± h, sustituendo vlores. 3 ± 3 3 3 8 3 9 3 17 0 efetundo operiones seprndo por signos: 11
3 3 8 3 9 3 1 0. 7. Euión en form generl. De form similr omo ourrió en l elipse, l euión de un hipérol se puede epresr en form generl desrrollndo los inomios, simplifindo, igulndo ero reordenndo términos pr llegr : A C D E F 0 En l ul, ls rterístis que dee de tener pr representr un hipérol son: A C, de tl form que A C < 0. 7.3 Otenión de l euión prtir de lgunos de sus elementos. En est seión se nliz l mner de llegr l euión generl de un hipérol prtir de lgunos de los elementos sustituéndolos en l euión nóni. EJEMPLO.7 El entro de un hipérol es el punto 3,, uno de sus foos está en 3, 8 su eentriidd es 5. Hllr su euión en form generl determinr ls oordends de sus vérties de los etremos de su eje imginrio, sí omo l longitud del ldo reto. Trzr su gráfi. C3, h 3 k. Si F 1 3, 8, en l gráfi Figur 5 se puede oservr que 10. 5 Como e, sustituendo el vlor de. 10 5 0 10 5 8. Nótese que 5. 5 Y prtir de l relión mtemáti entre, es posile lulr el vlor de : 10 8 100 6 1
36 36 6. Por l uiión del foo se se que el eje rel es prlelo l eje Y, l euión orrespondiente es: k h 1, sustituendo vlores: 8 3 6 1, desrrollndo los udrdos: 6 6 9 1, sumndo ls friones: 36 9 16 576 6 9 1, efetundo operiones: 9 36 36 16 96 1 576, igulndo ero reordenndo: 0 16 9 96 36 68, o 16 9 96 36 68 0, que es l euión soliitd. Pr ls oordends de los vérties, si en l gráfi se vnz desde el entro el vlor de 8, hi rri hi jo se lleg respetivmente los puntos V 3, 10 V 1 3, 6. De igul form, pr ls oordends de los etremos del eje imginrio se vnz el vlor de 6 desde el entro, pero hor hi l izquierd hi l dereh pr llegr los puntos B 1 3, B 6,. El ldo reto se puede lulr medinte l euión LR. Sustituendo 6 36 vlores: LR, efetundo simplifindo: LR. 10 5 L gráfi es l siguiente: 13
Figur 7 7. Cálulo de los prámetros de l hipérol dd su euión. Si se suministr omo dto l euión de un hipérol en form generl, es posile reduirl su form nóni, omo se hizo on l elipse, prtir de ell on uilio de l gráfi orrespondiente determinr todos sus elementos. EJEMPLO 5.7 L euión de un hipérol es 100 00 6 0. Reduirl su form nóni determinr todos sus elementos. Trzr su gráfi. 100 00 6 0, grupndo despejndo: 100 00 6 Osérvese el signo de 00, ftorizndo: 6 100 6, ompletndo trinomios equilirndo: 1
6 9 100 1 6 36 100, ftorizndo simplifindo 3 100 1 00, dividiendo por 00 mos miemros: 3 100 1 00 00 00 00 simplifindo: 3 1 1, euión que se orresponde l form 100 h k 1, o se, undo l hipérol tiene su eje rel prlelo Y. A prtir de dih euión se tiene: h 3, o h 3, k 1 o k 1, 100 o 10 o Por l relión mtemáti entre, :, sustituendo: 100, esto es: 10, o 10 Pr ls oordends: el entro, por tnto es el punto 3, 1. Los vérties se lolizn omo en el ejemplo.7: V 1 13, 1 V 7, 1 Los foos están en: F 1 3 10, 1 F 3 10, 1. Los etremos del eje imginrio son: B 1 3, 1 B 3, 3. Pr l eentriidd: e, sustituendo vlores 10 e. 10 Pr l longitud de los ldos retos: LR sustituendo se tiene LR, o simplifindo LR. 10 5 Pr ls euiones de ls síntots, por ser el eje rel horizontl: 15
k ± h, de donde sustituendo los vlores de h, k, : 1 ± 3, simplifindo: 10 1 1 ± 3, seprndo por signos: 5 5 1 1 3 5 5 3 5 8 0 5 1 1 3 5 5 3 5 0 7.5 CONDICIONES PARA QUE UNA ECUACIÓN DEL TIPO A C D E F 0 SEA UNA HIPÉRBOLA. Hst este momento, l euión A C D E F 0 puede representr un ret, un irunfereni, un práol, un elipse o ien un hipérol, dependiendo de los vlores de A C: Si A C 0 se trt de un ret. Si A C 0 es un irunfereni. Si A 0 o C 0 se tiene un práol. Si A C AC > 0 se est hlndo de un elipse. Ahor, pr que est euión represente un hipérol es neesrio que A C AC < 0 Los sos que se pueden presentr son solmente dos, que difereni de l elipse l irunfereni, quí, por l ondiión AC < 0 se permite que los signos de los términos se inviertn Fe de errts: en el progrm mr los tres 7.5.1 L hipérol represent un hipérol rel. Este so se present undo en el proedimiento l llegr l pso en el que se divide por el resultdo éste es diferente de ero pudiendo ser positivo o negtivo Ejemplo 6.7. Dd l euión de l hipérol en form generl, reduirl su form nóni determinr el vlor de todos d uno de sus elementos, inluendo ls euiones de ls síntots trzr l gráfi. 16
5 8 10 19 0 Aplindo el proedimiento visto en el ejemplo 5.7: 8 5 10 19 5 19 1 5 1 19 5 1 5 1 0 nótese el signo en el resultdo. 1 5 1 0 0 0 0 1 1 1 o ien: 5 1 1 1 que orresponde un hipérol on entro fuer del 5 origen eje rel vertil prlelo Y, de donde: k 1, o k 1 h 1, o h 1 5 5, por l relión entre, :, esto es: 5 o ien 9, de donde 3. Por l gráfi orrespondiente Fig. # puede determinrse: C1, 1, V 1 1, 3, V 1, 1, F 1 1,, F 1,, B 1 1 5, 1, B 1 5, 1. L eentriidd: e, sustituendo: 3 e L longitud de los ldos retos: LR, sustituendo vlores 5 LR, efetundo operiones: LR 5 17
Ls euiones de ls síntots: por l posiión del eje rel prlelo Y, ls euiones de ls síntots son: k ± h, sustituendo los vlores orrespondientes: 1 ± 1 5 1 ± 1, utilizndo el signo : 5 5 1 1, efetundo, igulndo ero reordenndo: 5 5 0 Si hor se us el signo : 5 1 1 5 5 0, efetundo, igulndo ero reordenndo: 7.5. L hipérol degener en dos rets que se ortn. Este so se tiene undo el resultdo en el pso orrespondiente es igul ero. Ejemplo 7.7 Dd l euión 16 5 96 50 119 0, reduirl l form nóni determinr si retrt de un hipérol o de dos rets que se ortn. En el primero de los sos, determinr todos sus elementos trzr l gráfi. 16 16 16 96 5 6 5 6 9 5 50 119 119 1 119 1 5 16 3 5 1 0 Ddo que el resultdo es igul ero, no es posile relizr el pso siguiente l división entre ero no está definid. 18
Ahor ien, l epresión nterior orresponde un difereni de udrdos, l ul se puede ftorizr en: [ 3 5 1 ][ 3 5 1 ] 0 5 7 5 17 0 0, se tiene: 5 7 0 o 5 17 0, o, simplifindo: ; ddo que undo 0 se umple que 0 o, que orresponden ls euiones de dos rets que se ortn en el punto de oordends 3, 1. El estudinte puede verifir est últim severión reurriendo los métodos estudidos en el urso de álger. EJERCICIOS: Pr d un de ls siguientes euiones que representn hipéroles, se pide diujrls, determinndo demás los vérties, los foos ls euiones de ls síntots. 7.5 16 5 100. 7.6 9 36. 7.7 16. 7.8 9 18. 7.9 8. 7.10 9 36. Ls órits de lgunos omets son hipérols. Estos omets sólo se ern un vez l Sol, que es uno de los foos de su tretori. Después se lejrán perdiéndose en los onfines del Sistem Solr. En los siguientes ejeriios enuentre l euión de l hipérol que stisfe ls ondiiones dds. Tre su gráfi ls síntots. 7.11 Centro en 0, 0; vértie en 3, 0; foo en 5, 0. 7.1 Centro en 0, 0; vértie en -1, 0; foo en -3, 0. 7.13 Centro en 0, 0; vértie en 0, -1; foo en 0, -3. 19
17.1 Centro en 0, 0; vértie en 0, 3; foo en 0, 5. 17.15 V 1-3,, V -3, -; 6. 17.16 F-7, 3, F -1, 3;. 17.17 V 1, 0, V -, 0; síntot l ret. Ls hipérols preen en muhs situiones reles, por ejemplo, un vión que vuel veloidd supersóni prlelmente l superfiie de l tierr, dej un huell ústi hiperóli sore l superfiie. L interseión de un pred el ono de luz que emn de un lámpr de mes on pntll tronoóni, es un hipérol. En d uno de los ejeriios siguientes enuentre el entro, los foos, los vérties ls euiones de ls síntots de d hipérol. Tre l gráfi orrespondiente. 7.18. 7.19 7.0 7.1 7. 7.3 7. 7.5 7.6 7.7 0
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