Resume de ls clses teórics del turo trde crgo de l Prof. Alcó. 0.1. Complejos. Form de pr ordedo. Opercioes. Form biómic U úmero complejo es u pr ordedo cuys compoetes so úmeros reles. Luego el cojuto de los úmeros complejos es C = {(x, y) : x R y R}. Si z = (, b) C, l primer compoete se dice l prte rel de z y l segud compoete b se dice l prte imgiri de z, lo cul se idic respectivmete Re(z) = y Im(z) = b. Se defie e C u operció sum + y u operció producto., e l form: pr z 1 = ( 1, b 1 ) y z 2 = ( 2, b 2 ) complejos culesquier se tiee que z 1 + z 2 = ( 1 + 2, b 1 + b 2 ) z 1.z 2 = ( 1. 2 b 1.b 2, 1.b 2 + b 1. 2 ) dode ls opercioes idicds etre ls compoetes de z 1 y z 2 so ls opercioes sum y producto de úmeros reles estudids e los cpítulos teriores; es clro etoces que z 1 + z 2 C y que z 1.z 2 C. Ejemplo 1: Si z 1 = (2, 3), z 2 = ( 1, 4), z 3 = (2, 0) y z 4 = (0, 1) etoces z 1 + z 2 = (2 + ( 1), 3 + 4) = (1, 7); z 1.z 2 = (2.( 1) 3.4, 2.4 + 3.( 1)) = ( 14, 5); z 3.z 4 = (2.0 0.1, 2.1 + 0.0) = (0, 2). z 4.z 4 = (0.0 1.1, 1.0 + 0.1) = ( 1, 0). Proposició 1. L sum y el producto de úmeros complejos stisfce ls misms propieddes que l sum y el producto de úmeros reles: 1
1. L sum y el producto so opercioes socitivs, es decir, ddos complejos culesquier z 1, z 2 y z 3 se stisfce que (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ); (z 1.z 2 ).z 3 = z 1.(z 2.z 3 ). 2. L sum y el producto so opercioes comuttivs, es decir, ddos complejos culesquier z 1 y z 2 se stisfce que z 1 + z 2 = z 2 + z 1 ; z 1.z 2 = z 2.z 1. 3. El úmero complejo (0, 0) es el eutro de l sum, es decir, pr todo complejo z se stisfce que z + (0, 0) = z. El úmero complejo (1, 0) es el eutro del producto, es decir, pr todo complejo z se stisfce que z.(1, 0) = z. 4. Todo úmero complejo dmite u opuesto segú l sum, es decir, ddo u úmero complejo z culquier, existe u úico úmero complejo, que deotmos z, tl que z + ( z) = 0. 5. Todo úmero complejo o ulo dmite u iverso segú el producto, es decir, ddo u úmero complejo z culquier, z (0, 0), existe u úico úmero complejo, que deotmos z 1, tl que z.z 1 = (1, 0). 6. El producto es distributivo co respecto l sum, es decir, ddos complejos culesquier z 1, z 2 y z 3 se stisfce que z 1.(z 2 + z 3 ) = z 1.z 2 + z 1.z 3 ; 2
Demostrció: Demostrremos solo lgus de ls propieddes eucids, ls resttes demostrcioes qued como ejercicios. 1) Se z 1 = ( 1, b 1 ), z 2 = ( 2, b 2 ) y z 3 = ( 3, b 3 ), luego (z 1 + z 2 ) + z 3 = (( 1, b 1 ) + ( 2, b 2 )) + ( 3, b 3 ) = ( 1 + 2, b 1 + b 2 ) + ( 3, b 3 ) = (( 1 + 2 ) + 3, (b 1 + b 2 ) + b 3 ). Como l sum de úmero reles es socitiv, sbemos que ( 1 + 2 )+ 3 = 1 +( 2 + 3 ) y (b 1 + b 2 ) + b 3 = b 1 + (b 2 + b 3 ). Luego (( 1 + 2 ) + 3, (b 1 + b 2 ) + b 3 ) = ( 1 + ( 2 + 3 ), b 1 + (b 2 + b 3 )) = ( 1, b 1 ) + ( 2 + 3, b 2 + b 3 ) = ( 1, b 1 ) + (( 2, b 2 ) + ( 3, b 3 )) = z 1 + (z 2 + z 3 ) como querímos probr. 4) Se z = (, b) u complejo culquier; como y b so úmeros reles, sbemos que existe úmeros reles y b tles que + ( ) = 0 y b + ( b) = 0. Luego (, b) C y (, b) + (, b) = ( + ( ), b + ( b)) = (0, 0). Result que z = (, b). 5) Se z = (, b) u complejo culquier o ulo, luego 2 +b 2 0, de dode 2 +b 2 y b b R. Result que (, ) C y 2 +b 2 2 +b 2 2 +b 2 (, b).( z 1 = (, 2 +b 2, 2 +b 2 b ) = (. 2 +b 2 2 +b 2 que z.w = (0, 1), etoces R b. b 2 +b 2,. b 2 +b 2 + b. 2 +b 2 ) = (1, 0); cocluimos que b ), como querímos probr. Supogmos existe otro complejo w tl 2 +b 2 w = w.(0, 1) = w.(z.z 1 ) = (w.z).z 1 = (1, 0).z 1 = z 1. Coveció: Como e el cso de los úmeros reles, pr simplificr l otció, podemos escribir: z 1 z 2 e lugr de z 1 + ( z 2 ); 1 e lugr de z z 1 ; z 1 z 2 e lugr de z 1.z 1 2 Los úmeros reles se idetific co los úmeros complejos co prte imgiri ul, es decir, cd úmero rel se idetific co el úmero complejo (, 0). Est idetificció es bue e el setido que respet ls opercioes sum y producto. E otrs plbrs, sumr o multiplicr e R dos úmeros reles 1 y 2 es quivlete 3
sumr o multiplicr e C los correspodietes úmeros complejos ( 1, 0) y ( 2, 0). Efectivmete, ( 1, 0) + ( 2, 0) = ( 1 + 2, 0) y ( 1, 0).( 2, 0) = ( 1. 2, 0). E cosecueci covedremos e escribir l úmero complejo (, 0) simplemete como. Observr que el complejo ulo (0, 0) se represet por 0. U complejo se dice imgirio puro si su prte rel es 0. Llmmos uidd imgiri l complejo (0, 1) y lo represetmos por i. Luego, u complejo imgirio puro (0, b) es igul b.i pues de cuerdo lo coveido b.i = (b, 0).(0, 1) = (0, b). Observr que 0.i = (0, 0).(0, 1) = (0, 0) = 0. Por otr prte, i.i = (0, 1).(0, 1) = ( 1, 0) = 1. Dicho todo esto result que u complejo culquier z = (, b) se puede escribir como z = (, b) = (, 0) + (0, b) = + b.i. Est form de escribir u úmero complejo se llm form biómic y es útil pr simplificr l escritur y fcilitr los cálculos. Algus veces tmbié escribiremos + bi e lugr de + b.i. Teemos sí que C = { + bi co R y b R}. Trbjdo e form biómic, ls opercioes sum y producto y los iversos ditivos y multiplictivos se expres de l siguiete mer: ( + bi) + (c + di) = ( + c) + (b + d)i; ( + bi).(c + di) = (.c b.d) + (b.c +.d)i; ( + bi) = bi; ( + bi) 1 = 2 + b + ( b 2 2 + b )i. 2 Ejemplo 2: Se z = 3 + 2i y w = 1 4i, teemos que 5.z = 5.(3 + 2i) = 15 + 10i i.z = i.(3 + 2i) = i.3 + i.2.i = 3.i + 2.( 1) = 2 + 3i z + w = 2 2i 8.(z 1) + w.z 3i = 8.(3 + 2i 1) + ( 1 4i).(3 + 2i) 3i = 4
= 16 + 16i 3 2i 12i + 8 3i = 21 + i. (3+2i).( 2+i) 5i(4 i) = 6+3i 4i+2i2 20i 5i 2 = 6 i 2 20i+5 = ( 8 i).(5 + 20i) 1 = = ( 8 i).( 5 425 20 425 i) = 8. 5 425 + 8. 20 425 i 5 425 i + 20 425 i 2 = 60 425 + 155 425 i = 12 17 + 31 17 i. Como e el cso de los úmeros reles se defie ls potecis co expoete etero m de u úmero complejo z e l form z m = z si m = 1; z.z m 1 si m > 1; 1 si m = 0 y z 0; (z 1 ) m si m < 0. Ejemplo 3: i 2 = i.i = 1 i 3 = i 2.i = ( 1).i = i i 4 = i 3.i = ( i).i = (i.i) = ( 1) = 1 i 5 = i 4.i = 1.i = i. (3 + 2i) 2 = (3 + 2i).(3 + 2i) = (9 4) + (6 + 6)i = 5 + 12i. Proposició 2. Si z y w so complejos o ulos y y m so eteros etoces (z.w) = z.w ( z w ) = z w (z ) m = z.m z.z m = z +m z z m = z m Demostrció: Se dej como ejercicio. Observr que si N, por el lgoritmo de l divisió existe k N tl que = k.4 + r 4 (), luego i = i k.4+r 4() = i k.4.i r 4() = (i 4 ) k.i r 4() = 1 k.i r 4() = i r 4(). 5
Ejercicio 4: Probr que si z = + bi y N etoces z = ( + bi) = E prticulr j.b j.i j j j=0 ( + bi) 2 = 2 + 2bi + b 2 i 2 = 2 b 2 + 2bi. (+bi) 3 = 3 +3 2 bi+3b 2 i 2 +b 3 i 3 = 3 +3 2 bi 3b 2 b 3 i = ( 3 3b 2 )+(3 2 b b 3 )i. Se z = + bi co, b R. Se llm cojugdo de z l úmero complejo que se deot z ddo por z = bi. Ejemplo 5: Si z = 5 4i etoces z = 5 + 4i. Si z = 10 etoces z = 10. Si z = 3i etoces z = 3 i. Proposició 3. Si z y w so complejos etoces 1. z = z. 2. z + w = z + w y z.w = z.w. 3. z 1 = (z) 1, luego ( w) = w. z z 4. (z) = z pr todo N. 5. z + z = 2.Re(z) y z z = 2.Im(z).i. Demostrció: 1., 2. y 5. so triviles. Vemos 3.: por 2. teemos que z.z 1 = z.z 1 = 1 = 1; luego, por l uicidd del iverso multiplictivo, (z) 1 = z 1 como querímos probr. El item 4. se prueb fcilmete por iducció e. Se z = + bi co, b R. Se llm módulo de z l úmero rel o egtivo que se deot z ddo por z = 2 + b 2. Ejemplo 6: 3 2i = 3 2 + ( 2) 2 = 9 + 4 = 13 i = 0 2 + 1 2 = 1 = 1 6
8 = ( 8) 2 + 0 2 = ( 8) 2 = 8 Observr que el módulo de u umero complejo z = + 0i co prte imgiri ul coicide co el módulo del úmero rel defiido e los cpítulos teriores. Proposició 4. Ddos úmeros complejos z y w se stisfce que 1. z = 0 z = 0. 2. z.w = z. w. 3. z = z. 4. z.z = z 2. 5. z = z pr todo N. 6. z + w z + w, est relció se llm desiguldd trigulr. Demostrció: Los items 1.,2.,3. y 4. se prueb fcilmete medite cálculo directo prtir de l form biómic. El item 5. tmbié es fácil de probr por iducció e. Vemos 6.: como z + w y z + w so reles positivos, es suficiete probr que z + w 2 ( z + w ) 2. Usdo 4. teemos que z + w 2 = (z + w).(z + w) = (z + w).(z + w) = z 2 +z.w + w.z+ w 2. Observdo que z.w + w.z = z.w + w.z = z.w + z.w = 2.Re(z.w) 2. z.w = 2. z. w, obteemos z + w 2 z 2 +2. z. w + w 2 = ( z + w ) 2 como querímos probr. 7
0.2. Form trigoométric Así como los úmeros reles se correspode co los putos de l rect, los úmeros complejos se correspode co los putos del plo. Si fijmos e el plo u pr de ejes coordedos perpediculres etre sí, el primero se llm eje de bsciss y el segudo eje de ordeds, cd puto del plo está uívocmete determido por u pr de coordeds (, b). Como cd pr (, b) se correspode co u úico úmero complejo, podemos sigr e form biyectiv cd puto del plo u úmero complejo. Ver Figur 1. eje ordeds b z z=(,b) rg(z) (0,0) eje bsciss Figur 1:. Ejemplo 7: Ls regioes del plo sombreds e l Figur 2 se correspode co los siguietes subcojutos de C: A = {z C : Re(z) = 1}; B = {z C : Re(z) 3}; C = {z C : Re(z) + Im(z) 2}. Ddo u úmero complejo z = + bi su módulo z = 2 + b 2 es exctmete l distci etre el orige (0, 0) y el puto (, b). Más ú, si z 0 = 0 + b 0 i etoces z z 0 = ( 0 ) + (b b 0 )i = ( 0 ) 2 + (b b 0 ) 2 es l distci etre el puto ( 0, b 0 ) y el puto (, b). Ver Figur 1. Ejemplo 8: Ls regioes del plo sombreds e l Figur 3 se correspode co los siguietes subcojutos de C: 8
A B 2 C (0,0) 1-3 (0,0) (0,0) 2 Figur 2: 6 E 4 F D 3 (0,0) 1 (0,0) (0,0) 2 2 Figur 3: D = {z C : z = 1}; E = {z C : Im(z) 2 z 6}; F = {z C : z (2 + 3i) 4}. Ddo u complejo z = + bi o ulo, el águlo brrido por el semieje de bsciss positivs l desplzrse e setido tihorrio hst l semirrect co orige e (0, 0) que cotiee l puto (, b) se llm rgumeto pricipl de z y se idic rg(z). Observr que 0 rg(z) < 2π. No defiimos rgumeto del complezo z = 0. Ver Figur 1. Ejemplo 9: Ls regioes del plo sombreds e l Figur 4 se correspode co los siguietes subcojutos de C: G = {z C : 0 rg(z) π 4 } H = {z C : π 4 rg(z) π Re(z) 1} 9
G 45º H (0,0) -1 (0,0) Figur 4: Se z 0 = 3 + 3i. Teemos que z 0 = 3 2 + 3 2 = 18 y rg(z 0 ) = π 4. Observr que existe ifiitos úmeros complejos cuyo módulo es 18: todos los que se correspode co los putos de l circufereci cetrd e (0, 0) co rdio 18. Y existe ifiitos úmeros complejos cuyo rgumeto pricipl es igul π : todo los perteecietes l semirrect bisectriz del primer cudrte. Pero 4 3 + 3i es el úico úmero complejo cuyo módulo es 18 y su rgumeto es π 4. Todo úmero complejo está uívocmete determido por su módulo y su rgumeto pricipl. Observr que: z es u rel positivo rg(z) = 0. z es u rel egtivo rg(z) = π. z es u imgirio puro co Im(z) > 0 rg(z) = π. 2 z es u imgirio puro co Im(z) < 0 rg(z) = 3π. 2 Por otr prte, si z = + bi co y b reles o ulos etoces (, b) es u puto del plo coteido e el iterior de uo de los cutro cudrtes, sber: e el primer cudrte si > 0 y b > 0; e el segudo cudrte si < 0 y b > 0; e el tercer cudrte si < 0 y b < 0; y 10
e el curto cudrte si > 0 y b < 0. E culquier cso, como tgete(rg(z)) = b, teemos que rct( b ), si z está e el primer cudrte; π rct( b rg(z) = ), π + rct( b ), 2π rct( b ), si z está e el segudo cudrte; si z está e el tercer cudrte; y si z está e el curto cudrte; dode rct : R ( π, π ) es l fució ivers de l fució trigoométric 2 2 tgete restrigid l itervlo ( π 2, π 2 ). Ejemplo 10: Recorddo que α 0 π 12 tgete(α) 0 2 3 1 3 1 π 6 π 4 π 3 3 teemos que rg(1 + 3 i) = rct( 3 1 ) = π 3. rg(5 5 i) = 2.π rct( 5 5 ) = 2.π rct(1) = 2.π π 4 = 7 4.π. rg( 2. 3 2 i) = π + rct( 2 2. 3 ) = π + rct( 1 3 ) = π + π 6 = 7 6.π. Se z = + bi o ulo co, b R. Como ls fucioes seo y coseo so periódics co período 2.π, si α = rg(z) + k.2.π co k es u etero culquier etoces cos(α) = cos(rg(z)) = se(α) = se(rg(z)) = Result que z = + bi = z.cos(α)+ z.se(α) i; z ; b z. z = z.(cos(α) + i se(α)). luego Est form de escribir u úmero complejo se llm form trigoométric. Observr que si r y θ so reles culesquier co r > 0, etoces l form trigoométric de w = r. cos(θ) + r. se(θ) i es r.(cos(θ) + i se(θ)) 11
pues w = (rcos(θ)) 2 + (rse(θ)) 2 = r 2 (cos 2 (θ) + se 2 (θ)) = r 2 = r = r; y θ = rg(w) + k.2.π pr lgú k Z porque tgete(rg(w)) = rse(θ) rcos(θ) = se(θ) cos(θ) = tgete(θ). Proposició 5. Si z = r. (cos(θ) + i se(θ)) co r R + y θ R etoces z = r. (cos( θ) + i se( θ)); z 1 = 1.(cos( θ) + i se( θ)). r Demostrció: Se dej como ejercicio. Proposició 6. Si z 1 = r 1 (cos(θ 1 ) + i se(θ 1 )) y z 2 = r 2 (cos(θ 2 ) + i se(θ 2 )) co r 1, r 2 R + y θ 1, θ 2 R, etoces z 1.z 2 = r 1.r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i se(θ 1 + θ 2 )); z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 θ 2 ) + i se(θ 1 θ 2 )). Demostrció: Operdo e form biómic y recorddo l relció trigoométric que estblece que pr α y β culesquier se(α+β) = se(α).cos(β)+cos(α).se(β) y cos(α + β) = cos(α).cos(β) se(α).se(β); teemos que z 1.z 2 = (r 1.(cos(θ 1 ) + i se(θ 1 ))).(r 2.(cos(θ 2 ) + i se(θ 2 ))) = = r 1.r 2.(cos(θ 1 ).cos(θ 2 ) se(θ 1 ).se(θ 2 ))+i (se(θ 1 ).cos(θ 2 )+cos(θ 1 ).se(θ 2 )) = = r 1.r 2.(cos(θ 1 + θ 2 ) + i se(θ 1 + θ 2 )). L demostrció e el cso del cociete es trivil prtir de l Proposició 5 pues z 1 z 2 = z 1.z 1 2. Proposició 7 (Fórmul de De Moivre). Si z = r. (cos(θ) + i se(θ)) co r R + y θ R etoces pr todo m Z z m = r m. (cos(m.θ) + i se(m.θ)). 12
Demostrció: L proposició vle pr m = 0 pues z 0 = 1 y r 0.(cos(0.θ) + i se(0.θ)) = 1. (cos(0) + i se(0)) = 1. Cudo m N se prueb por iducció usdo l Proposició 6 e el pso iductivo. Cudo m < 0, usdo lo terior y l Proposició 5 teemos que z m = z m = (z 1 ) m = (r 1. (cos( θ) + i se( θ))) m = = (r 1 ) m. (cos( m.θ) + i se( m.θ)) = = r m (cos(m.θ) + i se(m.θ)). Ejemplo 11: Clculr (1 + 3 i) 31. Observr que relizr este cálculo trbjdo e form biómic es muy trbjoso. Operremos utilizdo l form trigoométric. Si z = 1 + 3 i etoces z = 1 + 3 = 2 y rg(z) = rct( 3 1 ) = π 3 ; luego z = 2.(cos( π) + ise( π ). Utilizdo l fórmul de De Moivre obteemos que 3 3 z 31 = 2 31.(cos(31. π 3 ) + ise(31.π 3 )). Como 31.π = (10 + 1).π = 5.(2.π) + 1.π, result 3 3 3 z 31 = 2 31 (cos( 1 3.π) + ise(1 3.π)) = 231 ( 1 2 + 3 2 ) = 230 + 2 30. 3 i. Determir tl que (2 + 2i) se u úmero rel egtivo. Como observmos precedetemete, u complejo es u rel egtivo si y sólo si su rgumeto es π, luego clculremos el rgumeto de (2 + 2i). Como 2 + 2i = 8.(cos( π) + i se( π )), por l fórmul de De Moivre, 4 4 (2 + 2i) = ( 8).(cos(. π 4 ) + i se(.π 4 )). Result que. π 4 = rg((2 + 2i) ) + k.2.π pr lgú etero k. Cocluimos que (2 + 2i) es u rel egtivo si y sólo si. π 4 k.2.π = π pr lgú etero k. Esto es si y sólo si 4 lgú etero k. = 1 + 2.k o equivletemete si y sólo si = 4 + 8.k pr 13
Result que existe ifiits solucioes del problem propuesto. Por ejemplo: co k = 0 obteemos = 4: efectivmete (2 + 2i) 4 = 64; co k = 1 obteemos = 12: efectivmete (2 + 2i) 12 = 262144; co k = 1 obteemos = 4: efectivmete (2 + 2i) 4 = 1 64. 0.3. Rdicció de úmeros complejos E el Cpítulo?? vimos que ddo R + y N, existe u úico úmero rel positivo cuy poteci -ésim es igul, tl úmero se llm ríz -ésim positiv de y se deot. Ahor os pltemos u problem similr e el cotexto de los úmeros complejos: ddo u úmero complejo culquier z 0 y N queremos determir si existe lgú úmero complejo w tl que w = z 0, e tl cso w se dice u ríz -ésim de z 0 ; veremos cotiució que todo complejo o ulo tiee exctmete ríces -ésims. Proposició 8. Se z 0 C o ulo y N. Existe exctmete úmeros complejos w tles que w = z 0. Demostrció: Pr simplificr l otció llmemos r 0 = z 0 y α 0 = rg(z 0 ), luego z 0 = r 0. (cos(α 0 ) + i se(α 0 )). Queremos determir si existe complejos w = r.(cos(α) + ise(α)) co r R + y α R tles que w = z 0. Por l fórmul de De Moivre teemos w = z 0 r.(cos(.α) + i se(.α)) = r 0. (cos(α 0 ) + i se(α 0 )) r = r 0.α = α 0 + k.2.π pr lgú etero k. 14
2. w 1 w 2 w 0 rg(z ) 0 w 3 z 0 Figur 5: ls solucioes de w = z 0 se correspode co los vértices del polígoo regulr co vértices cetrdo e (0, 0) iscripto e l circufereci co rdio z 0, es decir, comezdo co w 0 co rgumeto rg(z 0), ls resttes rices se obtiee icremetdo el rgumeto e 2.π. r = r 0 α = α 0 + k.2.π pr lgú etero k. Como ls fucioes seo y coseo so periódics co período 2.π bst cosiderr k tl que 0 k <, sí obteemos ls solucioes de l ecució plted: pr 0 k 1. Ver Figur 5 w k = r 0. (cos( α 0 + k.2.π ) + i se(α 0 + k.2.π ) Ejemplo 12: Determir ls ríces curts de 1+i, es decir, determir los complejos w tles que w 4 = 1 + i. Como 1 + i = 2 y rg(1 + i) = π, ls cutro ríces curts de 1 + i so 4 w 0 = 4 2.(cos( π 16 ) + ise( π 16 )); w 1 = 4 2.(cos( π 2.π + 1. ) + ise( π 2.π + 1. )) = 16 4 16 4 = 4 2.(cos( 9 9.π) + ise(.π)); 16 16 w 2 = 4 2.(cos( π 2.π + 2. ) + ise( π 2.π + 2. )) = 16 4 16 4 15
= 4 2.(cos( 17 17.π) + ise(.π)); y 16 16 w 3 = 4 2.(cos( π 2.π + 3. ) + ise( π 2.π + 3. )) = 16 4 16 4 = 4 2.(cos( 25 25.π) + ise(.π)). 16 16 0.3.1. Ríces -ésims de l uidd Ddo N queremos determir ls ríces -ésims de 1; es decir, los úmeros complejos w tles que w = 1. De cuerdo lo visto precedetemete se trt de los complejos co k etero, 0 k 1. w k = cos(k. 2.π ) + i se(k.2.π ) Llmmos G l cojuto de ls rices -ésims de l uidd, es decir, G = {w k, 0 k 1}. Observr que los elemetos de G se correspode co los vértices del polígoo - regulr iscripto e l circufereci de rdio 1 que cotiee l puto (1, 0) (Figur 6). L operció producto es cerrd e G, es decir si z y w so ríces -ésims de l uidd, etoces z.w tmbié es ríz -ésim de l uidd pues (z.w) = z.w = 1.1 = 1. E form álog se prueb que si z G etoces z 1 G y z G. Observr que si z = 1 etoces z 1 = z. Además, si z G etoces z 1 = z 1. U úmero complejo w se dice u ríz primitiv de orde de l uidd si = meor{m N : w m = 1} Es clro que si w es u ríz primitiv de orde de l uidd etoces w G. L recíproc e geerl o es verdder, por ejemplo 1 G 4 pero 1 o es ríz primitiv de orde 4 sio que es ríz primitiv de orde 2. L siguiete proposició os dice cules so los elemetos de G que so rices primitivs de orde. 16
G 2 G 3 G 4-1 1 G 5 G 6 G 7 Figur 6: Proposició 9. Se k N co 0 k 1. El complejo w k = cos(k. 2.π ) + i se(k. 2.π ) es ríz primitiv de orde si y sólo si (k, ) = 1. Demostrció: Asummos que w k es ríz primitiv de orde y se m = (,k). Por De Moivre teemos que w m k 2.π 2.π = cos(m.k. ) + i se(m.k. ) = cos( 2.π.k. ) + i se( 2.π.k. ) = (,k) (,k) = cos( k k.2.π) + i se(.2.π) = cos(2.π) + i se(2.π)) = 1 (,k) (,k) Result de l defiició de ríz primitiv que m, luego m = (, k) = 1 como querímos probr. (,k) = de dode Ahor summos que k es tl que (, k) = 1 y vemos que w k es u primitiv de orde. () w k = cos(.k. 2.π 2.π ) + i se(.k. ) = cos(2.π) + i se(2.π) = 1. (b) Si wk m = 1 co m N etoces cos(m.k. 2.π 2.π ) + i se(m.k. ) = 1; luego existe h Z tl que m.k. 2.π + h.2.π = 0, de dode m.k =.h. Como k y so coprimos teemos que divide m; y como mbos so positivos debe ser m. De () y (b) result que w k es primitiv de orde. 17
Corolrio 10. Si w G p co p primo y w 1 etoces w es primitiv de orde p. Corolrio 11. Si w es ríz primitiv de orde de l uidd etoces G = {w, w 2, w 3,..., w 1, 1}. Demostrció: Es clro que {w, w 2, w 3,..., w 1, w = 1} G pues (w m ) = (w ) m = 1 m = 1 pr culquier m. Además, supogmos que dos de ests potecis so igules, es decir, supogmos que existe s y t co 1 s < t tles que w t = w s. E tl cso w t s = 1; como w es primitiv de orde y t s < debe ser t s = 0. Luego t = s cotrdiciedo l suposició s < t. Result que {w, w 2, w 3,..., w 1, 1} tiee exctmete elemetos; como G tiee elemetos debe ser {w, w 2, w 3,..., w 1, 1} = G como querímos probr. Proposició stisfce que 12. Se w u ríz primitiv de orde de l uidd y k Z. Se w k es ríz primitiv de orde (, k) = 1. Demostrció: Asummos que w k es primitiv de orde, veremos que (, k) = 1. Como (w k ) (,k) ser (,k) = (w ) k (,k), luego (, k) = 1. = 1 (,k) = 1 y w k es primitiv de orde etoces debe Ahor summos (, k) = 1 y vemos que w k es primitiv de orde. () (w k ) = (w ) k = 1 k = 1. (b) Se m N. Si (w k ) m = 1 etoces w k.m = 1. Por el lgoritmo de l divisió existe eteros q y r tles que k.m = q.+r co 0 r < ; luego w k.m = w q.+r = (w ) q.w r = 1 q.w r = w r = 1; etoces r = 0 pues por hipótesis w es primitiv de orde. Así teemos que k.m = q.; como y k so coprimos result que divide m. Result m pues mbos so positivos. De () y (b) obteemos que w k es ríz primitiv de orde. Vimos que todo complejo z 0 dmite exctmete rices -ésims. L siguiete proposició os muestr cómo prtir de u de ests rices podemos clculr ls resttes coociedo los elemetos de G. 18
Proposició de z 0 so z.w co w G. 13. Se z es u ríz -ésim culquier de z 0. Ls rices -ésims Demostrció: Ejercicio. Ejemplo 13: Como (2 + i) 4 = 7 + 24i, es decir, como 2 + i es u ríz curt de 7 + 24i, y como G 4 = {1, i, 1, i}, etoces ls rices curts de 7 + 24i so: (2 + i).1 = 2 + i; (2 + i).i = 1 + 2i; (2 + i).( 1) = 2 i; y (2 + i).( i) = 1 2i. Ejercicio 14: 1. L sum de ls ríces -ésims de u úmero complejo es igul cero. 19