Elipse: Euión de l elipse ddos iertos elementos Tinoo, G. (013). Euión de l elipse ddos iertos elementos. [Mnusrito no publido]. Méxio: UAEM. Espio de Formión Multimodl
Elipse vertil Si l elipse tiene entro en el origen y sus foos están sobre el eje y, ls F 0, y oordends de ellos son ( ) F' ( 0, ). De mner similr se denomin l sum de ls de l distnis de un punto P( x, y) elipse los foos. Si se he un nálisis semejnte l so de l elipse horizontl, o simplemente se intermbin los ppeles de ls vribles, se lleg l siguiente euión: x b y En donde, l igul que en el so nterior b = Los vérties son, en este so A' ( 0, ), A( 0, ). Esto es, el eje myor de l elipse se enuentr sobre un ret vertil (el eje fol) y el eje menor se enuentr sobre un ret horizontl (eje seundrio). Exentriidd Si se omprn ls gráfis de dos elipses, por ejemplo: x y 16 4 x y 81 9 Se observ que un de ells es más lrgd que l otr. Este lrgmiento de l elipse se mide medinte un oiente denomindo e =. En l primer euión, = 4 y b =, = 16 4 = 1, entones: 1 e = = 0.86 4 " "
En e= segund = =9 euión, b = 3, y = 81 9 = 7, entones: 7 0.94 9 En l elipse que es más lrgd el oiente e es myor. Este oiente que mide el lrgmiento de un elipse se denomin exentriidd, l ul se define omo l rzón = En el so de l elipse < siempre, entones 0 < e < 1. Cunto más erno ero entre l distni fol y el eje myor, esto es: e = se el vlor de l exentriidd, l elipse será más preid un írulo, y unto más se erque 1, l elipse será más lrgd. Cundo e = 0 es porque = 0, esto signifi que los dos foos están en el mismo lugr y los dos semiejes son igules, por lo tnto, se tiene un írulo. Elipse on entro fuer del origen Elipse horizontl Si el entro de l elipse no es el origen del sistem de oordends, sino un punto C ( h, k ) y el eje fol es prlelo l eje x, ddo que llmmos l distni fol, entones ls oordends de los foos son F ( h +, k ) y F ' ( h, k ). Pr determinr l euión se tom omo bse l euión de l elipse entrd en el origen, y se utiliz un segundo sistem de ejes uyo origen O ' oinide on el entro de l elipse. En el nuevo sistem de oordends, l euión de l elipse es: euión se ( x ') sustituyen + ( y ') b x' y = 1. En est y ' por sus equivlentes de uerdo ls fórmuls de l trslión, x ' = x h y ' = y k. El resultdo es l form estándr de l euión de un elipse horizontl on entro fuer del origen. # #
( x h) ( y b Elipse vertil En el so de que el eje fol se vertil, l form estándr de l euión es similr l euión de l elipse horizontl, simplemente se intermbin los denomindores. ( x h) ( y b Los vérties son, en este so A' ( h, k ) y Ah (, k ) +. El eje myor de l elipse se hll hor sobre un ret vertil (eje fol), y el eje menor sobre un ret horizontl (eje seundrio). Form estándr de l euión Pr determinr l euión de un elipse se requiere sber si l elipse es horizontl o vertil, onoer ls oordends de su entro y l medid de sus semiejes (semieje myor y semieje menor b ). Ejemplo: Determinr l euión de l elipse horizontl que tiene su entro en el punto C ( 3, 10), su semieje myor es: = 6 y su semieje menor es: b = 11. Se sustituyen los dtos en l form estándr de l euión, y se simplifi. ( x h) ( y b ( x ( 3) ) y ( 10) ( ) ( ) 6 11 ( x 3) ( y+ 10) 36 11 Not: L tre de determinr l form estándr de l euión de un elipse se puede prtir en l pliión "Euión de l elipse (1)" del pítulo "Elipse", disponible en l direión: http://www.geogebrtube.org/student/6961/m67380/ylyy $ $
Elementos de l elipse dd su euión. A prtir de l form estándr de l euión se pueden determinr todos los elementos de un elipse y trzr su representión gráfi. ( ) ( ) x+ 1 y+ 6 Ejemplo: Determinr los elementos de l elipse. 16 100 x h= x+ 1, por lo tnto: h = 1 y entones h = 1. y k = y+ 6, por lo tnto: k = 6 y entones k = 6. por lo que, el entro es: C ( 1, 6). = =. = 100, por lo tnto: 100 10 b = =. b = 16, por lo tnto: 16 4 L semidistni fol es: = b + b = = = = 100 16 84 1 El vlor de l exentriidd es: 1 1 e = = = 10 5 L medid del ldo reto es: Lr = b ( 16) 3 16 = = = 10 10 5 A 1, 6 + 10, A' 1, 6 10 Los vérties son: ( ) ( ) Simplifindo: A( 1, 4 ), A' ( 1, 16) Los ovérties son: B( 1+ 4, 6 ), B' ( 1 4, 6) Simplifindo: B( 3, 6 ), B' ( 5, 6) Los foos son los puntos: F( 1, 6 + 1 ), F' ( 1, 6 1) Not: L tre de determinr los elementos y l representión gráfi de un elipse, dd l form estándr de su euión, se puede prtir en l pliión intertiv "Gráfi y elementos de un elipse (1)" del pítulo "Elipse" disponible en l direión: http://www.geogebrtube.org/student/6961/m67380/ylyy % %