2x x + 30 x 2x x + 20 5x 2x x -2 x 3x + 18 x 4. Rects prlels cortds por un trnsversl. lculr los vlores de x e y en cd cso y fundmentr ls relciones estblecids Ejercicio 1 Ejercicio 2 3x -20º y 2x x + y 120º 2x - y GUI DE ESTUDIOS HOJ 6
Ejercicio 3 Ejercicio 4 2x x + 2y x - 2y 150º y +10º 3x 20º Ejercicio 5 x + 2y 4y 92º GUI DE ESTUDIOS HOJ 7
6. Resolver plicndo los teorems de los triángulos. l2 x y x y z l1 l2 x y c y s m l1 // l2 GUI DE ESTUDIOS HOJ 8
El triángulo es rectángulo g h i x PROLEMS: Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo es el doble del otro. uánto miden dichos ángulos? Uno de los ángulos gudos de un tringulo rectángulo es el doble del otro menos15. uánto mide cd ángulo? 7. SEMEJNZ DE TRIÁNGULOS. 1. 2. h x 3. 4. r z GUI DE ESTUDIOS HOJ 9
5. 6. y m 7. 8. r s x PROLEMS DE PLIIÓN 9. Si l sombr de un árbol mide 5 m. y l mismo tiempo un poste de 4 m. proyect un sombr de 2 m. lcul l ltur del árbol, si este form un ángulo recto con el piso. 10. Tenemos un fuente luminos, colocmos un distnci de 5 m. un objeto de 1.5 m. de ltur. De que tmño proyect su imgen en un pntll colocd 20 m. de distnci. 11. Dos águils sechn un conejo en su mdriguer, prds en dos rboles que se encuentrn un distnci de 25 m. uno del otro. El árbol de l primer águil mide 15 m.de ltur y de l segund 9 m. l slir el conejo tomr el sol, ls dos águils se lnzron sobre el cpturándolo l mismo tiempo. que distnci estb el conejo de mbs águils? 12. Encontrr l longitud del lgo. 20 16 x D 48 GUI DE ESTUDIOS HOJ 10
13. Pr encontrr l nchur de un rió se construyeron dos triángulos semejntes como se muestr en l figur. Mediendo se encuentro que: 17 m. D 5 m DE 20 m. uál es l nchur del lgo? D E 14. Pr medir lo lrgo de un lgo se construyeron los siguientes triángulos semejntes en los cules se tiene que: 215 m, 50 m. 112 m. uál es l longitud del río? 15. Pr medir l nchur de un rio se formn los siguientes triángulos en los que: O 32 m, D 30 m, OD 6 m, encontrr. O D 16. Un árbol proyect un sombr de 5 m. l mism hor en que un post de 2 m de ltur, muy pronto l árbol, proyect un sombr de 2/3 m. Hllr l ltur h del árbol, si tnto este como el poste son perpendiculres l terreno. GUI DE ESTUDIOS HOJ 11
17. Un árbol verticl de 14 m de ltur próximo un torre proyect un sombr de 24 m, l mism hor. Hllr:. L ltur de l torre si su sombr rrojd es de 48 m. b. L sombr que rroj l torre, si su ltur es de 70 m. 8. TEOREM DE PITÁGORS. ) b) c) d) e) f) GUI DE ESTUDIOS HOJ 12
g) h) i) j) Resuelve los siguientes problems: k) lcul l ltur de un triángulo isósceles, si su bse mide 60cm y cd uno de los ldos igules 50cm. l) lcul l ltur de un triángulo equilátero que mide 10m por ldo. m) uánto mide l digonl de un cudrdo de 5m por ldo? n) uánto mide el ldo de un cudrdo cuy digonl mide 8m? o) uánto mide l digonl de un rectángulo de 28m de lrgo 21m de ncho? p) que ltur leg un escler de 10m de lrgo en un muro verticl si su pie está 3m del muro? q) Si el ldo de un hexágono regulr mide 16 cm uánto mide su potem? r) Un terreno rectngulr de 4000m de lrgo por 3000m de ncho tiene en medi un colin que no permite un medición direct uál es l longitud de su digonl? s) Pr sostener l torre de l nten de un estción de rdio de 72m de ltur se dese poner tirntes de 120m pr drle myor estbilidd que distnci del pie de l torre deben fijrse los tirntes pr que queden completmente tensos y sujetdos desde l prte más lt de l torre? t) Ls tres bses que se sujetn los cbles que sirven pr l estbilidd de un poste están situds 36m del pie del poste. lculr l longitud de los cbles, si el poste tiene un ltur de 48m. u) Se tiene un terreno en form de tringulo rectángulo cuyos ctetos miden 300 m y 800 m Qué cntidd de lmbre es necesrio pr cercrlos? v) w) Se cuent con un escler de 25 m y se dese subir l extremo de un torre de 10 m de ltur. que distnci se necesit colocr l bse de l escler pr que el otro extremo coincid con l punt de l torre? GUI DE ESTUDIOS HOJ 13
x) lculr l ltur de un triángulo isósceles si su bse mide 60 cm. y cd uno de sus ldos miden 50 cm. y) lculr l ltur de un triángulo equilátero de 10 m de ldo. z) uánto mide el ldo de un cudrdo cuy digonl mide 8 m.? ) que ltur lleg un escler de 10 m. de lrgo, en un muro verticl, si su pie est 3 m. del muro? bb) uánto mide l digonl de un cudrdo de 5 m. de ldo? cc) Si el ldo de un hexágono regulr mide 16 cm. uánto mide su potem? dd) Un person cmin 7 Km. hci el sur, 3 Km. hci el oeste, 2 Km. hci el sur de 6 Km. hci el oeste. ee) L hipotenus de un triángulo rectángulo isósceles mide 10 cm. Hllr l longitud de los ctetos? ff) En un tringulo rectángulo l hipotenus es igul m y l medin de un de los ángulos gudos es m igul 3 3 Hllr los ctetos. gg) En un triángulo rectángulo m y n representn l longitud de ls medins trzds los ctetos. Obtener l longitud de éstos y l hipotenus en función de m y n. 9. POLIGONOS 1) lculr l sum de ls medids de los ángulos interiores de un polígono, usndo l formul: ) De un trpecio. b) De un rombo. c) De un polígono de 13 ldos. d) De un polígono de 11 ldos. e) De un dodecágono. f) De un polígono de 15 ldos. 2) omplet l siguiente tbl: Polígonos n de ldos Triángulos Sum de los ángulos interior del polígono. udrilátero 4 2 S (4-2)180º (2) 180º 360º Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono Decágono Dodecágono 3) Encuentr el vlor de los ldos y ángulos desconocidos: d c 115º b 64º c GUI DE ESTUDIOS HOJ 14 d 64º b b 28 cm. c
120º b c 120º c d c y b x 85º 115º 68º c d 4) lculr l medid de un ángulo interior de los siguientes poligonos.. Hexágono b. Octágono c. Dodecágono d. Polígono de 20 ldos. e. Polígono de 18 ldos. f. Polígono de 42 ldos. 5) lculr l sum de los ángulos interiores de los siguientes poligonos:. Un pentágono b. Un decágono c. Un pentdecágono d. Un octágono e. Tridecágono f. Un polígono de 37 ldos. De cuerdo ls propieddes de los polígonos contest ls siguientes pregunts. 6) Si l sum de los ángulos interiores de un polígono regulr es de 1260 uál es el polígono? 7) uál es el polígono regulr cuyo ángulo interior es de 135? 8) uánts digonles se pueden trzr desde un vértice de un icoságono? 9) Determin el número totl de digonles que pueden trzrse en un endecágono regulr. 10) uál es el polígono en el que pueden trzrse 20 digonles en totl? 11) uánto vle cd ángulo interior de un pentdecágono? 12) uánto sumn los ángulos externos de un decágono regulr? 13) uál es el polígono que tiene 12 digonles más que ldos? 14) Qué polígono tiene el doble número de digonles que de ldos? 15) Qué polígono 25 digonles más que ldos? GUI DE ESTUDIOS HOJ 15
10. IRUNFERENI En cd un de ls siguientes figurs, clcul el vlor que se indic de cuerdo con los dtos proporciondos: GUI DE ESTUDIOS HOJ 16
GUI DE ESTUDIOS HOJ 17 b b 48 d c c d 120 D e 56 78 e D m 68 D 85 m D n n 126 D 78 D p q D 72 p 26 q
r s 82 136 s r t u 82 136 t u D GUI DE ESTUDIOS HOJ 18
Ejercicios y Problems I. onociendo los siguientes dtos; clculr los elementos fltntes del tringulo rectángulo, sí como el perímetro y el áre: 1. c 134.80 cm 77 26' 34" 2. b 21.79 cm 35 45' 52" 3. c 135.27 cm b 57.38 cm 4. 475.63 cm b 225.52 cm 131.157 cm, b29.3074 cm, 1233 26 P 295.2644 cm., 1921.935 cm 2 15.6948 cm, c 26.8539 cm, 5514 8 P 70.3387 cm., 170.994 cm 2 122.4969 cm, 6454 2.45, 255 57.81 P 315.1469 cm., 3514.436 cm 2 c 526.3887 cm, 6437 55.3, 2522 6.38 GUI DE ESTUDIOS HOJ 19
5. 34 cm c 87 cm P 1227.5387 cm., 53,632.038 cm 2 b 80.0812 cm, 230 16.46, 6659 43.54 P 201.0812 cm., 1361.3804 cm 2 II. De cuerdo con l informción construye el triángulo rectángulo y clcul los vlores de cd un de ls funciones trigonométrics de sus dos ángulos gudos. NO. DTOS FIGUR SOLUIÓN 6. 3 Si tn α y está en el 4 tercer cudrnte α 3652 11.64 β 537 48.36 c 5 7. 4 Si Sen α y está en el 5 segundo cudrnte. α 537 48.36 β 3652 11.64 b 3 8. 3 Si Tn α y está en el 7 curto cudrnte. α -2311 54.96 β 11311 56.4 c 7.6157 9. 5 Si ot α y está en el 3 primer cudrnte. α 3057 49.68 β 592 10.32 c 5.8309 III. Resolver los siguientes problems. 10. ul es l ltur de un nten de comunicciones que proyect un sombr de 35 m, cundo el sol se elev sobre el horizonte 60º de inclinción? ltur de l nten es de 60.6218 m. 60º 35 GUI DE ESTUDIOS HOJ 20
11. on el propósito de construir un puente se dese conocer l nchur de un rió, pr ello se hn efectudo ls divisiones que precen en el esquem, encontrr l respuest. ncho del río es 18.1985 m. 50 m 20º 12. En un fotogrfí de stélite l imgen y su sombr es como se ilustr en l figur. Si l fotogrfí fue tomd cundo el ángulo que form el sol con l horizontl er de 60º50 uál es l ltur del edificio? 60 m 90 m ltur del edificio es 161.256 m. Edificio Sombr 13. Un hst bnder est fijd verticlmente en lo lto de un edificio, desde un punto situdo 50 m. de l bse del edificio, los ángulos de elevción l pie y l punt del hst bnder son 21º 50 y 33º 18. Hllr l medid del hst Medid del st es 12.8115 m. 33º18 21º50 50 m IV. Demostrr ls identiddes siguientes. tn cot 2 14. 2sen 1 tn + ot 2 1 tn 2 15. 1 2sen 2 1+ tn senx 16. 1+ cos x csc x cot x 18. tgx + ctgx sec xcsc x 19. sec xctgx csc x 2 20. cos θ + 8 9 sen θ 21. (sec x tgx)(sec x + tgx) 1 2 1 17. tn xsec x csc x senx GUI DE ESTUDIOS HOJ 21
V. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos 22. Ddos 2 m., c4m., 75º24 23. Ddos b3m., c4m., 60º 36 58 b 3.9958 cm, 2858 14.88, 7537 58.8 3.6357 cm, 4558 14.16, 7327 52.2 24. Ddos 24.532cm., b18.634cm. y c25.279 cm. 6555 0.48, 4354 16.92, 7010 42.6 25. Ddos 50 cm., 45º 27 36, 45º 45 34 26. Ddos 37 cm., 48º 23`12, 36º23 41 b 50.2565 cm, c 70.1334 cm, 8846 50 b 29.3639 cm, c 49.2837 cm,, 9513 7 VI. Resolver los siguientes problems: 27. lculr el ángulo de elevción del Sol en el momento en que un árbol de 32.5 de ltur proyect un sombr de 75 m. El ángulo mide 2325 43.29 28. Un torre de 150 pie de ltur y desde su tope se form un ángulo de depresión de 36.4º con un objeto del suelo ) Determine l distnci de l bse de l torre l objeto b) que distnci est el objeto de l prte superior de l torre? ) distnci es 203.4550 pies; b) distnci es 252.7725 pies 29. Desde el techdo de un edificio de 70 pie de ltur, el ángulo de elevción hci el extremo libre de un poste es de 11.2º. Desde l bse del edificio, el ángulo de elevción del tope del poste es de 33.4º. lcule l ltur y l distnci del edificio l poste. ltur del poste es 5.7998 pies, l distnci de seprción es 81.6436 pies 30. En un punto P l sur de un edificio, el ángulo de elevción de l prte superior de quel es 58º. En un punto Q, 250 pie l oeste de P, el ángulo de elevción es 67º. Determine l ltur del edificio (Ver figur). N O E S 67 Q 250 ft 58 P L ltur del edificio es 1247.539 pies GUI DE ESTUDIOS HOJ 22