6 Itgral dfiida Ejrcicio rsulto EJERCICIOS PROPUESTOS Obté, co l método visto, l ára dl trapcio limitado por la rcta y +, l j X y las vrticals y Calcula l ára gométricamt y compara los rsultados S divid l itrvalo [, ] subitrvalos, cada uo d logitud S calcula la suma d las áras d los rctágulos obtidos tomado como bas la logitud d cada subitrvalo y como altura la ordada dl trmo drcho S ( ) + + 6+ + + 8 + + + + + + + + + + 8 ( + ) + 6 + + + + + + S toma, como ára dl rcito, l úmro A lim S, s dcir, A lim + u Gométricamt, l + + 9+ trapcio ti altura y bass y 9 Su ára s A u, qu coicid co la obtida co l método atrior Obté ua fórmula para + + +, procdido como l jmplo y dsarrollado las potcias + cuartas d + + + 6 + + 6 + + + + + Sumado los primros mimbros y los sgudos mimbros, s obti: + + + + + + + + + + + + 6 + + + + + + + + + Lugo ( ) ( ) ( ) + + + + + 6 + + + + + + + + + S dspja la suma d los primros cubos y s aplica las fórmulas ya coocidas: + 6( + + + ) ( + + + ) ( + ) + ( + )( + ) ( + ) ( + ) + + + ( + + + + ) ( + + ) ( + ) + + Así pus, + + + 5 Uidad 6 Itgral dfiida
Usa l rsultado dl jrcicio atrior para calcular l ára limitada por la gráfica d f +, l j X y las rctas y Toma cada subitrvalo como c i l trmo drcho S divid l itrvalo [, ] subitrvalos, cada uo d logitud S calcula la suma d las áras d los rctágulos obtidos tomado como bas la logitud d cada subitrvalo y como altura la ordada dl trmo drcho S + + + + + + + + + + Aplicado la fórmula cotrada l jrcicio atrior: ( + ) + + + + + + 5 + + 5 + S + + + El ára dl rcito s l úmro A lim S, s dcir, + 5 + 5 A + lim + u 5 Ejrcicio rsulto 6 Sa f cotiúa [, ] y g f + Si f ( ) d 5, calcula g t dt g() t dt (() f t + ) dt f () t dt + dt 5+ ( ( )) 5+ 5 5 7 Si f ( ) d, f ( ) d y 8 f d, halla: a) f d b) f d c) f d a) b) c) 8 f f + f + 7 f f f 7 8 f f f 8 y 9 Ejrcicios rsultos Itgral dfiida Uidad 6 5
Para la fució d la gráfica, halla su valor mdio y l valor c [, ] cuya istcia asgura l torma dl valor mdio S db cotrar l valor f ( c ), sido c l úmro dl itrvalo [, ], qu cumpla + d f ( c)( ) + 9 Como + d s l ára d u trapcio d altura y bass y, su valor s + d Etocs, 9 f c f c, s l valor mdio d la fució dicho itrvalo Por tato, si c f c +, dspjamos y cocluimos qu c Halla l valor mdio d las fucios g y h: a) b) 5, 5 qu cumpla g d g ( c)( 5 ) S calcula sta itgral hallado l ára d las trs rgios (u cuarto d círculo qu stá por cima dl j X; u triágulo qu stá por dbajo dl j X; u triágulo qu stá por cima dl j X) El ára dl cuarto d círculo s El ára dl triágulo qu stá por dbajo dl j X s Esto idica qu f d, ya qu al star por dbajo dl j X, la itgral s l opusto dl ára El ára dl a) S db cotrar l valor g c, sido c l úmro dl itrvalo [ ] triágulo qu stá por cima dl j X s 5 5 Co todo sto: g d g d + g d + g d + Por tato, g c 5 g c s l valor mdio d la fució dicho itrvalo Como g c,5, habrá dos valors d c: uo la circufrcia ( ) + g, s dcir, c +, d dod sacamos qu c, 9 Y l otro la rcta y, s dcir, g( c) c,,5 c, c,5 Así pus, hay dos valors d c: c, 9 y c,5 5 b) El rcito limitado por la fució h y l j X, s dscompo trs parts: + 5 + Dos trapcios, uo d ára S 5 y otro d ára S 8 8 U cuadrado mos u smicírculo: S 8 Co todo sto 5 5 5 8 5 h d h d + h d + h d + + 8 8 8 Por tato, 5 hc hc,99 Hay dos valors d c la circufrcia qu 8 corrspod a c,5 y c,5 5 Uidad 6 Itgral dfiida
Calcula las siguits itgrals dfiidas d c) a) ( ) d b) cost dt d) s ( ) d ( ) a) ( ) d (obsrva qu la fució f s ua fució impar y como l itrvalo d dfiició stá ctrado l orig, la itgral ha d sr cro) cos s s s b) t dt [ t] c) 6 d d) ( ) ( ) cos cos cos s d + Dtrmia l valor d stas itgrals a) b) d c) + d d) l d tg d arctg a) [ ] d + b) d c) ( l l l ) ( l) d d) d ( ) tg l cos l l + l l + l l Itgral dfiida Uidad 6 55
Ejrcicio rsulto 5 Calcula las drivadas d las siguits fucios co stos métodos: Calculado la itgral y drivado Aplicado l torma fudamtal dl cálculo a) g t dt b) g t dt c) g tg a a da a) Itgral y drivado: g t dt t dt t g ' Torma fudamtal dl cálculo: g t dt t dt g ' b) Itgral y drivado: ( s) g tgtdt l cost g l cos g' tg cos Torma fudamtal dl cálculo: g tg t dt g ' tg c) Itgral y drivado: a a [ a ] g a da a da g ( a ) + g ' a a Torma fudamtal dl cálculo: ' g a da a g 6 Halla las drivadas d las siguits fucios a) g t dt b) s + t g dt cost a) f ( cos( ) + cos( )), su drivada s: f ' s( ) + s( ) Tambié s pud calcular obsrvado qu g( t) s ( ) f G t G G t s cotiua y por llo:, dod ' Por tato, f ' G' ( ) G' ( )( ) s( ) + s( ) b) La fució G t st s cotiua g ( ) [ Ht ()] + H ( ) H ( ) h t t +, co ' ( ) ( ) + g' + H' + H' + H, por tato: 7 Ejrcicio itractivo 8 a Ejrcicios rsultos 56 Uidad 6 Itgral dfiida
Calcula l ára d la rgió limitada por la gráfica d y, l j X y las rctas y + La fució s positiva [ ] u, A d l( + ) ( l5 l) + Calcula l ára d la rgió fiita limitada por l j horizotal y la gráfica d y La fució s ua parábola cócava hacia arriba qu corta al j X los putos d abscisas y La rgió quda por dbajo dl j X u A d Dibuja l rcito crrado tr las gráficas d las fucios y 6 y y calcula su ára La gráfica d f 6 ( 6) los putos A (, ) y B ( 6, ) s ua parábola cócava hacia arriba qu corta al j X La gráfica d y s ua rcta crcit qu pasa por l orig Los putos d cort tr ambas gráficas s cutra rsolvido la cuació 6, C 9, 7, s dcir, so los putos A y El rcito stá limitado supriormt por la rcta ifriormt por la parábola y su ára s: 9 9 9 9 A ( 6) d ( + 9) d +,5 u Calcula l ára d la rgió limitada por stas cuatro curvas: y + 5, y, y, y La gráfica d la curva y, qu o s ua fució, s pud obtr dibujado stas dos gráficas: y y Por tato, la rgió s la qu s mustra Los vértics d la rgió so los putos d itrscció d las curvas qu s corta: A( 6, ) B(, ) C (, ) D (, ) La rgió qu stá a la izquirda dl j Y s u trapcio d altura y bass 6 y 6 + 7 Su ára s A u Otra rgió stá limitada supriormt por y ifriormt por y La otra rgió stá limitada supriormt por y 6 8 8 u A d, su ára la da la itgral: ifriormt por y, su ára: ( ) u A A A A A d d 7 8 + + + + u Itgral dfiida Uidad 6 57
5 S cosidra l rcito dl plao limitado por la curva y + y por la curva y a) Dibuja l rcito b) Calcula l ára dl rcito a) La fució y + s ua parábola cócava hacia abajo qu corta al j X los putos A (,) y (, ) La fució C y s ua parábola cócava hacia arriba qu corta al j X los putos A (,) y (,) D Los putos d cort tr ambas s cutra rsolvido l sistma formado, B 6, por sus prsios y so A y b) El ára dl rcito s: 6 6 6 ( ) ( ) 6 7 u A + d + d + 6 Dada la fució f plao crrada tr sa curva y l j X +, halla los putos d cort co l j X y calcula l ára d la rgió dl Los putos d cort co l j X s cutra rsolvido la cuació bicuadrada + y obtmos úicamt dos putos: A(,) y (,) B Como la fució s par y lim f +, ya podmos ralizar u sbozo d la gráfica y la rgió d la qu s habla Como la fució s par l ára pdida srá: 5 u 5 5 A + d +,9 7 Calcula l ára d la rgió crrada tr las gráficas d f y Primro hay qu calcular los putos d cort d ambas fucios:, La rgió stá limitada tr dos curvas: f por arriba y por dbajo; así pus, l ára pdida s: g g u 8 A d + + d + + 8 y 9 Ejrcicios rsultos 58 Uidad 6 Itgral dfiida
Halla la logitud d la cataria + y tr y + + f ' L + f ' d d + + d d d u + + Por sr ua fució par L L Calcula la logitud d la llamada parábola smicúbica (auqu o lo s su gráfica s parc a ua parábola) y tr y La drivada d la fució f s ' La logitud pdida s: f 9 9 9 9 L + f d + d + d + d + 9 9 ' 9,7 u Sobr ua partícula a mtros dl orig, actúa ua furza movrla dsd hasta 5 m? (El trabajo s calcula como W F d ) F + (N) Qué trabajo raliza F al 5 5 5 ( ) 5 8 J W F d + d + * Halla l volum dl sólido qu s forma al girar la rgió bajo la gráfica d y cos + [ ], V (+ cos ) d (+ cos ) d (+ cos ) d + cos + cos d + s + cos d y, por parts: cos ' f f s d cos g s g ' d cos d s cos + s d s cos + ( cos ) d s cos + cos d Dspjado s obti: + s cos cos d + C + s cos Por tato, V ( + cos ) d + s + u Itgral dfiida Uidad 6 59
La població d Circuladia, ua típica ciudad, dcrc coform os aljamos d su ctro E fcto, su r habitats/km sido r la distacia al ctro km dsidad d població s a) Cuál s l radio d la zoa habitada d la ciudad? b) Cuál s la població d la ciudad? a) Como la dsidad los cofis d la ciudad s, tocs ( r ), s dcir, r km b) i P lim ri rf ( ci) r ( r ) dr S calcula sta itgral: + r r r ( r ) dr ( r r ) dr 9 8 7 habitats 5 Ejrcicio itractivo 6 a Ejrcicios rsultos 6 Uidad 6 Itgral dfiida
EJERCICIOS Ára bajo ua curva 5 Halla l ára d la rgió sombrada utilizado los difrts métodos propustos los distitos apartados Compruba qu simpr obtis l mismo rsultado a) Dividido l itrvalo [, ] subitrvalos d logitud, tomado como altura d cada rctágulo la ordada d su trmo drcho y calculado, fialmt, l límit d la suma d las áras d los rctágulos cuado + b) Procdido como a, pro tomado como altura d cada rctágulo la ordada d su trmo izquirdo c) Hallado ua primitiva F d la fució cuya gráfica s la rcta oblicua qu limita la rgió y hallado F F d) Utilizado la fórmula qu os da l ára d u trapcio a) La cuació d la rcta qu limita supriormt l trapcio s y + + + + + 6 + + S + + + + + + + + + + + 7 + 7 + 7 + El ára dl rcito s: 7 7 A lim S lim + + + u b) + + + + S ( ) + + + + + + + + + + 6 + 7 7 7 7 7 A lim S lim + + u c) Ua primitiva d y + s F + A F F 9 7 + + u d) La rgió sombrada s u trapcio d altura y bass y Su ára s + 7 A u Itgral dfiida Uidad 6 6
6 Calcula l ára limitada por la curva y +, l j horizotal y las rctas vrticals y S divid l itrvalo [,] subitrvalos, cada uo d logitud S calcula la suma d las áras d los rctágulos obtidos tomado como bas la logitud d cada subitrvalo y como altura la ordada dl trmo drcho S + + + + + + + + + 8 6 + + + + + + + + + ( ) + + + 8 + + 6 + Aplicado las fórmulas ya coocidas: ( + )( + ) ( + ) ( + )( + ) 8 6 8 S + 8( ) + + 6 + 6 ( )( 8 ) ( ) 8 8 + + + + + El ára dl rcito s: lim lim 8 8 A S + + + + s simétrica rspcto dl j Y y l itrvalo [,] (Como la fució y podríamos habr calculado l ára tr y y lugo hallar su dobl) u stá ctrado l cro, 7 Dtrmia l ára d la rgió limitada por la fució f, l j X y las rctas vrticals y ( + ) Para llo, usa la prsió + + + S divid l itrvalo [, ] subitrvalos, cada uo d logitud S calcula la suma d las áras d los rctágulos obtidos tomado como bas la logitud d cada subitrvalo y como altura la ordada dl trmo drcho S ( + ) + + + + + + + + + + El ára dl rcito s: A + + lim S lim u + + 6 Uidad 6 Itgral dfiida
Itgral dfiida Propidads 8 Esboza la gráfica d f [ ], y divid st itrvalo 5 subitrvalos para probar qu: + + + + < d < + + + +,,,6,8,,,6,8,, Obsrvado l dibujo s aprcia qu l ára bajo la curva s mayor qu la suma d las áras d los rctágulos ifriors y mor qu la suma d las áras d los rctágulos supriors Torma dl valor mdio Rgla d Barrow 9 Compruba si s cumpl las codicios para aplicar l torma dl valor mdio a la fució f ( ) l itrvalo [, ] Si s así calcula l valor mdio d f dicho itrvalo y la abscisa dl puto l qu s alcaza dicho valor Como f s ua fució poliómica, tocs s cotiua, particular, [, ] Aplicado l torma dl valor mdio, s busca c [,] tal qu ( ) d f ( c )( ) ( ) 8 ( ) d, por tato, pro solo la sguda prtc al itrvalo [, ] 8 f c f c c c +, c, 5 Calcula ua aproimació por cso y otra por dfcto d l utilizado ua partició cico d subitrvalos para calcular la itgral dfiida Por dfcto: S toma 5 rctágulos d bas, y altura l trmo drcho Por cso: S toma 5 rctágulos d bas, y altura l trmo izquirdo + + + + < d < + + + +,,, 6, 8,,, 6, 8,, Oprado:,656 < l l l <,756 d Por tato,,65 6 < l <,75 6 Itgral dfiida Uidad 6 6
5 La siguit rgió stá limitada supriormt por la gráfica d la fució y Halla la altura qu db tr u rctágulo d bas para qu su ára sa igual a la d la rgió sombrada El ára d la rgió sombrada s d El torma dl valor mdio os asgura qu ist u úmro c dl itrvalo [, ] qu cumpl d f ( c)( ) Así pus, f ( c) f ( c) Por tato, l rctágulo d bas y altura ti igual ára qu l d la rgió 5 Dtrmia l valor d las siguits itgrals dfiidas d d) a) ( + 5) d g) 5 + d cos d ) b) ( ) d f) c) s( ) d h) + d i) s d cos d 56 d + 5 d + 5 f) [ arcs ] a) b) s cos d 5 g) d [ ] + 5arctg 5 7,85 c) ( ) ( ) cos s d,5 h) s d cos cos d) ) d, 8 i) l l6 ( l + ) l8 d,56 + 6 6 d 6 Uidad 6 Itgral dfiida
5 Calcula las siguits itgrals dfiidas a) arctg d d) d g) + d j) ( + + ) + d b) s d ) + + 5 d h) + + d c) d f) + ( ) d i) + + d Itgració por parts: f arctg a) arctg d, dg, df +, g Por tato, arctg d arctg d arctg d arctg + arctg + C + + arctg d arctg + arctg b) s d Itgració por parts: f, dg s, df, g cos s d cos + cos d Para obtr ahora cos, dg cos, df ( ) g s f, Por tato:, por lo qu d, s procd d la misma forma: s d cos + s s d cos + s + cos + C s d cos + s + cos d d l l l l l + + + + c) d ( ( )) C ( ) + + + d) ) d Itgració por parts: f, dg, df ( ), d d + C ( ) + C Por tato, d g + 5 + 5 / / + d + + C d + + + + l l l l,9, lugo f) ( ) + d d C d ( ) + + + l5 l + + l + g) + 6 d + 7 7 ( + + ) + + h) l( d ),8 d + + + i) ( ) arctg d d arctg + C d + + + 8 j) ( ) d d l + + C d l + + + + Itgral dfiida Uidad 6 65
5 U profsor aprsurado pidió a sus alumos qu calculara la itgral dfiida d Laila trabajó así: d 5 6 Y dspués razoó: stoy sgura d qu hay algo mal porqu sé qu la fució f todo su domiio y por tato, la itgral pdida, s positiva d, o pud sr gativa Dód stá l rror? La fució f o stá dfiida para, por lo qu o s cotiua l itrvalo (,) ist la itgral dfiida d, así, qu o 55 Sabido qu 5,87 ; puds cotrar otra aproimació d l hacido ua partició cico subitrvalos para calcular d Utiliza la itgral atrior y la rgla d Barrow para dmostrar qu lim l + S divid l itrvalo [, ] 5 subitrvalos, cada uo d logitud 5 S 5 5 5 5 5 5 5 5 + + + +,87 +,87 +,87 +,87 +,87,55 5 5 Por otra part, d l l l,55 l,67 Aálogamt, s divid l itrvalo [, ] subitrvalos, cada uo d logitud: S + + + + + + lim + + l + lim ( ) lim ( ) l + + + lim S d lim lim l 66 Uidad 6 Itgral dfiida
Torma fudamtal dl cálculo 56 Calcula la drivada d las siguits fucios a) f dt c) f st t dt t b) f d) cos + dt t f dt t st a) La itgral dt o s lmtal, así qu o s pud calcular dicha itgral para dspués drivarla, pro t st g( t) s cotiua para t > y l torma fudamtal dl cálculo os asgura qu la drivada d t st s f dt s f ' t dt l t, su drivada s f ' b) f [ lt] ( l l ) ( l l ) dt t cos cos c) f [ lt] l( cos ), su drivada ' d) La itgral La fució s f tg cos t dt o s lmtal, así qu o s pud mplar l método d los dos apartados atriors + s cotiua, así pus, f G( t) G( + ) G g t t tato: ( ) + f ' G ' + G ', sido ' G, por 57 Calcula lim h + h + 8 d h Si s llama f + 8 y F( ) a ua primitiva suya, F' f + h + 8d F ( + h) F( h) F f + lim lim ' 8 h h h h, tocs, 58 Halla los putos d iflió d la fució t g dt t Por l torma fudamtal dl cálculo s sab qu la drivada d g dt s ' drivada s g '', qu s aula si g y la sguda Admás, la sguda drivada s positiva a la izquirda d (g s cócava hacia arriba) y s gativa a la drcha d (g s cócava hacia abajo) Así pus s produc u cambio d curvatura, por tato, l puto A(, g ) A(, ) iflió d g( ) s u puto d Itgral dfiida Uidad 6 67
f cost dt 59 Calcula la drivada d la fució Por l torma fudamtal dl cálculo s sab qu f ' cos 6 Halla la drivada d stas fucios a) f t dt c) f s b) f t dt d) f t dt + t dt a) Por l torma fudamtal dl cálculo s sab qu f ' b) f s s t s t dt 9 Su drivada s ' s c) Por las propidads d la itgral dfiida s sab qu d) f Por tato, f ' f t dt t dt + 6 + 5 t + + 6 5 f t dt f ' + 6 Calcula la drivada d stas fucios a) f b) f dt c) f ( t + ) l dt d) f ( t + ) l s + dt l ( t + ) dt l ( t + ) La itgral l o s lmtal pro sí s sab qu la fució g ( t) ( t + ) dt l ( t + ) s cotiua a) Por l torma fudamtal dl cálculo s sab qu f ' f dt dt l l b), así pus, f ' ( t + ) t + s c) f G( t) G( s ) G, sido G' ( t) cos f ' G' s cos l s Por tato: + d) f G t G( + ) G( ) ( + ), sido ( t ) l ( + ) l l ( t + ) ( + ) G' ( t) f ' G'+ G' l + l l + (( + ) + ) ( ) 68 Uidad 6 Itgral dfiida
6 Sa F ( ) a) Calcula F' ( ) b) Es F'' lt dt co ua fució costat? Justifica tu rspusta F lt dt tlt t l + F' l + l l a) [ ] Por tato, b) F' l F'' l + l + No s ua fució costat porqu su drivada o s ula st dt dfiida para Halla los valors d los qu alcaza sus t máimos y míimos rlativos 6 Sa la fució F ( ) s F' Esta drivada s aula si s, s dcir, si + k co k,,, Máimo si k,,,, y míimo si k,, 5, t 6 La fució F( ) stá dfiida por F ( ) dt Halla los putos los qu s aula ' F t La itgral dt o s lmtal, así qu o s pud calcular dicha itgral para dspués drivarla La fució s cotiua, así pus, F G( t) G( ) G g t t tato: ' ', sido ' ( ) G, por F G Dicha drivada s aula si t 65 Sa F ( ) dt Calcula F ' t La fució g( t) s cotiua, así pus, F G( t) G G, sido ' F' G' F' G, por tato: Itgral dfiida Uidad 6 69
66 a) Calcula los trmos rlativos y absolutos d la fució f : [ 7,] dada por f β f d 7 b) Sa β l puto l qu f alcaza su máimo absoluto Calcula a) f ' ( ) qu A(,9) s u máimo rlativo y (,9) + 6 + 9 + + s aula si o si Aplicado l critrio d la sguda drivada s v B s u míimo rlativo S compara los valors: f ( ) 9 f 9 f ( 7) Así pus, A(,9) s l máimo absoluto y ( 7,) b) Ya s ha calculado β C s l míimo absoluto 675 + 6 + 9 d + + 9 7 7 f 56 67 Si f ( t ) dt 5 +, qué fució s c f? Cuáto val c? Sa g f ( t ) dt 5 + ; tocs g' f 5 c Por otra part, tomado c, g( c) c 5 +, d dod c t f dt + t 68 Halla l puto dl itrvalo [, ] l qu la fució t t alcaza su míimo + Como la fució g( t) s cotiua, s sab qu la drivada d f ( ) s f ' + Esta drivada s aula si y como a la izquirda d s gativa y a su drcha s positiva, l puto d abscisa s cutra l míimo d la fució f ( ) 69 a) Si f s ua fució cotiua, obté F' ( ) sido: F f t + t + t dt b) Si f y admás f ( t ) dt, halla la cuació d la rcta tagt a la gráfica d (, F ) F l puto a) Como la fució g( t) f ( t) + t + t s cotiua, l torma fudamtal dl cálculo asgura qu la drivada d F( ) s F' f + + b) La cuació d la rcta tagt buscada s y F( ) F' ( ) S calcula tocs F y ' t t 9 F ( ) ( f ( t ) + t + t ) dt f () t dt + t dt + t dt + + + + f F' + + + + F : 9, s dcir, La rcta tagt s y ( ) 7 y 7 Uidad 6 Itgral dfiida
7 Dada f ( + ), dtrmia l valor dl parámtro a > para l qu a f d a d + a a, a, y como solo val la solució ( + ) a + + a + a positiva, cocluimos qu a 7 Sa las fucios t 5 y g F + dt, calcula F( g ) ' Como la fució f ( t) t 5 + s cotiua, por l torma fudamtal dl cálculo s ti qu + Aplicado la rgla d la cada, ( ) F' 5 ' F g F' g g' F' 5+ 7 Calcula lim + t dt t dt Al prstars ua idtrmiació dl tipo y star las hipótsis dl torma d L Hôpital, s aplica la toma d drivadas l límit y l torma fudamtal dl cálculo: t dt 6 6 6 6 5 6 6 + 6 6 + lim lim lim lim + + + + t t + + + dt dt + [ ] [ ] + Áras d rcitos 7 Calcula l ára crrada tr f 6 + y l j d abscisas para [,5] 6 A d + + 5 5 l l6 l5 u Itgral dfiida Uidad 6 7
7 Dibuja la suprfici limitada por la rcta y + y la parábola y + 5 Halla su ára Los putos d cort d ambas fucios s obti rsolvido la cuació: Los putos d cort so A (, ) y (,5) + 5 + 5 +, B La rgió stá comprdida tr dos gráficas: la rcta y + por cima y la parábola dbajo y + 5 por 5 9 5 5 u El ára d la rgió s: ( ) A + + d + d + 75 Dibuja la gráfica d f l itrvalo [,] y calcula su itgral La gráfica d f ( ) s dibuja muy fácilmt a partir d la d la fució g, si más qu rfljar su part gativa rspcto al j X Como la fució s positiva y simétrica rspcto al j Y, y l itrvalo stá ctrado l orig, s calcula la itgral d sta forma: d + d + d 6 + + u a + d 76 Halla l valor d a >, tal qu ( ) ( a ) a a 9 + d + + a a a + + a 9 a Dscartado la solució qu o s positiva, cocluimos qu a 9 7 Uidad 6 Itgral dfiida
77 Halla l ára d la rgió comprdida tr las parábolas y y + +, Los putos d cort so A(,) y B (,) La rgió stá comprdida tr dos gráficas, y + stá por arriba y stá por dbajo Como ambas fucios so simétricas rspcto dl j Y, l ára d la rgió s: u A + d + d + 78 Calcula l ára d la rgió limitada por las curvas y, y y las rctas y Las gráficas d las fucios s corta los putos O (,) y (,) La rgió stá formada por dos trozos: A A d + d + u 79 Calcula l ára limitada por la gráfica d la fució y l, l j X y la rcta tagt a dicha gráfica l puto La rcta tagt ti por cuació y f ( ) f '( )( ), s dcir y El rcito stá formado por dos rgios Ua, limitada por la rcta tagt y l j X tr y, s u triágulo d bas y altura, su ára s A El ára d la otra s: l A d l + El ára dl rcito s A A + A + u 8 *a) Dibuja l rcito limitado por las curvas d cuacios y s, y cos, y b) Calcula l ára dl rcito dl apartado atrior a) El puto d cort d ambas fucios s cutra rsolvido la cuació s cos, cuya úica solució l itrvalo, s b) A ( ) d [ ] cos s s + cos [ ] A s cos d cos s + A A + A + u Itgral dfiida Uidad 6 7
8 a) Rprsta las curvas d cuacios y + y b) Halla l ára dl rcito limitado por dichas curvas a) Los putos d cort s cutra rsolvido la cuació + +, Los putos d cort so A (,) y (,) B b) El rcito stá limitado supriormt por la rcta ifriormt por la parábola Su ára vi dada por l valor d la itgral: ( ( ) ) u A + d + 8 Halla l ára qu cirra ua loma d f s Elgimos la ua loma qu qud por cima dl j X, por jmplo, la qu os cotramos tr y s [ cos ] cos cos u A d + 7 Uidad 6 Itgral dfiida
8 S cosidra la fució f a + b < si si a) Calcula a y b para qu f sa cotiua y drivabl b) Para los valors d a y b obtidos l apartado atrior, dtrmia l ára d la rgió acotada por la gráfica d f, l j horizotal y las rctas, a) Como itrvi valors absolutos, dbmos prsar la fució dsglosado dichos valors absolutos: si f a + b si < < si Está claro qu la fució s cotiua l itrior d los trs itrvalos d dfiició S impo la codició d qu sa cotiua los trmos d stos itrvalos lim f lim lim f lim a b a b, lim f lim a b a b + + + +, cuació qu la atrior + +, lim f + + lim, f a + b 6a + b Así pus, si a + b, s dcir, si 6a + b la fució srá cotiua todo S impo ahora la codició d qu tambié sa drivabl La fució drivada para valors d distitos d y s: lim f ' lim, + + f a + b, qu s la misma si < f ' a si < < si > lim f ' lim a a a a 6 (Muy importat: ahora hay qu comprobar qu st valor d a s l mismo qu hac qu ista f ' Si o fus l mismo, cocluiríamos qu f o s drivabl todo ), lim f ' lim a a lim f ' lim a a 6 + + Para st valor d a, b a Así pus, si a y 6 b, la fució s cotiua y drivabl todo f b) Como la fució f ( ) s positiva todo, l ára pdida coicid co sta itgral dfiida: si + si < < 6 si 7 5 A + d d 6 + + + + 8 8 6 8 u Itgral dfiida Uidad 6 75
8 Halla l ára dl rcito limitado por la gráfica d la fució gráfica l máimo rlativo f +, y la rcta tagt a dicha Rprsta gráficamt la fució hallado los putos d cort co los js y los trmos rlativos La fució f + ( ) corta al j Y l puto (,) X los putos O (, ) y A (, ) O y al j La drivada d la fució s B, 7 s u máimo y (, ) f ' + y s aula si o si A s u míimo La rcta tagt l máimo s y Para hallar los putos d cort d dicha 7 tagt co la gráfica d la fució, s rsulv la cuació +, cuyas solucios so 7 El rcito stá limitado supriormt por la rcta ifriormt por la cúbica ( ) A + d + + d + + 7 7 7 u y 85 Sa las fucios f y g Las dos fucios s corta los putos A (, ) y (, ), halla l ára crrada por las gráficas d f, d g y d la rcta B Dbmos hallar l ára dl rcito limitado supriormt por g ifriormt por f, tr y El ára la da la itgral: 8 7 u A d 86 Sa la fució dfiida por f + + a) Dibuja l rcito limitado por la gráfica d f y sus tagts los putos d abscisa y b) Pruba qu l j d ordadas divid l rcito atrior dos qu ti igual ára a) La cuació d la tagt l puto d abscisa tagt l puto d abscisa b) Si <, l ára s: s y ( ) s y ( ) + ( ) u A + + + d + + Si >, l ára s: ( ) + y la d la A + + + d + d + u 76 Uidad 6 Itgral dfiida
87 a) Halla l ára dl triágulo formado por l j X y las rctas tagt y ormal a la curva abscisa y l puto d b) Halla l ára d la rgió limitada por la curva d cuació y y l j X para los valors a) La drivada d f s f ' La rcta tagt a f y f ( ) f '( )( + ), s dcir: y l puto d abscisa s La rcta ormal s y f +, s dcir: f ' y + + Así pus, stas rctas corta al j d abscisas los putos d abscisas,, rspctivamt, co lo qu la bas dl triágulo custió s + y su altura + Su ára s u b) La rgió stá situada por cima dl j X Su ára s l valor d la itgral: u A d + 88 Calcular a > para qu l ára crrada por la gráfica d f s, l j y, y la rcta a, sa a a s d [ cos ] cosa + cos cosa + cosa a + 89 Sa f : (, + ) la fució dada por f l( ) a) Esboza l rcito limitado por la gráfica d f, l j Y y la rcta y Calcula los putos d cort d las gráficas b) Halla l ára dl rcito atrior a) La gráfica d f l( + ) s la gráfica dl g l dsplazada hacia su izquirda ua uidad Su domiio s D( f ) (, + ), s simpr crcit y ti ua asítota vrtical Los putos d cort co y, s calcula rsolvido la cuació l( + ), s dcir +, El úico puto d cort s A (, ) b) El ára dl rcito pdido os lo da l valor d la itgral [ l( + ) ] l( + ) d por parts: f l( + ), f ' +, g' ( ), g A d Calculmos primro l( + ) d l( + ) d l( + ) d l( + ) + l( + ) + + l + + + C Por tato, l ára s: l ( l ) l u A + d + + + + Itgral dfiida Uidad 6 77
9 Dada la fució f, calcula l ára d la rgió acotada crrada por su gráfica y l j X + y B (,) La fució corta al j X los putos A(,) A(,) El rcito stá por dbajo dl j X; admás la fució s simétrica rspcto dl j Y, así pus, l ára d la rgió vi dada por: A d + S calcula sa itgral: 6 8 d 8arctg d d d C + + + + 8 6 u + A d 8arctg 9 a) Halla la rcta tagt a la curva d cuació y l puto d abscisa b) Dibuja l rcito limitado por dicha rcta tagt y la curva dada y calcula l ára a) La drivada d cuació y s f ' La cuació d la rcta tagt s y f ( ) f ' ( ), s dcir, y b) Los putos d cort d la curva y y la rcta y s obti rsolvido la cuació + : A(, ) y (, ) B so los putos d cort 7 ( ( )) 6 u A d + + 78 Uidad 6 Itgral dfiida
9 Sa f, calcula fució d t l ára limitada por la parábola y la curda OM Sa N l puto d la parábola l qu la tagt s paralla a dicha curda Dmustra qu sa cual sa l valor d t, l ára dl sgmto parabólico s dl ára dl triágulo OMN El puto M ti por coordadas M( tt, ) La rcta tagt l puto (, ) t t t El puto N s N, parabólico ti u ára d: Hallmos ahora l ára dl triágulo OMN, así pus, la pdit d OM s N ti, pus, pdit t, así pus, ' t t t f t, s dcir, t y, por tato, La rcta qu coti a OM ti por cuació y t, así pus, l sgmto t t t t t t u 6 A t d Tomamos como bas l sgmto OM, cuya logitud s t + t t t + La altura, h, dl triágulo OMN mid t t t t t h d( N, OM) d,, t y + + t t El ára dl triágulo s: probar t t t + t A t + u Así pus, 8 A A, d dod A A, como s quría Aplicacios d la itgral 9 U móvil s dsplaza co la cuació d movimito spacio rcorrido l itrvalo d timpo [, ] y t +, dod t rprsta l timpo Calcula l 5 5 5 6 6 S ( + ) d ( + ) u 5 5 5 5 5 5 Itgral dfiida Uidad 6 79
9 Esboza la gráfica d la fució y 9 + y halla la logitud d dicha curva tr y 7 S prsa la fució d la curva d mara plícita, s dcir, dspjado y: y 9 y 9 Su drivada s y' 9 ( y ') 9, + ( y '), ( ') La logitud dl tramo d curva pdido s: 9 9 + y d d 9 9 L + y d 7 ( ') ( 9 ) 6 u 7 95 Dada f calcula la logitud dl arco d curva tr y b dod b < Rprsta gráficamt dicha fució, calcula gométricamt la logitud d dicho arco y obsrva la igualdad d los rsultados obtidos La drivada d la fució f s f ' La logitud pdida s: b L + f d + d + d d b b b b b b ' [ arcs ] arcs u La gráfica d la fució s ua smicircufrcia y la logitud dl arco pdido s justamt l arco qu corrspod al águlo β qu s prcisamt l águlo cuyo so s b, s dcir, l arco so d b 8 Uidad 6 Itgral dfiida
96 Calcula la logitud d los siguits arcos d curva: ( ) a) f [, 9 ] b) f + [, ] 6 a) La drivada d la fució f ( ) s f ' 6 9 La logitud pdida s 8 ( + ) 9 9 9 9 + L + f ' d + d d d 6 Esa última itgral la calcularmos mdiat u cambio d variabl: g t, d g ' d dt d dt tdt ( ) + t + t + t t d t dt dt t + dt + + + C t Por tato, 9 ( ) 9 9 + 55 d u L + b) La drivada d la fució f + s f ' 8 La logitud pdida s 6 8 + 8 6 ( + ) 6 6 6 + ' 6 L + f d + d d d 9 d u 8 9 + 97 Halla l volum dl coo qu s obti al girar alrddor dl j X la rgió comprdida tr dicho j y l sgmto d la figura Compruba l rsultado S trata d hallar l volum dl sólido d rvolució qu s obti al girar y alrddor dl j X 6 S sab qu dicho volum s igual a: V d d u 6 El sólido qu s forma s u coo d radio y altura Su volum s: V u Itgral dfiida Uidad 6 8
98 Calcula l volum dl curpo qu s obti al girar la rgió tr l j X y la gráfica d y +, toro al j X y tr las rctas y S trata d hallar l volum dl sólido d rvolució qu s obti al girar y + alrddor dl j X S sab qu dicho volum s igual a: V d d + + S calcula sta itgral qu va a dar lugar a ua arco tagt d d arctg + C arctg + C + + u + 8 El volum s: V d arctg ( arctg arctg) 99 Halla l volum gdrado por la rgió plaa dfiida por l j X, la curva d cuació Y y la rcta al girar alrddor dl j X y, l j 6 6 u V d d + Calcula l volum dl sólido d rvolució qu s obti al girar alrddor dl j X l rcito limitado f l, y las rctas y,, por la gráfica d d d El volum os lo da la itgral ( l ) ( l ) La itgral ( l ) d la calculamos por parts: f ( l ) l, f ', g' ( ), g l l d l d l l d l l l l + ( l ) ( l ) ( l ) l,6 u V d d + 8 Uidad 6 Itgral dfiida
La vlocidad d u móvil qu part dl orig vi m/s por la gráfica: a) Calcula la fució qu da l spacio rcorrido fució dl timpo y sboza su gráfica b) Pruba qu l ára bajo la curva qu da la vlocidad coicid co l spacio total rcorrido a) La fució spacio rcorrido s ua primitiva d la vlocidad, pusto qu la vlocidad s la drivada dl spacio Obsrvado la gráfica, la fució vlocidad s cotiua y stá dfiida a trozos por la siguit t si t < prsió: v( t) si t t + 5 si < t 5 Por tato, l spacio rcorrido srá: t + A si t < s t t + B si t t + 5t + C si < t 5 Falta calcular los valors d los parámtros A, B y C: Como s(), tocs, A Admás, por cotiuidad: t, lim s ( t ) lim ( t + B ) + B, f lim s t lim + + Así pus, + B, s dcir, B ( + ), lim s t lim t B 6 5 + + + B t lim s t lim + 5t + C + C, f 5 Así pus, C 5 C + La fució spacio rcorrido s: t si t < s t t si t t + 5t si < t 5 cuya gráfica s: b) El spacio total rcorrido s s ( 5) 7 m El ára bajo la curva d la vlocidad s la d u trapcio d altura y bass 5 y, s dcir, 5+ A 7 u Itgral dfiida Uidad 6 8
La dsidad d població mils d habitats por km ua ciudad dpd d la distacia r f r r kilómtros a su ctro d acurdo a a) Cuátas prsoas viv a mos d 5 km dl ctro? b) Cuátas viv tr 5 y km dl ctro? Primro calculamos la itgral r dr 6 r dr f ( r) r r por parts: r f '( r ) g' ( r) g ( r) r dr r dr r + C ( r + ) + C r r r r r r 6 6 6 9 8 5 5 r r 8 8, mils d habitats, s dcir, 8 habitats a) r dr ( r + ) r r 8 59, 5 mils d habitats, s dcir, 59 habitats 5 b) r dr ( r + ) r r Sítsis Dada la fució ( ) t, co domiio : F t dt a) Calcula F' ( ), studia l crcimito d F( ) y halla las abscisas d sus máimos y míimos rlativos b) Calcula F'' ( ), studia la cocavidad y covidad d F( ) y halla las abscisas d sus putos d iflió a) ( F' ) Esta drivada, F' ( ), s aula si o S studia su sigo: (, ) (, ) (, + ) Sigo d F ' + + Comportamito d F Crcit Dcrcit Crcit Máimo rlativo Míimo rlativo b) La drivada sguda d F s ( F'' ), qu s aula si,, : (, ) (,) (, ) (, ) Sigo d F '' + + Cócava Cócava Cócava Cócava Comportamito d F hacia arriba hacia abajo Hacia arriba hacia abajo Putos d iflió,, Calcula l valor d la itgral s d - - s d s d + s d cos s + cos + s 8 Uidad 6 Itgral dfiida
5 Dada la fució y, calcula l ára crrada por la curva, l j d abscisas y las rctas + prpdiculars al j X qu pasa por l máimo y l míimo d la fució dada La drivada d la fució s f ' ( + ), qu s aula si, Estudiado l sigo d la drivada: A, s míimo y B, s máimo El rcito stá comprdido tr y La fució s simétrica rspcto dl orig Por tato, l ára pdida s igual a: A d l + l l l l + u 6 Sa F cos si < si t dt si > a) Pruba qu F s cotiua b) Estudia si ist F' ( ) si y si F s drivabl c) Estudia la cotiuidad d F' ( ) a) El úico puto problmático sría ; F lim F t dt lim lim lim Fialmt, como + + + b) Si <, F' s Si >, F' aulars l domiador t F, F s cotiua, qu ist por tratars d dos fucios drivabls y o Para studiar si F s drivabl s calcula las drivadas latrals, <, F cos + h ( t dt h h h F h F ) h + + + + h h h h F ' lim lim lim lim h h h Así pus, F s drivabl y F ' F ' s pus si Itgral dfiida Uidad 6 85
s si < si Por u lado, ' t dt si > c) F' F s cotiua { } t dt + + + + + lim F ' lim lim lim ( ) y lim F ' lim s S studia la cotiuidad d F ' F ', rsulta qu F ' s cotiua y, por tato, s cotiua 7 a) Ecutra ua primitiva d f 6 + 8 b) Calcula l ára dl rcito limitado por la gráfica d la fució f ( ), l j X y las rctas y a) Dbmos dscompor fraccios simpls la fució racioal dada: ( ) + B( + ) 6 6 A B A + + 8 + + + Si, obtmos qu A Si, obtmos qu B Por tato: 6 f + + 8 + 6 l l 8 d + d + + + + + C b) Como la fució f ( ) s gativa l itrvalo (, ), l rcito s halla por dbajo dl j d abscisas y su 6 + + + 8 l l l l l u ára os la da la itgral: A d 8 La curva y divid al cuadrado d vértics V, V, V y Dibújalos y halla l ára dl rcito mayor,,, V, dos rcitos La abscisa dl puto d itrscció d la parábola y l sgmto V V s Por tato, l ára dl rcito d la izquirda vi dada por la itgral: ( ),7 u A d El ára dl rcito d la drcha s A A,7,586 u Co lo cual, l rcito mayor s l d la drcha 86 Uidad 6 Itgral dfiida
9 Calcula l valor d a, a >, para qu l ára d la rgió plaa crrada tr la parábola y y la rcta y a sa igual a d uidads d suprfici El ára os la da la itgral ( ) a a a A a d a a a a a a a a, y como ha d sr igual a, cocluimos qu a a Calcula l volum dl paraboloid d rvolució qu s obti al girar la rgió comprdida tr la parábola y y l j horizotal, alrddor dl j X dsd hasta S sab qu dicho volum s igual a: 5 u 5 5 V d d CUESTIONES Cuál s l valor d s d? + ( ) f s ( + ) 7 s ua fució impar pus s( ) s (( ) + ) ( + ) 7 7 f f, así qu s 7 d + ( ) f t dt Sa f : [,] cotiua y tal qu f ( t ) dt S pud asgurar qu ist b y c [,] tals qu b, c y f ( b) f ( c) rspusta? Justifica la Por l torma dl valor mdio s sab qu: A) Eist u úmro c dl itrvalo [, ] qu cumpl f ( t ) dt f ( c )( ) f ( c ) B) Eist u úmro b dl itrvalo [, ] qu cumpl f ( t) dt f ( b) ( ( ) ) f ( b) Como ambas itgrals so iguals, s cocluy qu, fcto, ist b y c [,] co b, c y f ( b) f ( c) Itgral dfiida Uidad 6 87
Qué úmro s mayor, s d o s d? E l itrvalo [, ], s s positivo y como s, tmos qu s s Por otra part, dicho itrvalo,, así qu s s por lo qu s s s d d, d hcho s strictamt mor pus la fució f s cotiua [, ], f idéticamt ula por lo qu s s s d >, s dcir, s s d > d, y o s Dmustra la igualdad ( ) b f d b f b d Para llo, raliza l cambio t b S utiliza l torma d sustitució itgrals dfiidas llamado g b y tocs b f ( b b g b b b ) d f ( g ( )) g '( )) d f () t dt f ( t ) dt f ( t ) dt f ( ) d g b g' 5 Razoa si so cirtas o o las siguits afirmacios b c c a) + f d f d f d a b a b b b b) f g d f d g d a a a b, tocs a b a c) Si f d b d) Si f d y a b b b f > para todo, tocs a b ) + + f g d f d g d a a a a) Es vrdadra Es la propidad 6 d la itgral dfiida b) Es falsa Por jmplo, c) Es falsa Por jmplo, d d d d d) Es vrdadra Si la fució s positiva [ ab, ], pud sr cro si a b ) Es vrdadra Es la propidad d la itgral dfiida b f d mid l ára bajo la curva, así pus, sa ára solo a 88 Uidad 6 Itgral dfiida
a a 6 Sa f: [ aa, ] co a >, cotiua y tal qu f ( ) d a) Es csariamt f ( ) para todo d [ aa, ]? a a b) Es csariamt f d? Y f ( ) d a a a d a c) Calcula ( f + )? Supogamos qu f sa ua fució impar, por jmplo, f y a Así pus a) Cirtamt o s csario, qu como acabamos d vr, por jmplo, f b) Obviamt tampoco pus ustro caso f ( ) d s l ára sombrada qu obviamt o s cro a Tampoco f ( ) d E ustro caso a f, a f d d a por lo qu d vulv a sr l ára rayada, obviamt o cro a a a a + + + + a a a a c) ( f ) d f d d 7 Para calcular d, u amigo t sugir qu pogas cost L harías caso? Co amigos así o hac falta migos, pus si stá [,], s imposibl qu así qu, o sa, o staría [,] cost ya qu cost 8 Para calcular l d, si o s quir itgrar por parts, s pud utilizar l dibujo d la drcha Justifica sta afirmació y calcula dicha itgral Como las fucios y, y l so ivrsas la ua d la otra, sus gráficas so simétricas rspcto d la bisctriz dl primr cuadrat por lo qu las áras sombradas so iguals, así qu: l d d Itgral dfiida Uidad 6 89
9 Eist s t lim? Dicho límit prsta ua idtrmiació dl tipo por lo qu, aplicado l torma d L Hôpital: s tdt s s s lim lim lim lim Sa f : [,], itgrabl y tal qu para [, ] s f d? ; ;,5 y,75 pud sr l valor d f d f d d Como ( + ) f +, s ti qu ( + ) ( + ) 8 8 f d Es dcir, + Cuáls d tr los úmros ; por lo qu solo, y,5 podría sr l valor d la itgral PROBLEMAS Halla l volum dl sólido formado al girar toro al j X la rgió bajo la gráfica d y s l itrvalo [, ]? s [ cos ] u V f d d Dtrmia l volum grado al girar rspcto al j d abscisas la rgió acotada por las gráficas d y g las fucios f Ambas gráficas s corta los putos O (,) y (, ) La rcta va por arriba y la parábola por dbajo El volum pdido lo da la itgral: A 5 6 ( ) u 5 5 V d d d Calcula f ( ) d sido f s E l itrvalo [, ], si s 5, 6 6, sido gativa l rsto 5 6 6 5 6 6 I s d s d + s d + s d 6 6 5 5 6 6 6 6 s d + s d + s d + cos + + cos + + cos 5 5 + + + + + + + 6 5 5 6 6 9 Uidad 6 Itgral dfiida
La fució ρ + s( +,5 ), da la dsidad d cochs ( cochs por km) los primros km d ua autovía, sido la distacia kilómtros al comizo d la misma Calcula l úmro total d cochs los km ρ d + s +,5 d 6 d + s +,5 d d S cambia d variabl: +,5 t, dt d +,5d t dt +,5 s +,5 d t s( t ) dt t s( t ) dt ; f ( t) t, g' ( t) s( t), f '( t ), tcos t tcos t s t ts t dt + cos( t ) dt + 8 +,5 cos +,5 s +,5 s +,5 d + 8 5 cochs +,5 cos +,5 s +,5 ( + s +,5 ) d 6 + + 8 ( t ) cos g t 5 La aclració m/s d u móvil co movimito rctilío vi dada fució dl timpo t por la a t cos t 5 m y prsió ( + ) Si la posició y la vlocidad d la partícula t ra v m/s, rspctivamt, dtrmia: a) La fució qu da la vlocidad dl móvil fució d t b) La fució qu da la posició dl móvil fució d t a) La vlocidad s la itgral d la aclració, así pus: v ( t ) a( t ) dt cos( t + ) dt cos( t + ) dt s ( t + ) + C Como sabmos qu v, ya podmos calcular la costat C: La fució vlocidad s v( t) ( t ) v s( + ) + C C s s + + s b) La posició s la itgral d la vlocidad, así pus: ( t ) v ( t ) dt s( t + ) + s dt cos( t + ) + s t + C Como sabmos qu 5, ya podmos calcular la costat C: La fució posició s cos( + ) + s + C 5 C 5 + cos cos t t + + s t + 5 + cos Itgral dfiida Uidad 6 9
6 U objto s muv sobr ua rcta dbido a la acció d ua furza F qu dpd d su posició a lo largo d dicha rcta la forma, F El trabajo ralizado por F al movr l objto dsd a hasta b s W a b F d a) Calcula l trabajo para ir dsd hasta 5 b) Dtrmia si la furza G ( + ) raliza más o mos trabajo qu F( ) para l mismo dsplazamito 5 a) El trabajo s W d J 5 b) Al sr ambas furzas positivas [,5 ], s pud idtificar los trabajos co las áras qu cirra las furzas bajo llas Como G < F ( + ) ( ) s cocluy qu l trabajo d la furza G( ) s mor qu l d F( ) [,5 ], ya qu l domiador d G( ) s mayor qu l d F( ), 7 Para studiar la capacidad d mmorizar d u iño s usa l siguit modlo: si s su dad años, tocs dicha capacidad vi dada por: f + l co 5 Calcula l valor mdio d la capacidad d mmorizar d u iño tr su primr y su trcr cumplaños El torma dl valor mdio os asgura qu ist u úmro c dl itrvalo [, ] qu cumpl ( + l ) d f ( c )( ) El valor f c srá l valor mdio pdido S calcula, pus, l valor d la itgral y lugo s halla f ( c ) : Esta última itgral s calcula por parts: l, f ', g', f + l d d + l d + l d g Etocs: l d l d l l + l + l ( + l ) + l 7,89 7,89,95 ( ) d d f ( c) f ( c) s l valor mdio d la capacidad d mmorizar d u iño tr su primr y trcr cumplaños 9 Uidad 6 Itgral dfiida
8 Sa f su ára ( ) si l si > Dibuja l rcito acotado por la gráfica d f ( ) y la rcta y, y dtrmia La parábola g ( ) y l logaritmo h l s corta l puto (, ) stá formado por dos rcitos A y l rcito, como s aprcia, u Calculmos sus áras: ( ) A d + d + ( l ) ( l ) [ l ] u A d El ára dl rcito s + u Rcurda qu la itgral dl logaritmo priao s calcula por parts: I l d u l du d I l d l C ( l ) C + + dv d v d a a 9 Si f ( ) d, srá tocs f ( ) d a a jmplo Es falso: basta qu f sa impar para qu f ( ) d Por jmplo f a a a a a a, por lo qu f d d? Si s cirto, pruébalo, si s falso cofírmalo co u Itgral dfiida Uidad 6 9
a) Sa g ua fució drivabl qu cumpl g ( 6) g d Calcula ( 5 ) ' b) Sa f cotiua y tal qu Calcula f ( ) f u du a) Calculamos la itgral ( 5 ) ' g d por parts: 5 6 d f 5, f '( ), g' g', g g ( 5 ) ' ( 5) g d g g d 6 g d 5 6 6 6 Por tato, la itgral dfiida pdida s: ( ) g d ( ) g g d g g b) Para calcular 5 ' 5 6 6 5 5 5 f d mplamos l torma d sustitució itgrals dfiidas: b Si f y g ' so cotiuas, tocs f ( g ( )) g '( g b ) d f ( t ) dt a g( a) Así pus: f d f d f t dt f t dt Sa g ( ) f ( t ) dt co f, dfiida [ ],, dada la figura a) Ti g algú máimo o míimos rlativos? Dód stá? b) E qué valors d alcaza g l máimo y l míimo absolutos? c) E qué itrvalo s la gráfica d g cócava hacia arriba? d) Esboza la gráfica d g Al sr g' f, s v qu ' a) E los putos d abscisa, 5, 9, g' g si,, 5, 7, 9 pasa d sr positiva a gativa, lugo g pasa d sr crcit a dcrcit, s dcir, s trata d máimos rlativos E los putos d abscisa, 7, g' ( ) pasa d sr gativa a positiva, así qu llos g( ) prsta míimos rlativos b) S studia l valor d g y y los putos dl itrior los qu s aula la drivada g g f ( t ) dt ; g >, g < g, g( 5) < g, g( 7) < g pus g( 7) < g( 5), g( 9) g( 5) < g( 9) y Así pus, l máimo absoluto d g s alcaza Aálogamt, s v qu l míimo s alcaza c) g'' ( ) > si f '( ) > y so ocurr (, ) ( 6,8 ) d) 9 Uidad 6 Itgral dfiida
P d Dtrmia u poliomio P( ) d sgudo grado sabido qu P P y qu P a + b + c co a Por otra part, P c P a + b + c, s dcir, a + b y c a + b + d, s dcir: a 8 + b +, Por tato, si a + b y a + b 5 6 5 5, s ti qu a, a, 6 5 5 5 P + b, y E la figura s mustra la part positiva d la gráfica d y Ecutra la cuació d ua rcta vrtical para qu l ára d la zoa sombrada sa d 9 u a d 9, s dcir: 9, pus las otras solucios o stá [, ] La rcta buscada s a a a 9, a 6a + 7, ( a )( a a 9), a, PARA PROFUNDIZAR Sa g : ua fució cotiua tal qu si, g Calcula g, studia la cotiuidad d f y obté ' f y sa f g t dt Como g s cotiua, s ti qu g g lim lim f s cotiua pus s drivabl ya qu g s cotiua y, al sr, s ti qu: f g g + g ( + ) f ' ( g( ) )( ) + g g( ) + g + 5 Sa f ua fució cotiua y positiva l itrvalo [, ] Halla razoadamt l úmro d raícs (, ) d la fució F ( ) f ( t ) dt f ( t ) dt La fució F( ) s cotiua [, ] (pus s drivabl), sido positiva [, ] Aálogamt, F f f f > Así pus, F ti al mos ua raíz (, ) S studia F' ( ) : F f f f ' > Así pus, como F' ( ) uca s hac cro pus f s F f f f <,, s dsprd qu F o pud tr más d ua raíz dicho itrvalo por lo qu, juto al argumto atrior, s cocluy qu solo ti ua raíz Itgral dfiida Uidad 6 95
6 La figura mustra u smicírculo d radio, diámtro horizotal AB y rctas tagts A y B A qué distacia dl diámtro db colocars la rcta horizotal MN para miimizar l ára sombrada? Hazlo d dos formas: miimizado ua fució itgral y miimizado ua fució qu dpda d α S toma u sistma d js prpdiculars co orig l ctro dl smicírculo, cuya cuació sría: y Sa y k la cuació d la rcta MN y s scrib l ára sombrada fució d k k A d k k + k k d k k k d + d + k k k f k Para obtr l míimo valor d f ( ), co [,] k, s calcula su drivada rspcto d k ( k) ( k) k k k f '( k) k + k + k + k + k k k k k k Así pus, ' f k si k, Así pus, la rcta MN s db situar a ua distacia d para s valor d k, f alcaza l míimo absoluto k dl diámtro AB S compruba, postriormt, qu S rsulv ahora l problma si utilizar l cálculo itgral, como idica l uciado El ára sombrada s: α + cosα α sα cosα+ sα α+ sαsα cosα f α f '( α ) [ + cosα cos α ] si cosαcosα+, s dcir, cos αcosα Así pus, cosα,cosα co α, cos αs αcosα+, s dcir, S ota qu l valor S compruba qu cosα corrspod al valor d cosα corrspod fctivamt al míimo absoluto k obtido por l procdimito atrior Si cosα, α y f, 57, f, + f +, 6 Así pus, l míimo valor corrspod a α o k 96 Uidad 6 Itgral dfiida
7 a) Escrib s d térmios d s d (Haz u s y dv s d itgra por parts) b) Utiliza l apartado atrior para dmostrar: s d s c) Si s u impar positivo, pruba la fórmula d Wallis: d ( ) 6 s d 5 7 a) s s cos s cos s cos s ( s ) d + d + d s cos + s d s d + ( ) + s d s cos s d s d s cos s d b) -, s dcir, s d s cos + s d s d s d c) s d s d, s dcir: Ritrado, si s u tro positivo impar: s d s d 5 5 s s d d Itgral dfiida Uidad 6 97
8 Sa f : dfiida por f ( ) a) Calcula I f d Para cada, sa I d b) Dmustra qu si [, ], tocs c) Calcula tro J d y pruba qu si, tocs I+ + I d) Por itgració por parts dmustra qu I + + Dduc qu I o s u úmro ) Sa k! I, scrib k + fució d k y pruba qu k s u úmro tro para todo f) Utilizado c) y d) pruba qu! k + I o s u tro g) Dmustra qu l úmro s irracioal a) I d + d b) Si [, ],, así qu c) I + + + + Por tato, si, s I, I Lugo I o s u úmro tro + + d) + ( + ) + ( + ) I d + d I ) Por iducció: Si, k I ( )! Supoido qu k s tro s dmustra para k + [ ] k +! I +! + I + +! I + + k + s tro + + + f) Como, sgú c), I o s tro co, sigu qu! k + I o s tro co g) Si! o s tro, s irracioal pus, caso cotrario, sría tro a, s tomaría b y! b! a ( b! ) a b b 98 Uidad 6 Itgral dfiida
Autovaluació Compruba qué has aprdido E la parábola qu corrspod a la fució f + a, sido a u úmro ral, las tagts los putos d abscisas y pasa por l orig d coordadas Obté a y calcula l ára dl rcito limitado por la gráfica d f y dichas tagts Los putos d abscisas y ti ordada + a Las rctas tagts dichos putos so y ( + a) ( ) y ( a) ( ) Al pasar por O (,), la primra, por jmplo, s ( a) +, a Así pus, la parábola s y + y os pid l ára dl rcito sombrado Ára sombrada ( ) ( ) + d u + + Calcula l valor dl ára limitada por la curva y, l j X y las rctas y U sbozo d la rgió d la qu os pid l ára sría la sombrada Así qu l ára pdida s d ( ) + B( + ) A B A + + + Lugo A( ) B( ) + + Por tato, si B A por lo qu: 6 d l l l6 l l5 l l + + + + u 5 Obté l ára dl rcito acotado limitado por las gráficas d f y g El rcito dl qu s pid l ára s l sombrado Así pus, las coordadas d los putos d cort so las solucios d los sistmas: y + y + y + y + qu so y, rspctivamt, por lo qu l ára pdida srá: ( ) ( + + d + + + d + + d + + ) d 7 + + + + + + + + u Itgral dfiida Uidad 6 99
Dibuja l rcito limitado por las gráficas d las fucios y, y y 8 y calcula su ára y A: y A, y 8 y Ára dl triágulo OCA: 7 8 Ára rgió ACB ; B: B(, ) u ; C, 5 d + + u 8 8 Así qu l ára dl rcito sombrado s 7 + 5 u 8 8 5 Halla l ára dl rcito limitado por la gráfica d la fució gráfica l máimo rlativo f + y la rcta tagt a dicha ± 6 f ' + si, 6 f '' 6, f '' < por lo qu l máimo rlativo s Nos pid l ára d la rgió sombrada P, f f 7 + y B : y 7 Rsolvmos la cuació + Sabmos qu ua solució s 7 5 + + 7 9, así qu factorizamos como 5 +, por lo qu 9 B, y l ára pdida s: ( ) + d 7 + u 7 6 Si t I cost dt y itgrals t J st dt, compruba qu J + I cos+, y calcula dspués las J I s t t t I cos t dt s t + s t dt s + J f g' t t t J s t dt cos t cos t dt cos + I f g I s+ J J cos+ I, dbmos probar qu I + J cos+ y fctivamt, I J s I J s I + J cos+ ( ª cuació) ( ª cuació), s cos + por tato, I ( + ), J ( s cos ) Uidad 6 Itgral dfiida
7 Ecutra l valor d c para qu la rcta c divida al ára d la rgió bajo la gráfica d f tr y dos rgios, tals qu l ára d la d la izquirda sa l dobl dl ára d la d la drcha Hay qu hallar c para qu c d d, s dcir: c c + +, así qu c + + c c c, c c + 5 c c c, o sa: 7 7 c 7 c 7 c c c c c ± + + + 6 y como c >, la solució s c 7 + 6 8 Calcula los putos dod s aula la drivada d la fució t t+ f + dt + f ' + si +, s dcir, + y 9 Calcula l volum dl curpo grado la rotació alrddor dl j X d la suprfici limitada por la curva y s co y l j V s d ( cos ) d s u Rlacioa y cotsta Elig la úica rspusta corrcta cada caso Si f ( ) tg t dt y g, tocs ( g f) ' s igual a: A B C D 8 La solució s D ( g f)' g' f f ', g', f g tg t dt ; f tg t dt tg t + tg t dt tg t + tg t dt tg t dt tg t + tg t dt ( t ) dt dt [ t] [ t] + tg + tg + + Por otra part, ' tg f, co lo qu f ' 8 g' f Así pus, ( g f) 8 ' Itgral dfiida Uidad 6
Sobr la itgral s d podmos afirmar: A Val C Val B No ist, pus y s o s itgrabl D Es cos + cos La solució s C [ ] [ ] s d s d + s d s d s d cos + cos + + + Sa f ua fució dfiida l itrvalo abirto (, ) co drivada sguda cotiua Si f ti trmos locals los putos y, d la itgral '' I f d, podmos asgurar qu: A I f f B I f f C I f ' f ' D I ' f f ' La solució s B I f '' d f ' f ' f ' f f ' ( ) f ' ( ) ( f ( ) f ( )) Al tr f trmos locals y, s ti f ' f ' por lo qu I f f Sñala, cada caso, las rspustas corrctas Sa I t cos ( t ) dt y s ( ) J t t dt A I > B I + J C I D I J t cost dt La rspusta A s vrdadra pus las fucios cotiuas f ( t) tcos ( t) y g( t) ts ( t) l itrvalo [, ] La rspusta B s falsa porqu I + J t dt I t t dt t dt La rspusta C s vrdadra porqu cos ( cos s ) cos( ) La rspusta D s vrdadra porqu I J t t t dt t t dt so o gativas Uidad 6 Itgral dfiida
5 Sa f la fució dfiida [, ] cuya rprstació gráfica s la d la figura A f d C B f d f d f d f d f d D El valor mdio d f [ ], s ifrior a f d La rspusta A s vrdadra pus f d > La rspusta B s falsa, pus f d > f d y f d < f d La rspusta C s falsa pus f d f d f d + f d f d f d La rspusta D s vrdadra ya qu f d mor qu f d >, por lo qu < f d <, por lo qu l valor mdio d f [ ], s Elig la rlació corrcta tr las dos afirmacios dadas 6 *Sa f ua fució cotiua [ a, b ] b f ( ) d f ( ) [ a, b ] a A B, pro / C pro / D y s cluy tr sí La solució s C Si f ( ) [ ab, ], s f d a b, por lo qu Obviamt /, como lo justifica cualquir fució cuya gráfica sa como la dl jrcicio, s dcir, simétrica rspcto dl puto mdio dl itrvalo ab, [ ] Sñala l dato icsario para cotstar 7 Para calcular f 8 d os da stos datos: f ( ) s priódica d priodo f ( ) s ua fució par f para < A Pud limiars l dato C Pud limiars l dato B Pud limiars l dato D No pud limiars igú dato La solució s D Los datos, y so los trs csarios para sabr cómo s la fució [,8 ] Así pus o pud limiars igú dato Itgral dfiida Uidad 6
PRUEBA I SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS Dada la fució: si f si < a) Pruba qu f() s cotiua l itrvalo [, ] y drivabl l itrvalo (, ) b) Estudia si la fució s crcit o dcrcit los itrvalos (, ) y (, ) a) S studia la cotiuidad d la fució l itrvalo [, ], ta sólo l puto, ya qu cotiua {} y h s cotiua Como lim f lim f lim f, f() s cotiua dicho itrvalo + La drivabilidad s studia l puto si f '() < < si < < Como lim f ' lim f ' lim f ', f() s drivabl l itrvalo dado + g s b) El domiio so todos los rals, ya qu l domiador o s aula para igú valor d Para studiar l crcimito y dcrcimito d la fució s iguala la primra drivada a cro:, o ist si < < f ' si < Lugo o ti máimos o míimos ya qu l úico puto l qu pudira habrlos,, coicid co l trmo absoluto d la fució Rsulv: f' f Por tato, la fució s strictamt dcrcit ya qu la drivada s simpr gativa todo l itrvalo a + b a) Sa f la fució dfiida como f para a Calcula a y b para qu la gráfica d f pas por l a puto (, ) y tga ua asítota oblicua co pdit b) lim + + + + a+ b a) La fució pasa por l puto (, ): f() a+ b a6 a+ b 6 a Como m, pdit d la asítota oblicua, s ti qu: f() a + b a + b a m lim lim lim a a a Por lo tato a+ b 6 + b 6 b La fució s: f b) ( + + + ) ( + + + + ) + + lim lim + + ( + + + + ) ( + + + + ) lim + + + + + 6 + ( ) Bloqu I Aálisis