CÁLCULO VECTORIAL.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Llmms mgtud td prpedd físc susceptle de ser medd. Al lr ls mgtudes físcs pdems cmprr que este ds clses e dferecds: ) Mgtudes esclres: s quells que qued determds pr su lr umérc segud de l udd e que está medds. Eempls de mgtudes esclres s: Tempertur, presó, lume, ms, tr de u fuer... ) Mgtudes ectrles: s quells que pr que quede cmpletmete defds, demás de su lr umérc es ecesr precsr su dreccó setd. Eempls de mgtudes ectrles s: elcdd, celercó, fuer... Ls mgtudes ectrles se represet medte ectres. U ectr e Físc es u segmet retd e el espc, que psee cutr elemets dferecdres: Put de plccó u rge O, csderr cud terese ccer el put sre el que ctú el ectr. Dreccó líe de ccó, que es l rect que ctee l ectr culquer prlel ell. Setd del ectr, que dc medte u flech stud e su etrem hc qué ld de l le de ccó se drge el ectr. Módul del ectr, que es su lgtud ee dd pr l dstc etre su rge su etrem; sre pr dcr el lr umérc de l mgtud represetd, e l udd que se h elegd. Ls mgtudes ectrles ls represetrems medte letrs músculs c u flech ecm ( ), c letrs músculs ls etrems l lgtud módul c l msm letr que el ectr ecerrd etre ds rrs ertcles ( ). A O r CÁLCULO VECTORIAL
Ls ectres se puede clsfcr e: Plres: s ls mgtudes que represet está lgds u trslcó. A su e puede ser: Vectres lres: puede trsldr su rge culquer put del espc, mteed csttes el módul dreccó setd. Vectres desltes: puede trsldr su rge l lrg de su líe de ccó. Vectres fs: es ecesr ccer sus cutr elemets. Ales: s ls mgtudes ls que se refere está lgds u rtcó. El módul dc el lr umérc de es mgtud, l dreccó dc el ee de rtcó el setd dc el setd de gr que se tee medte l regl de Mwell del sccrchs. Otrs tps de ectres s: Equpletes: ectres lres que tee el msm módul, dreccó setd. Opuests: ectres que tee el msm módul, dreccó setds ctrrs..- COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR. Csderems u sstem de crdeds crtess; es decr, quells cus ees s perpedculres etre sí. Csderems u ectr cu rge ccde c el rge del sstem de crdeds. E geerl, cmpete de u ectr, segú u dreccó, es l preccó del ectr sre dch dreccó. Segú est defcó, e el espc, td ectr tedrá tres cmpetes puest que l pdems prectr sre cd u de ls tres ees segú l fgur. CÁLCULO VECTORIAL
Pr tt pdrems per que: E cd u de ls ees defms us ectres utrs (módul udd) e l dreccó pst de cd u de ells llmds: : ectr utr e l dreccó del ee pst. : ectr utr e l dreccó del ee pst. : ectr utr e l dreccó del ee pst. De est frm s,, s ls cmpetes del ectr e l dreccó del ee,, respectmete pdrems per: el ectr se pdrá epresr: Otr frm de epresrl es:,, ) ( Módul de u ectr: Cses drectres: γ Se, γ, ls águls que el ectr frm c ls ees, respectmete. L dgl que result de ur el etrem del ectr el ectr frm u trágul rectágul c dchs ectres. Pr trgmetrí: Aálgmete: γ CÁLCULO VECTORIAL 3
γ, rece el mre de es drectres del ectr, cumple que: γ Demstrcó: ( ) : γ γ γ Cm Vectr utr: es u ectr cu módul es l udd. Se u ectr el ectr u cu módul es ( u ) que tee l msm dreccó setd que. Etces l pdems epresr cm: u Desped u susttued pr su epresó e fucó de ls cmpetes crtess pr l epresó st terrmete teems: u CÁLCULO VECTORIAL 4 u u
3.- OPERACIONES CON VECTORES. Sum dferec de ectres: Gráfcmete: Pr sumr ds ectres hcems ccdr el put de plccó de ms. A ctucó trms pr el etrem de cd ectr u rect prlel l tr, el put de terseccó de ms es el etrem del ectr sum. Este métd se cce c el mre de regl del prlelgrm. Otr métd csste e clcr el rge de u ectr e el etrem del tr. El ectr que result de ur el rge del prmer c el etrem del segud es el ectr sum. Este últm métd tee l et de que pdems sumr u úmer culquer de ectres de u sl e, metrs que l regl del prlelgrm sól permte sumr ectres de ds e ds. Pr restr ectres pdems csderr que es l sum de u ectr más el puest del tr: ( ) Alítcmete: Se ls ectres: ' ' ' L sum de ms ectres es tr ectr cus cmpetes es l sum de ls cmpetes de ms: ' ' ' ( ) ( ) ( ) L dferec de ds ectres es tr ectr cus cmpetes s l dferec de ls cmpetes del ectr mued l del ectr sustred: ( ' ) ( ' ) ( ' ) CÁLCULO VECTORIAL 5
Prpeddes de l sum de ectres: Prpedd cmutt:. Prpedd sct: ( c) ( ) c. Elemet eutr:. Elemet puest: ( ). Prduct de u esclr pr u ectr: El prduct de u esclr pr u ectr es tr ectr de l msm dreccó, msm setd s el esclr es pst setd puest s el esclr es egt de módul el que result de multplcr el esclr pr el módul del ectr. Se u ectr, el resultd de multplcr dch ectr pr u esclr es: Prduct esclr de ds ectres: El prduct esclr de ds ectres es u esclr gul l prduct de ls móduls de ls ectres multplcd pr el e del águl que frm ms ectres. Prpeddes del prduct esclr: Prpedd cmutt: Prpedd dstrut: ( c ) c El prduct esclr de ds ectres es gul que el prduct esclr de u de ells pr el ectr preccó rtgl del tr sre él. CÁLCULO VECTORIAL 6
Demstrcó: º S sed Epresó lítc del prduct esclr: Se ds ectres del que ccems sus cmpetes crtess. ( ) ( ) Cm: 9º.. º susttued e l epresó terr, teems que: que csttue l epresó lítc del prduct esclr. CÁLCULO VECTORIAL 7
Prduct ectrl de ds ectres: El prduct ectrl de ds ectres,, se desg que tee ls sguetes crcterístcs:, es tr ectr Módul: es el prduct de ls móduls de ls ectres pr el se del águl que frm; es decr se Dreccó: es perpedculr l pl que determ ms ectres; es decr: Setd: es el que determ l regl de Mwell tmé llmd regl del trll del sccrchs, cud se lle el prmer ectr sre el segud. Prpeddes del prduct ectrl: N psee l prpedd cmutt ( ), e reldd cumple: ( ) Cumple l prpedd dstrut respect de l sum ectrl: ( c ) c U mprtte prpedd gemétrc del prduct ectrl es que el módul del prduct ectrl de ds ectres represet el áre del prlelgrm determd pr ls ds ectres. CÁLCULO VECTORIAL 8
Epresó lítc del prduct ectrl: Se ls ectres ),, ( ),, ( etces: ) ( ) ( cm: se º teems que: ( ) ( ) ( ) Aplcces del prduct ectrl: Mmet de u ectr respect de u put. El mmet de u ectr respect de u put O se defe cm el prduct ectrl del ectr de pscó del rge del ectr respect del put O pr el prp ectr. r AB OA M El lr del mmet cm s el ectr se despl sre su líe de ccó, tmpc cm s el put CÁLCULO VECTORIAL 9 M O A B r
O se despl l lrg de u prlel l rect sprte del ectr. Terem de Vrg: O S M M r El mmet, respect de u put O, de l sum de rs ectres es gul l sum de sus mmets, respect l msm put O. r r M M ( ) r S r r Prduct mt de tres ectres: Llmms prduct mt de tres ectres, c e este rde, l esclr que result de multplcr esclrmete pr el prduct ectrl de c. ( c ) U mprtte prpedd gemétrc del prduct mt es que represet el lume del prlelepíped determd pr ls tres ectres. CÁLCULO VECTORIAL