EDITORIAL DE LA UNIVERIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL (UTN) ERIE NUMÉRICA ilvi Cffert Ferri Adre Cmpillo Ylile rour Fcultd Regiol Bueos Aires Uiversidd Tecológic Nciol 07 [Copyright] edutecne, l Editoril de l UTN, recuerd ue ls obrs publicds e su sitio web so de libre cceso pr fies cdémicos y como u medio de difudir l producció culturl y el coocimieto geerdos por utores uiversitrios o uspicidos por ls uiversiddes, pero ue estos y edutecne se reserv el derecho de utorí todos los fies ue correspod
INDICE Itroducció Defiició Ejemplo Covergeci de l serie 5 Ejercicio 6 Codició ecesri pr l covergeci de u serie 6 Ejemplos 7 Cosiderció importte 8 5 Propieddes de ls series umérics 8 6 eries telescópics 9 6 Ejemplo 0 7 eries geométrics 0 7 um prcil de u serie geométric 7 Covergeci de u serie geométric 7 Ejemplo 8 Criterios pr lizr l covergeci de u serie de térmios o egtivos 8 Criterio de comprció eries miortes y series myortes 5 8 Ejercicios 5 8 Criterio de D Alembert 6 8 Ejercicios 6 8 Criterio de l ríz -ésim de Cuchy 8 8 Ejercicios 8 8 Criterio de l itegrl de Cuchy 8 8 Ejercicio 9 8 erie rmóic 0 8 eries rmóics geerlizds 0 8 Ejercicio 85 Criterio de Rbe 85 Ejercicio 86 Criterio de comprció e el ite
86 Ejemplo 86 Ejercicios 9 eries de térmios egtivos 5 0 eries lterds 6 0 Criterio de Leibiz 6 0 Ejemplo 6 0 Covergeci bsolut y codiciol 7 0 Propieddes 7 0 Ejemplo 7 05 Ejercicio 8 06 Propiedd 9 06 Ejemplo 9 Referecis bibliográfics 0
ERIE NUMÉRICA Itroducció E el siglo V C el filósofo griego Zeó de Ele propuso cutro problems ue se cooce como Prdojs de Zeó, ue desfib lgus de ls ides de su époc cerc del espcio y del tiempo U de ess prdojs Aristóteles l trsmitió del siguiete modo: U perso de pie e u recito o puede cmir directmete hst l pred Pr hcerlo, primero tiee ue cmir l mitd de l distci, después l mitd de l distci restte, y después otr vez l mitd de lo ue ued Este proceso se puede cotiur y uc cbr L distci totl se puede expresr e form de sum de u ctidd ifiit de distcis cd vez más peueñs: 8 6 Por cosiguiete, tiee sigificdo defiir co cuiddo lguos coceptos tles como sums prciles, sums ifiits o sum de u serie ifiit, etc L importci de estos coceptos e el Cálculo se iici prtir de l ide de Newto de represetr ls fucioes como sums de series ifiits Muchs de ls fucioes ue surge e Físic y e Químic se defie trvés de ells, por lo ue result importte preder ls series umérics
Defiició N Dd l sucesió =,,,,,) puede defiirse u uev sucesió de sums prciles N tl ue: ( L uev sucesió es de l form,,,,, y se l deomi serie uméric e l simboliz Es decir, A los úmeros,,,,, se los deomi térmios de l serie, y,,,,, sums prciles de l serie Ejemplo Dd l sucesió N /,, 6,,, 0 Puede defiirse l sucesió de sums prciles N, de modo ue:
6 6 6 0 5 Es decir,,,,, 5, E este cso, puede iferirse ue Covergeci de l serie L serie N se deomi covergete si coverge l sucesió de sums prciles Es decir, si R l serie es covergete, y el vlor se deomi sum de l serie E este cso, E el ejemplo: por lo tto l serie Es decir i 6, si cosidermos etoces es covergete y su sum es 0 l serie se deomi divergete ; i, i fiito i ifiito, l serie se deomi oscilte 5
Ejercicio Dd u serie, sbiedo ue, se pide: ) Alizr l covergeci de b) Hllr el térmio 0 ) Pr lizr l covergeci de l serie, clculmos Etoces l serie es covergete y su sum es b) Pr clculr 0, tegmos e cuet ue: Etoces, 0 0 9 0 9 0 9 9 0 9 0 9 0 6 Codició ecesri pr l covergeci de u serie i l serie es covergete etoces 0 Demostrció: Como es covergete etoces por lo ue tmbié Etoces: 0 6
7 L proposició: i l serie es covergete etoces 0 es euivlete su cotrrrecíproc: i 0 etoces l serie o es covergete Ejemplos Dd l serie 9 5 Podemos lizr ue Como 0 etoces l serie o es covergete Dd l serie podemos observr e este cso ue l lizr hy u idetermició del tipo 6 e Como 0 etoces l serie o es covergete Algo similr sucede e los siguietes ejemplos: 5
Como 0 etoces l serie 5 o es covergete 5 Como 0 etoces l serie 5 o es covergete Cosiderció importte No es válid l proposició recíproc de l codició ecesri de covergeci Es decir: si 0 o es suficiete pr segurr ue l serie se covergete Por ejemplo: cosideremos l serie e verific ue 0, por lo ue l serie cumple l codició ecesri de covergeci Este dto o lcz pr determir si l serie coverge o o E resume: si o se cumple l codició ecesri etoces l serie o es covergete, pero si se cumple o es suficiete pr segurr su covergeci 5 Propieddes de ls series umérics 5 i coverge co sum y k es u úmero rel, etoces k k k Demostrció: i l serie es covergete, Por defiició Por propiedd de los ites fiitos, k k k k k etoces k k k 5 i dos series so covergetes, tl ue A y b B, etoces b A B 8
Demostrció: i ' y ' A '' b b b b y '' B Etoces '' b b b b ' Por propieddes del ite fiito, ' '' ' '' A B 5 i dos series so covergetes, tl ue A y b B, y k y k so dos úmeros reles, etoces k k b k A k B e deomi Propiedd Liel y es cosecueci de ls dos propieddes teriores 5 i es u serie covergete y es u serie divergete b Observció: Nd puede segurrse si ls dos series so divergetes b es u serie divergete, etoces 55 i e u serie se suprime u úmero fiito de térmios iiciles, de sum K, etoces l uev serie tiee el mismo crácter ue l primer i l primer es covergete, y de sum, l uev serie tiee sum K 6 eries telescópics e deomi serie telescópic uell cuyo térmio geerl puede escribirse de l form b b o b b b b b b b b b b El ombre de telescópic se debe ue si desrrollmos l sum prcil los sumdos se v cceldo dos dos: b b b b b b b b b b 9
0 6 Ejemplo Dd l serie ) ( podemos hllr l expresió de l sum prcil utilizdo el método de descomposició e frccioes simples: ) ( ) ( ) ( B A B A B A ) ( i 0 A = i B Etoces: ) ( Desrrolldo y lizdo los térmios de l serie: Etoces Esto permite su vez clculr Es decir, l serie ) ( es covergete y su sum es igul 7 eries geométrics U serie de l form 0 se deomi u serie geométric, dode represet el primer térmio de l serie, y es l rzó de es serie geométric
Es decir, cd térmio de l serie se obtiee multiplicdo l térmio terior por u costte, ue se deomi rzó de l serie geométric: Por ejemplo 8 0 es u serie geométric, dode es el primer térmio de l serie, y su rzó es 7 um prcil de u serie geométric Dd l serie geométric 0 puede defiirse l sum prcil de los primeros térmios Y de ello se puede deducir: 0 Restdo: Por ejemplo, si ueremos hllr 5 e 0 etoces: 8 8 0 8 56 0 0 0 5 5
7 Covergeci de u serie geométric Ddo ue pr lizr l covergeci de u serie, se clcul geométric result:, e el cso de u i : 0 l serie es covergete i : l serie o es covergete i : 0 result de l form 0 0 por lo ue, es decir, es u serie co todos sus térmios costtes, por lo ue l es divergete i : oscilte 0 0 result de l form es decir, u serie E resume, u serie geométric de l form 0 sólo es covergete si y su sum es dode es el primer térmio de l serie y es l rzó E el ejemplo 8 0 l serie es covergete porue su rzó es y su sum es Es decir, 0 8 i se cosider hor l serie l serie iicid prtir de = : 8 8
Puede cosiderrse, por u ldo, el resultdo obteido e el cálculo terior pr l sum de l serie 0 8 8 y los dos térmios e los ue difiere Es decir, puede idicrse ue 8 8 es igul 8 6 Pero tmbié, por otro ldo, puede cosiderrse ue e l fórmul obteid, represet el primer térmio de l serie cudo l mism está iicilizd e = 0; si hor se iici e = el primer térmio es por lo ue l sum result 8 8 8 8 6 Podemos etoces cocluir ue u serie geométric de l form covergete si y su sum es 0 sólo es dode es el primer térmio de l serie, de cuerdo l vlor e el ue esté iicilizd l vrible, y es l rzó de es serie geométric 7 Ejemplo L expresió deciml periódic 0,ˆ 0, 0,0 0,00 0,000 0,ˆ 0 00 000 0000 0, ˆ puede expresrse como u serie y ue 0,ˆ 0
0 es u serie geométric cuyo primer térmio es 0 y l rzó es 0, por lo ue su sum es 0 0 Es decir, 0,ˆ 9 0 9 0 9 8 Criterios pr lizr l covergeci de u serie de térmios o egtivos E el Ejemplo se trbjó co l serie coociedo l expresió de l sum prcil Pr lizr l covergeci de l serie, bst co clculr E otros ejemplos, como puede ser ls series telescópics o ls series geométrics, es posible clculr es expresió de teriores tl como se h desrrolldo e ls seccioes Pero o siempre es posible hllr cudo se cooce sólo l expresió del térmio l defiir u serie prcil Pr uellos csos e ue o coocemos l expresió de l sum tedremos e cuet otros coceptos y lguos criterios ue os permitirá lizr si l serie es covergete L vetj ue brid los criterios es ue pr lizr l covergeci o divergeci de u serie o se ecesit l expresió de l sum prcil sio ue se trbj co l expresió del térmio L debilidd de los criterios es ue sólo clsific cd serie segú se covergete o divergete, pero e cso de ser covergete o se cooce ué vlor coverge
8 Criterio de comprció eries miortes y series myortes e y b dos series umérics de térmios o egtivos, es decir N : 0 y b 0, tl ue b - i l serie b es covergete, etoces tmbié coverge E ese cso, se dice ue es u serie miorte de b, es decir, u serie miorte de u serie covergete, tmbié es covergete - i l serie es divergete, etoces b tmbié diverge E ese cso, se dice ue b es u serie myorte de, es decir, u serie myorte de u serie divergete, tmbié es divergete 8 Ejercicios Alizr l covergeci de ls siguietes series: ) Pr l comprció, puede cosiderrse l serie ue es u serie geométric de rzó por lo ue es u serie covergete Además, se verific ue N :, es decir, es u serie miorte de y sbiedo ue es covergete, etoces tmbié es covergete b) E este cso, puede comprrse co ue es u serie geométric de rzó por lo ue es u serie covergete 5
N :, es decir, es u serie miorte de y sbiedo ue es covergete, etoces tmbié es covergete c) E este cso, puede comprrse co ue es u serie geométric de rzó por lo ue es u serie divergete N :, etoces ue es divergete, etoces es u serie myorte de tmbié es divergete y sbiedo 8 Criterio de D Alembert e u serie tl ue N : 0 - i etoces l serie es covergete - i etoces l serie es divergete - i d puede segurrse respecto de l covergeci de l serie utilizdo este criterio 8 Ejercicios Alizr l covergeci de: ) 0 5 Aplicdo el criterio de D Alembert, se clcul: 6
5 ( ) 5 ( 6) ( ) 5 5 6) 5 5 ( ( ) 5 ( 6) 5 ( ) 5 Como etoces l serie 0 5 es covergete b)! ( )!! ( ) ( )!! ( ) Como etoces l serie! es divergete ( )! ( )! c) 0!! )! )! ( )!( )!(!!! ( )! ( ( )! ( )!( )!()!!!( )! ()! ( )( )()! ( )( )()! ( )( ) ( )! ( )( )()! ( )( ) Etoces l serie 0! es covergete! 7
8 Criterio de l ríz -ésim de Cuchy e u serie tl ue N : 0 - i etoces l serie es covergete - i etoces l serie es divergete - i d puede segurrse respecto de l covergeci de l serie utilizdo este criterio 8 Ejercicios Alizr l covergeci de: ) 5 Aplicdo el criterio de l ríz de Cuchy se clcul 5 5 0 Como etoces l serie 5 es covergete b) ( ) e e Etoces l serie es covergete 8 Criterio de l itegrl de Cuchy e u serie de térmios decrecietes tl ue N : 0, y se f u fució cotiu, o egtiv y decreciete pr x tl ue N : f ( ) 8
- i - i f ( x) dx coverge, etoces l serie es covergete f ( x) dx diverge, etoces l serie es divergete e cosider como el extremo iferior de l itegrl si l serie está defiid desde = ; si l serie se iicir e otro vlor de, el álisis serí álogo cosiderdo ese vlor como el extremo iferior de l itegrl 8 Ejercicio Alizr l covergeci de 0 El térmio geerl de l serie se soci l fució co vrible rel, x f : R R / f ( x) cotiu e R x Cudo x 0, l fució f es positiv Y teiedo e cuet ue cosiderdo u vlor etero x f '( x), l fució f es decreciete cudo x x Puede clrrse ue, si bie el eucido del criterio idic ue l fució se decreciete si x pr ue coicid co l defiició de l serie, d vrí respecto del álisis de l covergeci ue tto l serie como l fució socid se decreciete prtir de u cierto vlor, como e este cso, prtir de Teiedo e cuet ue l serie está defiid desde = 0 puede socirse l itegrl 0 f ( x) dx i se uiere cosiderr ue ls codicioes del criterio se verific prtir de, puede lizrse f ( x) dx No vrí este cálculo respecto del álisis de l covergeci o divergeci de l itegrl, sí ue se puede relizr u cálculo o el otro idistitmete f ( x) dx x x dx 9
Cálculo Auxilir: x dx x i z x dz xdx dz x dx x dx dz z C x C x l l z x f ( x) dx dx l l l x x x L itegrl dx x cosecueci, 0 es divergete; etoces l serie es divergete es divergete y e 8 erie rmóic Este criterio de l itegrl permite lizr l covergeci de u serie ue se deomi serie rmóic: El térmio geerl de l serie puede socirse l fució f : R 0 R / f ( x) x Puede verificrse ue si x, l fució es cotiu, positiv y decreciete Etoces: f ( x) dx dx l x x l l Como l itegrl es divergete, l serie rmóic es divergete 8 eries rmóics geerlizds De mer similr lo desrrolldo e el puto terior, so coocids ls series ue se deomi series rmóics geerlizds o tmbié llmds series p por su expresió geerl: p Y está lizdo el cso del expoete p =, ue correspode l serie rmóic, por lo ue se puede lizr ué sucede si p : 0
p p -p x dx x dx p p p x p p i p 0: dx Es divergete p p p x i p 0 : p dx Es covergete p x p p p p Resumiedo lo visto cerc de l serie rmóic y ls series rmóics geerlizds o series p, puede idicrse ue: Dd l serie p es divergete si p es covergete si p 8 Ejercicio Alizr l covergeci de i lizmos ls series: por ser u serie rmóic geerlizd o serie p, co p etoces l serie es covergete por ser p por ser p es tmbié u serie p, co p ; etoces es divergete De cuerdo co los resultdos obteidos y ls propieddes eucids cerc de ls series umérics, etoces l serie es divergete Ests series p puede utilizrse de mer muy frecuete juto l criterio de comprció visto: y ue e ests series es fácil lizr su covergeci sólo cosiderdo su
expoete, luego result secillo e lguos csos utilizrls pr comprr co otrs series ue se uier lizr 85 Criterio de Rbe e u serie tl ue 0 : N i etoces l serie es covergete i etoces l serie es divergete i d puede segurrse respecto de l covergeci de l serie utilizdo este criterio 85 Ejercicio Dd ) ( Aplicdo el criterio de Rbe, debe clculrse ) ( ) )( ( Etoces l serie es covergete 86 Criterio de comprció e el ite Dds ls series y b de térmios o egtivos i 0 b y b, lo cul puede resumirse e ue l b co R l, etoces ls series tiee el mismo comportmieto; es decir, mbs coverge o mbs diverge
86 Ejemplo Por ejemplo, si resolvemos el ejercicio terior e el ue l serie es ( ) se puede comprr co l serie, ue por ser u serie p co p =, es covergete Al plicr este criterio de comprció e el ite, se clcul ( ) ( ) Etoces ls dos series tiee el mismo comportmieto Como es covergete, etoces ( ) tmbié es covergete e puede precir ue u mism serie puede lizrse utilizdo distitos criterios, o vrido l clsificció de l mism Podemos otr ue cudo el térmio geerl de l serie es u cociete de expresioes poliómics, es secillo utilizr este criterio Cudo se clcul el ite, se sbe ue el resultdo es cero o es ifiito depediedo del grdo de los poliomios Pr ue el resultdo del ite o se cero i ifiito, se busc comprr co u serie de form tl ue l clculr el ite uede u cociete de dos poliomios del mismo grdo 86 Ejercicios Alizr l covergeci de: ) 0 Est serie y fue lizd por el criterio de l itegrl de Cuchy E este cso, utilizremos el criterio de comprció e el ite, cosiderdo l serie rmóic ue es divergete
Luego: Etoces, ls dos series tiee el mismo comportmieto, por lo ue l serie 0 tmbié es divergete b) Puede comprrse co l serie, u serie rmóic geerlizd, co p, por lo ue es divergete Luego, Como mbs series tiee el mismo comportmieto, etoces l serie tmbié es divergete c) Podemos lizr ls series: es divergete por ser u serie p, co p es divergete por ser u serie p, co p Pero cosiderdo los resultdos obteidos, d puede segurrse hst el mometo cerc de l serie si se cosider como l rest de dos series divergetes
5 Utilizdo etoces otrs herrmiets puede idicrse ue: i se l compr co l serie, es divergete por ser u serie p, co p Luego, 6 5 Etoces, por teer mbs el mismo comportmieto, l serie tmbié es divergete 9 eries de térmios egtivos Hst cá hemos trbjdo sólo co series de térmios o egtivos, pero tmbié podemos defiir series co térmios egtivos, 0 : N Pr lizr l covergeci de este tipo de series podemos extrer fctor comú (-): Pr est uev serie, hor de térmios positivos, dispoemos de todos los criterios y vistos
0 eries lterds Puede defiirse u serie lterd trvés de l expresió N : 0 Es decir, ) ( ( ) euivlete ue defi u serie dode sus térmios tiee sigos lterdos tl ue o u expresió Pr lizr l covergeci de ls series lterds cotmos co u úico criterio ue se idic cotiució 0 Criterio de Leibiz Dd u serie lterd de l form ue: ) 0 ( ) b) los térmios so decrecietes, es decir, etoces l serie es covergete, tl ue N : 0, si se verific 0 Ejemplo Dd ( ) podemos idicr ue: tl ue N : 0 ) 0 b) Como 0 : ( ) ( ) ( ) ( ), es decir, ( ) Etoces l serie ( ) es covergete 6
0 Covergeci bsolut y codiciol i l serie lterd ( ) etoces se dice ue l serie i l serie lterd dice ue l serie ( ) ( ) es covergete y l serie ( ) es bsolutmete covergete es covergete y l serie es codiciolmete covergete tmbié es covergete es divergete etoces se 0 Propieddes i l serie lterd covergete ( ) i l serie de térmios positivos o es covergete etoces l serie tmpoco es es covergete etoces l serie lterd ( ) tmbié es covergete 0 Ejemplo L serie lterd ( ) y lizd es covergete Pr clsificr dich covergeci flt lizr l covergeci de l serie de térmios positivos Como l serie es de térmios positivos, dispoemos de todos los criterios de covergeci pr el álisis de dichs series Utilizdo el criterio de comprció e el ite, puede comprrse l serie dd co l serie ue es covergete por ser u serie p, co p = 7
Como ls dos series tiee el mismo comportmieto, tmbié es covergete Etoces, l serie ( ) es bsolutmete covergete 05 Ejercicio Alizr l covergeci de bsolut o codiciol Utilizmos el criterio de Leibiz: ( ) E cso de ser covergete clsificr e 0 ( ) 0 ( ), es decir, 0 0 ) 0 0 b) Pr ué vlores es verdder l desiguldd? Tegmos e cuet ue y 0 ( ) 0 Pr ué vlores se verific ue? 0 ( ) 0 0 ( ) 0 Como los deomidores so positivos: (( ) ( 0) ( )( ) ( )( 0 0 0 0) 0) 0 8
Hlldo ls solucioes de l ecució 0 puede deducirse ue N / : 0 0, es decir, si los térmios so decrecietes 0 Etoces l serie 0 ( ) es covergete 0 i lizmos l serie de térmios positivos podemos utilizr el criterio 0 de comprció e el ite y comprrl co l serie ue es divergete por ser l serie rmóic o u serie p, co p = 0 0 Como ls dos series tiee el mismo comportmieto, Etoces, l serie ( ) es codiciolmete covergete 0 tmbié es divergete 0 06 Propiedd Como u cosecueci del Teorem de Leibiz se puede proximr el vlor de l sum de u serie lterd por u sum prcil cosiderdo ue el error cometido será meor ue el primer térmio desprecido Es decir, si etoces 06 Ejemplo Cosideremos l serie rmóic lterd i plicmos el criterio de Leibiz: ) 0 9
b) N : Etoces l serie es covergete Además: 5 6 i cosidermos como u proximció de l sum de l serie se verific ue: 5 7 6 Referecis bibliográfics - Apostol, T (98): Clculus Brcelo, Reverté - De Burgos, J (996): Cálculo ifiitesiml de u vrible Mdrid, McGrw-Hill - Leithold, L (990): Cálculo co Geometrí Alític México, Hrl - Piskuov; N (980): Cálculo Diferecil e Itegrl Moscú Mir - Rbuffetti, H (978): Itroducció l Aálisis Mtemático Cálculo I Bueos Aires, El Ateeo - dosky, M, Guber, R (98): Elemetos de Cálculo Diferecil e Itegrl Bueos Aires Alsi - pivk, M, (990): Clculus Brcelo, Reverté - tewrt, J (998): Cálculo de u vrible México, Thomso Editores 0