OPMZACÓN ESRUCURAL CON MALLAS FJAS Y ANALSS DE SENSBLDAD ULZANDO VARAS APROXMACONES A LOS ELEMENOS DE FRONERA Wllam Ramírz Bítz, Maul Julo García Ruíz Prgrado gría Mcáca Uvrsdad EAF, Colomba. Ph.D. gría Aroáutca Uvrsdad d Sdy, Australa. RESUMEN Est artículo prsta u método d optmzacó basado aproxmacó por mallas fas utlzado dfrts métodos para obtr la matrz d rgdz d los lmtos d la frotra mplmtado Optmzacó Estructural Evolutva (ESO). E ESO, u valor d umbral d sfurzo s calculado y los lmtos qu s cutra por dbao d st so rmovdos. Dsafortuadamt s produc patros d tablro d adrz y frotras dtadas. E l método d mallas fas la rprstacó d frotras (B-Rp) s mat como ua aproxmacó lal a trozos. El método soeso utlza l método d mallas fas y l matral s rmovdo cortado l matral sobr la sosuprfc dl valor d umbral. Como la suprfc rsultat s suav, sta o cot frotras dtadas o patros d tablro d adrz, vtado la coctracó d sfurzos. El algortmo rsultat covrg u úmro rducdo d tracos cuado s compara co ESO. La prst aproxmacó computa ua fucó mplícta basada aálss d ssbldad. La B-Rp s asocada co sta fucó mplícta y l valor d umbral. La suprfc fal s obt movdo la frotra a la poscó d la so-curva dl valor d umbral d la fucó d ssbldad. Rsultados prlmars mustra las vtaas tmpo y caldad d suprfc rsultat dl prst método. PALABRAS CLAVE: Elmtos d la frotra, Mallas Fas, Optmzacó structural, ESO, Elmtos Ftos. NRODUCCON. A dfrca dl método tradcoal d lmtos ftos (FEM), l método d mallas fas o usa u mallado qu sgu la forma prfcta dl obto como domo d trabao. Est método hac uso d ua rtícula d lmtos cuadrados (o cúbcos 3D) qu s suprmpusta l modlo orgal dscrto por su frotra (B-rp). Los lmtos d la malla fa so lugo clasfcados d acurdo a s s cutra l tror xtror o la frotra dl obto. Dpddo d sta clasfcacó a stos lmtos s ls asga propdads dl matral, para los qu s cutra al tror dl domo, propdads d u mdo o tractvo a los lmtos dl xtror y propdads mxtas a los lmtos la frotra. Est procdmto trasforma l problma orgal u problma co múltpls matrals. Dpddo dl modlo matmátco usado para aproxmar los lmtos la frotra, dfrts grados d aproxmacó pud obtrs la solucó d sfurzos. Sgudo st modlo, los cambos gométrcos so fáclmt corporados cambado las propdads d los lmtos y por tato l tmpo d r aálss s rduc drástcamt. Estudos ralzados domos b-dmsoals mostraro la fcca dl método co u vl prmsbl d rror [1, 3,4,5]. S cotró qu l rror dl campo d sfurzos crmta rgos dod alrddor d los putos d coctracó d sfurzos a valors d hasta aproxmadamt l 1 % cuado s usa mallas d tamaño razoabl. S mbargo l promdo dl rror toma valors d aproxmadamt dl 5% o mos y l rror dl campo d dsplazamtos s d aproxmadamt l 1 %. Las aplcacos dl método s cutra las tapas cals dl dsño cocptual, l dsño tractvo y la optmzacó structural dod rápdas stmacos dl campo d dformacos y sfurzo so más mportats qu tdosos y prologados aálss d alta prcsó.[6,7] El cocpto clásco d optmzacó structural volutva fu dsarrollado calmt por X y Grat 1993 [8]. La da fudamtal s qu u obto volucoa haca ua structura compltamt sforzada rmovdo muy ltamt matral qu o prsta vls d sfurzos altos. Dfrts varats cluy l trabao d m y otros [9] l cual s utlza ua malla fa para aproxmar l domo. García y otros [1] usa curvas d sosfurzo para rmovr l matral. Los cocptos d aálss d ssbldad utlzados l prst trabao furo
troducdos por Qug y otros [11] para l método d optmzacó structural volutva. El método prstado l prst artículo pud cosdrars s como ua volucó d los métodos mcoados atrormt. ANALSS DE SENBLDAD E optmzacó structural volutva ua structura s optmzada a través d rmovr o adcoar lmtos. Estos so tratados como las varabls d dsño tradcoalmt ESO. Por sta razó la ssbldad s pud calcular por lmto. Es dcr la ssbldad d la structura a la ausca o prsca d u lmto lla. Numro d ssbldad d Dsplazamto E l aálss por Elmtos Ftos (FEA) l comportamto státco d ua structura stá rprstado por la cuacó d qulbro: u=p (1) E dod s la matrz d rgdz global dl sstma, p s l vctor d cargas y u s l vctor d dsplazamtos. D la Eq. (1), s fácl cotrar qu la adcó o rmocó d u lmto rsulta ua varacó l dsplazamto u, qu stá dado por Δu= 1 Δ u () Dod Δ dota la varacó la matrz d rgdz global dbdo a la rmocó o adcó dl -smo lmto. Para cotrar l cambo la -sma compot dl dsplazamto u, s troduc ua carga vrtual utara f corrspodt a u. Multplcado la Eq. () por f, obtmos: Δu =f Δu= f 1 Δ u= u Δ u (3) Dod u rprsta la solucó a la Eq. (1) bao la carga vrtual utara f (s dcr u = f ). El cálculo d matrcal d la Eq. (3) pud hacrs a vl d los lmtos. Así l valor d α = ± u u (4) S df como l umro d Ssbldad dl dsplazamto qu s usado para stmar l cambo l dsplazamto d; -smo grado d lbrtad dbdo a la adcó (+) o rmocó (-) dl lmto, s la matrz d rgdz dl lmto, u y u so los dsplazamtos dl lmto dbdo a las cargas rals y vrtuals rspctvamt. Numro d Ssbldad d sfurzo E FEA l vctor d sfurzos d l k-smo lmto pud sr calculado a partr dl vctor u k d dsplazamto dl lmto d la sgut mara σ = DBu k, (5) Dod D y B rprsta las matrcs lástca y d dformacó rspctvamt. Combado los úmros d ssbldad d dsplazamto, l cambo l vctor d sfurzos dl k-smo lmto dbdo al la adcó o rmocó dl -smo lmto pud sr cotrado como Δσ = DBΔB k = DB Δu Δu,Δu,...,Δu DBαB 1,,... (6) k
Dod α s doma l vctor d ssbldad d dsplazamto dl lmto k, rprsta l umro d grados d lbrtad l lmto k. Usado la Eq. (6) l cambo dl sfurzo dl k-smo lmto pud sr calculado a partr d los cálculos d las varacos d todos los compots dl dsplazamto. Ua mdda scalar dl vl d sfurzos stá dada por l sfurzo d vo Mss _ (7) VM f ( xx, yy, xy ) xx yy xx yy 3 xy S pérdda d graldad, la varacó la fucó d sfurzos dl lmto pud sr calculada como f f. DB (8) f = f σ, f / σ, f / σ / rprsta l vctor gradt d la fucó d sfurzos y Dod xx yy xy k = f DB = γ,γ,...,γ,..., γ. γ Substtuydo Eq. (4) (8) da Rcordado qu =. 1 _ k 1 ( u u ) ( u ) u (9) 1 u 1. s la solucó dl -smo sstma vrtual d u = f. Multplcado por sta cuacó y sumado todas las cuacos d dsplazamto vrtual, tmos γ u = γ f 1 1 o u ~ = f, (1) k ~ Dod u~ k = γ u rprsta u vctor d dsplazamtos vrtuals y f = γ f 1 1 ~ dota ua carga vrtual. E otras palabras, Eq (1) troduc u uvo sstma vrtual dod compots dfrts d cro dl vctor d cargas f corrspod co los cofcts γ. Así qu la solucó (1) dtrma _, u ~.. u k u ~ provsta por l uvo sstma vrtual k (11) Como l umro d ssbldad d sfurzo dl lmto, l cual s usado para dcar l cambo dl sfurzo dl lmto k dbdo a la ausca o prsca dl lmto. Nóts qu Eq. (11) para aálss d ssbldad d sfurzo s smlar a la Eq. (4) para aálss d ssbldad d dsplazamto.. D hcho, los dos úmros d ssbldad so calculados xactamt la msma forma, co solamt dfrca la su rspctva vctors d carga vrtual. EL MEODO DE MALLAS FJAS Sa FG la más pquña caa qu crra compltamt l domo y s orta a lo largo dl sstma d coordadas stádar, s dcr FG x m y ( y ) x max y ( y )
Etocs FG s doma l domo d mallas fas. U puto x FG s cosdra adtro s x.. U puto x FG s cosdra afura sí x. Para prsrvar las caractrístcas dl problma orgal, las propdads dl matral d afura so las quvalts a las d u mdo o tractvo. El obto s mbbdo ua caa d matral o tractvo. Nóts qu sta dfcó trasforma l problma lástco u problma d dos matrals. Fg. 1 mustra u mplo d u domo b-dmsoal. Para obtr la malla fa, l domo d mallas fas FG, s subdvddo u couto d lmtos cuadrados d dmsó h. U lmto s cada ua d las cldas d dmsó hh, las cuals FG s subdvd. Los lmtos m, m,..., 1s umra ord ascdt dsd l lmto la squa fror zqurda. D acurdo a la poscó d los lmtos co rspcto a la structura pud sr catalogados como sd (), Outsd (O), o Nthr sdr or Outsd (). Fg. 1 mustra u mplo d ua structura modlada co ua Malla Fa. Nóts qu los lmtos stá costtudos por dos tpos dfrts d matral y por tato sus propdads o so costats. Fgura 1: Aproxmacó d Mallas fas d la gomtría d ua structura. Para matrals lástcos lals la matrz d rgdz para u lmto la malla fa sta dada por la sgut cuacó: C ( Na ) ( Nb ) d (1) Dod C s la matrz costtutva, s l tsor d sfurzos, N a y N b so las fucos d forma y vctors utaros. La matrz costtutva para matral sotrópco sta dada por y so Dod y so las costats d Lamé y stá rlacoados co l modulo d Youg E y l rado d Posso, d la sgut forma Ev E, ( 1 v)(1 v) (1 v) (13) (14)
S y s df como Etocs la matrz costtutva s pud rscrbr como Ev E, (1 v)(1 v) (1 v) (15) C EC (16) Dod, ( ) C ( ) ( ) (17) S u lmto stá compusto por u solo matral como l caso d lmtos y O, tocs l modulo d Youg pud sr sacado fura d la tgral. Así la matrz d rgdz pud sr calculada como dod l trmo E (18) C ( N ) ( N ) (19) S doma la matrz d rgdz stádar y dpd solo d la gomtría dl lmto qu st caso s costat para todos los lmtos y O la Malla Fa. U lmto sta parcalmt dtro d la structura y sus propdads o so costats sobr l lmto. Así la matrz d rgdz pud sr computada térmos dl modulo d Youg dl matral dl tror ( E ) y dl xtror ( E O ) d la structura como, a b E C ( N ) ( N ) d E C ( N ) ( N ) d () a b a b O O dod y rprsta la part dl lmto adtro d la structura y por fura d lla rspctvamt, admás. Aproxmacó Dscrta - A Esta s la forma más smpl d calcular () y cosst aproxmar los lmtos s como o O dpddo d la catdad d matral adtro d la structura. Dbdo a qu las propdads dl matral solo toma valors dscrtos (propdads o O ) sta aproxmacó s doma aproxmacó dscrta. o E
E E E f f V / V 1 1 V / V 1/ 1/ (1) Dod V ) volum( y V volum( ) Exprmtos umércos l caso d dos dmsos ha mostrado qu las aproxmacos A prsta u gra rror los campos d sfurzos. Para rducr l rror s csaro s csaro dsmur l tamaño d los lmtos d la malla. Como coscuca dl rfamto d la malla l costo computacoal s crmta a putos maabls. Aproxmacó por promdos podrados - A1 Esta s u procdmto más prcso pro s au aproxmado cuado s compara co mallas qu sgu compltamt la gomtría dl obto. Aproxmacos A1 trasforma l lmto costtudo d dos matrals por u matral homogéo sotrópco qu mor smula las caractrístcas dscotuas dl lmto. S s toma ua promdo podrada d los valors dl modulo d Youg dl tror y l xtror O, tocs () pud sr aproxmado como E E E ( 1) E Dod s la fraccó d volum dl lmto qu stá dtro d la structura V / V. D mara smlar a la aproxmacó A, la matrz d rgdz para l lmto pud calculars térmos dl la matrz d rgdz d u lmto stádar. Falmt, A y A1 aproxma los lmtos como lmtos homogéos aplcado (1) o (). S mbargo la aproxmacó A1 t ua prcsó supror s crmtar sgfcatvamt los tmpos d cómputo. Adcoalmt aproxmacó A1 prmt la lmacó parcal d matral Lo qu lo hac sgfcatvamt supror la aplcacó dl Optmzacó Estructural Evolutva (ESO). o () Aproxmacó por putos d Gauss E sta aproxmacó s utlza l método d Gauss-Lgdr para hacr la tgracó d la matrz d rgdz y s utlza la fucó d Havsd H ( r, s) g d gh( r, s) d (3) El uso d la fucó d Havsd causa qu la tgracó sa dscotua sobr todo l domo dl lmto. Para ua bua aproxmacó s db usar ua catdad d putos d Gauss dsa, lo qu hac qu l método sa computacoalmt costoso, ya qu la catdad d putos fluy sobr l umro d valuacos qu s db hacr. OPMZACÓN ESRUCURAL EVOLUVA E ESO clásco, los lmtos qu stá baamt sforzados so cosdrados lmtos co bao aport al soport structural dl obto y por tato so caddatos para sr rmovdos. El prst acrcamto al problma dfr dos aspctos fudamtals co l problma clásco. E prmr lugar s utlza úmros d ssbldad lugar d valors dl sfurzo como crtro d rmocó o adcó d matral. E sgudo lugar l matral s rmovdo d mara cotua usado aproxmacó A1 lugar d aproxmacó A.
El crtro d volucó para adcó o rmocó d matral s dtrma por comparacó dl umro d ssbldad dl sfurzo co su valor más alto cotrado la structura y qu satsfaga α RR α. Dod RR ss s doma l asa d Rchazo (dl gls rcto rat) para l stado stabl ss (dl gls stady stat). Aproxmacó A rmuv compltamt l lmto basado st crtro. S mbargo sto da lugar a suprfcs co caractrístcas rrgulars. Para corrgr st factor la rmocó d matral s hac a partr d calcular las curvas d so-suprfc dl umro d ssbldad calculado para toda la structura. Est procso d rmocó d matral s rptdo usado l msmo RR hasta qu s llga al stado stabl. El stado stabl s l stado l cual o s rmuv más matral co l prst RR. E st puto s csaro crmtar l RR para cotuar co la rmocó d matral. Dfrts crtros xst para crmtar st valor, sdo l más coocdo l uso d u cofct d tasa d volucó ER (dl gls Evoluto Rat) RR ss 1 = RR ss ER. ER varía tr valors d cro a uo. La dtrmacó d st valor s hac a través d prubas computacoals. σ ss σmax Algortmo. El algortmo d optmzacó costa d los sguts pasos 1. Dfcó dl domo cal. Dtrmacó dl domo d la malla fa FG 3. Ralzar u Aálss d Elmtos Ftos (FEA) dl sstma para dtrmar l máxmo sfurzo y las cargas vrtuals f dado por Eq, (1). 4. Ralzar otro FEA para los sstmas vrtuals 5. Dtrmar los úmros d ssbldad dtrmados por la Eq. (11) 6. Calcular las curvas d so-sfurzo dl úmro d ssbldad ασt = RRss ασmax 7. Rmovr l matral a través d las curvas d so-sfurzo α σt 8. S s ha alcazado l stado stacoaro, crmtar la tasa d rchazo SS. d acurdo a RR ss+1 = RR ss + ER. cotrado l mímo máxmo sfurzo. y volvr al paso atror. D otra forma volvr al paso 3 a 7 hasta qu s haya Emplo La hstora volutva d la optmzacó d ua vga d Mchll s mustra la Fg.. La Fg.q mustra la gomtría cal y las cargas aplcadas. La part c, d y mustra la volucó d la structura dfrts stados. Los rsultados prlmars d sta vstgacó mustra qu l prst algortmo llga a vls smlars d rduccó d matral (4%) solamt 84 tracos. E cotrast ESO clásco csta 838 tracos. El tmpo d rduccó total fu dl 8 al 98 % cuado s compara co dfrts varats dl método ESO. Fgura : Evolucó d d la structura d Mchll utlzado úmros d ssbldad d sfurzos y rmocó d matral a través d curvas d so-ssbldad.
CONCLUSONES Cuado s utlza ESO clásco los lmtos so rmovdos utlzado u crtro dscrto d rmocó por lmto. El rsultado s ua suprfc rrgular qu troduc coctracos locals d sfurzo. La rmocó d matral utlzada aquí sgu trayctoras suavs vtado las coctracos locals d sfurzo. Dbdo a sto los dos métodos sgu dfrts trayctoras d volucó. Los rsultados prlmars mustra covrgcas mucho mas rápdas dl método utlzado l prst studo. ampoco s obsrva formacó d patros d tablro d adrz. NOMENCLAURA Matrz d rgdz d u lmto u vctor dsplazamtos α Númro d ssbldad d dsplazamto α Númro d ssbldad d sfurzo σ FG Domo d Mallas Fas RR ss ER asa d rchazo para l stado stacoaro ss asa d volucó Matrz d rgdz stádar REFERENCAS 1. M. García Fxd Grd Ft Elmt Aalyss Structural Dsg ad Optmzato. PhD thss. 1999. Uvrsty of Sydy.. Garca M.J. ad Stv G.P. Dsplacmt Error for Fxd grd FEA lastcty problms. cogrso Colombao lmtos ftos y modlacó matmátca. Mdll 1-11 d Octubr d 1996. 3. Maul García ad Grat P. Stv. Fxd Grd Ft Elmts Elastcty Problms. Egrg Computatos. Volum 16 Numbr, 1999. pp. 145-164. 4. Maul García ad Grat Stv. Fxd grd ft lmts ad global/local aalyss. V world cogrss o computatoal mchacs, Buos Ars, Juo 1998. 5. H. m, M. J. García, O. M. Qur, G. P. Stv ad Y. M X Fxd Grd Ft Elmt Aalyss Evolutoary Structural Optmsato World Cogrss o Structural ad Multdscplary Optmsato, Nw York, Mayo 1999. 6. Maul García ad Grat Stv. Optmsato of structurs by usg Fxd Grd rprstato of th ft lmt doma. Australasa Cofrc structural optmsato, Sydy Fbrro d 1998. 7. Maul García ad Grat Stv. tractv Arospac dsg usg Fxd Grd Ft Elmt Aalyss. tratoal Arospac Cogrss, Sydy, Fbrro 1997. 8. X, Y. M. ad Stv, G. P. (1993), A smpl volutoary procdur for structural optmzato, Computrs ad Structurs, vol. 49, o. 5, pp. 885 896. 9. m, H., García, M. J., Qur, O. M., Stv, G. P. ad X, Y. M. (), Fxd grd ft lmt aalyss volutoary structural optmsato. Egrg Computatos, vol. 17, o. 4, pp. 47 439. 1. García, M., Ruz, O. ad Stv, G. (1), Egrg dsg usg volutoary structural optmsato basd o so-strss-drv smooth gomtry rmoval, NAFEMS World Cogrss 1, pp. 349 36.
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